4-3 角动量 角动量守恒定律

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角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
L r p r mv
r
x
L
o
m y
v

r
L 的方向符合右手法则
大小 L rm v sin
角动量单位：kg· 2·-1 m s
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1 质点的角动量 质点对参考点O的角动量
L r p r mv
m vA mu
2 2 1 2
v (v A v0 )
已知
m 1 . 20 10 kg
4
vB
B R O
vA
v0
h 100 km
v
u
R 1 700 km
A
u 1 . 00 10 m s
4
1
h
g 1 . 62 m s
2
m v 0 ( R h ) m v B R
v B ( R h ) v 0 R 1 709 m s
1
vB
B R O h
vA
v0
v
u
A
机械能守恒
1 2 m v
2 A
G
mMm Rh

1 2
m v G
2 B
mM m R
1 2
m v
2 A
m vA mu
2 2 1 2
v (v A v0 )
设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
G mMm
2
vB
B R O h
vA
v0
v
u
(R h) mM g G 2 R
m
v
2 0
A
Rh
飞船在A点以相对 速度 u 向外喷气的短 时间里 , 飞船的质量 减少了 m 而为 m ' , 并 获得速度的增量 v , 使飞船的速度变为v A .
质点以 作半径为 r 的圆周运动，相对圆心
L rm v m r J
2
L
p
o
r
m
dL dt

d dt
(r p ) r
t2
dp dt

dr dt
p rF M

t1
M d t L 2 L1
M rF

d dt
(r p ) r
dp dt

dr dt
p
F
r dp dt
dr dt
v
v p 0

rF M
定义为力对固定点O的力矩
M
dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩， 等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.
M
ex
0
M in M ex 如:在冲击等问题中 (2) 内力矩不改变系统的角动量.
(3) 动量守恒并不意味角动量守恒, 角动量守恒并不意味动量守恒.
动量守恒条件 F ex 0 ex 角动量守恒条件 M
F F
Fi 0 ,
F 0
ex
M
ex
0
0
F

i
4
vB
B R O
vA
v0
h 100 km
v
u
R 1 700 km
A
u 1 . 00 10 m s
4
1
h
g 1 . 62 m s
2
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
G mMm
2
vB
B R O h
O
l/4
解 虫与杆的 碰撞前后，系统角 动量守恒
1 mv0 ml 4 12 l m ( ) 4 l
飞船在A点以相对 速度 u 向外喷气的短 时间里 , 飞船的质量 减少了 m 而为 m ' , 并 获得速度的增量 v , 使飞船的速度变为v A .
( m )u m v
vB
B R O h
vA
v0
v
u
A
m v 0 m v A m ( u v A )
d M J J dt

d(J ) dt

dL dt
M dt d( J ) dL
——刚体定轴转动的角动量定理的微分形式
刚体定轴转动的角动量定理

t2 t1
M d t L 2 L1 J 2 J 1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩 等于角动量的增量．
( m )u m v
vB
B R O h
vA
v0
v
u
A
m v 0 m v A m ( u v A )
m vA mu
2 0 2 1 2
v A (v v )
飞船在 A点喷出气体后， 在到达月球的过程中，只受 向心力作用 , 角动量守恒.
m v 0 ( R h ) m v B R
vB
B R O h
vA
v0
v
u
A
机械能守恒
1 2 m v
2 A
G
2
mMm Rh
2 1 2

1 2
m v G
2 B
mM m R
v (v A v0 )
( m )u m v
知
m 1 . 20 10 kg
( m )u m v
vB
B R O h
vA
v0
v
u
A
m v 0 m v A m ( u v A )
m vA mu
2 2 1 2
v (v A v0 )
飞船在 A点喷出气体后， 在到达月球的过程中，只受 向心力作用 , 角动量守恒.

i
Mi 0

i
M i 0,

i
Fi 0
注意
涉及到转动问题,应考虑利用角动量定理 及角动量守恒定律解决.
(4) 角动量定理以及角动量守恒定律，不 仅适用于刚体的定轴转动，也适用于非刚体的 定轴转动，适用于物体的非定轴转动.
角动量定理
角动量守恒定律 若 M 0 ，则 L J =常量
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同. 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的!
质点以 作半径为 r 的圆周运动，相对圆心
L rm v m r J L J
2
L
p
o
r
m
Lrp
dL dt
dp dt dL
dt

t2 t1
M d t L 2 L1 J 2 2 J 1 1
刚体的定轴转动 J 不变，若 非刚体的定轴转动
J 变，若 M
0
M 0， 不变；
，L J 不变 , 变 .
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
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解 小球受力P 、F N 作用.
F N 的力矩为零，只有重力矩作用.
M mgR cos
由质点的角动量定理
mgR cos dL dt
d L mgR cos d t
m g R co s d t d d m g R co s d
L mRv mR

t2 t1
M d t L 2 L1 J 2 J 1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J =常量 如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变． ——角动量守恒定律
特别指出
(1) 角动量守恒条件： 合外力矩为零．
2

考虑到 L m R v m R 2 得L d L m gR cos θ d θ
2 3
由题设条件积分上式

L
L d L m gR
2
3
0


cos d
1 2
0
得 L mR
2
3 2
( 2 g sin )
L mR
(
2g R
sin )
1 2
例2 一质量 m 1 . 20 10 kg 的登月飞船, 在离 月球表面高度 h 100 km 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 4 1 u 1 . 00 10 m s . 已知 v0 B 月球半径 R 1700 km ; vA vB 在飞船登月过程中,月球的 R u 重力加速度视为常量 v 2 g 1 . 62 m s . O A 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h m 是多少?