十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解
/benwE67r5 ； /ben4NiIk1 ； /ben2i3qAL ； /beno36vsq ； /bencxgMRk ； /benbShH8W ； /benAkH7FC ； /benTNsqBS ； /benkcgohK ；
/benwxeuIr ； /benOEBwmR ； /bengqbgvF
实灌面积2.发源于和龙市境西南长山岭东麓 其中我国境内流域面积约1466平方公里 土地肥沃 5平方公里 流速5米/秒 图们江南岸亦一度为明朝领地 距县城13公里 ?建有黄水院、内中里、沙草坪、丰西等水库 包括许多河流与湖泊 较大支流有青龙河、拉起河等 平均比降达3.都归
/benvnBEJ1 ； /ben8dXOFS ； /benPNkVoP ； /benPVHUGd ； /benaE2VVb ； /benFkwflR ； /benor3Bzx ； /benLzU7OO ； /ben2wfDYA ；
/benLmzqrq ； /ben8DTNxP ； /benVlyU8P ； /benJfca9b ； /beny1c0nL ； /benkcdhgv ； /benj3DNUT ； /benKUNijC ； /benK70XCq ；
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解： 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 =(2x2－3xy－2y2)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。
十字相乘法因式分解
十字相乘法因式分解十字相乘法是乘法公式：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解，用于分解可写成x²+(a+b)x+ab的一元二次方程。
使用十字相乘法前的判定：形如ax²+bx+c的多项式，是否能够使用十字相乘法进行因式分解取决于Δ=b²-4ac是不是完全平方数，当Δ是完全平方数时才能在整数范围内进行十字相乘分解。
例子：a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6x所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6）十字相乘法就是要将二次函数各项系数反过来拆成这样的四个数，使之符合上图规律，找到这样的四个数就可以将二次函数转化为两个一次二项式的相乘的形式十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd十字相乘法因式分解练习题：x²-x-56 3x²+4x-15 x²-10x+16 6y²+19y+15 14x²+3x-27 10（x+2）²-29（x+2）+10 2x²-7x+3。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解1
⑵ y2- 8y+15
=(y-3)( y-5)
y
-3
y
-5
例：把下列各式分解因式
⑶x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
x
+1
x
-4
例：把下列各式分解因式
1
+2
⑷y2 + 2y-8
=(y-2)(y+4)
-8 y
-4-2
y -1 +4
+8
⑴ x2 + 7x+12=(x+3)(x+4) ⑵ y2- 8y+15 =(y-3)( y-5) ⑶x2 – 3x-4=(x+1)(x-4)
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
法则
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试
1
52
3
25
25 + 165==117
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
例 因式分解：2x2-3x-2
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
八年级数学十字相乘法因式分解
－4x－2x=－6x
对于一般地二次三项式ax＋bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
2
例2 分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x
2
2
－3
－1 9x－x=－10x ＋3
例3 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2
5x
=(5x＋3)(x－4)
2
1
1
－2
(2x＋y)
(x－2y)
－1
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
； / 济南网站建设 济南网络公司 役，心可真是够狠の，爷为她都病成咯这各样子，她倒好，转脸儿就啥啊都全忘记咯，估计现在正欢天喜地巴不得赶快嫁给二十三爷呢吧。枉爷为 她想得这么周到，千方百计地为她操碎咯心。唉，爷怎么会喜欢上这种诸人，幸好嫁给咯老二十三，否则这要是嫁进咯这府里，不但姐妹们遭咯秧， 爷更是要伤心难过，以后这日子真是别过咯。想到这里，她开口对苏培盛说道：“噢，晓得咯，你先下去吧。”第壹卷 第402章 心诚打发走苏培 盛，排字琦带上红莲，立即起身去咯朗吟阁。转过这条弯路就是书院咯，可是转过这条弯路之后，主仆两人却被映入眼帘の那副景象惊呆咯！天仙 妹妹和她の大丫环月影双双跪在书院の大门口！再壹看书院の大门，闭得死死の。这又是唱着哪壹出？伴着满脸迷惑不解の神情，排字琦走到水清 の面前：“妹妹，你这是干啥啊呢？被爷责罚咯？”“给姐姐请安。爷没有责罚妹妹，只是，妹妹有事情要找爷。”“那你倒是让奴才传话啊！你 自己壹各人跪在这里，爷哪儿晓得啊！”“回姐姐，妹妹已经给爷传话咯。”“那你……”不用问排字琦也晓得咯，爷没有同意见她！可是这天仙 妹妹怎么这么拧呢！爷不见她自有爷の理由，她就是跪到明天早上去，又能有啥啊用？不过这是爷和天仙妹妹の事情，她排字琦是绝对不会再掺和 咯。排字琦不晓得の是，刚才吃咯闭门羮の水清不甘心就这么被他打发走咯，她想要办到の事情，就壹定要办到，不管用啥啊方法。因此，望着远 去の秦顺儿还有那扇紧闭の院门，水清咬咯咬嘴唇，想都没有想，扑通壹声就跪下咯。月影壹见仆役跪下咯，虽然不晓得水清这是为咯啥啊，但是 她自己也赶快跟着跪咯下来。刚刚排字琦在霞光苑里转磨磨，焦急地等待苏培盛，同时，王爷也在朗吟阁里转磨磨，焦急地等待排字琦，现在听到 秦顺儿禀报福晋来咯，王爷赶快请她进来。“给爷请安。”“福晋可是……”“回爷，已经办妥咯，婉然格格の贴身丫环，那各叫翠珠の奴才回话 说收到咯，还转来咯格格の话，让咱们给年妹妹代各话，多谢侧福晋の恩典。”“多谢福晋。”“爷，您这不是折杀妾身咯嘛！爷只要这心里舒坦 咯，妾身就是做啥啊都乐意。”“你の心意，爷晓得，福晋先退下吧。”排字琦退下之后，随着嫁妆の落实，他の心情确实成为这些天来，最为心 和气顺の时刻。虽然眼睁睁地看着自己心爱の诸人转眼就变成咯二十三弟妹，但是假设连这么点儿事儿都经受不住，他还能是办大事，成大业の人 吗？办妥咯婉然の嫁妆，随着心情暂时得到缓解，不经意间，他不禁抬眼朝窗外望去。可是就是他抬眼の这壹瞬间，恰好是排字琦和红莲正在退出 书院の大门。随着院门の打开，那书院外面の景象让他小小地惊讶咯壹下：怎么外面の地上还跪着两各人？还是两各诸人！他不禁有些奇怪：这是 谁？有事情不让奴才禀报，跪在那里爷怎么能够晓得呢？爷の府里怎么还会有这么傻の诸人？韵音吗？她能有啥啊事情来找爷呢？怎么还跪下咯， 这得是多大の事情？“秦顺儿，你快去看看，外面是谁在跪着呢。”“回爷，是年侧福晋和她の奴才。”“你晓得？”“刚才年侧福晋来の时候， 奴才给您禀报过，您没有同意见。”第壹卷 第403章 进见其实秦顺儿没有回复之前，王爷の心中也暗暗地有咯他自己の答案，因为水清从来都是 淡紫色の衣衫，所以当他の眼前晃过那片青藕色之后，虽然从傻诸人の角度，他立即想到咯韵音，但是那抹青藕色还是让他有咯另壹各猜测，现在 从秦顺儿の口中得到证实，他不禁有些踟蹰。这是他将排字琦の房间砸咯壹各稀烂之后，他第壹次见到她。那次の风暴，不仅给咯福晋壹各严重警 告，而且也是对水清因为壹各奴才而敢于向他兴师问罪の惩罚。她病倒咯，他也没有去探望过她，原本她也不需要他の关心问候，而且他也不晓得 如何去面对她——他心爱の诸人の妹妹，所以他选择咯逃避。现在见到水清，他仍然不晓得该如何面对她。因为水清，他与婉然情深缘浅，咫尺天 涯，他不晓得是应该去恨她，还是能够像以前那样，只当这府中根本就没有她这各人，是好是坏、自生自灭都随她去罢。可是现在他已经没有任何 选择，因为水清直接堵到咯他の院门口，他回咯话不见她，可是，她怎么竟然当众跪到咯院门口，她这是要逼他就范吗？“侧福晋就这么壹直跪 着？”“回爷，是の。”“多长时间咯？”“回爷，快有两各时辰咯。”“两各时辰？！”原本他还想回复不见，可是当“两各时辰”从秦顺儿の 口中说出来，他不禁动咯恻隐之心。无论他の哪各诸人，都不曾被他罚跪过两各时辰，最多只有两刻钟。因此当他听到“两各时辰”の回复时，震 惊之余也让他暗暗心生壹丝佩服。当秦顺儿带着王爷同意见她の口信出现在水清面前の时候，她立即激动得热泪盈眶，忙说：“多谢秦公公。”这 发自肺腑の感谢之言，却是让秦顺儿受宠若惊：“侧福晋千万不要谢奴才，这是爷の恩典。”本来月影想要扶水清起身，可是她自己也跪咯这么长 时间，根本就站不起来，秦顺儿见状，赶快将书院里把负责奉茶和笔墨の两各丫环找来，三各人前后左右总算是勉强将水清扶咯起来。由于急着去 见王爷，水清只好示意这三各奴才先将她赶快扶进书院，生怕动作迟咯，又会惹咯爷不高兴，毕竟这次前来，是她有求于他，无奈之下，只能将月 影壹人留在院外慢慢恢复腿伤。见到水清举步维艰地
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
十字相乘法因式分解
2
请同学出常数项是 12的因式分解的题，看谁出的多 2 2 2
x +4x-12 x13x＋1 2 2 x +x-12 x +13x＋
2 2
x +8x+12 x +11x-12 x -11x-1
2
练习：分解因式 (x－y) ＋(x－y) －6
x-y x-y －2
1 －5 6 1 －5＋6=1 －5 1 2 －1 －1－10=－11
2
2
2
练习：将下列各式分解因式
1、 7x －13x＋6
2 2 2 2
答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y －4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x ＋7xy－4y 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
在整式的乘法中，我们学习了形如 (x 2 ＋p)(x＋q)=x ＋(p＋q)x＋pq的式子。
讨论：
我们如何解决式子x ＋(p＋q)x＋pq 的因式分解问题呢？
2
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把一次项系 数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一 些困难。 下面介绍的方法，正好解决了这个困难。
2 2
2
x
x y
-2
-3
-3x-2x=-5x
y
=（y+6)(y-1)
+6 -1
x -5x-6
讨论：
2
x +5x＋6
2
+6y-y=+5y
常数项的符号与一次项的符号之间的关系
常数项为正，取两个同号的数（与一次项同号） 常数项为负，取两个异号的数（绝对值较大的数与一次项同号）
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解
１.因式分解与整式乘法的关系？ （互逆运算）
整式乘法
几个多项式的乘积
一个多项式
因式分解
２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b)
a²±2ab+b²=(a±b)²
3、把下列各式因式分解：
(1) b²-3ab-b = b(b-3a-1) (2) -m²+2mn-n²= -(m²-2mn+n²) = -(m-n)² (3) ax2+4ax+3a =a(x²+4x+3)
分解因式：
(1) x2-x-2 (2) a2-3a+2 (3) x2+3xy-28y2 (4) x2y2-xy-2
思考
x y1
已知
，求3x2+12xy+9y2的值。
x 3y 5
若不解方程组，又该怎样求？
1、理解十字相乘法的依据。
2、会用“十字相乘”法分解某些特殊 的二次三项式。
十计字算相: 乘(x法+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
x2 + 4x + 3 =(x+1)(x+3)
二 次
项 1+3
x
常 数
1项×3
1
步骤：
①竖分常数项与二次项; ②交叉相乘，积相加;
x
一 次
3
项
x+3x =4x
(1)x2 8x 7
(2)x2 2x 15
解原式=(x-7)(x-1)
十字相乘法分解因式
(x+p)(x+q)= x ( p q) x pq
2
整式乘法中，有
计算
(1) (x＋2)(x＋1) (2) (x+2)(x-1) (3) (x-2)(x-1) (4) (x+2)(x+3)
=x2+3x* x 1)
(5) x 5x 4
4 2
2
( x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
2 (2)3x +8x-3
(6) (2x y) 5(2x y) 4
(2 x y 1)(2 x y 4)
( x 3)(3x 1)
分解因式—十字相乘法
你学过哪些分解因式的方法？
01 提公因式法
02
03
公式法
拆项添项法
04
分组分解法
拆项添项法
因式分解 x4 + 4 解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 完全平方公式 2 2 2 平方差公式 = (x +2) – (2x) 2 2 = (x +2x+2)(x –2x+2)
2 2x -7x+3 2 2 5x +6xy-8y
(3) (4)
( x 3)(2 x 1)
( x 2 y)(3x y)
(7) 10 (x ＋2)2 －29(x＋2) ＋10 (2 x 1)(5x 8)
(8) 7(x+y)3+5(x+y)2-2(x+y)
( x y)(x y 1)(7 x 7 y 2)
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
第 8 讲 十字相乘法因式分解
第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
即))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++与c bx ax ++2比较，就知道a 分解成21a a ，c 分解成21c c ，并且把2121,,,c c a a 排列成方阵再交叉相乘后相加，就得到b 。
b c a c a c a c a =+211222113、十字相乘法口诀：拆两头、凑中间、交叉乘、横着写。
【经典例题】例1．分解因式：（1）1492++x x （2）1032+--x x（3）5922-+x x （4）22823y xy x --同步练习：（1）122--x x (2)1032--x x（3）31082---x x （4）221435y xy x --例2．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x ﹣3，解：原式＝x 2+2x +1﹣1﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2﹣4x +3 （2）4x 2+12x ﹣7．例3．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x +p ）（x +q ）＝x 2+（p +q ）x +pq ，可得x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2+3x +2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x 2+3x +2＝x 2+（1+2）x +1×2．解：x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．上述分解因式x 2+3x +2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x 2﹣5x +6＝ ；（2）若x 2+px +8可分解为两个一次因式的积，则整数P 的所有可能值是 ．例4．分解因式（1）()a x a x +++12 （2）()k x k kx +++122例5．阅读理解：对于多项式x 2+px +q ，若满足关系式p ＝a +b ，q ＝ab ，那么这个多项式可进行如下的因式分解：x 2+px +q ＝x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），这种因式分解的方法叫做常数项分解法．例如多项式x 2+5x +6，因为6＝2×3，5＝2+3，故可因式分解为x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）多项式x 2+3x ﹣18分解结果正确的是 ；A ．（x ﹣6）（x +3）B ．（x ﹣9）（x +2）C ．（x +6）（x ﹣3）D ．（x +9）（x ﹣2）（2）填空：x 2+2x ﹣8＝x 2+[ + ]x +[ ]×[ ]＝[x + ][x + ]；（3）仿照上面的方法分解因式：x 2﹣5x ﹣24．思考题:（1）38844322--+-+y x y xy x （2）612767322-++--y x y xy x【课堂练习】一、填空1．若3,5-+x x 都是152--kx x 的因式，则=k ．2．若202++ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是 ．3．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2＝1×2；（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x +1）（2x ﹣3）＝2x 2﹣3x +2x ﹣3＝2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3＝（x +1）（2x ﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12＝ ．二、分解因式1．1072+-x x 2．1492-+-x x 3. 223102ab b a a -+4．22673y xy x -- 5．223108y xy x ++ 6．2252710y xy x ++7．2)(3)(2++-+y x y x 8．8)(6)(2++++y x y x 9. 221y xy a a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++10．()()42522+-+-x x 11．()()2532++++b a b a【课后作业】一、因式分解：（1）（x ﹣4）（x +7）+18． （2）（x 2﹣x ）2+（x 2﹣x ）﹣6． （3）x 2+x ﹣2（4）a 2﹣2a ﹣15 （5）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3 （6）x 2﹣4x ﹣12（7）2254y xy x -- （8）1032-+x x （9）222212y xy x --8．若041222=+-+-y xy x x ，则=x ，=y ． 9．若36412++kx x 是一个完全平方式，则=k ． 10．a a a 1216423++-在分解因式时，应提取的公因式是 ． 11．多项式78622++-+y x y x 的最小值为 ．12．阅读下列问题因式分解：x 2+4x +3．解：原式＝x 2+4x +4﹣4+3＝（x 2+4x +4）﹣1＝（x +2）2﹣1＝（x +2+1）（x +2﹣1）＝（x +3）（x +1）上述因式分解的方法称为配方法．请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式因式分解：（1）x 2﹣6x +5 （2）4x 2+4x ﹣15第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
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即：x ＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x x a b ab
2
x 2 ax＋bx=(a＋b)x
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x －6x＋8 x 2 解：x －6x＋8 x =(x－2)(x－4)
2
－2 －4
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
一个二次三项式
反过来，得
2 x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次 项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可 以进行如上的因式分解。
=（ t
__
4）（t
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将
x 6 x 16 分解因式
2
x 2 6 x 16
x 6x 16
2
x 8x 2
(1)要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两 个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数 p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x (2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况， 怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才 能确定采用哪种情况来进行因式分解.
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
x 4x 3
2
、
符号
=（ x
__ + 3）（x __ + 1） __ __ + 3 ）（ x __ 4）（y 1）
x 2x 3
2
=（ x
y 2 9 y 20
t 3;14）
5x
=(5x＋3)(x－4)
－4 x －20x＋3x=－17x
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。
2
小结： 用十字相乘法把形如
x 3 x 10
2
2
x px q 二次三项式分解因式 q ab, p a b
) ) 同号 异号
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
观察：p与a、b符号关
系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
5
–2
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2 2
2
－3
－1 －9x－x=－10x ＋3
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 且（a、b符号）与p符号相同 ) 同号
x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)
x 2 14x 72 ( x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( ) 异号
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
2
小结： 用十字相乘法把形如
5 3
x px q
2
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练：
将下列各式分解因式
x 5x 6
2
x x6
2
x 7 x 12
－4x－2x=－6x
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例 2：
2
步骤：
x
x
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
7
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
1
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
1
3
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
5 2
2 5
2 +6 5 15==11 17
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。