贵州省习水县2016届高三数学下学期期中试题 理

贵州省习水县第一中学高三年级2015-2016学年度下学期期中考试数学（理科）试题★ 祝考试顺利 ★时间：150分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合2{|230}A x xx =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B = （ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(3,5)D ．(1,5)-2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S=+，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．2015D ．20166．若ln 2a=，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<7．2012年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地税的情况是 （ ） A ．甲多 B ．乙多 C ．甲乙一样多 D ．不能确定8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况， 四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了．（ ） A ．甲 丙 B ．乙 丁 C ．丙 丁 D ．乙 丙9．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．85 B ．75C ．65D ．4510．已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= （ ）A ．54- B ．35- C ．53 D ．5411．已知函数31()(0)3mg x x x m m x=+-+>是[1,)+∞上的增函数．当实数m 取最大值时，若存在点Q ，使得过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点Q 的坐标为 （ ）A ．(03)-，B ．(03)，C ．(02)-，D ．(02)， 12．已知R λ∈，函数1,0,()lg ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为 （ ）A ．2(0,)3B ．12(,)23C ．21(,)52D ．2(0,)5第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=6S _______．从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=95.0ˆ，则a =_________． 15．在ABC ∆中，︒=30A ，232BC ACAB =⋅，则ABC ∆的最大角的余弦值为 ．16．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为 ．三、解答题（70分）17．（本题10分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且sin cos 0a B b A +=． （1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积．18．（本题12分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。

某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． （1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,ξη分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X ．19．（本题12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A = ，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =．（1）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（2）若M 为棱C P 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角Q C M -B -大小为30，求Q M 的长．20．（本题12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），且（1-，）在椭圆C 上。

（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本题12分）已知函数2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且 （1）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 单调区间；（3）若存在[]1,21,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．22．（本题12分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F ．（1）判断BE 是否平分∠ABC ，并说明理由． （2）若AE=6，BE=8，求EF 的长．参考答案1．A【解析】试题分析：由已知{|13}A x x x =≤-≥或，{|13}R C A x x =-<<，{|014}{|15}B x x x x =<-<=<<，所以()(|13}R C A B x x =<< ，故选A ．考点：集合的运算． 2．D【解析】试题分析：命题“若220xy +=，则0x y ==”的否命题是“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”．故选D ．考点：四种命题． 3．B【解析】 试题分析：2cos 2sin 2iei =+，对应点为(cos 2,sin 2)，由于22ππ<<，因此cos 20,sin 20<>，点(cos 2,sin 2)在第二象限，故选B ．考点：复数的几何意义． 4．A【解析】试题分析：22553()log (1)log 1222f =-=<，所以23log 225331(())(log )2222222f f f ==-=-=-．故选A ．考点：分段函数． 5．B【解析】试题分析：由1(1)2n n n S na d -=+得201620151120152014()()12016201522S S a d a d -=+-+=，所以2d =，故选B ．考点：等差数列的前n 项和公式．6．D【解析】试题分析：111(cos )(cos cos 0)0442c x ππ=-=--=，12152b -==<，121ln 2ln 2a e =>=，所以a c b >>，故选D ． 考点：比较大小，定积分． 7．B【解析】试题分析：记甲、乙两企业的每年应缴税收分别构成数列{}n a 、{}n b ，则{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，110a b =>，331a b b =>，不妨设111a b ==，233(1)a b q q ==>，则34b q =，231433122a a q a a --=+=，2323443123122q q q b a q --+-=-=2(1)(21)02q q -+=>，所以44b a >，故选B ．考点：数列的应用． 8．D【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D ． 考点：合情推理． 9．C10．A 【解析】试题分析：由题意sin()2cos(πϕπ+-+，sin ϕ-，22sin 4sin cos 4cos 5ϕϕϕϕ-+=，所以224sin 4sin cos cos 0ϕϕϕϕ++=，所以2sin cos 0ϕϕ+=，cos 2sin ϕϕ=-，222sin cos sin 22sin cos sin cos ϕϕϕϕϕϕϕ==+222sin (2sin )4sin (2sin )5ϕϕϕϕ⋅-==-+-，故选A ．考点：三角函数的对称轴． 11．C 【解析】试题分析：22'()1m g x x x =+-，由题意1x ≥时，22'()10m g x x x=+-≥恒成立，所以22(1)m x x ≤+，而当1x ≥时，22(1)1(11)2x x +≥⨯+=，所以2m ≤，即m 的最大值为2．此时312()23g x x x x =+-+，由于函数312()()23h x g x x x x=+=++是奇函数，关于点(0,0)对称，所以函数()g x 的图象关于点(0,2)-对称，所以点Q 的坐标为(0,2)-．考点：函数的单调性，函数图象的对称性．【名师点晴】函数的单调性一般都是与导数联系在一起，()g x 在[1,)+∞上递增，等价于'()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立，由此可求得m 的取值范围，从而求得最大值，过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，由这里的任意性，只有一点符合要求，这点就是函数图象的对称中心，观察函数的表达式，本题通过构造奇函数以及图象平移可求得对称中心． 12．D 【解析】试题分析：函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在[1,0)-和(0,)+∞上递增，()f x 的图象如图所示，由于方程()g x m =最多只有两解，因此由题意()f n λ=有三解，所以01λ<<且三解123,,n n n 满足11n <-，210n -<<，31n >，11n λ=--，所以2()4141g x x x λλ=-++=--有两解，2(2)520x λ-=-+>，25λ<，所以205λ<<，故选D ．°1-11xyO考点：函数的零点，方程根的分布．【名师点晴】本题考查方程根的分布，难度很大．它是一个与复合函数有关的问题，解题方法与我们常规方法不一样，常规方法是求出函数(())f g x 的表达式，解方程(())f g x λ=或作出函数(())f g x 的图象，由数形结合方法得出结论，但本题(())f g x 的表达式很复杂，由于含有参数，几乎不能求出正确结果，因此我们从复合函数的角度来考虑，以简化方法．方程(())f g x λ=可以这样解，求出方程()f x λ=的解为0x ，再解方程0()g x x =即得，这样得到题中解法． 13．52【解析】试题分析：由等比数列前n 项和的性质知24264--S S S S S ，，，也成等比数列，所以6412-16S ，，成等比数列，故()264-16=12=144S ，解得6=52S ．考点：等比数列前n 项和公式．14．2.6 【解析】试题分析：散点图经过的中心点坐标为()(),=2,4.5x y ，代入回归直线方程a x y+=95.0ˆ可得2.6.a =考点：散点图与回归直线分析．【易错点晴】本题考查了散点图与回归分析，这类问题解得的一半思路是先画出散点图，看变量之间是否具备线性相关关系，若具备线性相关关系，再求回归直线方程，对于回归直线应用的易错点是代入其中某一数据对()(),1,2,3,i i x y i n = ，事实上，回归直线可能不经过任何一对观测值，但一定经过中心点(),x y ，所以应当把中心点的坐标代入给出的方程，从而求得a ．15．21-【解析】试题分析：由已知22cos 3cb A a =，即2bc =，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c =+-=+22b c =+-，解得b =或b =，若b =，则ac =，所以120B =︒，若b =，则b a =，所以120C =︒，因此最大角余弦值为12-．考点：数量积，余弦定理．【名师点晴】本题考查解三角形的知识，题中向量数量积是一个载体，我们只要根据数量积的定义把它转化三角形中的边角关系22cos 3cb A a =，由已知A ，应用余弦定理又得一个关系式，一般情况下两者联立可得三角形的三边的比例，再结合余弦定理可得最大角，本题中得出ABC ∆是等腰三角形，不需用余弦定理，就可得最大角为顶角120︒． 16．7254 【解析】试题分析：由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当2a <时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=．考点：周期数列．【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题． 17．（1）34A π=；（2）2=S ． 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，A R a sin 2=，B R b sin 2=，代入原式，整理为sin cos 0A A +=，再公共辅助角公式化简，根据(0,)A π∈，计算角A ；（2）因为知道A b a ,,代入余弦定理，2222cos a b c bc A =+-⋅，得到c ，最后代入面积公式1sin 2S bc A =，计算面积．试题解析：（1）在△ABC 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=， 即sin (sin cos )0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠所以sin cos 0A A +=)04A π+=，又因为(0,)A π∈，所以34A π=．（2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044(c c =+-⋅即2160c +-=，解得c =-或c =，又1sin 2S bc A =，所以1222S =⨯⨯=． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式． 18．（1）32=P ;（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1） 这4所以恰有一人去淘宝网购物即3143231⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C ;（2）首先分析⎩⎨⎧==40ηξ，⎩⎨⎧==31ηξ，⎩⎨⎧==22ηξ或⎩⎨⎧==13ηξ，⎩⎨⎧==04ηξ所以分，，，430=X ，分别对应事件计算其概率，列出分布列，计算期望．试题解析：（1）这4随机变量ξ 19．（1）详见解析；（2）772；（3）439． 【解析】试题分析：（1）根据面面垂直的性质定理得到⊥CD平面PAD ，又因为CD BQ //，所以⊥BQ 平面PAD ，而⊂BQ 平面PBQ ，所以面面垂直；（2）根据图像以Q 为原点建立空间直角坐标系，QP QB QA ,,分别为z y x ,,轴，将异面直线所成角转化为><=BM AP ,cos cos θ;（3）根据点C ，M ，P 三点共线，设QM 的坐标，然后求两个平面的法向量，解得λ，最后代入模试题解析：（1）证明：∵AD ∥BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． ∵∠ADC 90=︒， ∴∠AQB 90=︒，即QB ⊥AD ．又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）解：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ⊥AD ． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．如图2，以Q为原点建立空间直角坐标系，则(000)Q ，，，(100)A ，，，(00P ，，(00)B ，(10)C -，∵M 是PC的中点，∴12M ⎛- ⎝，∴1(102AP BM ⎛=-=-- ⎝ ，，，． 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ=|cos AP BM 〈〉 ，∴异面直线AP 与BM所成角的余弦值为． （3）解：由（Ⅱ）知平面BQC 的法向量为(001)n =，，，由C 、M 、P 三点共线得(1)QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤，从而有(1))QM λλ=--，又(00)QB = ，设平面MBQ 法向量为()m x y z =，，， 由00m QM m QB ⋅=⋅= 及可取10m λλ-⎫=⎪⎭ ，．∵二面角M −BQ −C 为30°，∴cos30||||n m n m ︒== ，∴14λ=，∴||QM=． 考点：1．面面垂直的判定；2．空间向量与立体几何．20．（1） 2212x y +=;（2） 在x 轴上存在点Q （54，0）使得716QA QB ⋅=- 恒成立．【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义椭圆上的点到两焦点的距离和等于a 2，计算2a ，再根据222c a b -=，计算椭圆的标准方程；（2）假设在x 轴上存在点()0,m Q ，使716QA QB ⋅=- 恒成立，那么分直线l 的斜率存在和不存在两种情况证明，当不存在时，会得到两点B A ,的坐标，计算出m 的值，当直线的斜率存在且为0时，将m 代入数量积的坐标表示成立，当斜率存在且不为0时，设直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同样将m 代入向量的数量积的坐标表示，成立即存在．试题解析：解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得2a =a =--3分∴2211b =-=，∴椭圆C 方程为2212x y +=．（2）假设在x 轴上存在点Q （m ，0），使得716QA QB ⋅=- 恒成立。