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2013届高三数学小题校本作业(1)集合的概念 集合间的基本关系

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集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语

二、集合与不等式的解题策略 【示例】► (2011· 山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝ )． C．(2,3] D．[2,3]
{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( A．[1,2) B．[1,2]
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
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三、集合问题中的创新问题 【示例】► (2011· 浙江)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx
因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－
1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]． 答案 C
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5．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝ {3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________. 解析 A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m}，∴m＝2. 答案 2
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集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简 集合，然后用数轴图示法求解． 【训练2】
x－2 x ≤0 x
(2011· 江西)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝
，则A∩B＝(
)． B．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}
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三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)． (3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异 性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．

集合间的基本关系练习题含答案

集合间的基本关系练习题含答案

集合间的基本关系练习题（1）1. 如图，已知全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，则含有元素0的A的子集的个数为（）A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1}，B={0, 2011, x2+3x}，且A=B，则x的值为（）A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）A.b=sin aa ，a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1，a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]6. 已知集合：①{0}；②{⌀}；③{x|3m<x<m}；④{x|a+2<x<a}；⑤{x|x2+ 2x+5＝0, x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．7. 当a满足________时，集合A＝{x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}．8. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）=a+2}，B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7}，若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀，则实数a=________．10. 集合A={1, 2}共有________子集．11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？(2)若B={x|ax−3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1}，B={x|2<x<6}.(1)若m=4，求A∩B；(2)若A⊆B，求m的取值范围．参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题（1）一、选择题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A，即可得到结论．【解答】解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∴B∩(∁U A)={3, 4}，故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案，【解答】已知集合A＝{−1, 0, 3}，则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为：⌀，{−1}，{1}，8}，1}，1}，4，1}，则含有元素0的A的子集为{6}，{−1，{0，{−2，0，个数为4个，3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；1∈A，但2−1=1∈A，不满足题意；2∈A，且2−2=0∉A，故2∈B；故B={−1, 2}.故选C．4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．【解答】解：∵A=B，即A和B中的元素完全相同，∴有{x2−1=0x2+3x=−2，解得：x=−1．故选D．5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵a∈(0,π2)，则a>sin a，∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0，因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增，正确；B．∵a∈(−2,−23)，b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1)，∴a∈(−2, −1)时单调递增；a∈(−1, −23)时单调递减，因此不符合题意；C．∵(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]，∴b=±√1−(a−2)2，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]，∴b=±(1−|a|)，b不是a的函数，舍去．故选：A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解．【解答】①{0}是单元素集；②{⌀}是单元素集；③当m<0时，{x|8m<x<m}不是空集；④{x|a+2<x<a}是空集；⑤{x|x2+7x+5＝0, x∈R}是空集．∴一定表示空集的是④⑤．7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0，得，根据已知条件需限制a为：1<≤2，解不等式即得a满足的条件．【解答】解3x−a<0得．根据已知条件知：x＝1，∴1<．解得3<a≤6．8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用等差数列求和公式求和．【解答】若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：集合A有2个元素，故有22=4个子集．故答案为：4．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11.【答案】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能：B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时，显然a =0,当B ≠⌀时，则a ≠0，得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上，实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.12.【答案】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）当m =3时，化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5]，B =(2, 7)；从而求交集．（2）讨论当B ≠⌀时，{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5；当B =⌀时，m −1≥2m +1，从而解得．【解答】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．。

高考数学专项： 集合间的基本关系(习题作业)解析版

高考数学专项： 集合间的基本关系(习题作业)解析版

1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，则（）A ．A B B ．B AC ．A BD ．AB【答案】C【分析】由 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，知集合A 与集合B 都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合 |21,Z A x x k k ，集合 |21,Z B x x k k ，所以集合A 与集合B 都是奇数集，所以A B ，故选：C.2．下列与集合 2023,1表示同一集合的是（）A ．2023,1B ． ,2023,1x y x y ∣C ．2202420230xx x ∣D ．2023,1x y 【答案】C.【详解】由2202420230x x 解得2023x 或1x ，所以22024202302023,1x x x ∣，C 正确；选项A 不是集合，选项D 是两条直线构成的集合，选项B 表示点集，故选：C3．下列各式：① 10,1,2 ，② 10,1,2 ，③ 0,1,20,1,2 ，④ 0,1,2 ，⑤ 2,1,00,1,2 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知 10,1,2 ，故①错误；由集合与集合的关系可知 10,1,2 ，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．4．给出下列关系式:① 10,1,2 ；② ⊆ 1,2,3；③ 11,2,3 ；④ 0,1,21,2,0 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系： 与 ，而不是 与 ，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.【详解】对于①，根据元素与集合的关系知， 10,1,2 ，所以①正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以 11,2,3 是错误的，故③错误；对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知， 0,1,21,2,0 ，所以④正确.故选：A.5．有下列四个命题：① 0 ；② ③若N a ，则N a ；④2R210A x x x ∣集合有两个元素；⑤集合6N N B x x∣是有限集.；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出 1A ，得到④错误；求出 1,2,3,6B ，判断⑤正确.【详解】①因为 是任何集合的子集，所以 0 ，①正确；② 是 的一个元素，故 ，②正确；③若0a ，满足N a ，N a ，故③错误；④ 1A ，集合有1个元素，故④错误；⑤集合 1,2,3,6B ，故是有限集，⑤正确.故选：C6．若集合 N ,P x x a 则（）A ．a PB ． a PC ． a PD ．a P【答案】D【分析】根据集合P ,判断元素a 是否在集合P 内即可选出结果.【详解】解:因为 N ,N P x x a ,所以a P .故选：D7．已知非空集合M满足:对任意x M ，总有2x M ，M .若{0,1,2,3,4,5}M ，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【分析】由题意得，集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当M 中有元素0时，200M M ，当M 中有元素1时，2111M M ，所以0,1M M ，所以集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M 有 2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,， 3,4,5共11个.故选：A.8．若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合12,,3,42A，则其“2元子集”的个数为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合12,,3,42A的所有“2元子集”为12,2 ，{2,3} ，{2,4} ，1,32 ，1,42，3,4共6个.故选：A.9．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B10．已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，若a ∈M ，则6-a ∈M ，那么集合M 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由条件知集合M 的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】∵a ∈M ，6-a ∈M ，M ⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M 中可单独出现，1和5，2和4M 元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C11．已知集合 0,4,M x ，20,N x ，若N M ，则实数x 组成的集合为（）A ． 0B ． 2,2C ． 2,1,2D ．2,0,1,2【答案】C【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.【详解】N M ∵， 0,4,M x ，20,N x ，2404x x x 或204x x x x，解得2x 或2x 或1x ，故实数x 组成的集合为 2,1,2 .故选：C.12．集合70,N A x x x，则*6{|N ,}B y y A y的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．15D ．16【答案】D【分析】先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．【详解】集合{|70A x x ，**N }|7,N {1,2,3,4,5,6x x x x ,*6{|N ,}1,2,3,6B y y A y，故B 有4216 个子集.故选：D ．13．已知集合260A xx x ∣， 10B x mx ∣，且B A ，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．110,,23B ．11,23C ．11,23D ．110,,23【答案】D【分析】先解出集合A ，根据B A ，分类讨论求出实数m .【详解】2603,2A xx x ∣.因为B A ，所以B ， 3B ， 2B .当B 时，关于x 的方程10mx 无解，所以0m ；当 3B 时，3x 是关于x 的方程10mx 的根，所以13m；当 2B 时，=2x 是关于x 的方程10mx 的根，所以12m .故实数m 的取值构成的集合为110,,23.故选：D14．设集合 21|10P x x ax ， 22|20P x x ax ，21|0Q x x x b ，22|20Q x x x b ，其中a ，b R ，下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的真子集，对任意的b ，1Q 是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合21|10P x x ax ，22|20P x x ax 可得当1m P ，即210m am ，可得220m am ，即有2m P ，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；当5b 时，2150R Q x x x ，22250R Q x x x ，可得1Q 是2Q 的子集；当1b 时，2110R Q x x x ，22210{|1Q x x x x x 且R}x ，可得1Q 不是2Q 的子集；综上有，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集.故选：B.15．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S ，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k 再求和，例如{2,3,8}A ，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87 ，对S A ．508B ．512C ．1020D ．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是72(12345678)512 .【详解】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现72次，则对S 的所有非空子集中元素k 执行乘以(1)k 再求和操作,则这些和的总和是7123456782[(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8] 72(12345678)512 .故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题16．下列关系式正确的为（）A ． 00B ． 0C ． ,,a b b aD ．0 【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A 错误；对于B.{0}含有一个元素0，不是空集，故B 错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C 正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D 正确.故选：CD ．17．已知集合*{|2}N M x x ，则以下关系正确的是（）A ．0MB ．2MC ． 0,1,2MD ．0,1,2M 【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】因为*{|2}N {1,2}M x x ，所以，0M ，故A 正确；2M ，故B 错误；M {0,1,2}，故C 错误，D 正确.故选：AD.18．下列说法正确的有（）A ．集合 1,2,4,5有16个真子集B ．对于任意集合A ，AC ．任何集合都有子集，但不一定有真子集D ．若A ，则A【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A ；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B 、C 、D.【详解】集合 1,2,4,5有4个元素，故其有42115 个真子集，故A 错误；空集是任何集合的子集，则A ，故B 正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C 正确；空集是任何非空集合的真子集，若 A ，则A，故D 正确.故选：BCD.19．下列各组中,M P 表示相同集合的是（）A ．3,1,1,3M P B ． 2,Z ,21,Z M xx n n P x x n n ∣∣C ．221,R ,1,R M yy x x P x x t t ∣∣D ．221,R ,,1,R M yy x x P x y y xx ∣∣【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，集合M ，P 含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A 是；对于B ，因为Z n ，则1Z n ，因此集合M ，P 都表示所有偶数组成的集合，B 是；对于C ，221,R 1,,1,R 1,M y y x x P x x t t ∣∣，即M P ，C 是；对于D ，因为集合M 的元素是实数，集合P 中元素是有序实数对，因此集合M ，P 是不同集合，D 不是.故选：ABC20．已知集合 1,3,0A ，23,B m ，若B A ，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1 D【答案】ABC【分析】由集合B 与集合A 的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A ，0m 时， 3,0B ，有B A ，故选项A 正确；对于B ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项B 正确；对于C ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项C 正确；对于D ，m 时，23m ，集合B 不满足集合元素的互异性，故选项D 不正确.故选：ABC.21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A ． 0B ．若a Z ，则a ZC ．集合 2,y y x x Q 是无限集D ．集合 12,x x x N 的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z ，Q 的含义，即可求解．【详解】对于A ： 是指不含任何元素的集合，故A 错误；对于B ：若Z a ，则Z a ，故B 正确；对于C ：有理数有无数个，则集合 2,y y x x Q 是无限集，故C 正确；对于D ：集合 12,0,1x x x N 元素个数为2个，故集合 12,x x x N 的子集共有224 个，故D 正确．故选：BCD ．22．已知集合 1,1A ，非空集合320B x x ax bx c ，下列条件能够使得B A 的是（）A ．3,3,1a b cB ．3,3,1a b c C ．1,1,1a b c D ．10a b c 且2(1)40a c 【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B ，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A ，方程323310x x x ，因式分解得3(1)0x ，解得1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项A 正确；对于选项B ，方程323310x x x ，因式分解得2(1)(41)0x x x ，解得=1x 或2 x 所以 1,22B ，不满足B A ，所以选项B 错误；对于选项C ，方程3210x x x ，因式分解得2(1)(1)0x x ，解得1x ，所以 1,1B ，满足B A ，所以选项C 正确；对于选项D ，因为10a b c ，所以1x 是方程320x ax bx c 的解，所以方程320x ax bx c 变形为2(1)[(1)]0x x a x c ，因为2(1)40a c ，所以方程2(1)0x a x c 无解，所以方程2(1)[(1)]0x x a x c 有唯一解1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项D 正确；故选：ACD.23．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-ÎZ ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41nC ．42nD ．43n 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n 分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +Ï.【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +Î.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +Î.若42n M +Î，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y 的奇偶性相同.若x y 和x y 都是奇数，则()()x y x y 为奇数，而42n 是偶数，不成立；若x y 和x y 都是偶数，则()()x y x y 能被4整除，而42n 不能被4整除，不成立，∴42n M +Ï.故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题24．满足 ,,,a M a b c d Ü的集合M 共有___________个.【答案】7【分析】根据集合的基本关系，可得集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，即可得出集合M 的个数.【详解】由题意可得， ,,,a M a b c d Ü,所以集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，所以 M a 或 ,M a b 或 ,M a c 或 ,M a d 或 ,,M a b c 或 ,,M a b d 或,,M a c d ,即集合M 共有7个.故答案为：725．已知集合21,20,R A B x x x a x ，且A B ，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B 得出1x 是方程220x x a 的解，将1x 代入方程220x x a 中进行计算，即可得出结果.【详解】因为 1A ，220B x x x a ，A B ，所以1x 是方程220x x a 的解，即21210a ，解得3a .经检验，3a 符合题意，所以3a .故答案为：3 .26．设,a b R ， 1,P a ， 23,Q a b ，若P Q ，则a b ______．【答案】0或4【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.【详解】当231a a b时，1,1a b ，满足P Q ，则0a b ；当231a a b时，3,1a b ，满足P Q ，则4a b ；故答案为：0或427．已知 2230M x x x ， 210,R N x x ax a ，且N M ，则a 的取值范围为_________．【答案】{|22}a a 【分析】求得集合 1,3M ，根据NM ，分N 和N 两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合 22301,3M xx x ∣，当N 时，即240a ，解得22a ，此时满足NM ，当N 时，要使得N M ，则1N 或3N ，当1N 时，可得2(1)10a ，即2a ，此时{1}N ，满足NM ；当3N 时，可得23310a ，即103a ，此时1{3,}3N ，不满足N M ，综上可知，实数a 的取值范围为{|22}a a .故答案为：{|22}a a .28．给定集合 1,2,3,4,5,6,7,8S ，对于x S ，如果11x S x S ,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有 1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．四、解答题29．设集合{|16}A x x ，{|121}B x m x m ，且B A ．(1)求实数m 的取值范围；(2)当x N 时，求集合A 的子集的个数．【答案】(1){|2m m 或502m}(2)128【分析】（1）按照集合B 是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合A 中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当121m m 即2m 时，B ，符合题意；当B 时，有12111216m m m m ，解得502m ．综上实数m 的取值范围是{|2m m 或50}2m ；（2）当x N 时，{0,1,2,3,4,5,6}A ，所以集合A 的子集个数为72128 个．30．已知{|15},{|1},RA x xB x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．31．设集合 |25A x x ， |121B x m x m .（1）若B A ，求实数m 的取值范围；（2）当x Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R 时，不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1） 3|m m （2）254（3）|24m m m 或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，再求A 的非空真子集个数；（3）分B 和B 两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m ，即2m 时，B ，满足B A .当121m m ，即2m 时，要使B A 成立，只需12,215,m m即23m .综上，当B A 时，m 的取值范围是 3|m m .（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，∴集合A 的非空真子集个数为822254 .（3）∵x R ，且 |25A x x ， |121B x m x m ，又不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，∴当B ，即121m m ，得2m 时，符合题意；当B ，即121m m ，得2m 时，2,15,m m 或2,212,m m解得4m .综上，所求m 的取值范围是 |24m m m 或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知2|3100A x x x ，{|121}B x m x m ，B A ，求m 的取值范围.【答案】,3 【解析】先求解出集合A ，然后根据B A 分别考虑B 和B 的情况，由此求解出m 的取值范围.【详解】因为23100x x ，所以25x ，所以 25A x x ，当B 时，B A 满足，此时211m m ，所以2m ；当B 时，若B A ，则有21112215m m m m，所以23m ，综上可知：3m ，即 ,3m .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.33．（1）已知集合 222,133A a a a a ,，当1A ，求2020a 的值；（2）已知集合2202020190A x x x ， B x x a ，若A B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2） 2019, .【解析】（1）分21a ， 211a ，2331a a 三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围．【详解】（1）若21a ，则1a ， 1,0,1A ，不合题意；若 211a ，则0a 或-2，当0a 时， 2,1,3A ，当2a 时， 0,1,1A ，不合题意；若2331a a ，则1a 或-2，都不合题意；因此0a ，所以020201 ．（2） 12019A x x ，A B ∵，∴借助数轴可得2019a，a 的取值范围为 2019, ．【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.34．已知集合 2|8120A x x x ， 21,23B a a ，2|60C x ax x (1)若集合=A B ，求实数a 的值；(2)若集合C A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)=5a (2)124a 或=0a 【分析】（1）先化简集合2|8120A x x x ，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A 知，集合中至多有2个元素，对集合2|60C x ax x 中的元素个数进行分类讨论即可.（1）易知集合2|8120A x x x 2,6， 由=A B 得：212236a a 或216232a a ，解得：=5a .（2）（1）当=0a 时 6C 满足C A ；（2）当0a 时①当Δ1240a 即124a时，C 满足C A ，124a .②当Δ1240a 即124a 时， 21601224C x x x∣，不满足C A .③当Δ1240a 即124a 时，满足C A ，只能=C A ，18612a a无解.综上所述：124a 或=0a .35．已知集合A 为非空数集，定义： ,,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ∣∣(1)若集合 1,3A ，请直接写出集合,S T ：(2)若集合 12341234,,,,A x x x x x x x x ，且T A ，求证：1423x x x x ；【答案】(1)2,4,6,0,2S T (2)见解析【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可；（2）由 12341234,,,,A x x x x x x x x ，可得4131210x x x x x x ，写出a b 的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证.（1）解：因为 1,3A ，,,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ∣∣，所以 2,4,6,0,2S T ；（2）证明：由 12341234,,,,,A x x x x x x x x ,,T x x a b a b A ∣，得4131210x x x x x x ，则a b 可取2132433141420,,,,,,x x x x x x x x x x x x ，又因为T A ，所以 2131410,,,T x x x x x x ，剩下的元素满足3243214231x x x x x x x x x x ，所以1423x x x x .36．已知集合22,,Z A x x m n m n .(1)判断8，9，10是否属于集合A ；(2)集合 |21,Z B x x k k ,证明：B 是A 的真子集.【答案】(1)8A ，9A ，10A .(2)证明见解析【分析】（1）根据集合A 的定义即可判断；（2）由 22211k k k 即可证明.【详解】（1）∵22831 ，22954 ，∴8A ，9A ，假设2210m n ，m ，Z n ，则 10m n m n ，且0m n m n ，∵1011025 ，||+||=10||||=1m n m n 或||+||=5||||=2m n m n ，显然均无整数解，∴10A ，∴8A ，9A ，10A .（2）∵集合 |21,Z B x x k k ，则恒有 22211k k k ，∴21k A ，∴即一切奇数都属于A ，故B 是A 的子集.又∵8A ，8B ，所以B 是A 的真子集.37．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22|120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .38．已知集合 2,6A .(1)若集合 2+123B a a ，，且A B ，求a 的值；(2)若集合260C x ax x ，且A 与C 有包含关系，求a 的取值范围.【答案】(1)5(2)1024a a a或【分析】（1）利用集合相等的条件求a 的值；（2）由A 与C 有包含关系得C A ，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【详解】（1）因为 2,6A ，且A B ，所以212236a a 或223216a a ，解得1a a或55a a ，故5a .（2）因为A 与C 有包含关系， 2,6A ，260C x ax x 至多只有两个元素，所以C A .当0a 时， 6C ，满足题意；当0a 时，当C 时，1460a ，解得124a ，满足题意；当 2C 时，1460a 且22260a ，此时无解；当 6C 时，1460a 且26660a ，此时无解；当 2,6C 时，1460a 且2266602260a a，此时无解；综上，a 的取值范围为1024a a a或.。

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数． 解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。

高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版

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1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。

集合间的基本关系试题(含答案)

集合间的基本关系试题(含答案)

集合间的基本关系试题(含答案)1.“A⊆B”不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，因此选C。

2.根据xy>0知x与y同号，又x＋y<0，因此x与y同为负数，等价于M＝P，因此选C。

3.A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，A⊆C，B⊆C，因此集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素，因此选C。

4.由于B⊆A，因此x2∈A，又x2≠1，因此x2＝3或x2＝x，因此x＝±3或x＝0，因此满足条件的实数x的个数是3，因此选C。

5.由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，因此选D。

6.由于A⊆B，A⊆C，因此集合A中的元素只能由a或b构成，因此这样的集合共有22＝4个，即A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}，因此选C。

7.M＝{x|x＝2k+4，k∈Z}，N＝{x|x＝4k+2，k∈Z}，因为2k+4=2(k+2)和4k+2=2(2k+1)都是偶数，因此M和N都是偶数的集合，但M和N不相等，因为M中的元素都比N中的元素大2，因此选B。

1b，b∈Z}，则A与B的交集为________．答案]空集或∅解析]A的元素形如x＝a＋6a∈Z，而B的元素形如x＝231b，b∈Z，所以A与B的交集为空集或∅．15．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∩B＝[1,2)．16．集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)∪(3,＋∞)解析]x2－5x＋6＜0得x∈(2,3)，2x－1≥0得x≥12故A∩B＝[1,2)∪(3,＋∞)．17．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∪B＝________．答案](-∞,1]∪[2,+∞)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∪B＝(-∞,1]∪[2,+∞)．18．集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A×B＝________．答案]{(x，y)|x＜2，y＞1}解析]A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}＝{(x，y)|x＜2，y＞1}．16.已知 $A=\{x\in R|x5\}$，$B=\{x\in R|a\leq x<a+4\}$，求 $A,B$ 的关系并求实数 $a$ 的取值范围。

高中数学集合运算与关系专项讲解包含练习

高中数学集合运算与关系专项讲解包含练习

专题 集合运算与关系考点精要1．集合的含义． 2．集合的表示．3．集合间的基本关系． 4．集合的基本运算．热点分析热点是集合的基本概念、运算和工具作用，考查重点是集合与集合之间的关系．知识梳理1．集合：某些确定的对象集在一起成为集合．（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作a A ∈；若b 不是集合A 的元素，记作b A ∉．（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性． （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内； 图示法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图（文氏图）画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图： （4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ．2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B （或B ⊇A ）．集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ．若A ⊆B 且A B ≠，则称A 是B 的真子集，记作A B ． （2）简单性质：①A ⊆A ； ②Φ⊆A ； ③若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；④若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）．3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作S （或U ）；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则S ðA ={|}x x S x A ∈∉且称S 中子集A 的补集；A 表示任意一个集（3）简单性质：①S ð（S ðA ）=A ； ②S ðS =Φ，S Φð=S ．4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．交集{|}A B x x A x B ⋂=∈∈且．（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．{|}A B x x A x B ⋃=∈∈并集或．5．集合的简单性质：（1）,,A A A A A B B A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂； （2）,A A A B B A ⋃Φ=⋃=⋃； （3）()()A B A B ⋂⊆⋃；（4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔⋂=⊆⇔⋃=； （5）S ð（A ∩B ）=（S ðA ）∪（S ðB ），S ð（A ∪B ）=（S ðA ）∩（S ðB ）．例题精讲:例1: 设集合U ={1,2,3,4,5}，A ={2,4}，B ={3,4,5}，C ={3,4}，则()()U A B C ð=_______．例2: 定义集合A 、B 的一种运算：A ＊B ＝{x ｜x ＝x 1+x 2, x 1∈A , x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，则A ＊B 中的所有元素之和为________例3: 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ； （2）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．变式：设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围.例4（2009北京）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.针对训练1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<2．全集S ={x |4x ≤,x ∈N *}，A ={1,2,3}，A ∩S ðB ={2,3}，那么B = A ．{2,3} B ．{2,3}或{2,3,4} C ．{1,4} D ．{1,4}或{1} 3．集合A ={3－2x ,1,3}，B ={1,x ２}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 4．设M ={x | x ∈Z }，N ={x | x =2n ,n ∈Z }，P ={x | x =n ＋12}，则下列关系正确的是 A ． N M ． B ． N P C ．N =M ∪PD ．N =M ∩ P5．集合A ={y | y =x 2+1}，B ={y | y =x +1}，则 A ∩ B = A ．{（1,2）,（0,1）} B ．{0,1} C ．{1,2}D ．[1,)+∞6．设全集I 是实数集R ，{|M x y ==与1(,]3N =-∞-都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为 A ．{|1}x x <- B ．{|x x ≤ 5}-C ．{|1x -≤x ≤1}3-D ．{|1}x x >7．定义集合运算：A ⊙B ={z | z = xy （x+y ）, z ∈A , y ∈B }，设集合A={0,1}，B={2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 A ．0 B ．6 C ．12 D ．18 8．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B ð等于 A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x ≤≥或 C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤9．集合{}|lg ,1A y y x x =∈=>R ，}{2,1,1,2B =--，则下列结论正确的是A ．}{2,1AB =-- B ．()(,0)R A B =-∞ðC ．(0,)A B =+∞D．}{()2,1R A B =--ð10．已知U =R ，A ={}|0x x >，B ={}|1x x ≤-，则()()U UA B BA =痧A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >≤-或11．已知集合{}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝ A ．M N B ．M N C ．()U MN ðD ．()U MN ð12．设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4,+∞13．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N⋂为A ．[0，1）B ．（0，1）C ．[0，1]D ．（-1，0] 14．已知集合A ={x | |x |2≤, x ∈R }，B ={x | x a ≥}，且A B ，则实数a 的取值范围是___________．答案 ；例1: {2,5} 例2: 14 例3; （1）{x / -1<x <3} （2） a >2针对训练1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．B 13．A 14．3a ≤高考链接 模拟实战1（09北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =——A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<2（10北京理） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =—— (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 3（05北京理）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是（A ）M ＝P （B ）P ÜM （C ）M ÜP （ D ）U MP =∅ð4（08北京文）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于 (A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| 5（11北京文）已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）6（2011年西城一模1）已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B =（ ）（A ）(2,5) （B ）[2,5) （C ）{2,3,4} （D ）{3,4,5} 7（2011年朝阳一模1）若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ， 则N M ⋂等于（ ） （A ）[)0,+∞ （B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}答案1 B 2 B 3 C 4 D 5 D 6C 7 A。

集合的概念及运算例题及答案

集合的概念及运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算能利用数轴或文氏图进行集合的运算能利用数轴或文氏图进行集合的运算,,掌握集合问题的常规处理方法．掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用种表示方法，集合语言、集合思想的运用; ;2.2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a Ï注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …………元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …………例题精析1： 1、下列各组对象能确定一个集合吗？、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（不确定）（2）好心的人 （不确定）（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2___-2,0,2__3、由实数x,x,－－x,x,｜｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（所组成的集合，最多含（ A A） （A ）2个元素个元素 （B ）3个元素个元素 （C ）4个元素个元素 （D ）5个元素个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明证明(1)(1)(1)：在：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x a=x∈∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,G,即即x ∈G证明证明(2)(2)(2)：∵：∵：∵x x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c Z,c∈∈Z, d∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为的所有解组成的集合，可以表示为{-1{-1{-1，，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：的所有整数组成的集合：{51{51{51，，5252，，5353，…，，…，，…，100} 100}所有正奇数组成的集合：所有正奇数组成的集合：{1{1{1，，3，5，7，…，…} }（2）a 与{a}{a}不同：不同：不同：a a 表示一个元素，表示一个元素，{a}{a}{a}表示一个集合，该集合只有一个元素表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x {x∈∈A| P（x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-Îx R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：如：{{直角三角形直角三角形}}；{大于104的实数的实数} }（2）错误表示法：）错误表示法：{{实数集实数集}}；{全体实数全体实数} }（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：思考：何时用列举法？何时用描述法？何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y yx ；集合；集合{1000{1000以内的质数以内的质数} } 例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{³y y是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集 例题精析2：1、用描述法表示下列集合、用描述法表示下列集合 ①{1{1，，4，7，1010，，13}}5,23|{£Î-=n N n n x x 且 ②{-2{-2，，-4-4，，-6-6，，-8-8，，-10}}5,2|{£Î-=n N n n x x 且 2、用列举法表示下列集合、用列举法表示下列集合①{x {x∈∈N|x 是15的约数的约数} {1} {1，3，5，15} ②{（x ，y ）|x |x∈∈{1{1，，2}2}，，y ∈{1{1，，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把注：防止把{{（1，2）}写成写成{1{1{1，，2}2}或或{x=1{x=1，，y=2}③îíì=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n Î-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ÎÎ=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ax＋＋b=0b=0，当，当a,b 满足条件满足条件____________时，解集是有限集；当时，解集是有限集；当a,b 满足条件满足条件_______________时，解集是时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, …………}= }= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是所满足的条件是2、已知{}23,21,1A a a a=--+，其中a R Î，⑴若3A -Î，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。

(人教版)数学必修一课时训练《集合间的基本关系》(含答案).doc

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课时提升卷（三）集合间的基本关系（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共30分）1.下列四个结论中，正确的是（）A. 0={0}B. 0£ {0}C. Oc {0}D. 0=02.（2013 -宝鸡高一检测）如果M={x|x+l〉O},则（）A. 0 eMB. O^MC. {0} eMD. {0}CM3.（2013 •长沙高一检测）已知集合A={x|3WxM5, xeZ},则集合A的真子集个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.设 A={a, b}, B={x|x6A},则（）A.BeAB. B生 AC. AeBD. A=B5.（2013 -潍坊高一检测）设A={x|Kx<2）,B={x|x<a）,若AW B,则a的取值范围是（）A. aW2B. aWlC. aNlD. a^2二、填空题（每小题8分，共24分）6.（2013 •汕头高一检测）已知集合A={-1, 3, 集合B={3,m2},若BU A,则实数m=.7.已知集合A= {x| x<3）,集合B= {x | x<m},且B,则实数m满足的条件是.8.设集合 M=（（x, y） | x+y<0, xy>0}和 P=（（x, y） |x<0, y〈0},那么 M 与 P 的关系为.三、解答题（9题,10题14分,11题18分）9.设集合 A= （-1, 1},集合 B= {x] x2-2ax+b=0）,若 BN 0 , Bl A,求 a, b 的值.10.已知集合 A={x 11 WxW2}, B={x 11 WxWa, aNl}.（1）若A呈B,求a的取值范围.（2）若Be A,求a的取值范围.11.（能力挑战题）已知 A={x| |x-a|=4）, B=（1, 2, b）,是否存在实数a,使得对于任意实数b（b#l,且b/2）,都有Ac B?若存在，求出对应的a的值; 若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选B. {0}是含有1个元素0的集合，故0e {0}.2.【解析】选 D. M= {x | x+1 >0} = （x | x>-1}, /. {0} £M.3.【解析】选C.由题意知，x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个.【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D,因为集合B中的元素xGA,所以x=a或x=b,所以B={a, b},因此A=B.5.【解析】选D. VA^B, .•.a》26.【解析］VB^A, .\mMm-1, .-.111=1. 答案：17.【解析】将数集A标在数轴上，如图所示，要满足A^B,表示数m的点必须在表示3的点的右边，故m>3.答案：m>38.【解析】Vxy>0, ...x, y同号，又x+y<0, .\x<0, y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P 表示第三象限内的点，故M=P. 答案：M=P9.【解析】由BJA知,B中的所有元素都属于集合A,又B主0,故集合B有三种情形:B= {-1} 或8={1}或 B={-1,1}.当 B= {T}时,B= {x | X2+2X+1 =0},故 a=-1, b=1;当 B= {1}时，B= {x | X2-2X+1 =0},故 a=b=1;当 B={-1,1}时，B= {x | x2-1 =0},故 a=0, b=-1.综上所述,a, b的值哩二L或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】（1）若A^B,由图可知,a>2.⑵若BWA,由图可知，1WaW2.0 112 x11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有AJB,所以1,2是A中的元素，又VA={a-4, a+4}, f = +或尸+ ? = +这两个方程组均无解，故这样的实数a不存在.3 +4 = 2 〔a - 4 = 2,课时和I 珠§＞基础达标 答案: 沙场点兵45体力行提离考能 集合间的基本关系1. 下列关系：① 1£{0,1,2}； (2){1}£{0,1,2)； (3)0 {0,1,2}；④{0,1,2}匚{0,1,2}；@(0,1,2}={2,0,1).其中错误的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：只有②不正确.故选A.答案:A 2. 集合M ={2,4,6}的真子集的个数为()A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个答案：B3. 用Venn 图画出下列两个集合的关系:(l)A = {0,l,2}, B = {1,2,4}:4. 已知集合A={1,2, x}, B = {1,2, x2}且A=B,求实数x 的值. 解析：因为A=B,所以x = x2,当x=l 时入={1,2,1}不符合元素互异性，舍去；当 x = 0 时 A=B = {l,2,0).故 x = 0.5. 写出满足{a, b} AC (a, b, c, d, e}的所有集合A.解析：满足{a, b} Ac (a, b. c, d, e}的集合分别为:{a, b, c}： (a, b, d}： (a, b, e}：(a,b. c, d}： (a, b. c, e}： (a, b. d, e}： (a, b, c, d, e}.6. ⑴写出集合{1,2,3}的所有真子集.答案:集合{1,2,3}的所有真子集分别是:°; {1};⑵；⑶;(1,2}； (1,3}; {2,3}(2)A={0,l,2,3}, B= {1,2,3}.解析:x + r<0,•.v[xr>0,答案:x<0,M = PM = P.⑵集合{1,2,3}的子集有：个，真子集有个，非空真子集有个.答案：（2）8 7 6»巩固提I W J7.已知集合A=«x|x=§ kGzj, B=X|X=E，kez 贝ij( )A. A BB. B AC. A=BD. A与B关系不确定人 t k , , m , , m 1 解析：对 B 集合中，x=£, kCZ,当 k=2m 时，x==, m^Z；当 k=2m —1 时，x=v—mO D 5 bez,故按子集的定义，必有A二B.答案：A8.已知集合 M={(x, y)|x+y<0, xy>0}, P = ((x, y)|x<0, y<0),则 M, P 的关系是9.集合A = {1,3, a}, B = {a2},且B A,求实数a的取值的集合.解析：由于 B = （a2} A={1,3, a},.•.①a2 = l,得a = l（不合题意，舍去）或a = —1,[2 = 3,得3"2 =",得1 = 1（舍去）或“=0, 3综上所述，实数“的取值集合为{-1, 0, -^3, 0}.10.已知集合：A={x|—1V X W5}, B = {x|m — 5WxW2m + 3}且ACB,求实数m的取值范围.Im + 一5, 解析：m + 3K☆课堂小结i.元素与集合之间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系.2.集合相等必须元素全部相同，但顺序和表达方式可以不同.3.空集是任何集合的子集，任何集合是它自己的子集.4.Venn图是表达非确定集合关系的直观方法.5.无限集大多可用数轴表示.一般n个元素的集合有2n个子集，其中2n~l个真子集.非空子集：2n-l个非空真子集为：2n —2个.。

高中数学《集合间的基本关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

高中数学《集合间的基本关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

▼知识点：有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

《集合间的基本关系》知识点总结一、“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分；(2)A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA二、“相等”关系实例：设A={x|x²-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集合相等”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。

AA②真子集：如果AB，且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A图23B(或B图24A)③如果AB；BC；那么AC④如果AB；同时BA；那么A=B三、不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

教案：教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义．本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用．教学目标【知识与能力目标】1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．【教学难点】属于关系与包含关系的区别．课前准备学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系．教学过程（一）创设情景，揭示课题复习回顾：1．集合有哪两种表示方法？2．元素与集合有哪几种关系？问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？（二）研探新知问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）；（2）设A为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设（4）．组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：读作：A含于B（或B包含A）．②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图．图1图2投影问题3：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论：若．问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn图表示．学生主动发言，教师给予评价．（三）学生自主学习，阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：（1）集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集?（2）集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?（3）0，{0}与三者之间有什么关系?（4）包含关系与属于关系之间有什么区别?试结合实例作出解释．（5）空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即?（7）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法．（四）巩固深化，发展思维1．学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？试用Venn图表示这三个集合的关系．例2．写出集合{0，1，2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集．2．学生做教材习题，教师及时检查反馈．强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集．（五）归纳整理，整体认识1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些．2．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出．课件：练习：。

集合间的基本关系练习

集合间的基本关系练习

集合间的基本关系练习引言本文档旨在帮助读者练和理解集合间的基本关系。

集合是数学中的重要概念，对于理解和解决问题都具有重要意义。

通过练集合的基本关系，读者可以加深对集合的理解，并能够应用于实际问题的求解中。

包含关系（Subset）包含关系是集合间最基本的关系之一。

一个集合A被称为另一个集合B的子集，当且仅当A中的每一个元素也都是B中的元素。

包含关系用符号表示为：A ⊆ B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则A是B的子集。

相等关系（Equality）相等关系是集合间的一种特殊关系。

当两个集合的元素完全相同，它们被称为相等集合。

相等关系用符号表示为：A = B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3}，则A等于B。

交集关系（Intersection）交集关系是指两个集合中共有的元素构成的集合。

交集关系用符号表示为：A ∩ B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A和B的交集为{2, 3}。

并集关系（Union）并集关系是指两个集合中所有元素的集合。

并集关系用符号表示为：A ∪ B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2}，B = {2, 3, 4}，则A和B的并集为{1, 2, 3, 4}。

差集关系（Difference）差集关系是指从一个集合中减去与另一个集合共有的元素所得到的集合。

差集关系用符号表示为：A - B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A减去B的差集为{1}。

笛卡尔积关系（Cartesian Product）笛卡尔积关系是指两个集合中的所有元素按照一定规则组合而成的元素对的集合。

笛卡尔积关系用符号表示为：A × B。

下面是一个示例：如果A = {1, 2}，B = {a, b}，则A和B的笛卡尔积为{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。

2013年高考考前小题精练精析：集合间的基本关系(1)

2013年高考考前小题精练精析：集合间的基本关系(1)

2013年高考考前小题精练精析：集合间的基本关系（1）1.下列关系中正确的个数为（ )①0∈{0}；②∅≠⊂{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a,b)}={(b,a)}. 【A 】1【B 】2【C 】3【D 】4答案：B解析：对①，集合{0}含有1个元素0，故①正确；对②，由于空集是任何非空集合的真子集，故②正确；对③，{0,1}是数集，而{(0,1)}是点集，故③错误；对④，{(a,b)}与{(b,a)}是不同的点集，故④错误，所以①②正确，共2个.2．已知P={1}，Q={0，1，4}，下列关系不正确的是（ )【A 】P ≠⊂Q 【B 】P ⊆Q【C 】1∈P【D 】1⊆Q答案：D解析：元素与集合之间是从属关系，不是包含关系，故D 错误，其余都正确.3.已知集合A={x ｜0≤x ＜3且x ∈N} ，则集合A 的真子集的个数是（ )【A 】16【B 】8【C 】7【D 】4答案：C解析：由题意知A={0,1,2}，其真子集的个数为23-1=7．4.下列集合不是{0,1}的真子集的是（ )【A 】{1}【B 】{0}【C 】{0,1}【D 】∅答案：C解析：只有C 项不是{0，1}的真子集．5.如果{}10M x x =+> ，则（ ）【A 】M 莆【B 】0M 躮 【C 】{}0M Î 【D 】{}0M Í答案：D 解析：因为{}{}101M x x x x =+>=>-，所以根据集合与集合，元素与集合的关系判断，D 正确.6.集合A={1,0}，B={0,1,2}，则有（ )【A 】A<B【B 】A ∈B【C 】A=B【D 】A ≠⊂B 答案：D解析：显然A ⊆B ，且2∉A ，所以A ≠⊂B.7.下列集合中，结果是空集的是（ )【A 】{x ∈R|x 2-1=0}【B 】{x|x>6或x<1}【C 】{（x,y)|x 2+y 2=0}【D 】{x|x>6且x<1}答案：D解析：对于D ，显然不存在既大于6又小于1的数，故{x|x>6且x<1}=∅.8.已知集合A={-1，0，1}，B={-1，1}，则 （ )【A 】A ⊆B【B 】B A【C 】A=B【D 】A B答案：B解析：∵A={-1，0，1}，B={-1，1},∴B A.9.给出下列三个说法：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③{x|x＞8且x ＜5}是空集.其中正确的个数为（ )【A 】0【B 】1【C 】2【D 】3答案：B解析：①错误，因为空集是其本身的子集，即∅⊆∅.②错误，因为空集不是其本身的真子集．③正确，因为没有x 满足x ＞8且x ＜5，故此集合是空集，故正确的个数为1.10. 集合}20{，M =，}|{M x x P ∈=，则下列关系中，正确的是（ ）【A 】M P【B 】P M【C 】M P =【D 】M P ⊆答案：D解析：因为}|{M x x P ∈=，所以{0}P =或{2}或{0,2}，因此M P ⊆.11.设集合{|24},{|}.A x x B x x a =-<<=<若,A B ⊆则a 的取值范围是 （ ）【A 】4a ≥【B 】4a <【C 】2a >【D 】4a ≤答案：A解析：∵A ⊆B ，∴4a ≥.12. 已知集合2{|3}20A x x x x R =-+=∈，，B={x|0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（ ）【A 】1【B 】2【C 】3【D 】4答案：D解析：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A ⊆C ⊆B ∴满足条件的集合C 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D.13.下列关系中正确的个数是 （ ）①{}{}00,1,2∈,②{}{}0,1,22,1,0⊆,③{}0,1,2∅⊆,④{}=0∅,⑤{}{}0,10,1=（）,⑥{}0=0.【A 】 1【B 】 2【C 】 3【D 】 4答案：B解析：对于①是集合与集合间的关系，应为{}0{}0,1,2；对于②任何一个集合是它本身的子集；对于③空集是任何集合的子集；对于④{}0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，所以应为∅{}0；对于⑤{}0,1含有两个元素0,1,而{}0,1（）是含有元素（0,1）的集合，所以{}0,1与{}0,1（）不相等；对于⑥{}00∈.故只有②③正确.14. 设集合A ＝{x|x<-1或x>2}，B ＝{x|x<a+1},若B ≠⊂A,则a 的取值范围是（ ) 【A 】a ≤-2【B 】a ＜-2【C 】a>-1【D 】a ≥-1答案：A解析：由题意，结合数轴如图：∴a+1≤-1,即a ≤-2．15. 设集合A={1，2，3，4，5，6}，B ⊆A ，2∈B ，则满足条件的集合B 的个数共有（ ）【A 】64个【B 】32个【C 】31个【D 】63个答案：B解析：∵集合A={1，2，3，4，5，6}，B ⊆A ，2∈B ，∴集合B 是集合A 的子集，且集合B 中一定有元素2．∵集合A 的所有子集的个数为6264=，集合A 的所有子集中不含元素2的子集的个数为5232=．∴满足条件的集合B 的个数共有652232-=．故选B ．。

高中数学课时作业集合间的基本关系1

高中数学课时作业集合间的基本关系1

课时作业3集合间的基本关系|基础巩固｜(25分钟,60分）一、选择题(每小题5分，共25分）1．能正确表示集合M＝｛x∈R|0≤x≤2｝和集合N＝｛x∈R｜x2－x＝0｝关系的Venn图是（)【解析】x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1｝易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．【答案】B2．已知集合P＝{x｜x2＝1｝，Q＝{x｜ax＝1}，若Q⊆P，则a 的值是(）A．1B．－1C．1或－1 D．0,1或－1【解析】由题意，当Q为空集时,a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1。

【答案】D3．若集合A＝{1,3,x｝，B＝｛x2,1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由B⊆A，知x2＝3，或x2＝x，解得x＝±错误!，或x ＝0，或x＝1，当x＝1时,集合A，B都不满足元素的互异性，故x ＝1舍去．【答案】C4．已知集合M⊆{2，3，5｝，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有（)A．2个B．4个C．5个D．6个【解析】当M中奇数只有3时有:{3}，｛2,3}；当M中奇数只有5时有:｛5｝，{2,5}；当M中奇数有3，5时有：{3,5｝，｛2,3，5｝，所以共6个集合．【答案】D5．设A＝｛x｜2<x〈3｝，B＝{x|x〈m}，若A⊆B，则m的取值范围是(）A．m>3 B．m≥3C．m〈3 D．m≤3【解析】因为A＝{x｜2<x〈3},B＝｛x|x〈m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3。

【答案】B二、填空题（每小题5分,共15分)6．集合{－1,0,1}共有________个子集．【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．【答案】87．已知集合A＝｛x｜x－3〉0}，B＝{x｜2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．【解析】A＝｛x|x－3>0｝＝{x|x>3},B＝{x｜2x－5≥0}＝错误!.结合数轴知A B。

集合(含答案)

集合(含答案)
集合的综合复习
1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体 叫做________． (2)集合中元素的三个特性：________，________， _____. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2．常用数集的符号 数集 符号 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素， 就说 a ________集合 A，记作________；如果 a 不是集合 A 中的元 素，就说 a________集合 A，记作________． (2)集合与集合之间的关系： 表示 关系 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 符号语言 __________ ⇔A＝B ________或 ________ 正整数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集
真子集
A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素
________或 ________ ⊆A， B (B≠ )
空集
空集是任何集合的子集，是任何______的 真子集
结论：集合{a1，a2，„，an}的子集有______个，非空子集有 ________个，非空真子集有________个．
类型二
集合间的关系
例 2. 已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}． (1)若 B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数 m 的取值范围； (2)若 B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数 m 的取值范围； (3)若 B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数 m 的取值范围． 解：由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得 A＝{x|－2≤x≤5}， (1)若 B⊆A，则 ①当 B＝∅，有 m＋1＞2m－1，即 m＜2，此时满足 B⊆A； m＋1≤2m－1， ②当 B≠∅，有m＋1≥－2，

集合有关概念和集合间的基本关系

集合有关概念和集合间的基本关系

一、学习目标：1.了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4.在具体情境中，了解全集与空集的含义；5.理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1.重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系2.难点：有关⊆∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位.1.集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集（2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性 （3）集合的表示方法：①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法. （4）常见集合的符号表示:2.集合间的基本关系：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集. 知识点一：集合的基本概念例1.在以下六种写法中，错误写法的个数是（） A .3B .4 C .5D .6思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识. 解答过程：（1）是两个集合的关系，不能用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等； （4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ∉0，故写法不正确； （5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写； （6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等. 故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义.例2.已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值. 思路分析：题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质. 解题思路： 解答过程：{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不符合集合性质，舍去；题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质，要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.例3.已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ，当A B ⊆时，求实数a 的取值范围. 思路分析：题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合{}4,2-=A 中含有确定的两个元素－2，4，如果集合B 是集合A 的子集，则集合B 中的元素应是集合A 中的元素，另外还考查了分类的思想.解题思路：本题应从如何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手，寻求集合B 可能的情况，但无论如何不能使集合B 中含有集合A 以外的元素，尤其不能忘记集合B 可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A ，B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集，因为A B ⊆，所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ），解得24-==a a 或，当04=∆=时，恰有a ；（2）若{},4=B 则0124422=-++a a ，解得舍去，此时02>∆-=a ；（3）若{},4,2-=B 则由（1）（2）知02>∆-=，此时a 符合题意； （4）若φ=B 时，由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述，所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.题后思考：①在本题的讨论中，当{}4B =时的真正含义是：集合B 中的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时，也可利用韦达定理求出a 的值；③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况，事实上，我们应首先考虑空集.知识点二：集合的运算（交集）例4.若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x A （）A .{}3B .{}1 C .φD .{}1-思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解.解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来，解0322=--x x ，用列举法把集合B 中的元素表示出来，再求B A .解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ， 由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ，故选D .题后思考：本题主要考查交集的定义，因此，只要对定义的内容清楚应不难写出答案.例5.设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x （）A .{}13<<-x xB .{}21<<x xC .{}3->x xD .{}1<x x思路分析：题意分析：本题考查集合A 和B 的交集，A 和B 两个集合都是与不等式有关的，则求集合A 和B 的交集时，我们需要借助于数轴，用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应满足的范围，再在数轴上表示出A 中元素满足的范围，然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围，由数轴得出最终的结果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得.又由{}23<<-=x x B ，{}1x 3x B A <<-=∴ ，故选A . 题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来； ②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有“等号”，在数轴上表示为实心点或空心点，以及能否取到该值.例6.已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围. 思路分析：题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集，B 为已知的集合，A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化，需要合理的讨论.解题思路：先在数轴上得出B 集合，再由φ=B A ，确定出A 集合的位置，再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况，在解题过程中很有可能会遗漏.解答过程：（1）若φ=A ，由φ=B A 知，此时3,32>∴+>a a a ； （2）若得如图：由,B A ,φφ=≠ A综上所述，a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思考：①出现交集为空集的情况，首先要考虑集合中有没有空集，即分类讨论； ②与不等式有关的集合运算中，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑； ③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析.①关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化简到最简形式，再进行运算； ②出现交集为空集的情况，首先考虑集合中有没有空集；③与不等式有关的集合运算中，多注意用数轴法表示；④对于含参数的集合问题，在根据集合的互异性进行处理时，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.（答题时间：45分钟）一、选择题1.集合{}5N x <∈x 的另一种表示方法是（）A .{}4,3,2,1,0B .{}4,3,2,1 C .{}5,4,3,2,1,0 D .{}5,4,3,2,1 2.已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ，则（） A .B A >B .B A ⊂C .A B ⊂D .B A ⊆3.下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有（） A .①③B .①⑤C .②④D .②⑤4.设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m （） A .{}1,0B .{}1,01，- C .{}2,1,0D .{}2,1,01，- 5.已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22那么x y y N x y x （） A .φB .MC .ND .R*6.设R b a ∈,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （） A .1B .－1C .2D .－27.集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（） A .1-≤a B .1≤a C .1-≥aD .1≥a二、填空题8.已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____. 9.已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22那么R x x y y N R x x y y ______.10.若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ，则这样的x 的不同值有________个. 11.已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________. 三、解答题*12.设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值. 一、选择题1.A 解析：由5<x 且是自然数，得x 为0，1，2，3，42.C 解析：3.D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②正确；③{}φ=0，空集不含任何元素，所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不能用“∈”，所以⑤{}0⊂φ正确.4.B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m5.C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x则{}N y y N M =-≥=16.C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，∴.1,,0,0-=-=∴=+≠a b b a b a a7.C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴. 二、填空题8.2≥a .解析：如图：9.{}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y {}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以，{}1N M = . 10.3 11.4 三、解答题12.解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a ③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ 由①②③得11-≤=a a 或.。

集合间的基本关系例题讲解

集合间的基本关系例题讲解

集合间的基本关系例题讲解说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m 解:∵,A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m例2. 已知集合,,若,求实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.解:解不等式组得: ⎩⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:,解之得:2≤.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3<m 综上,实数的取值范围是. m {}3<m m 例3. 设集合,,若,则实数{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B A B ⊆的值取值范围为__________.a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a （2）当时,则有或或∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;{}0=B②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:.1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由可知集合B 为非空集合.B A ⊆解:（1）∵,A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:或∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.解:∵,∴分为两种情况:A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.a {}2≤a a 例6. 已知集合.{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B,解之得:2≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m m 综上所述,实数的取值范围是; m {}3≤m m （2）∵,,∴B A ⊆{}52≤≤-=x x A ∅≠B 则有:,解之得:3≤≤4⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m m ∴实数的取值范围是; m {}43≤≤m m （3）∵B A =∴,无解,即不存在实数,使得. ⎩⎨⎧=--=-51226m m m B A =题型二 集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,: (){}x p x A =(){}x q x B =①若由可推出,则；()x p ()x q B A ⊆②若由可推出,则;()x q ()x p A B ⊆③若与可互相推出,则。

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2013高中数学小题校本作业（1）
集合的概念，集合间的基本关系
一、填空题（共12题，每题5分）
1． 集合中元素的特征： ， ， ．
2． 集合的表示法： ， ， ．
3． 用符号“∈”或“∉”填空：0 N ．
4． 下列四个集合中，是空集的是 ．
①{|33}x x += ②22{(,)|,,}x y y x x y =-∈R ③2{|0}x x ≤
④2{|10,}x x x x -+=∈R .
5． 用列举法表示集合：10{|,}1
M m m m =∈∈+Z Z ＝
．
6． 设集合{}2|20,A x x x x =-∈R ≤，且若A 是Z 的子集，则集合A 中有 个元素．
7． 已知集合A ＝{1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 ．
8． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则i ，i 2，i 3，i 4
中属于集合S 的有 ．
9． 集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}，且若A 是B 的子集，则实数a ＝ ．
10．已知集合{}{}|||4||3|A x x x B x x a a =∈=-∈R R ≤，，≤，，若A B ⊇，则a 的
取值范围是 ．
11．若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 ．
12．任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n ＝((m n
m n m n
m n +⎧
⎨
⎩与同奇偶）
与异奇偶）
，则集合M ＝
{(a ,b )|a ⊕b ＝36，a 、b ∈N ＋}中元素的个数是 ．
13．已知集合P＝{－1,a,b}，Q＝{－1,a2,b2}，且Q＝P，
求1＋a2＋b2的值．。

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