河北省保定市2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣13．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=612．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用_______个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．14．若a=cosxdx ，则（++）4的展开式中常数项为_______．15．设函数，D 是由x 轴和曲线y=f （x ）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x ﹣2y 在D 上的最大值为_______． 16．已知f （x ）=m （x ﹣2m ）（x +m +3），g （x ）=2x ﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0； ②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0． 则m 的取值范围是_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若向量=（sinA ，sinB ），=（cosB ， cosA ），•=+cos （A +B ）． （1）求∠C ；（2）若c=3，b=a ，求△ABC 的面积S ．18．已知数列{a n }，{b n }，其中a 1=1，a n =+，=﹣（n ∈N *）．（1）求证：数列{b n ﹣}是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n ．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC ，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC ⊥PB ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的大小．21．已知抛物线C 1：y 2=2x 与椭圆C 2：+=1在第一象限交于点A ，直线y=x +m与椭圆C 2交于B 、D 两点，且A ，B ，D 三点两两互不重合．（1）求m 的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．2015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中y=，得到x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1），故选：C．2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵z==的实部和虚部相等，∴，即a+6=3﹣2a，解得：a=﹣1．故选：D．3．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1），利用直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，可得m=0，即可得出结论．【解答】解：直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1）∵直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴m=0，∴“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的必要不充分条件，故选：B．4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．【考点】程序框图；数列的求和．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S值，分析循环变量的初值（由n=2决定）、终值（由n＜21决定）、及步长（由n=n+2决定）我们易得到结论．【解答】解：由n=2知循环变量的初值为2由n＜21得循环变量的终值为20由n=n+2得循环变量步长为2又由S=S+，则S=，故选：A．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f （x ）=sin （4x +）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （2x +）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g （x ）=sin [2（x ﹣）+]=sin （2x ﹣）的图象． 令x=，求得g （x ）=1，为函数g （x ）的最大值，则y=g （x ）图象的一条对称轴是直线x=，故选：C ．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m ，n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有c ＞a ＞b ；③设从总体中抽取的样本为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），若记=x i ， =y i ，则回归直线方程=bx +a 必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N （0，σ2），且P （﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P （ξ＞2）=0.2． 其中正确判断的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用平均数的定义可得：两个班的数学的平均分为，即可判断出正误；②利用的定义可得：平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，即可判断出正误；③利用回归直线方程的性质可得：谢谢回归方程可得：必过点（，）； ④利用正态分布的对称性可得．【解答】解：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m ，n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学的平均分为，因此不正确；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数为a==14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有c＞b＞a，因此不正确；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，），正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）==0.1，因此不正确．其中正确判断的个数有1个．故选：B．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得|MF|=1+=5，解得p=8，可得抛物线的方程为y2=16x，M（1，4），双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A（﹣，0），直线AM的斜率为，又双曲线的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，解得a=，故选A．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则﹣=﹣=﹣2，所以d=﹣2，又a1=2016，故S2016=2016a1+×（﹣2）=2016，故选：C．10．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题．【解答】解：如图，设=，=，，则∠COA=，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则==﹣，∠ODB=∠AOD=．BD=OA，OB=OA．在△OBD中，由正弦定理得：，∴=，解得sin∠BOD=，∴∠BOD=．∴θ=∠BOD+∠AOD==．∴tanθ=﹣．故选：D．11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论0＜a＜1和a＞1，判断函数f（x）的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可．【解答】解：f（x）=+3log a=+3log a=3﹣+3log a（﹣1﹣），若a＞1，则﹣为增函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为增函数，即f（x）在﹣≤x≤上为增函数，此时函数的最大值A=f（），最小值B=f（﹣），若0＜a＜1，则﹣为减函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为减函数，即f（x）在﹣≤x≤上为减函数，此时函数的最大值A=f（﹣），最小值B=f（），则A+B=f（﹣）+f（）=+3log a++3log a=++3log a+3log a3=+3log a1=4+0=4，故选：B12．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】化简f（x），得方程有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．【解答】解：f（x）=﹣k=，∵f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），∴f（x）=﹣k=0在（0，+∞）上有两个不同的根a，b（a＜b），即|sinx|=kx有两个根，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，则函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，﹣sinb）时满足题意，a，b是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=﹣sinx，f′（x）=﹣cosx，∴在B处的切线为y+sinb=f′（b）（x﹣b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=﹣b×（﹣cosb），∴=cosb，∵O，A B三点共线，∴=，∴=﹣cosb，∴sina=﹣acosb．故选：D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．【考点】由三视图还原实物图．【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=×2×2×2=，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．故答案为：3．14．若a=cosxdx，则（++）4的展开式中常数项为．【考点】定积分．【分析】求定积分可得a值，由二项式的知识可得．【解答】解：求定积分可得a=cosxdx=sinx=2，∴（++）4=（++）4，故展开式中的常数项为•（）2•（）2+••（）2+（）4=+6+4=故答案为：15．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．16．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=+cos（A+B）．（1）求∠C；（2）若c=3，b=a，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的公式求得sin（C+）的值，可得C的值．（2）由条件利用余弦定理求得a的值，可得△ABC的面积S．【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，∴或．（2）当时，根据c=3，b=a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，求得a=3，∴，当时，由勾股定理得a=，∴，18．已知数列{a n}，{b n}，其中a1=1，a n=+，=﹣（n∈N*）．（1）求证：数列{b n﹣}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知得，由此能证明{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）由{}是首项为，公比q=2的等比数列，得，从而，由此能求出数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵，即，∴，又≠0，∴{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）解：由（1）知b n﹣==，∴，n≥1，∵，∴，∴S n=a1b1+a2b2+…+a n b n==．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E ξ． 【解答】解：（1）∵座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言， ∴选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率：．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，又，，，，ξ∴E ξ==．20．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC ，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC ⊥PB ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知推导出BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．（2）法一：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PO⊥平面ABC，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．（2）解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，∵平面PAB⊥平面ABC，∴点P在坐标平面yBz内，∵PC=，BC=1，BC⊥PB，∴，作PQ垂直于直线AB于Q，则，QB=1，∴P（0，1，1），，，，设平面PBC的法向量为，则，取y=1，得，设平面PAC的法向量=（a．b．c），=（0，﹣，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），则，取a=1，得，∴==，由图知，二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．解：（2）解法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PQ⊥平面ABC，∵，，PO=BO=1，如图，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，取PC中点F，连接AF，EF，∵AO=AB=，PO=BC=1，∴，∴AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥EF，∴∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角．，，∴，，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．21．已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．（1）求m的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，推导出k AB+k AD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，∴由，得A点坐标为，联立方程组，∵A、B、D三点两两互不重合，∴△=﹣8m2+64＞0，∴，且m≠0，∴m的取值范围是．（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），①∵|BD|=|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BD的距离，则．∴，当且仅当m=±2时取等号．∵±2∈（﹣2，0）∪（0，2），∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则，将①代入上式整理得k AB+k AD=0，∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可；（3）问题转化为，设g （x ）=，（x ＞1），根据函数的单调性证出g （m ）＜g （n ），从而证出结论．【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当a=1时，f （x ）=xlnx ﹣x +1，f ′（x ）=lnx ，令f ′（x ）＞0，则x ＞1；令f ′（x ）＜0，则x ＜1， ∴f （x ）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增， ∴f （x ）min =f （1）=0； （2）f ′（x ）=alnx +a ﹣1，（x ＞1），①a=0时，f ′（x ）=﹣1＜0，f （x ）在（1，+∞）单调递减， f （x ）＜f （1）=0恒成立与已知相矛盾，②当a ＞0时，由，由，∴f （x ）的单调减区间是，单调增区间是．当，即a ≥1时，f （x ）在（1，+∞）单调递增，f （x ）＞f （1）=0恒成立．当，即0＜a ＜1时，f （x ）在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾，综上：实数a 的取值范围是[1，+∞）．（3）证明：∵m ＞n ＞1，∴要证：m n ﹣1＜n m ﹣1， 只需证（n ﹣1）lnm ＜（m ﹣1）lnn ，只需证：．设g （x ）=，（x ＞1），则．由（1）知当a=1时，f （x ）=xlnx ﹣x +1＞f （1）=0，∴x ﹣1﹣xlnx ＜0，∴g'（x ）＜0， ∴g （x ）在（1，+∞）上是减函数， 而m ＞n ，∴g （m ）＜g （n ）， 故原不等式成立．2016年9月12日。