十字相乘法因式分解

2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 且（a、b符号）与p符号相同 ) 同号
x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)
x 2 14x 72 ( x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( ) 异号
5x
=(5x＋3)(x－4)
－4 x －20x＋3x=－17x
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
=（ t
__
4）（t
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将
x 6 x 16 分解因式
2
x 2 6 x 16
x 6x 16
2


x 8x 2
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
5
–2
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
分解因式 3x －10x源自文库3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2 2
2
－3
－1 －9x－x=－10x ＋3
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
x 4x 3
2
、
符号
=（ x
__ + 3）（x __ + 1） __ __ + 3 ）（ x __ 4）（y 1）
x 2x 3
2
=（ x
y 2 9 y 20
t 2 10t 56
=（ y
__ - 5） __ +14）
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
2
小结： 用十字相乘法把形如

5 3
x px q
2
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练：
将下列各式分解因式
x 5x 6
2
x x6
2
x 7 x 12
(1)要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两 个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数 p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x (2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况， 怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才 能确定采用哪种情况来进行因式分解.
即：x ＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x x a b ab
2
x 2 ax＋bx=(a＋b)x
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x －6x＋8 x 2 解：x －6x＋8 x =(x－2)(x－4)
2
－2 －4
2
小结： 用十字相乘法把形如
x 3 x 10
2
2
x px q 二次三项式分解因式 q ab, p a b
) ) 同号 异号
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
观察：p与a、b符号关
系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。
－4x－2x=－6x
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例 2：
2
步骤：
x
x

x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
7

②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
1
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
一个二次三项式
反过来，得
2 x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次 项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可 以进行如上的因式分解。
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
1
3
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
5 2
2 5
2 +6 5 15==11 17
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。