2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(11)计数原理
高考数学热点《计数原理》练习
从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --. 2、解决排列问题的常见方法：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.热点11 计数原理（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.3、解决组合问题的常见方法：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：7.1计数原理、二项式定理
第1讲 计数原理、二项式定理考点1 排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.[例1] (1)[2019·陕西西安模拟]把15人分成前、中、后三排，每排5人，则不同的排法种数共有( )A .A 1515A 33B ．A 515A 510A 55A 33C ．A 1515D ．A 515A 510(2)[2019·安徽合肥质检]某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有( )A ．96B ．114C ．168D ．240(1)把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上，共有A 1515种情况．(2)先在a 中种植，有4种不同的种植方法，再在b 中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，再在e中种植，有2种不同的种植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)．故选C.【答案】(1)C(2)C解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.『对接训练』1．[2019·河南十所名校尖子生联考]5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻且甲不站在两端的排法种数是()A．40 B．36C．32 D．24详细分析：由题可得，甲与乙相邻的排法种数为A44A22＝48，甲站在两端且与乙相邻的排法种数为C12A33＝12，所以甲与乙相邻且甲不站在两端的排法种数是48－12＝36.故选B.答案：B2．[2019·广东六校联考]从两个不同的红球、两个不同的黄球、两个不同的蓝球共六个球中任取两个，放入红、黄、蓝三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法共有()A．42种B．36种C．72种D．46种详细分析：分以下几种情况：①取出的两球同色时，有3种可能，取出的球只能放在与球的颜色不同的两个袋子中，有A22种不同的放法，故不同的放法共有3A22＝6(种)；②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种可能，由于球不同，所以取球的方法数为3C12 C12＝12(种)，取球后将两球放入袋子中的方法有C13C12－3＝3(种)，所以不同的放法有12×3＝36(种)．综上可得不同的放法共有42种，故选A.答案：A考点2二项式定理1．通项与二项式系数T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．各二项式系数之和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.[例2](1)[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24(2)[2019·浙江卷]在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．详细分析：(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.(2)该二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝C k9(2)9－k x k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：(1)A(2)162 5(1)利用二项式定理求解的两种常用思路①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值.(2)[警示]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．『对接训练』3．[2019·天津卷]⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为______． 详细分析：本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算．二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－18r ·28－r ·C r 8x 8－4r ，令8－4r ＝0可得r ＝2，故常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－182×26×C 28＝28. 答案：284．[2019·浙江金华十校联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－64详细分析：由(x ＋1)4＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]4＋[(x －1)－1]8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，得a 3·(x －1)3＝C 14·(x －1)3·2＋C 58·(x －1)3·(－1)5，∴a 3＝8－C 58＝－48.故选C .答案：C课时作业17 计数原理、二项式定理1．[2019·湘赣十四校联考]有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A ．8B ．15C ．18D ．30详细分析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法．根据分类加法计数原理知共有3＋5＝8种选法，故选A .答案：A2．[2019·云南昆明一中检测]从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有( )A ．20种B ．16种C ．12种D ．8种详细分析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面共有C 36＝20种选法，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有20－8＝12(种)． 答案：C3．[2019·河北唐山期末]在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，x 2的系数为( )A .154B ．－154C .38D ．－38详细分析：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 622r －6x 3－r ，令r ＝1，可得x 2的系数为(－1)1×C 16×22×1－6＝－38.故选D . 答案：D 4．[2019·海南三亚华侨学校期末]六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．480种B ．360种C ．240种D ．120种详细分析：解法一 因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有C 14种情况，剩余的选手有A 55种情况，所以不同的演讲次序共有C 14·A 55＝480(种)，故选A . 解法二 六位选手全排列有A 66种演讲次序，其中选手甲第一个或最后一个演讲有2A 55种情况，故不同的演讲次序共有A 66－2A 55＝480(种)．故选A .答案：A5．[2019·河北保定期末](1－2x)5(2＋x)的展开式中，x 3的系数是( )A ．－160B ．－120C ．40D ．200详细分析：(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的系数是(1－2x)5的展开式中x 3的系数的2倍与(1－2x)5的展开式中x 2的系数的和，易知(1－2x)5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－2)r C r 5x r ，令r ＝3，得x 3的系数为－8C 35＝－80，令r ＝2，得x 2的系数为4C 25＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的系数是－80×2＋40＝－120.故选B .答案：B6．[2019·浙江七彩联盟联考]若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5详细分析：由二项式系数之和为32，知2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·25－r C r 5x 510-2r.令10－52r ＝0，可得r ＝4，所以常数项为(－1)4×21×C 45＝10，故选A .答案：A7．[2019·广东广州调研]某电台做《一校一特色》访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两所学校，B 期、C 期各播出1所学校．现从8所候选学校中选出4所参与这三期节目的录制，不同的选法共有( )A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种详细分析：由题易知，不同的选法共有C 28C 16C 15＝840(种)．故选C . 答案：C8．[2019·河北定州模拟]将“福”“禄”“寿”三个字填入如图所示的4×4小方格中，每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )A .288种B ．144种C ．576种D ．96种详细分析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个字，有16种方法；(2)因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个字有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．故选C .答案：C9．[2019·海南三亚华侨学校期末]在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的指数是整数的项数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5详细分析：∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 24(x)24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 512-6r ，∴当r ＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项，故选D .答案：D10．[2019·第一次全国大联考]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中第m项为常数项，则m ，n 应满足( )A ．2n ＝3(m －1)B ．2n ＝3mC ．2n ＝(3m ＋1)D ．2n ＝m详细分析：由题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r n x3n-2r，当n ＝32r ，即2n ＝3r 时，为常数项，此时r ＝m －1，所以m ，n 应满足2n ＝3(m －1)，故选A .答案：A11．[2019·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A ．A 1818种B ．A 2020种C ．A 23A 318A 1010种D ．A 22A 1818种详细分析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相邻，有A 22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A 1818种站法．根据分步乘法计数原理，共有A 22A 1818种不同的站法，故选D .答案：D12．[2019·辽宁营口模拟](1＋x)2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是( )A ．第n2＋1项 B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项详细分析：在(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，第r ＋1项的系数与第r ＋1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n ＋1项，可得第n ＋1项的系数最大，故选C.答案：C13．[2019·陕西西安质检]如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．详细分析：当相同的数字不是1时，有C 13个“好数”；当相同的数字是1时，有C 13C 13个“好数”，由分类加法计数原理知共有C 13＋C 13C 13＝12个“好数”．答案：1214．[2019·江西南昌重点中学段考](x －y ＋2)6的展开式中y 4的系数为________．详细分析：解法一 因为(x －y ＋2)6＝[(x ＋2)－y ]6，所以展开式中含y 4的项为C 46(x ＋2)2y 4＝15x 2y 4＋60xy 4＋60y 4，所以展开式中y 4的系数为60.解法二 由于(x －y ＋2)6的展开式中y 4项不含x ，所以(x －y ＋2)6的展开式中y 4项就是(2－y )6的展开式中的y 4项，所以C 46×22(－y )4＝60y 4，所以(x －y ＋2)6的展开式中y 4的系数为60.答案：6015．[2019·安徽示范高中高三测试]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．详细分析：解法一 从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C 316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C 24×C 112，3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C 14×C 34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C 316－C 24×C 112－C 14×C 34＝472.解法二 若取出的3张卡片中没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C 14×C 14×C 14＝64；若仅有2张卡片的颜色相同，则不同取法的种数为C 23×C 12×C 24×C 14＝144.若红色卡片有1张，且剩余2张不同色时，不同取法的种数为C 14×C 23×C 14×C 14＝192；若红色卡片有1张，且剩余2张同色时，不同取法的种数为C 14×C 13×C 24＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：47216．[2019·陕西彬州第一次教学质量监测]如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x 2的系数是________．详细分析：令x ＝1，可得各项系数之和为(3－1)n ＝256，求得n ＝8，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 28的通项公式是T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 8·38－r ·(－1)r·x 8－53r ，令8－53r ＝－2，解得r ＝6.故展开式中1x 2的系数是C 68·32＝252.答案：252。
专题11 计数原理(选填题10种考法)(原卷版)
专题11 计数原理（选填题10种考法）考法一排队问题【例1】（2023春·重庆沙坪坝）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法【变式】1．（2023秋·高二课时练习）(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（）A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种3．（2023春·河北石家庄）（多选）现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种考法二 排数问题【例2】（2023春·江苏泰州）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（ ）A ．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125B ．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375C ．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70D ．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72 【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·北京）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）A ．可以组成300个四位数B ．可以组成156个四位偶数C ．可以组成96个能被3整除的四位数D ．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310考法三 分组分配问题【例3】（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）A ．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B ．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4154A CC ．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C AD ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +【变式】1．（2023·全国·模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（ ）A ．54种B ．66种C ．90种D ．112种2．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（ ）A ．193243B ．100243C ．23D ．593．（2023春·福建泉州）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（ ）A ．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B ．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4154A CC ．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +D ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为31223525332222C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭考法四 涂色问题【例4】（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）A．320B．17C．16D．15【变式】1．（2023春·江苏连云港）（多选）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）A．共有64种不同方案B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案2.（2023·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有种．3（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.考法五最短距离【例5】（2023云南）（多选）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（）A．25C种B．35C种C．12种D．32种【变式】1．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，AB段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）条．A．23B．24C．25D．262（2023·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）A ．23 条B ．24 条C ．25条D ．26 条3（2023·北京）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A 点出发，沿着竹棍到达B 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）A ．48种B ．60种C ．72种D ．90种 考法六 指定项系数【例6-1】（2023·天津·统考高考真题）在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ．【例6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）6112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答）【例6-3】（2023·福建·校联考模拟预测）421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 .（用数字做答）【例6-4】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知()()()2202320230122023111x a a x a x a x =+-+-++-，则2022a = . 【变式】1（2022·天津·统考高考真题）523x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为 .2．（2022·全国·统考高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．3．（2023·福建龙岩·统考二模）已知()6(1)a x x ++的展开式中2x 的系数为21，则=a ．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若()8780178(1)1(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则5a = .5（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知6121x mx ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为40-，则实数m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-考法七（二项式）系数和【例7-1】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯【例7-2】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知多项式220121(12)(13),19m n n x x a a x a x a x a --=+++⋅⋅⋅+=-，则（ ）A ．12m n +=B ．12324n a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．24a =-D ．12323368n a a a na +++⋅⋅⋅+=-【变式】1．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）（多选）若()623601236(1)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+++++++++，则（ ）A ．064a =B ．0246365a a a a +++=C ．512a =D ．123456234566a a a a a a +++++=-2．（2023·山东日照·三模）（多选）已知()62701271(2)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．064=-aB ．71a =-C ．1270a a a ++⋅⋅⋅+=D ．13571+++=a a a a考法八 二项式系数的性质【例8-1】（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知()12nx -的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含3x 的系数为 .【例8-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是 .【例8-3】（2023·山东·模拟预测）（多选）842x x 的展开式中系数最大的项是（ ）A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项【变式】1．（2023·湖南郴州·统考一模）在二项式12nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为 .2．（2023·四川雅安·统考一模）10(1)x -的展开式中，系数最小的项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项3（2023·全国·模拟预测）已知二项式()6x a +，*N a ∈的展开式中第四项的系数最大，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4考法九 二项式定理的应用【例9】（2023·江苏无锡 ）（多选）若()54325101051f x x x x x x =-+-+-，则（ ）A ．()f x 可以被()31x -整除B ．()1f x y ++可以被()4x y +整除C ．()30f 被27除的余数为6D ．()29f 的个位数为6 【变式】1.（2022·潍坊模拟）5021-除以7的余数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.（2022广东）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A ．106B ．107C ．108D ．1093．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若20232202301220230122023(5),x a a x a x a x T a a a a +=++++=++++，则T被5除所得的余数为 ．考法十 二项式定理与其他知识综合【例10-1】（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数()318sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()1nx -展开式中4x 的系数为（ ） A ．70B ．－70C ．56D ．－56【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）定义函数()()*,(1)N n f x n x n =+∈，已知()i,32i(i f n =为虚数单位)，则22nx x ⎫⎪⎭的展开式中常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．45【变式】1.（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数()318sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()1nx -展开式中4x 的系数为（ ） A ．70B ．－70C ．56D ．－562.（2023·全国·高三专题练习）定义函数()()*,(1)N n f x n x n =+∈，已知()i,32i(i f n =为虚数单位)，则22nx x ⎫⎪⎭的展开式中常数项是（ ） A ．180B ．120C ．90D ．453．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()0133551111C C C C C C 35k kn n n n n n n n f x x x x x x kn=+++++++（k ，n 为正奇数），()f x '是()f x 的导函数，则()()10f f '+=（ ） A ．2n B ．12n - C ．21n +D ．121n -+4．（2023·山西·统考一模）已知随机变量()23,X N σ，且()()4P X a P X ≤=≥，则621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种4．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种 C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种5．（2023·北京·统考高考真题）512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）．A ．80-B ．40-C ．40D ．806．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022·北京·统考高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-8．（2023·全国·模拟预测）为躲过了新冠，躲过了甲流，没躲过呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才过去不久，呼吸道感染的老人又多起来.“最近，呼吸道合胞病毒感染处于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大儿院占据首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一种什么病毒？RSV 为副黏病毒科肺炎病毒属的单股负链RNA 病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常见病原，RSV 通常于上呼吸道中开始感染，引发的症状易与普通感冒相混淆，出现呼吸系统后遗症.5月3日，葛兰素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群体预防RSV感染导致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.该产品也是全球首款获批上市的RSV疫苗.为研究的临床试验，旨在评估单剂量和接种Arexvy对比安慰剂对RSV-LRTD的预防效果.该实验有3接种组，现有8名志愿者将被派往这3接种组安排接种工作，每个接种组至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种9．（2023·浙江·校联考二模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A．120B．210C．211D．21610．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（）A．25B．512C．13D．1411．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）2023年元旦当天，某微信群中有小郭、小张、小陈、小李和小陆五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个66.66元、1个88.88元、1个99.99元（红包中金额相同视为相同红包），则小郭、小张都抢到红包的不同情况有（）A．18种B．24种C．36种D．48种12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（）种．A．128B．132C．156D．18013．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种14．（2023·江西·校联考模拟预测）中国空间站（China Space Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种15．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）A ．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B ．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C ．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D ．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．16．（2023·广西北海·统考一模）()()3121x x ++展开式中，2x 的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1217．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设()()()21091001910111x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则2a 等于（ ）A ．45B ．84C ．120D ．165二、多选题18．（2023春·江苏扬州 ）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）A ．没有空盒子的方法共有24种B ．可以有空盒子的方法共有128种C ．恰有1个盒子不放球的方法共有144种D ．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种19．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）某校举办“新生杯”足球比赛，现分配A 、B 、C 、D ，4人到甲，乙，丙三场比赛中担任主裁判，每人最多担任其中一场比赛的主裁判，每场比赛主裁判有且只有一人担任则下列说法正确的是（ ）A ．不同的分配方案共有81种B ．不同的分配方案共有24种C ．若A ，B 两人都不能去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种D ．若A ，B 两人必有一人去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种20．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（ ）A ．不同的摆放方法共有120种B ．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种C ．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D ．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种21．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED ），则下面正确的是（ ）A ．从5个AED 中随机取出3个，共有10种不同的取法B ．从5个AED 中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法C ．把5个AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，共有129种方法D ．把5个AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方法 22．（2023·全国·高三专题练习）生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（ ）A ．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B ．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C ．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法D ．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 23．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在())5312x x a -的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32-C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242-24．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知3241nx x 展开式中的第三项的系数为45，则（ ）A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项25．（2023·云南·校联考模拟预测）已知()202322023012202312x a a x a x a x -=++++，则（ ）A ．展开式中所有项的系数和为1-B ．展开式中二项系数最大项为第1012项C ．320231232023212222a a a a ++++=- D ．12320232320232023a a a a ++++=26．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．01a =B ．722a =C ．01271a a a a +++⋅⋅⋅+=-D ．701273a a a a +++⋅⋅⋅+=27．（2023·重庆·统考模拟预测）在()5x y z ++展开式中（ ）A ．展开式中不存在含23x y 的项B ．展开式所有项系数和为243C ．展开式中含22xy z 项的系数为30D ．展开式共21项28．（2023·山西晋中·统考二模）()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++，若16069a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=-C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）在9x x ⎛⎝的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项30．（2023·湖南·模拟预测）已知()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-，则下列结论成立的是（ ）A ．20911a a a a ++++=B ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-=D ．123912398=++++a a a a31．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）．A ．123367891C C C C +++=B ．第2022行的第1011个数最大C ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数D ．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 三、填空题32（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．33．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a = ，12345a a a a a ++++= ．33．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．34．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．35．（2023·上海·统考模拟预测）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）36．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知()()421ax x -+的展开式中3x 的系数为2-，则实数=a ．37．（2023·山东烟台·校联考三模）已知2nx x ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则有理项共 项．（用数字表示） 38．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知()112nx n *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中2x 的系数是7，则n = .40．（2023·河南·校联考模拟预测）已知n *∈N ，()2nx -的展开式中2x 的系数为80，则展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知23a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则实数a 的值为 .42．（2023·江西南昌·校考模拟预测）记()()()()()()()52345601234561111111x a a x a x a x a x a x a x -=++++++++++++，则0246a a a a +++= ．43．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）(74x x 的展开式中4x 的系数是 ．（用数字作答） 44．（2023·四川南充·模拟预测）已知62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于x 的展开式中的常数项为160-，则=a45．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）若()52210012103x x a a x a x a x --=++++，则12345a a a a a ++++= ．46．（2023·河南·校联考模拟预测）在45(12)(1)x x +-的展开式中，按x 的升幂排列的第三项为 . 47（2023·全国·模拟预测）5(12)(13)x x -+的展开式中4x 的系数为 （用数字作答）．48．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ．49．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若(2321nx x x x ⎫⎪⎭的展开式中存在常数项，则n 的一个值可以是______．50．（2023·全国·高三专题练习）将二项式842x x 的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为。
专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
2020版高考理数：专题(11)计数原理ppt课件三
令 x＝0，可得 a0＝f（0）
19
考点三 二项式定理及其应用
方法2 与二项展开式中的系数和有关的问题解法
6)在
的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则展开
式中不含a的项是第______项．
【解析】依题意，得
【答案】5
20
考点三 二项式定理及其应用 方法2__与二项展开式中的系数和有关的问题解法
【解析】(1＋3x)n的展开式的通项为
由题意知
【答案】4
28
考点三 二项式定理及其应用
考法1 直接运用通项求特定项、系数、最值、各项系数和等
4)[课标全国Ⅱ2015·15] 系数之和为32，则a＝________.
的展开式中x的奇数次幂项的
【答案】3
29
考点三 二项式定理及其应用 考法2 与二项式定理有关的恒等式
2)
的展开式的有理项的项数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】
的展开式的通项
令
即
且r＝0，1，2，…，9，∴r＝3或r＝9.
当r＝3时， 当r＝9时，
所以
的展开式的有理项是第4项与第10项，选A.
【答案】A
14
考点三 二项式定理及其应用
方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法
3)已知
求出 或者其他量．
11
考点三 二项式定理及其应用 方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法
②求形如
的展开式中与特定项相关的量．
第一步，根据二项式定理把
分别展开，并写出其通项；
第二步，分析特定项可由
的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．
2020年高考山东版高考理科数学 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合
专题十一 计数原理【真题典例】11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2018课标Ⅰ,15组合组合数公式2017课标Ⅱ,6排列、组合排列数公式、组合数公式2016课标Ⅲ,12分类加法计数原理、组合组合数公式计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.(2)排列与组合①理解排列、组合的概念;②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;③能解决简单的实际问题2014大纲全国,5分步乘法计数原理组合数公式★★☆分析解读 从近5年高考情况来看,本节内容的考查方式有两种:一是在选择题、填空题中单独考查或以古典概型为载体进行考查,二是在解答题中与概率结合考查,解题时应牢记排列数、组合数公式,掌握求解排列组合题的基本策略.破考点【考点集训】考点 计数原理、排列、组合1.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B2.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,则不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B3.(2018广东南雄一模,5)5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少分配1人,则不同的分配方法共有( )A.25种B.60种C.90种D.150种答案 D炼技法【方法集训】方法1 排列组合问题的解题方法1.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A.85B.49C.56D.28答案 B2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排拍毕业照,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C方法2 分组分配问题1.(2018天津和平一模,8)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则不同的放法种数为( )A.35B.70C.165D.1 860答案 C2.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C过专题【五年高考】A组 山东省卷、课标卷题组考点 计数原理、排列、组合1.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C2.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C3.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)答案 16B组 其他自主命题省(区、市)卷题组考点 计数原理、排列、组合1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 答案 1 2604.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 1 0805.(2018江苏,23,10分)设n ∈N *,对1,2,…,n 的一个排列i 1i 2…i n ,如果当s<t 时,有i s >i t ,则称(i s ,i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序,排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n (k)为1,2,…,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.(1)求f 3(2), f 4(2)的值;(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示).解析 本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc 的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f 3(0)=1, f 3(1)=f 3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f 4(2)=f 3(2)+f 3(1)+f 3(0)=5.(2)对一般的n(n ≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n (0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n (1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n (2)+f n (1)+f n (0)=f n (2)+n.当n ≥5时, f n (2)=[f n (2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f 5(2)-f 4(2)]+f 4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f 4(2)=.n 2-n -22因此,当n ≥5时, f n (2)=.n 2-n -22疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n (k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f 3(2). f 4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f 3(2), f 3(1),f 3(0)联系得到,4分别添加在f 3(2)的排列中最后一个位置、f 3(1)的排列中的倒数第2个位置、f 3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n (2),f n (1), f n (0)的关系:f n+1(2)=f n (2)+f n (1)+f n (0)=f n (2)+n,从而得到f n (2)(n ≥5)的表达式.C 组 教师专用题组考点 计数原理、排列、组合1.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24答案 D2.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案 A3.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D4.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )A.14B.13C.12D.10答案 B5.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.20答案 C6.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答).答案 607.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.答案 368.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答).答案 590【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届河南中原名校高三第一次质量考评,9)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书(每类课外书均有若干本),已知每人只借阅一本,每类课外书均有人借阅,且甲只借阅A类课外书,则不同的借阅方案种数为( )A.48B.54C.60D.72答案 C2.(2018安徽黄山二模,8)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是( )A.18B.16C.12D.9答案 D4.(2018河北保定一模,9)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为( )A.8B.7C.6D.5答案 B5.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位长度)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )A.22种B.24种C.25种D.36种答案 C6.(2017山西太原五中二模,3)小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同的坐法种数为( )A.60B.72C.84D.96答案 C7.(2017河南天一大联考,9)如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有( )A.360种B.720种C.780种D.840种答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019届四川绵阳江油中学高三上第三次月考,14)现有6个人排成一横排照相,其中甲不能被排在两端,则不同的排法种数为 .答案 4809.(2018北京西城四十四中月考,13)A、B两地街道如图所示,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有 种.答案 1010.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为 .(用数字作答)答案 20。
2020届高考数学(理)二轮复习专题特训卷(10)计数原理 Word版含答案
（10）计数原理1、为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男女至少各有一人,则不同的选法共有( )A.140种B.70种C.35种D.84种2、从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种3、从1，3，5中选2个不同数字，从2，4，6，8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（ ）A. 5040B. 1440C. 864D. 7204、十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有( )A.24种B.16种C.12种D.10种5、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( )A.14400种B.7200种C.2400种D.1200种6、将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有( )A.240B.480C.720D.9607、5(3)-x 的展开式中不含5x 项的系数的和为（ ）A.33B.32C.31D.1- 8、二项式621()x x +的展开式中，常数项为（ ） A ．64B ．30C ． 15D ．16 9、二项式(1)()n x n N *+∈的展开式中2x 的系数为15，则n 等于( )A. 4B. 5C. 6D. 710、若89019(1)(12),R x x a a x a x x +-=++⋅⋅⋅+∈，则29129222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为( )A.92B.921-C.93D.931-11、将甲、乙、丙、丁、戊共5名大学生安排到3个不同地区实习(每地至少1人),其中甲和乙不能安排在同一地区,甲和丙必须安排在同一地区,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答).12、如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.13、集合{1,2,3,,20}S =的4元子集1234{,,,}T a a a a =中，任意两个元素的差的绝对值都 不为1，这样的4元子集的个数为_______个。
2020届高考数学(理)二轮高分冲刺专题十：计数原理(2)排列与组合+Word版含答案
计数原理（2）排列与组合1、公司安排五名大学生从事、、、A B C D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A工作仅安排一人，甲同学不能从事B工作，则不同的分配方案种数为（）A．96B．120C．132D．2402、今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有（）A．210种B．162种C．720种D．840种3、有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A不能停在第3道上,货车B 不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为( )A.56B.63C.72D.784、5位同学站成一排照相,其中甲与乙必须相邻,且甲不能站在两端的排法总数是( )A.40B.36C.32D.245、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A.16B.18C.24D.326、《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
设AA是正六棱1柱的一条侧棱,如图,若阳马以该六棱柱的顶点为顶点,以AA为底面矩形的一边,则这个阳马1的个数是( )A.4B.8C.12D.167、从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有()A.36种B.30种C.42种D.60种8、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中比4000大的偶数共有( )个A.120B.96C.60D.729、由数字0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的两位数的个数是( )A.30种B.25种C.36种D.20种10、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.3611、已知2110100x xC C+-=,则x=__________12、安排7位老师在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种.(用数字作答)13、《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有__________种.(用数字作答)14、将4个颜色互不相同的球放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有种．15、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:1.能组成多少个没有重复数字的七位数?2.上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?3.在1中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?4.在1中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：D解析：若没有限制,5列火车可以随便停,则有55A 种不同的停靠方法,若快车A 停在第3道上,则5列火车不间的停靠方法数为44A ;若货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为44A ;若快车A 停在第3道上,且货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为33A ,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为543543212048678A A A -+=-+=。
高考数学 计数原理、排列与组合 高考真题
专题十 计数原理10.1 计数原理、排列与组合考点 计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种 答案 C 解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C 61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C 52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C 33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C (易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种 答案 B 丙和丁相邻共有A 22·A 44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C 21·A 22·A 33种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A 22·A 44−C 21·A 22·A 33=24种站法,故选B .3.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种 答案 C 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C 52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A 44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C 52·A 44=240种,故选C .易错警示 本题容易出现将5人分为4组,共有分法C 52·C 31·C 21=60种的错误结果.4.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72答案 D 奇数的个数为C 31A 44=72.5.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.6.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·C51=75种.故选C.7.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,故选D.8.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.9.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·A22=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.10.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.11.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.12.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.13.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.14.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.15.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C当m=4时,数列{a n}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.思路分析根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.16.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C31A31A33=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C32A44=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.易错警示数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.17.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.18.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A44=96.19.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.20.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.21.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C43=4个.故总共有4+6+4=14个.解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷十一 计数原理Word版含解析
单元质检卷十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.(2018陕西延安6月模拟)展开式中含x2的项的系数为()A.120B.80C.20D.453. (2018辽宁沈阳质量监测一)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有()种不同的站法.A.4B.8C.12D.244.在(x2+x+1)(x-1)6的展开式中,x4的系数是()A.-10B.-5C.5D.105.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶,则小明取出啤酒的方式共有()A.18种B.27种C.37种D.212种6. (2018江西南昌模拟)某校毕业典礼由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种7.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.48.(2018湖北宜昌考前训练) 若(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)-(a1+a3)=()A.-1B.1C.2D.-29.(2018云南昆明模拟)从一颗骰子的六个面中任意选取三个面,其中只有两个面相邻的不同的选法共有( )A.20种B.16种C.12种D.8种10. (2018山东潍坊三模)若n=2x d x+1,则二项式的展开式中的常数项为()A. B.-C. D.-11.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A.50种B.51种C.140种D.141种12.(2018江西南昌二轮检测)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择骑共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则他们坐车不同的搭配方式有()A.12种B.11种C.10种D.9种二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2018广东东莞考前冲刺)x+(2x-1)5的展开式的常数项为. (用数字作答)14.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.15.(2018广东汕头5月冲刺)已知x+(2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=.16.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告,且要求2个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有种.参考答案单元质检卷十一计数原理1.A从6个盒子中选出3个来装东西,有种选法,甲、乙都未被选中的情况有种,所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有-=20-4=16种,故选A.2.A原式可化为:,其展开式中可出现x2项的只有23与21两项,所以其展开式中x2项分别为x223=80x2,x321=40x2,则含x2项的系数为120x2.故选A.3.B由不对号入座的结论可知,另三个人排队不对号入座的方法共有2种,据此结合分步乘法计数原理可知,满足题意的站法共有: 2×4=8种.故选B项.4.D x2x2(-1)4+x x3(-1)3+x4(-1)2=10x4,所以x4的系数为10,故选D.5.C由题意知,取出啤酒的方式有三类,第一类:取6次,每次取出4瓶,只有1种方式;第二类:取8次,每次取出3瓶,只有1种方式;第三类:取7次,3次都取4瓶和4次都取3瓶,取法为=35(种),共计37种取法,故选C.6.A根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论:①甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有4×2×6=48种编排方法;②甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法;③甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法.则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种.故选A.7.C(1+2)3的展开式中常数项是1,含x的项是(2)2=12x;1-5的展开式中常数项是1,含x的项是(-)3=-10x,故(1+2)3(1-)5的展开式中含x项的系数为1×(-10)+1×12=2.8.A∵(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,令x=-1,则(-1)3=a0-a1+a2-a3,∴(a0+a2)-(a1+a3)=-1,故选A.9.C从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有=20种情况,其中有三个面彼此相邻的有8种情况,所以只有两个面相邻的不同的选法共有20-8=12种.故选C.10.A由题意n=2x d x+1=2×x2+1=10,即二项式为,则展开式的通项为T r+1=-=--,当r=8时,得到常数项为-=,故选A.11.D因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以6次变化中“多一个”或“少一个”的天数必须相同,且“多一个”或“少一个”的天数可能是0,1,2,3,共4种情况,所以共有+++=141(种),故选D.12.B解法一:不对号入座的递推公式为:a1=0,a2=1,a n=(n-1)(a n-1+a n-2)(n≥3 ,据此可得:a3=2,a4=9,a5=44,即五个人不对号入座的方法为44种,由排列组合的对称性可知:若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则坐车不同的搭配方式有=11种.故选B.解法二:设五位妈妈分别为ABCDE,五个小孩分别为abcde,对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故排列的第五个位置一定是a,对其余的四个小孩进行排列:bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc;cbde,cbed,cdbe,cdeb,cebd,cedb;dbce,dbec,dcbe,dceb,debc,decb;ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.共有24种排列方法,其中满足题意的排列方法为:bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.故选B.13.30因为(2x-1)5的展开式中含x项的系数为21(-1)4=10 ,所以x+(2x-1)5的展开式的常数项为3×10=30.14.36从4名优秀学生中选出2名组成复合元素,共有种选法,再把3个元素(包含一个复合元素)保送到甲、乙、丙3所学校,有种方法.根据分步乘法计数原理知,不同的保送方案共有=36(种).15.3(2x-1)5= [(2x)5+…+(2x)(-1)4+(-1)5],∴展开式中的常数项为··2x=30,解得a=3,故答案为3.16.120由题意知,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有=20种情况,增播1个商业广告,利用插空法有3种情况,再在2个空中插入2个不同的公益宣传广告,共有2种情况.根据分步乘法计数原理知,共有20×3×2=120种播放顺序.。
2020高考数学新题分类汇编 计数原理(高考真题+模拟新题)
2020高考数学新题分类汇编计数原理（高考真题+模拟新题）课标理数12.J2[2020·北京卷] 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J2[2020·北京卷] 14 【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7.J2[2020·全国卷] 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种C．18种 D．20种大纲理数7.J2[2020·全国卷] B 【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B大纲文数9.J2[2020·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种C．30种 D．36种大纲文数9.J2[2020·全国卷] B 【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.课标理数15.J2[2020·湖北卷] 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示：图1－3由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)课标理数15.J2[2020·湖北卷] 21 43 【解析】 (1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12.J3[2020·安徽卷] 设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.课标理数12.J3[2020·安徽卷] 0 【解析】 a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝－C 1121＋C 1021＝0.大纲理数13.J3[2020·全国卷] (1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲理数13.J3[2020·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r20(－1)rx r2，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9的系数之差为0.大纲文数13.J3[2020·全国卷] (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲文数13.J3[2020·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r10(－1)r x r ，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与x 9的系数之差为0.课标理数6.J3[2020·福建卷] (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10课标理数6.J3[2020·福建卷] B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r5x r ，令r ＝2，则2r C r 5＝22C 25＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.课标理数10.J3[2020·广东卷] x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)课标理数10.J3[2020·广东卷] 84 【解析】 先求⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 7x 7－2r (－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2＝84.课标理数11.J3[2020·湖北卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标理数11.J3[2020·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标文数12.J3[2020·湖北卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标文数12.J3[2020·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标理数8.J3[2020·课标全国卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3[2020·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，所以原式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5－r ＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5.令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40. 课标理数14.J3[2020·山东卷] 若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．课标理数14.J3[2020·山东卷] 4 【解析】 T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6x 6－r (－1)r a r 2x －2r＝C r 6x6－3r(－1)ra r2，由6－3r ＝0，得r ＝2, 所以C 26a ＝60，所以a ＝4.课标理数4.J3[2020·陕西卷] (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20课标理数4.J3[2020·陕西卷] C 【解析】 由T r ＋1＝C r n a n －r b r可知所求的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝C r 6(－1)r (2x )12－3r ，要出现常数项，则r ＝4，则常数项为C 46(－1)4＝15，故选C.大纲文数13.J3[2020·四川卷] (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答大纲文数13.J3[2020·四川卷] 84 【解析】 本题主要考查二项展开式通项的应用. (x＋1)9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r ，所以x 3的系数是C 69＝9×8×73×2×1＝84.课标理数5.J3[2020·天津卷] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154 C ．－38 D.38课标理数5.J3[2020·天津卷] C 【解析】 由二项式展开式得，T r ＋1＝C r6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝()－1r 22r －6C r 6x 3－r，令r ＝1，则x 2的系数为()－1·22×1－6C 16＝－38.课标理数13.J3[2020·浙江卷] 设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．课标理数13.J3[2020·浙江卷] 2 【解析】 由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝()－a r C r6x 6－32r ，∴A ＝()－a 2C 26，B ＝()－a 4C 46.又∵B ＝4A ，∴()－a 4C 46＝4()－a 2C 26，解之得a 2＝4. 又∵a >0，∴a ＝2.大纲理数4.J3[2020·重庆卷] (1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9大纲理数4.J3[2020·重庆卷] B 【解析】 由题意可得C 5n 35＝C 6n 36，即C 5n ＝3C 6n ，即n ！5！n －5！＝3·n ！6！n －6！，解得n ＝7.故选B.大纲文数11.J3[2020·重庆卷] (1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．大纲文数11.J3[2020·重庆卷] 240 【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.[2020·绵阳三诊] 某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90[2020·安徽示范学校月考] 设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个[2020·四川树德中学模拟] (C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )A ．64B ．224C ．225D ．256[2020·汕头期末] 设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中含x 2项的系数是( ) A ．192 B ．182 C ．－192 D ．－182[2020·德州一中模拟] 为落实素质教育，山东省德州一中拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为__________．[2020·宁波八校联考] 将正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余的3个面的涂色方案共有__________种．[2020·宁波模拟] 若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于( )A ．－10B ．－5C ．5D ．10。
2020版高考理数：专题(11)计数原理ppt课件二
保送方法；
当5名学生分成3，1，1时，有
保送方法．
根据分类加法计数原理知，共有90＋60＝150(种)保送方法．故选C.
【答案】C
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考点二 排列与组合
方法3 排列与组合的综合问题的解法
9)从5双不同尺码的鞋子中，选取4只． (1)若选出的4只鞋子中，没有相同尺码的有________种； (2)若选出的4只鞋子中，只有2只是同双的，并且将这4只鞋子排成一 排，同双的排在一起，有________种不同的排法．
成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
对定义的理解，注意以下几点： (1)一定取出m个不同的元素(m≤n)． (2)这m个元素按一定的顺序排成一列，有顺序即与元素的位置有 关，不同的顺序为不同的排列． (3)两个排列相同的条件：①元素完全相同；②元素的排列顺序也 相同．相同的排列要与相同的集合区分开，相同的集合只是要求 元素相同，不要求顺序．
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考点二 排列与组合
1．排列与排列数
(2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Anm表示． Anm ＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)． 这里n，m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做排列数公式． (1)注意排列和排列数的不同：“一个排列”是指从n个不同的元素 中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列 数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的 个数，是一个数，所以符号 Anm 只表示排列数，而不表示具体的排 列． (2)排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面 一个因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数．
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷：(11)计数原理 Word版含答案
（11）计数原理1、为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男女至少各有一人,则不同的选法共有( ) A.140种B.70种C.35种D.84种2、有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A 不能停在第3道上,货车B 不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为( ) A.56B.63C.72D.783、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A.16 B.18 C.24D.324、大于3的正整数x 满足361818xx C C -=，x = ()A ．6B ．4C ．8D ．95、现有4中不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有( )A.24种B.30种C.36种D.48种6、34x ⎛ ⎝⎭的展开式中的常数项为( )A.-B C.6 D.－67、()5(1)12x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1608、二项式(1)()n x n N *+∈的展开式中2x 的系数为15，则n 等于( ) A. 4B. 5C. 6D. 79、若n 是正奇数，则112217 7 77n n n n nn n C C C ---+++⋯被9除的余数为（ ）A.2B.5C.7D.810、6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为（ ） A ．45- B ．15- C ．15D ．4511、用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有__________个.(用数字作答) 12 给图中六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有种颜色可供选择,则共有 种不同的染色方案.13、若22nx ⎛ ⎝的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n =_____________14、已知(4234012342+=++++x a a x a x a x a x ，则2202413()()++-+=a a a a a __________.15、已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++.1.求0a ；2.求12345a a a a a ++++；3.求135a a a ++答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：分两类:(1)2男1女,有2145C C 30⋅=种; (2)1男2女,有1245C C 40⋅=种,所以共有21124545C C C C 70⋅+⋅=种,故选B.2答案及解析： 答案：D解析：若没有限制,5列火车可以随便停,则有55A 种不同的停靠方法,若快车A 停在第3道上,则5列火车不间的停靠方法数为44A ;若货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为44A ;若快车A 停在第3道上,且货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为33A ,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为543543212048678A A A -+=-+=。
2020年高考数学(理)热点专练11 计数原理(解析版)
2020年高考数学（理） 热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解. 【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如 此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数. 【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2019·广西高三月考）()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+---++等式中，则1234+++a a a a =（ ） A ．81 B ．80 C ．65 D ．64【答案】B 【解析】【分析】分别令1x =，2x =代入原式，即可求出结果. 【详解】因为()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+---++ 令1x =，可得()4021-=a ，即01a =；令2x =，可得：()40123441++-=++a a a a a ，即0123481++++=a a a a a ， 所以1234+++81180=-=a a a a . 故选：B【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可，属于常考题型.2．（2019·广西柳州一中高三月考）()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，含2x 项系数是（） A ．-40 B ．-25C ．25D ．55【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x +中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=-，故选B .【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．（2019·湖南高二期中（理））9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A ．C 42⋅C 52 B ．C 42+C 43+C 44C ．C 42+C 52D ． C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50【答案】D 【解析】试题分析：有两件一等品的种数C 42C 52，有三件一等品的种数C 43C 51，有四件一等品的种数C 44C 50, 所以至少有两件一等品的种数是C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50，故选D ．考点：组合的应用．4．（2019·四川高三月考（理））()()42121x x x -++的展开式中含3x 的项的系数为（ ）A ．8-B ．6-C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】将二项式变形后得出()()()()()4244241112121x x x x x x xx =+-++++-+，得出其展开式通项为124442r r m m n n C x C x C x ++⋅-⋅+⋅，然后令123r m n =+=+=，求出r 、m 、n 的值，再代入展开式通项可得出展开式中含3x 项的系数.【详解】()()()()()()()442244421211211121x x x x x x x x x x x -++-++==+-+++Q ，其展开式通项为21244444422r r m m n n r r m m n n C x xC x x C x C x C x C x ++⋅-⋅+⋅=⋅-⋅+⋅，令123r m n =+=+=，得3r =，2m =，1n =，因此，展开式中含3x 的系数为321444246246C C C -+=-+⨯=，故选：D.【名师点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，一般先得出其展开式通项，根据x 的指数求出参数的值，代入计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.5．（2019·上海华师大二附中高三）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体 称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ） A ．12 B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【详解】当顶点为A时，三棱锥A﹣EHG，A﹣EFG，A﹣DCG，A﹣DHG，A﹣BCG，A﹣BFG，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B．6．（2019·山东高三月考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A、B、C、D、E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A．20B．15C．10D．5【答案】C【解析】正五边形ABCDE，考虑先固定A，第二步只能固定C或D，依次确定第三步和第四第五步，共两种顺序，同理先固定其他四个位置各两种，一共十种顺序.【详解】此题相当于在正五边形ABCDE中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A放第一个位置，第二步只能C或D，依次ACEBD或ADBEC两种；同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C【名师点睛】此题考查计数原理的应用，需要弄清完成一件事情是通过如何分类或分步完成，适当的情况下列举出部分基本情况对解题大有帮助.7．（2018·河南高考模拟（理））若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x+++L ()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++L 的值为（ ） A ．20172018 B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】分析：先由题意求得01a = ，再令12018x = ，可得2017122017201820182018a a a +++L 的值．详解：根据 ()201712018x -= 220170122017a a x a x a x +++L ()x R ∈，令0x = ，可得01a =． 再令12018x =，可得20172017121220172017101201820182018201820182018a a a a a a +++⋯+=++⋯+=-，故， 故选D ．8．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【名师点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．（2019·湖北高二期末）《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D 【解析】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.二、填空题10．若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则1245245a a a a --+-678678a a a +-=_______.（用数字作答）. 【答案】5368- 【解析】 【分析】对等式()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++两边同时求导得()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，和单独求出3a ，代入可得结果. 【详解】解：Q ()82301232x a a x a x a x +=++++4467845678a x a x a x a x a x ++++，∴()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，有()71234812234a a a a -+=-+-+56785678a a a a -+-，即1234234a a a a -+-+567856788a a a a -+-=.又553821792a C ==，故所求值为8179235368-⨯=-. 故答案为：5368- 【名师点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题11．（2019·北京高考模拟（理））2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了7种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展， 3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________. 【答案】18 【解析】 【详解】小王参加的是两种不同的活动，有2种活动既在上午开展、又在下午开展，（1）设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：1132C C ⨯＝6种方案； （2）设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，（a ）上午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：1122C C ⨯＝4种方案；（b ）下午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：1132C C ⨯＝6种方案；（c ）上下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：1121C C ⨯＝2种方案；所以，不同的安排方案有：6＋4＋6＋2＝18种. 【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理，分步乘法计数原理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．（2019·北京清华附中高考模拟（理））《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共14C =4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B 排在D 的前面，只需除以22A 即可， 【详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144． 【名师点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题． 13．（2019·山东高三月考）设2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L ，若12320182320182018a a a a a +++⋯+=()0a ≠，则实数a =________.【答案】2【解析】 【分析】将左右两边的函数分别求导，取1x =代入导函数得到答案. 【详解】2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L两边分别求导：201720171220182018(1)22018a ax a a a x x --=+++L取1x =201712201820182018(1)22018a a a a a a -+=-=++L2a =故答案为2 【名师点睛】本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键. 三、解答题14．（2019·天津实验中学高考模拟（理））（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有2936C =种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为22243210C C C ++=，概率为1053618P ==；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此X 的可能值为2,3,4，4X =，说明抽出的4个球都是红球，3X =，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，2X =说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求(2)P X =时，可用(2)(3)(4)1P X P X P X =+=+==来求．试题解析：（1）由题意22243229518C C C P C ++==； （2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===， 313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.15．（2019·河北阜平中学高二月考（理））(1)在(1＋x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【答案】（1）n ＝7（2）70x【解析】(1)由已知得2n C ＝5n C 得n ＝7.(2)由已知得0n C ＋2n C ＋4n C ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大项是T 4＋1＝48C44＝70x。
2020版高考理数：专题(11)计数原理ppt课件一
考点一 两个计数原理 2．明确事件需要“分类”还是“分步”
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是为了“完成一件 事”，完成这件事有若干类不同的方法，用分类加法计数原理；完成 这件事要依次完成若干个相互依存的步骤，用分布乘法计数原理；若 完成这件事既要分类，又要分步，则综合使用两个计数原理．
9
＝42.
【答案】A
10
考点一 两个计数原理 2．明确事件需要“分类”还是“分步”
3)3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球， 共有多少种放法？
【解】方法一(以小球为研究对象)：分三步来完成． 第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理得，共有放法种数N＝5×4×3＝60.
12
考点一 两个计数原理
考法例析 成就能力
考法1 分类加法计数原理的应用
1)[四川2015·6]用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位 数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【解析】方法一：按末位是0，2，4分为三类． 第一类：末位是0时，首位只能从4，5中选一个，有2×4×3×2＝48(个)； 第二类：末位是2时，首位只能从4，5中选一个，有2×4×3×2＝48(个)； 第三类：末位是4时，首位只能是5，有1×4×3×2＝24(个)． 则由分类加法计数原理可知共有48＋48＋24＝120(个)．
考点一 两个计数原理
2．分布乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共 有 N m1 m2 mn 种不同的方法．
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（11）计数原理
1、为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男女至少各有一人,则不同的选法共有( )
A.140种
B.70种
C.35种
D.84种
2、有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A 不能停在第3道上,货车B 不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为( )
A.56
B.63
C.72
D.78
3、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）
A.16
B.18
C.24
D.32
4、大于3的正整数x 满足361818x x C C -=，x = ( )
A ．6
B ．4
C ．8
D ．9
5、现有4中不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有
( )
A.24种
B.30种
C.36种
D.48种 6
、34x ⎛ ⎝
⎭的展开式中的常数项为( )
A.-
B C.6 D.－6
7、()5(1)12x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）
A ．100
B ．120
C ．140
D ．160 8、二项式(1)()n x n N *+∈的展开式中2x 的系数为15，则n 等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
9、若n 是正奇数，则112217 7 77n n n n n
n n C C C ---+++⋯被9除的余数为（ ）
A.2
B.5
C.7
D.8 10、6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式2x 的系数为（ ） A ．45- B ．15- C ．15 D ．45
11、用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有__________个.(用数字作答)
12 给图中六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有种颜色可供选择,则共有 种不同的染色方案.
13
、若22n
x ⎛ ⎝
的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n =_____________ 14、
已知(4234012342+=++++x a a x a x a x a x ，则2202413()()++-+=a a a a a __________. 15、已知52345012345(12)
x a a x a x a x a x a x -=+++++.
1.求0a ；
2.求12345a a a a a ++++；
3.求135a a a ++
答案以及解析
1答案及解析：
答案：B
解析：分两类:
(1)2男1女,有2145C C 30
⋅=种; (2)1男2女,有1245C C 40⋅=种,所以共有21124545C C C C 70
⋅+⋅=种,故选B.
2答案及解析：
答案：D
解析：若没有限制,5列火车可以随便停,则有55A 种不同的停靠方法,若快车A 停在第3道上,
则5列火车不间的停靠方法数为44A ;若货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数
为44A ;若快车A 停在第3道上,且货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为33A ,
故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为543543212048678A A A -+=-+=。
3答案及解析：
答案：C
解析：将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有3
3A =6
（种）排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4624⨯= （种）方法.
4答案及解析：
答案：A
解析：
5答案及解析：
答案：D
解析：如图，设需要涂色的四个部分依次分①②③④,对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法;对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法;对于区域③,与区域①②相邻,有除①②所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法；对于区域④，与区域②③相邻,有除②③所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法,则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种，故选D.
6答案及解析：答案：C
解析：
7答案及解析：答案：D
解析：
8答案及解析：答案：C
解析：
9答案及解析：答案：C
解析：
10答案及解析：答案：B
解析：
11答案及解析：答案：1080
解析：4134
54541080
A C C A
+=
12答案及解析：
答案： 96
解析： 先染
,有种染色方案.当颜色不同时,只有1种染色方案.当颜色相同时,①若颜色相同,则有2种染色方案;②若
颜色不相同,则只有1种染色方案.故不同的染色方案共有
(种).
13答案及解析：
答案：6
解析：
14答案及解析：
答案：1
解析：令1=x ，得
401234(2=++++a a a a a ； 令1=-x ，得
401234(2-+=-+-+a a a a a ；
因为22024130123402413
()()()()++-+=++++⋅++--a a a a a a a a a a a a a a a
444(2(2(1)1=+⋅-+=-=．
15答案及解析：
答案：1.在
5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++（）中，
令0x =可得01a =． 2.令1x =可得0123451a a a a a a +++++=-，
故123452a a a a a ++++=-
3.取1x =-，得50123453243a a a a a a -+-+-==，① 又0123451a a a a a a +++++=-，②
②-①得：1352244a a a ++=-（），
则135122a a a ++=-
解析：。