2013高三数学总复习同步练习：2-7一次函数、二次函数及复合函数

2-7一次函数、二次函数及复合函数基础巩固强化1.(文)(2012·辽宁大连24中期中)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)[答案] D[解析] ①当m ＝0时，y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3＝－13，定义域为R ；②当m ≠0时，若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则∀x ∈R ，mx 2＋4mx ＋3≠0.由mx 2＋4mx ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0，⇒0<m <34.综上①②得0≤m <34，故选D.(理)(2012·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，其图象上两点的横坐标x 1、x 2满足x 1<x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)、f (x 2)的大小不确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)．又x1<x2，且x1＋x2＝1－a，∴a(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(1－a＋2)＝a(3－a)(x1－x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，故选C.2．(文)函数f(x)＝ax2＋bx＋c与其导函数f′(x)在同一坐标系内的图象可能是()[答案] C[解析]若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f′(x)为增函数，排除A；同理由f(x)图象开口向下，导函数f′(x)为减函数，排除D；又f(x)单调增时，f′(x)在相应区间内恒有f′(x)≥0，排除B，故选C.(理)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()[答案] D[解析] 若a <0，则只能是A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b <0，从而c >0，与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0，与B 图不符．若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b >0时，有c >0与C 、D 图不符，当b <0时，有c <0，此时－b2a>0，f (0)＝c <0，故选D.3．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时显然不适合题意． ∵f (0)＝－1<0 f (1)＝2a －2∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，23]B ．(0，12)C ．(12，23]D ．(12，1)[答案] C[解析] 命题p 等价于3a 2≤1，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23，因此选C.5．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 数形结合判断．6．(文)(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a ＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0.则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2][答案] A [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x ＋2≥x 2.⇒－1≤x ≤0或0<x ≤1⇒ －1≤x ≤1，故选A.[点评] 可取特值检验，如x ＝－2,2可排除B 、C 、D.7．(文)设函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋4，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0时，有f (x 1)>f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a <12[解析] 由题意得1－2a 2>0，得a <12.(理)已知关于x 的函数f (x )＝x 2－2x －3，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．[答案] －3[解析] ∵二次函数f (x )＝x 2－2x －3中，a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴由f (x 1)＝f (x 2)得，x 1＋x 22＝－b2a＝1，所以x 1＋x 2＝2，则f (x 1＋x 2)＝f (2)＝－3.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1].若f [f (x )]＝2，则x 的取值范围是________．[答案] {x |－1≤x ≤1或x ＝2}[解析] 若x ∈[－1,1]，则有f (x )＝2∉[－1,1]，∴f (2)＝2，∴－1≤x ≤1时，x 是方程f [f (x )]＝2的解．若x ∉[－1,1]，则f (x )＝x ∉[－1,1]，∴f [f (x )]＝x ，此时若f [f (x )]＝2，则有x ＝2， ∴x ＝2是方程f [f (x )]＝2的解．9．(2012·上海)已知y ＝f (x )是奇函数．若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.[答案] 3[解析] 本题考查了奇函数的定义及函数值的求法． ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∵g (1)＝f (1)＋2 ①，g (－1)＝f (－1)＋2 ②， ∴①＋②得g (1)＋g (－1)＝4， ∴g (－1)＝4－g (1)＝3.[点评] 抓住已知条件f (x )的奇函数是解决本题的关键． 10．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．[解析] 要使函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)有意义，应有3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x <1或x >3}． f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2， 令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴y ＝4t －3t 2＝－3(t －23)2＋43(t >8或0<t <2)，由二次函数性质可知， 当0<t <2时，f (x )∈(－4，43]；当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)； 当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，y ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值.能力拓展提升11.(2012·浙江宁波模拟)函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是( )A ．1B ．2C ．4D ．5 [答案] D[解析] 该函数图象与直线y ＝2有三个交点(x 1,2)，(x 2,2)，(x 3,2)，x 1＝－1，x 2＋x 3＝6(其中(x 2,2)，(x 3,2)关于直线x ＝3对称)，则横坐标之和为5.12．(文)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{5,19,1}的“孪生函数”共有()A．4个B．6个C．8个D．9个[答案] D[解析]由2x2＋1＝1得x＝0；由2x2＋1＝5得x＝±2，由2x2＋1＝19得x＝±3，要使函数的值域为{5,19,1}，则上述三类x的值都要至少有一个，因此x＝0必须有，x＝±2可以有一个，也可以有2个，共有三种情形，对于它的每一种情形，都对应x＝±3的三种情形，即定义域可以是{0，2，3}，{0，2，－3}，{0，2，3，－3}，{0，－2，3}，{0，－2，－3}，{0，－2，3，－3}，{0，2，－2，3}，{0，2，－2，－3}，{0，2，－2，3，－3}共9种，故选D.(理)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是() A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b[答案] A[解析]设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.13．函数f (x )＝(a ＋1)x ＋2a 在[－1,1]上的值有正有负，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－13，1)[解析] 由条件知，f (－1)·f (1)<0， ∴(a －1)(3a ＋1)<0，∴－13<a <1.14．(2011·江南十校联考)已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．函数f (x )＝x 2的形如[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))的保值区间是________．[答案] [1，＋∞)[解析] 因为f (x )＝x 2在[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))上单调递增，所以f (x )在[n ，＋∞)上的值域为[f (n )，＋∞)，若[n ，＋∞)是f (x )的保值区间，则f (n )＝n 2＝n ，解得n ＝1.15．(2011·辽宁沈阳模拟)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1、x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )图象的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.[解析] (1)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a >0)，方程f (x )＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4. 由韦达定理可知，x 1＋x 2＝－1a x 1x 2＝1a .代入上式可得4a 2＋4a －1＝0， 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a >0)的两根满足x 1<2<x 2<4， 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2(b －1)＋1<0，16a ＋4(b －1)＋1>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a >14，b <14.∴2a －b >0.又∵函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a>－1.16．(文)(2012·成都诊断)已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R )．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值； (2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)、(0,1)内，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由题意可知，x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个根．由韦达定理得，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.∴b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0，⇒15<b <57， 即b 的取值范围为(15，57)． (理)已知二次函数f (x )的二项式系数为a (a ≠0)，且不等式f (x )<2x 的解集为(－1,2)．(1)若方程f (x )＋3a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若函数f (x )的最大值不大于－3a ，且函数G (x )＝f (x )－13x 3－ax 2－32x 在R 上为减函数，求实数a 的取值范围． [解析] 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (x )<2x 的解集为(－1,2)，∴ax 2＋(b －2)x ＋c <0的解集为(－1,2)，∴a >0，且方程ax 2＋(b －2)x ＋c ＝0的两根为－1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＋c ＝0，4a ＋2b －4＋c ＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2－a ，c ＝－2a . ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )x －2a (a >0)．(1)∵方程f (x )＋3a ＝0有两个相等的实根，即ax 2＋(2－a )x ＋a ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(2－a )2－4a 2＝0⇒3a 2＋4a －4＝0，∴a ＝－2或a ＝23.∵a >0，∴a ＝23，∴f (x )＝23x 2＋43x －43. (2)根据题意得f (x )＝ax 2＋(2－a )x －2a ＝a (x ＋2－a 2a )2＋－8a 2－(2－a )24a. ∵a >0，∴f (x )的最小值为－8a 2－(2－a )24a， 则－8a 2－(2－a )24a≤－3a . ∴3a 2＋4a －4≤0，解得－2≤a ≤23. ∵a >0，∴0<a ≤23.① 又G (x )＝f (x )－13x 3－ax 2－32x ＝－13x 3＋(12－a )x －2a ， ∵G (x )在R 上为减函数，∴G ′(x )＝－x 2＋12－a ≤0恒成立， 即a ≥12－x 2在R 上恒成立． ∵12－x 2≤12，∴a ≥12.② 由①②可得12≤a ≤23.1．(2012·杭州高中第一次月考)下图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(14，12) B ．(1,2) C ．(12，1) D ．(2,3)[答案] C[解析] ∵0<－a 2<1，∴－2<a <0，又f (0)＝b ∈(0,1)，f (1)＝1＋a ＋b ＝0，∴a <－1，∴－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a .又g (x )＝ln x ＋2x ＋a .∵g (12)＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝a ＋2>0，即g (12)g (1)<0，∴g (x )的零点所在区间为(12，1)． 2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3在[m,0]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] f (x )＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，对称轴x ＝－1，开口向上，f (－1)＝2，∴m ≤－1.又f (0)＝f (－2)＝3，∴m ≥－2，故m ∈[－2，－1]．3．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[1,2]上是单调函数，则a 的取值范围是______________．[答案] a ≤－1或a ≥0[解析]由于f(x)在[1,2]上是单调函数且开口向上，所以只需对称轴x＝1－a≤1或x＝1－a≥2，所以a≤－1或a≥0.。