近世代数A卷

一.判断题:
1、平面P 的一个运动是平面P 的一个保距变换 （ T ）
2、群G 的所有子群的交与并均为其子群 （ T ）
3、有限群中每个元素的阶都是群的阶的因子 （ F ）
4、任何n 阶有限群都同n 次对称群n S 的一个子群同构 （ T ）
5、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的极大理想，则S ≠0 （ T ）
6、如果环R 的阶2≥R ，那么R 的单位元1≠0 （ F ）
7、模5剩余类环5Z 的特征为5 （ T ） 二.填空题
1、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A φ
2、设a G =为循环群，若∞=a ，则G 同构于 整数群Z
3、整数环Z 的全部理想为)(1,0R r r n n ∈≠的所有
4、在剩余类环12Z 中，零因子是 {2},{3},{4},{6},{8}.{9},{10} ，可逆元是 {1},{5},{7},{11}
5、有单位元的整环R 的一个元素p 叫做R 的一个素元，如果 P 既不是零元，也不是单位，并且P 只有平凡因子
6、在2，3+i ，2
π，3-e 中，3-e 是有理数域Q 上的代数元
7、幂零元：某个环R 的一个元素x 是一个幂零元，当且仅当存在一个正整数n ，使得n
x 等于加法中
的零元素。

三、单项选择题
1、设A 是实数集，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是（ C ）
A ．:f x
x 10 ； B. :f x x 2 ；
C. :f x x ；
D. :f x x -
2、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc
a x ==-,1
2，那么=x （ A ）
A ．11--a bc ； B.11--a c ； C.11--bc a ； D.ca b 1-
3、设{})132(),123(),23(),13(),12(),1(3=S ，则3S 中与元素（123）不能交换的元素的
个数是( C )个。

A ．1； B.2 ；
C.3 ；
D.4；
4、令22⨯F 为域F 上的2阶全阵环，设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=F b a b
a
I ,001，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=F b a b a I ,002，则 （ B ）。

A ．1I 是环22⨯F 的一个右理想； B. 1I 是环22⨯F 的一个左理想； C. 2I 是环22⨯F 的一个左理想； D. 2I 是环22⨯F 的一个理想 5、设R R f →:是环同态满射，那么下列错误的命题是（ D ） A ．R 的子环的象是R 的子环； B. R 的理想的象是R 的理想； C. R 的零元的象是R 的零元； D. R 的零因子的象是R 的零因子 四、解答题
2、找出12阶循环群a 的全部生成元和所有子群 解：生成元 11
7
5
1a
a
a
a
所有子群{e}.G
}
,{},,{},,,,{},,,,,{66
84
49
6
3
310
86422a e a
a a e a a a a e a a a a a a e a >=<>=<>=<>=<
3、求模7剩余类环{
}6
,5,4,3,2,1,07=
Z 上2次多项式 12
++x x 在7Z 内的所有根
解：设根为_
m ，则1，而_
___61=- ∴0)3)(2(_
_
=+-m m 即有
)
3)(2(7
_
_
+-m m ∴4,2_
=m ∴7Z 的所有根为_
4,2-
五、证明题 1、设=R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛Z ,b a b a
00
关于矩阵的加法和乘法构成一个环，=I ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛Z x x 000，证明：I 是R 的理想
证明：设R 的两个解，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00
1b a
R ，⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=0002b R ，R R R =+21 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=00
00
.1I R ∴I 是R 的右理想 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=0000
.2I R ∴I 是R 的左理想 ∴I 是R 的理想
2、在Gauss 整环[]i Z 中，如果∈α[]i Z ，且p =2
α
是素数，则α是[]i Z 的不可约元
解：设][i Z ∈β是α的任一因子，则][i Z ∈∃∀α使βγα=
∴ p ==222||||||γβα为素数 ∴ 1||1||2
2==γβ或
∴γβ或是单位 ∴的平凡因子是αβ ∴是不可约元α
3、设G 是群， K G ，H G ≤，（1）证明：K H H ；（2）利用群同态基本定
理证明：H
K H
K H
K
≅
证明： G H G K ≤, ∴G HK ≤ HK ek K ⊆= ， G HK x ≤∈∀ xk Kx =
HK K ， K H n ∈∀ H h ∈ 有 H h
h ∈-1
K h
h ∈-1
∴K H h
h ∈-1
∴H H K
令K
HK
H →:σ K k H h HK
hk ∈∈∈∀ )(h Kh HK K h Khk σε====
∴是满射σ H h ∈∀21,h )()(),(21212121h h kk Kh h Kh h h σσσ=== K H K x H x K Kx H x K x H x Ke =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{.σσγ
∴成立
4、设R 是阶大于1的环，R 只有平凡理想，证明：当R 有单位元且可换时，R 是一个域
证明： R 只有平凡理想 ∴R 除{0}， R 外无其他左理想 在R 任取元素0≠a 显然}|{R r ra Ra ∈=是R 的一个左理想
R 有单位元 0≠∈Ra Ra
a ∴R Ra = 方程 中有解在R R
b b ya )(∈=
∴R 内除环 R 可换 ∴R 是域
定理1. 假定G 与_
G 对于他们的乘法来说同态，那么_
G 也是一个群.
证明 _
G 显然适合群定义的条件Ⅰ. G 的乘法适合结合律，而G 与_
G 同态，由Ⅰ，8，定理1，_
G 的
乘法也适合结合律，所以_
G 适合群定义的条件Ⅱ.我们证明_
G 也适合Ⅳ，Ⅴ两条.
Ⅳ.G 有单位元e.在所给同态满射之下，e 有象_
e ：_
e e →
我们说，就是的一个左单位元.假定是的任意元，而是的一个逆象：_
a a →
那么_
_a e ea → 但a ea =
所以_
_
_a a e =
Ⅴ.假定_
a 是_
G 的任意元，a 是_a 的一个逆象：_
a a →
a 是群G 的元，a 有逆元1
-a
.我们把1
-a
的象叫做____1
-a
：____1
1
--→a
a
那么_____1
1
a a
a a --→
但_
1
e e a a
→=-
所以_
_____1
e a a
=-
这就是说，____1
-a 是_a 的左逆元，也就是_
a 的逆元.证完.。