判断直线与双曲线位置关系的两种新方法
高中数学理科2-1A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
(2)∵双曲线 的焦点为(±2 ，0)，∴设所求双曲线方程为： ，
又点(3 ，2)在双曲线上，∴ ，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为 .
【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲Fra bibliotek方程的基本步骤。
举一反三：
【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝± x，则该双曲线的离心率为()
举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线 =－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－ x·|x|+ y2=1的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
例3.过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
若 即 ，
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线 交双曲线 于点 两点，则
= =
同理可得
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
,
双曲线的中点弦问题
【思路点拨】
显然采用过P点的直线方程与双曲线方程 联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，
，∴ ，
，
当 时，方程无解，不满足条件；
当 时， 方程有一解，满足条件；
当 时，令 ，化简得： 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条 和 。
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线位置关系一、教学目标：1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解与双曲线有关的应用问题.二、教学重点、难点：1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点；2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.三、教学方法：一学，二记，三应用四、知识梳理：1判别式∆.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．3．直线与双曲线相交所得的弦长公式：设直线方程y =kx +m 与双曲线22a x +22by = 1(或22a y +22b x =1,其中a >b >0)交于P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2),则 | P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-=])(1[)(21212212x x y y x x ----=21k +|x 2- x 1| 或 | P 1P 2|=211k +|y 2-y 1| 五 五.课前测试：1．若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．332 B ．27 C ．2 D ．72．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是 ( )A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A) (－153，153) (B) (0，153) (C) (－153，0) (D) (－153，－1) 六、典例剖析题型一 直线与双曲线的位置关系例1 （1）（几何法）(2019·广东惠州二调)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2）（代数法）若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫－153，153B ．⎝⎛⎭⎫0，153C ．⎝⎛⎭⎫－153，0D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1（3）（∆判别式与韦达定理）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4,0)，实轴长为43.(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．（4）（选讲提升）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3课堂小结： 研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)由直线的斜率与渐近线的斜率进行比较来判断直线与双曲线的位置关系．课堂练习1：若直线l 过点P (1,0)与双曲线1422=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ． 2条 D ．1条题型二 与弦长有关问题例2 （弦长公式） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．课堂练习2：直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .题型三 中点弦问题例3 （1）（求离心率）[2018·厦门二检] 斜率为2的直线l 被双曲线C :-=1(a>0,b>0)截得的弦恰被点M (2,1)平分,则C 的离心率是 .（2）（求双曲线方程）已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为_____________________________．(3) （求中点轨迹）已知斜率为2的直线与双曲线x 2-y 2=12相交于P 1和P 2两点，求线段P 1P 2中点的轨迹方程.（4）（求中点弦所在直线方程）给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．课堂练习3： 已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．题型四 综合题型例4 （求字母值或范围） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点。
三谈直线和双曲线的位置关系之(3)设而不求法
【专题十一】“设而不求”为了求另辟蹊径巧解题——三谈直线和双曲线的位置关系之（3）设而不求法直线与双曲线的位置关系除了求斜率的取值范围外还有①求弦长②求中点弦问题③求与向量结合的综合问题等,这些问题的共性是都得联立方程,求交点的坐标，但已知直线或双曲线往往含有参数,解方程计算量大。
我们在求解这类问题时若采 取“设而不求”思想，可以得到简化计算量的目的，今从四个方面谈一下：【问题1】求弦长：常规方法先联立方程，再解方程求出交点坐标，然后用两点间距离公式d=221212()()x x y y -+-求出弦长。
若采用“设而不求”思想，利用“韦达定理”，变换一下公式，可以简化运算，公式如下：弦长公式： ① 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak∆+=21（含x 的方程）②2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+=211k a∆=+（含y 的方程）【问题二】圆锥曲线的“中点弦”问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
()()()()()221122221200012022112212121212222222220022 ,, -1(00)2211()()()() 0120(3)AB AB k x y A x y B x y a b a bx x x AB x y AB y y y x y x x x x y y y y a b a b x y a b x ky a b =>>+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⎧-=⎪-+-+⎪-=⎨⎪-=⎪⎩⇒-=⇒设，是双曲线，上不重合的两点，直线的斜率k ，M ，是线段的中点坐标，则，两式相减得()22(4)3 OM b k aAB = 所以、（4）式可以解决直线与双曲线弦的斜率及中点有关的问题.●题型1：已知中点为00(,)M x y ，求被点M 的平分的弦的斜率及方程：【方法】设弦PQ 的端点为P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，把P ，Q 的坐标代入双曲线方程后作差相减，用中点公式和斜率公式可得: 00220x kya b=-，公式变形求k.然后利用点斜式求出方程。
直线与双曲线的位置关系
第3课时 直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系1、一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|1x －2x |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在下列条件下，求实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．[解析] ⎩⎨⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2>01－k 2≠0，即－233<k <233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧4－3k 2＝01－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③⎩⎨⎧4－3k 2<01－k 2≠0，即k <－233，或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－233<k <－1，或－1<k <1，或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k <－233，或k >233时，直线与双曲线没有公共点． 例2、过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线l 与双曲线的交点为A 、B ，则|AB |＝__________________. [答案] 3题型二、中点弦问题例3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1.试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1， ①x 22－y 222＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝2(x －1)x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0.这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在．例4、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0. 题型三、综合应用问题例5、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后整理得，(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0－2k k 2－2>02k 2－2>0，解得k 的取值范围为－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2x 1·x 2＝2k 2－2，假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (62，0)，则F A ⊥FB ， ∴(x 1－62)(x 2－62)＋y 1y 2＝0，即(x 1－62)(x 2－62)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. (1＋k 2)x 1x 2＋(k －62)(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋(k －62)·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65，或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， 即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 例7、已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k 的值．[正解] 可分两种情况：(1)直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0，当4－k 2＝0时，k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，所以k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．课后作业一、选择题1．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.306 B.7 C.306或7 D.56或7 [答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C.2．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.4．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析] ∵0<θ<π4，∴双曲线C 1的离心率e 1＝c a ＝cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1cos θ，而双曲线C 2的离心率e 2＝c a ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1＋sin 2θcos 2θ＝1cos 2θ＝1cos θ， ∴e 1＝e 2，故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.6．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右．．两支．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 5 D.7 [答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________________．[答案]3[解析] 由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 为椭圆的顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于__________________．[答案]5＋12[解析] 设中心在坐标原点的双曲线左焦点F ，实轴右端点A ，虚轴端点B ，FB ⊥AB ，则|AF |2＝|AB |2＋|BF |2，∵|AF |2＝(a ＋c )2，|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |2＝b 2＋c 2， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12.三、解答题9．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．10．过双曲线x 29－y 216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB .求：(1)弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)弦AB 的长．[解析] (1)因为双曲线的右焦点为F 2(5,0)，直线AB 的方程为y ＝x －5.由⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2－144＝0y ＝x －5， 消去y ，并整理得7x 2＋90x －369＝0.如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－907，x 1·x 2＝－3697.设AB 的中点C 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝－457，∴y ＝－807.∴|CF 2|＝(5＋457)2＋(807)2＝8027.(2)|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(810049＋14767)＝1927. 11．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62.。
直线与双曲线的位置关系
AB
1 k x
2
1 x 2 4 x1 x 2 2
7 4 3 2 4 4 2
2
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2
6
的弦AB。求 AB
小结:
1.直线与双曲线的位置关系。 2.直线与双曲线的公共点个数。 3.直线与曲线相交所得弦的有关问题（弦长）
复习:
直线与椭圆的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
一 直线与双曲线位置关系种 类
Y
O
X
种类: 相离; 相切; 相交( 两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离: 0个交点
Y
与渐近线平行的直线 相交:一个交点
4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16
2 2
相 交
5 x y [3] l : y x 1 , c : 1 相离 4 25 16
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2
3
的弦AB。求 AB
设l的方程为： 3 x 2 y
y 3 x 2 由 2 2x2 6 2x 7 0 x y2 1
x y 1只有 一个 例2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条.
（1，1） 。
2
2
变题:将点P(1,1)改为
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线在平面上的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
1. 相离：直线与双曲线没有交点，它们分别在平面上任意位置，没有交集。
2. 相切：直线与双曲线有且仅有一个公共切点，此时直线的斜率等于双曲线在该点的切线斜率。
3. 相交：直线与双曲线有两个交点，此时直线穿过双曲线。
判定直线与双曲线的位置关系可以通过以下方法进行：
1. 将直线的方程和双曲线的方程联立，求解它们的交点，如果有解，就是相交或相切；如果没有解，就是相离。
2. 比较直线的斜率与双曲线在交点处的切线的斜率，如果相等，则相切。
3. 比较直线的斜率与双曲线的离心率（e）的关系。
如果直线
的斜率大于离心率，则相离；如果直线的斜率小于离心率，则相交；如果直线的斜率等于离心率，则相切。
注意：在进行判定时，需要先化简双曲线的方程，确定其标准形式，然后再进行计算。
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
解析几何学案(十四)直线与双曲线的位置关系
11.直线与双曲线的位置关系的判定设直线m kx y l +=:，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即a bk ±=且m=0，直线与双曲线渐近线重合，直线与双曲线没有交点；若0222=-k a b 即a b k ±=且0≠m ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
【例1】设双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 与直线l ：1=+y x 相交于两个不同的点B A 、．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且=125，求a 的值．【例2】直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当k 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当k 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？2．直线与双曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++=若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay 设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y kAB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
直线与双曲线二级结论
直线与双曲线二级结论
在几何学中，直线和双曲线是两种不同类型的曲线。
下面是关于直线和双曲线的二级结论：
1.直线的性质：
o直线是一条无限延伸的曲线，由无数个点组成。
o直线上的任意两点可以连成一条直线段，且直线段长度是两点之间的最短距离。
o两条直线如果没有公共点，它们被称为平行线。
o任意一点到直线的距离始终保持一致。
2.双曲线的性质：
o双曲线是一种对称曲线，其形状类似于一个开口的对称曲线。
它与一个点（焦点）和一条直线（准线）
的关系密切。
o双曲线上的每一点到焦点和准线的距离之差是一个常数，被称为离心率。
o双曲线具有两支，每支具有相同的形状和性质，但具有不同的方向和焦点。
3.直线和双曲线的关系：
o直线可以与双曲线相交、相切或不相交。
o如果一条直线与双曲线相交于两个点，那么这条直线被称为双曲线的切线。
o双曲线的焦点和准线分别位于直线上的两个焦点和
准线上的两个切点之间。
直线也可以通过双曲线的
顶点。
这些结论描述了直线和双曲线在几何学中的基本性质和关系。
直线与双曲线位置关系判断流程
直线与双曲线位置关系判断流程Title: Procedure for Determining the Positional Relationship between a Line and a HyperbolaTitle: 直线与双曲线位置关系判断流程To systematically assess the positional relationship between a line and a hyperbola, one must follow a well-structured procedure.为了系统地判断直线与双曲线的位置关系，必须遵循一个结构化的流程。
Firstly, identify the equation of the line.Then, determine the equation of the hyperbola, noting its center, vertices, and foci.首先，确定直线的方程。
然后，确定双曲线的方程，并注意其中心、顶点和焦点。
Subsequently, analyze the discriminant of the hyperbola to classify its conic section type (ellipse, parabola, or hyperbola).随后，分析双曲线的判别式以分类其圆锥曲线类型（椭圆、抛物线或双曲线）。
According to the slopes and y-intercepts of the line, predict its intersection points with the hyperbola.根据直线的斜率和y截距，预测它与双曲线的交点。
Graph the line and the hyperbola on a coordinate plane, adjusting the scale as necessary for better visualization.在坐标平面上绘制直线和双曲线，并根据需要调整比例尺以获得更好的可视化效果。
直线与椭圆、双曲线位置关系的判定方法
直线与椭圆、双曲线位置关系的判定方法1.首先确定直线的方程和椭圆的方程。
(First, determine the equation of the line and the equation of the ellipse.)2.将直线的方程代入椭圆的方程中，得到一个关于变量的二次方程。
(Substitute the equation of the line into the equation of the ellipse to obtain a quadratic equation in terms of the variable.)3.解这个二次方程，得到两个交点的坐标。
(Solve this quadratic equation to obtain the coordinates of the two intersection points.)4.将交点坐标代入直线的方程中，判断交点是否在直线上。
(Substitute the coordinates of the intersection points into the equation of the line to determine if the intersection points lie on the line.)5.若交点坐标在直线上，则直线与椭圆有两个交点。
(If the intersection points lie on the line, then the line intersects the ellipse at two points.)6.若交点坐标不在直线上，再判断交点与直线的位置关系。
(If the intersection points do not lie on the line, then further analyze the relationship between the intersection points and the line.)7.将交点坐标代入椭圆的方程中，判断交点是否在椭圆上。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)2.直线与双曲线只有一个公共点 含解析
今天我们研究直线与双曲线只有一个公共点。
直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程,则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个公共点等价于直线与双曲线的渐近线平行;（2）一元二次方程情形,直线与双曲线有一个公共点等价于直线与双曲线相切.先看例题： 例：若双曲线()222:10x C y a a -=>与直线:1l x y +=相切，则a =( )解：将直线方程与双曲线方程联立得2222(1)220a x a x a －＋－＝于是有:24221048(1)0a a a a ≠∆=+－－＝ 解得2a =整理：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b(1）若0222=-k a b 即a b k ±=，且0m ≠时， 直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； (2）若0222≠-k a b 即a b k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个公共点。
注意:相切并不代表只有一个公共点，我们可以从解析性质清楚的看到这一点。
再看一个例题,加深印象 例：若双曲线()222:10x C y a a -=>与直线:1l x y +=只有一个公共点，则a=( ）解:将直线方程与双曲线方程联立得2222(1)220a x a x a －＋－＝（1)直线与双曲线相切，24221048(1)0a a a a ≠∆=+－－＝ 解得a =（2)直线与双曲线渐近线平行，21=0a -,解得1a = 综上有1a = 总结:1。
直线与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行，与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线.2.直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
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数 学 教 育 中 最 活 跃! 最 实 用的#函 数 与 方 程 的 思 想&数 形 结 合 的 思 想&分 类 讨 论 的 思 想&转 化 与 化 归 的 思想都有十分明显的
体 现#我 们 在 教 学 中 应 合 理 组 织 教 学 活 动! 渗 透 数学思想!对学生各种思维能力 的 提 高 是有益的#
本文链接：/Periodical_zxsxzz-gzb200406020.aspx
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中学数学杂志&高中( ’++C年第 G期
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判断直线与双曲线位置关系的两种新方法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
黄伟亮 广东南海石门中学,528248
中学数学杂志（高中版） ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONGBAN) 2004(6)
参考文献(1条)
1.刘洪华 判断直线与椭圆位置关系的两种新方法[期刊论文]-数学通讯 2004(11)
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判断方法 3
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中学数学杂志0高中1 >99+年第 Q期
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思 维!有助于把握数学问题 的 本 质"另 外!由 于 使 用了数形结合的方法!很 多 问 题 便 迎 刃 而解!且 解 法 简 捷#数 形 结 合 的 重 点 是 研 究 $以形助数%#运用数形结合思想!不仅直 观! 易 发 现解题途径!而且能避 免 复 杂 的 计 算 与 推 理!大大简化了解题过程!这 在 解 选 择 题& 填空题中更显其优越#
综 上 所 述 "命 题 获 证 1 评 注 若双曲线的方程为 $:;4’’0 !<’’7 ,"则判断方法 ’当中的 4’)’0 <’=’要相应的 改为 4’=’0 <’)’"其它结果不变1 参考文献
D,E 刘 洪 华1判 断 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 的 两 种 新 方 法 DFE1数 学 通 讯 "’++C&,,(1
>/时!K与 F相切"当 ))MJ3)* )MJ>))D
>/时!K与 F相交#0其中点 M 是直线 K上使
得 ))MJ3)* )MJ>))最大的点1
为证 明万判方数断据方 法 3!我 们 先 介 绍 两 个 引
理#由于这两个引理对于高中生或数学教 师
来 说 都是比较显然的事实!因此我们 这 里 不 加 以 证 明 #有 兴 趣 的 读 者 可 以 自 己 证 明 #
判断直线与双曲线位置关系的两种新方法
广东南海石门中学
’>E>+E 黄伟亮
文 63:给 出 了 判 断 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系
的 两 种 方 法 !笔 者 读 后 深 受 启 发 !经 过 类 比 研
究!笔者得到了判断直线与 双 曲 线 位 置 关 系
的 两 种方法!作为直线与圆 锥 曲 线 位 置 关 系
线 $相切%
&8(若 ..-/,.0 .-/’..9 ’4"则由引
理 ’可知"- 在双曲线 $的内部"直线 #过双曲
线 $内一点"即直线 #与双曲线 $相交1
综 上 所 述 "命 题 获 证 1
评 注 若双曲线的方程为 $:;4’’0 !<’’7 ,"则判断方法 ,相应的改为:
&,(若 =7 +"则 #与 $相交%
当 <’=’0 4’)’* +时"B7 &0 ’4’)@(’ 0 C&<’=’ 0 4’)’(&0 4’@’ 0 4’<’=’(7 C4’<’=’&@’ ? <’=’ 0 4’)’("所 以 当 B3 +"即 4’)’0 <’=’9 @’时"方程&A( 无实数解"从而 #与 $相离%当 B7 +即 4’)’ 0 <’=’7 @’时"方程&A(有两个相同的实数 解"从而 #与 $相切%当 B9 +"即 4’)’0 <’=’ 3 @’时"方程&A(有两个不同的实数解"从 而 #与 $相交1
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则 当 ..-/,.0 .-/’..3 ’4时"#与 $
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