数学史试卷及问题详解

一、单项选择题1、古代美索不达米亚的数学成就主要体现在(A)A.代数学领域B.几何学领域C.三角学领域D.解方程领域2、建立新比例理论的古希腊数学家是(C)A.毕达哥拉斯B.希帕苏斯C.欧多克斯D.阿基米德3、我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”，这一方法的首创者是(D)A.贾宪B.刘徽C.朱世杰D.秦九韶4、下列著作中，为印度数学家马哈维拉所著的是(B)A.《圆锥曲线论》B.《计算方法纲要》C.《算经》D.《算法本源》5、在射影几何的诞生过程中，对于透视画法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是(C)A.达·芬奇B.笛卡儿C.德沙格D.牛顿6、提出行星运行三大定律的数学家是(D)A.牛顿B.笛卡儿C.伽利略D.开普勒7、欧拉从事科学研究工作的地方，主要是(B)A.瑞士科学院B.俄国圣彼得堡科学院C.法国科学院D.英国皇家科学院8、《几何基础》的作者是(C)A.高斯B.罗巴契夫斯基C.希尔伯特D.欧几里得9、提出“集合论悖论”的数学家罗素是(A)A.英国数学家B.法国数学家C.德国数学家D.巴西数学家10、运筹学原意为“作战研究”，其策源地是(A)A.英国B.法国C.德国D.美国11、数学的第一次危机，推动了数学的发展。

导致产生了（A）A欧几里得几何 B非欧几里得几何 C微积分 D集合论12、世界上第一个把π计算到3.11415926 <π<3.1415927的数学家是（祖冲之）13、我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是（C）A秦九韶 B杨辉 C朱世杰 D贾宪14、变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。

这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是（C）A莱布尼茨 B约翰贝努利 C欧拉 D狄利克雷15、几何原本的作者是（欧几里得）16、世界上讲述方程最早的著作是（中国的九章算术）17、就微分学与积分学的起源而言（A ）A 积分早于微分B 微分早于积分C 积分与微分同时期D 不确定18、在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（周脾算经）19、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是（三国时期的赵爽）20、发现不可公度量的是（毕达哥拉斯学派）二、填空题1. 人类关于数概念的认识大致经历过（身体指代、集合指代、刻痕记事、语言表达、科学记数）等五个阶段。

2. 数学史的研究方法有（考证方法、逻辑方法、动态方法、比较方法）等。

3. 中国古代数学发展的顶峰时期为（宋元时期）。

4. 在进位制和计数法方面，罗马人采用（十）进制计数法。

5. 亚历山大里亚学派的最后一位几何学家是（帕普斯），历史上第一位杰出的女数学家是（希帕蒂娅）。

6. 中国古代数学中，分数计算理论称为（分数四则运算），比例算法称为（比率算法）。

7. 以e1为底的对数称为（自然对数），常用对数的发明人是（布里格斯）。

8. 17世纪生产的发展对数学提出的四类的计算问题是（求变速运动的瞬时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、求曲线的长度和曲线围成的面积）。

9. 牛顿创建微积分，为（微积分）奠定了基础，首先进行光谱分析实验，为（光谱学）奠定了基础；提出力学三大定律，奠定了（经典力学）的基础；发现万有引力定律，为（物理学）奠定了基础。

10. 1900年，德国数学家（希尔伯特）在巴黎国际数学家大会上提出了（23）个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。

11. 从现存的一些纸草书中可以了解古代（几何）的数学成就，从现存的一些泥版上可以了解古代（算术）的数学成就。

12. 古希腊的三大著名几何作图问题是（化圆为方、倍立方体）和三角分等。

13. “杨辉三角”是我国数学家（贾宪）首先发现的，在西方则被称为“（帕斯卡）三角”。

14. 阿拉伯数学家（花拉子米）的《还原与对消计算概要》通常被称作《们尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》。

15. 解析几何的主要发明者是（笛卡尔）和（费马）。

16. 在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽。

如笛卡尔的求切线的圆法（开普勒）的求旋转体体积的方法，（卡瓦列里）的不可分量原理等。

17. 科学计数法的三要素（计数法则，数学符号，基数）18. 最先建立非欧几何理论的数学家是 (罗巴契夫斯基)，给出非欧几何这一名称的数学家是(高斯)。

19. 最先明确定义无穷级数收敛性的数学家是（柯西），他是（法国人）。

20. 布尔巴基学派认为数学的三种母结构(代数结构、序结构、拓扑结构)。

三、计算题1.用印度人的“假设法”求解：找出3个不同的数，使它们的和等于它们的平方和。

先假设这3个数为1、2、3则6321=++，14321222=++，把这些数乘以146，既得结果。

14181412146141814121462221418141214614181412146⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++ 222797673797673⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++2.用塔塔利亚的方法解三次方程：4563=+x x 。

假设方程的解x 可以写成x=a-b 的形式，这里a 和b 是待定的参数。

代入方程我们就有()456333223=-+-+-b a b ab b a a整理得()()456333+--=-ab b a b a由二次方程理论可知，一定可以适当选取a 和b ，使得在x=a-b 的同时3ab-6=0。

这样上式就成为4533=-b a ，两边各乘以327a ，就得到333627452727a b a a ⨯=-，由3ab=6可知3362745627a a ⨯=-，化简得到24520573+±=a ，24520573-±=b ，解得x=3.用古巴比伦人的方法求3的有理近似值（保留三位小数）。

因为22231<<，则我们设2为这个根的首次近似。

然后进行如下运算： 1b =3÷2=1.5，2a =(1.5+2)÷2=1.75，2b =3÷1.75=1.714，3a =（1.75+1.714）÷2=1.732，得到有理近似数732.13≈。

4.用贾宪的增乘开方法（现代形式）求方程34188014=x 的解。

34 41088143652 ……44 108858 ……()3404858801⨯÷的整数部分是3，用3 作试商108858 ……4440-43所以 x=43。

四、简答题1.举例说明《九章算术》中解线性方程组的“直除法”。

答：《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组．例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上中下禾实一秉各几何？”(禾即庄稼，秉即捆，实即粮食．)依术列筹式如图4．11，它相当于三元一次方程组其中x ，y ，z 分别为上中下三等禾每捆打粮食的斗数．按《九章算术》解法，用(1)式x 的系数3去乘(2)的各项，得6x+9y ＋3z ＝102． (4)用(4)减(1)二次，得5y＋z=24． (5)再用(3)×3，得3x＋6y+9z＝78． (6)(6)减(1)，得4y＋8z＝39． (7)中把这种方法叫“直除法”，即连续相减法．它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐．2.简述费拉里解四次方程的方法。

答：费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得(1)移项可得(2)两边同时加上，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为( 3)在（3）式两边同时加上可得(4)（4）式中的y是一个参数。

当（4）式中的x为原方程的根时，不论y 取什么值，（4）式都应成立。

特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。

为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即(5 )这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。

解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。

3.简述卡瓦列里不可分量方法的基本思想。

答：这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。

点、线、面分别是线、面、体的不可分量。

4.简述阿基米德在数学上的贡献及其数学研究特点。

（1）研究大数：《沙粒计算》填满宇宙的沙粒数相当于，他还曾用过相当于的大数。

（2）几何学方面：发现大量立体体积公式。

（3）数学方法论方面：他曾用“原子法”和“穷竭法”计算面积和体积；他首创用“平衡法”证明数学问题（如证明球体积公式）；他还用“积分”求和法求面积和体积；他通过引入特征三角形找到求曲线的一般方法；他把求极值问题归结为求切线问题；他还采用类似现在的“插值法”计算螺线长度。

他的这些思想方法使他成为微积分的先躯。

后来微积分开创者的许多思想都源于阿基米德。

阿基米德数学研究的主要特点：①注重联系实际，将数学与力学、物理学等实际问题结合；②注重方法论，其方法中体现了数学思想的深度；③注重论述的精确性、严谨性，成为他那个时代的典范。

5.简述刘徽的主要数学贡献。

（1）算术方面：①首次使用十进小数;②完善齐同术;③其它：刘徽明确提出分数的基本性质：“法实俱长，意亦等也”；他对求最大公约数的方法进行了理论说明；对化带分数为假分数的方法进一步明确；他还研究了各种比例算法。

（2）代数方面：①首次给出正负数定义、记法及性质;②改进解线性方程组的“直除法”;③提出解方程组的新方法;④研究等差数列，并给出求和公式。

（3）几何方面：①提出“割圆术”;②开始几何定理的证明;③研究了球体体积;（4）极限思想；（5）创立重差术。

6.简述文艺复兴时期欧洲数学的主要进展。

（1）代数方程论的发展；（2）符号代数的产生；（3）三角学的确立；（4）几何学的新突破；（5）计算技术的重大进步①十进小数的发明②对数的发明③计算工具的产生五、论述题1.试论中国古代数学的主要成就与主要特点。

一、中国古代数学的主要成就：1、算术方面：（1）世界上最早使用先进的十进制记数法；（2）建立了完善的整数、分数、小数理论与计算法则；2、代数方面：（1）最早认识并使用负数；（2）方程求解，特别是高次方程求解世界领先；（3）线性方程组解法有较完善系统且领先于世界各国；（4）开创了一次同余式组求解之先河；（5）有了符号代数的萌芽；3、几何方面：（1）最早发现并证明勾股定理；（2）较早掌握各类图形的面积、体积的计算方法；（3）创立有特色的比例理论；（4）圆周率计算精确度居世界领先；祖冲之（5）有了初步的几何理论：几何概念定义（墨经）、割圆术、刘徽－祖暅原理4、组合数学方面：（1）最早发现二项展开式系统表：贾宪三角形（2）较早研究高阶等差数列求和：垛积术（3）较早研究差分：招差术（一至四次内插公式）5、其它方面：二、中国古代数学的主要特点：1、重视数学应用：数学与应用同时发展2、重视算法研究：计算技术发达3、形数结合：没有独立于数的几何图形研究4、计算工具使用：筹算（促进数学的发展）5、数学著作以《九章算术》为模式：6、几何学以勾股定理为中心：缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。