云南师范大学数学学院
含参不等式解题的典型错误剖析
２０２３年９月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀含参不等式解题的典型错误剖析◉云南师范大学数学学院㊀张梦丽㊀赵㊀洁㊀孔德宏㊀㊀摘要:含参不等式能成立问题是高中数学的重点题型,也是难度较大的题型,学生在解题的过程中经常出现漏解和错解的情况．通过对学生的一个典型错解的反思,深入剖析错误的原因,及时矫正解题错误,并给出了改进教学的建议．关键词:能成立问题;错因分析;教学建议㊀㊀不等式是高中数学的重点内容之一,是学习数学和其他学科的重要工具．笔者有幸见习了一节关于不等式的高三复习课,从一道课堂习题的解答效果来看,近一半的学生无从下笔,极少数学生有了思路却也没有完全解对．本文在呈现不同解法的基础上,试图借助学生作答的典型错误去探寻学生错误形成的原因,并给出有针对性的教学建议,以期为数学教学提供些许帮助．１试题呈现与分析１．１试题呈现若存在非零实数x ,y ,使得不等式(６a －１)x ２－２x y ＋a y ２ȡ０成立,则实数a 的取值范围是(㊀㊀)．A．[０,＋ɕ)㊀㊀㊀B ．(－ɕ,－１３)ɣ(１２,＋ɕ)C ．－１３,＋ɕéëêê)D．１２,＋ɕéëêê)１．２试题分析本题以不等式知识为背景,综合考查数学学科的核心素养．这是一个二元含参不等式的 能成立 问题,对于变量多且变量之间的关系不清楚的不等式,我们常用的方法是 换元法 ,将 二元 转换为 一元 问题,降低难度后再求解．学生在处理这类问题时往往比较困难,常见的错因分析如下．１．３错因分析１．３．１核心素养太弱,导致失分严重对 存在 一词理解不清． ∃x ,y ,使得f (x ,y )ȡ０成立是存在性问题,也称 能成立 问题．能成立问题求参数的取值范围,最常用的求解方法是参变分离法,得到f (x )ȡa (或f (x )ɤa )的形式,求f (x )的最大值(或最小值)即可[１]．相对应地, ∀x ,y ,使得f (x ,y )ȡ０成立 则是 恒成立 问题．恒成立问题求参数的取值范围,可采取参变分离法㊁数形结合法等．在使用参变分离法时,不等式亦可转化为f (x )ȡa (或f (x )ɤa )的形式,此时求f (x )的最小值(或最大值)即可．此题中,要求出a 的取值范围,很多学生因为数学抽象㊁逻辑推理素养较弱,导致切入点和解题思路错误．此题可以把二元的x ,y 降为一元的t ,将不等式转化为熟悉的一元不等式之后,再利用二次函数的分类讨论法㊁导数法㊁主元法㊁主元配方法等来求a 的取值范围．只要具备一定的逻辑推理和数学运算能力,即可正确求解．１．３．２数学语言表达不规范,导致解题过程错误此题中,有解题思路的学生都是采用把二元x ,y 降成一元t 后再进行分类讨论．学生在分类讨论的过程中,常常因为算理不清㊁逻辑不明而不能正确解出每一个小类中的情况;亦或者是在求解过程中由于数学语言表达不规范而在移项㊁去括号时出现低级的符号错误．因此,学生的数学语言表达方式有待规范,逻辑推理能力有待加强．２试题解析不等式是高中数学的重要知识点,教学中为提高学生思维的灵活性,可围绕以下不同解答方法,启发学生思考,寻求多种解题思路．２．１分类讨论法利用分类讨论,将问题分解成几个能用不同形式解决的小问题,再将这些小问题一一加以解决,最后归纳概括各类解决的结果[２]．这个方法学生容易理解,在解答大题时易解出较简单的小类．解析:因为y ʂ０,所以(６a －１)(xy)２－２ x y＋a ȡ０．令t ＝x y ,则问题转化为 存在非零实数t ,使得(６a －１)t ２－２t ＋a ȡ０成立,求a 的取值范围 ．①当６a －１＞０,即a ＞１６时,显然存在非零实数t ,使得不等式(６a －１)t ２－２t ＋a ȡ０成立．②当６a －１＝０,即a ＝１６时,不等式变为－２t ＋１６ȡ０,显然存在非零实数t 使得此不等式成立．９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月上半月㊀㊀㊀③当６a －１＜０,即a ＜１６时,则结合Δ＝４－４a (６a －１)ȡ０,解得－１３ɤa ＜１６．综上,a ɪ－１３,＋ɕéëêê)．故选择答案:C ．２．２分离参数法分离参数后,可以利用导数来判断函数的增减性,找到函数的最值点;也可以利用基本不等式找到函数的最值．分离参数,可得a ȡx ２＋２x y６x ２＋y ２＝(x y)２＋２(x y)６(xy)２＋１．令t ＝x y,则a ȡt ２＋２t ６t ２＋１．令f (t )＝t ２＋２t６t ２＋１,则问题转化为 存在非零实数t ,使得a ȡf (t )成立,求f (t )的最小值 ．求f (t )的最小值的方法不唯一,以下采用求导的方法:对f (t )＝t ２＋２t ６t ２＋１求导,得f ᶄ(t )＝－１２t ２＋２t ＋２(６t ２＋１)２．由f ᶄ(t )＝０,可得t ＝－１３或t ＝１２,则f (t )在(－ɕ,－１３)和(１２,＋ɕ)上单调递减,在(－１３,１２)上单调递增．所以f (t )在t ＝－１３时取得极小值－１３,在t ＝１２时取得极大值１２．又因为当t 趋于＋ɕ时,f (t )的分子分母均为正,所以f (t )＞０,于是f (t )m i n ＝－１３,即a ɪ－１３,＋ɕéëêê)．２．３主元法主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个元为主元,将问题化归为该主元的函数㊁方程或不等式问题,其本质是函数与方程思想的应用．将x 看作主元,原不等式可变为(６a －１)x ２－２y x ＋a y ２ȡ０．①当６a －１ȡ０,即a ȡ１６时,显然存在x ,y 使得不等式(６a －１)x ２－２y x ＋a y ２ȡ０成立．②当６a －１＜０,即a ＜１６时,对应的二次函数开口向下,则Δ＝４y ２－４a (６a －１)y ２ȡ０．由于y ２ȡ０,则－２４a ２＋４a ＋４ȡ０,解得－１３ɤa ɤ１２．所以－１３ɤa ＜１６．综上可知,a 的取值范围为－１３,＋ɕéëêê)．２．４特殊化法本题是选择题,可以通过观察选项来选取a 的特殊值,利用排除选项的方法加以求解．特殊化法的优点在于做法简捷,易上手．当a ＝０时,不等式变为－x ２－２x y ȡ０．取x ＝－１,y ＝４,则－x ２－２x y ＝７＞０,可排除B ,D 选项．当a ＝－１６时,不等式变为－２x ２－２x y －１６y ２ȡ０．取x ＝１,y ＝－２,则－２x ２－２x y －１６y ２＝－２＋４－２３＝４３ȡ０,从而排除选项A ．故选择答案:C ．３教学建议通过上述分析,可以发现这道不等式题虽问法简洁但不少学生却无从下手的真正原因．笔者从数学能力㊁数学思维㊁语言表达三方面提出教学建议．３．１数学能力方面,注重学科核心素养的综合培养数学核心素养是学生适应社会终身发展的必备品格,数学核心素养的培养是一个由浅入深长期渗透的过程．对于含参不等式问题,应加强学生对 恒成立 和 能成立 的理解,同时强化对二者的辨别能力．在教学中要抓住数学问题的本质,提升学生 一题多解 多题归一 的能力,注意学科核心素养培养．３．２数学思维方面,注重思想方法的培养分类讨论实质上是局部与整体的相互转化,它体现了化整为零㊁积零为整的思想与归类整理的方法．教师在教学过程中应更加注重对学生思维的引导,引导学生从不同途径㊁多角度地考虑问题．３．３语言表达方面,合理选择解题策略,规范解题解决 恒成立 和 能成立 问题,常常需要借助不等式㊁函数㊁方程及导数等相关知识,利用多变的数学思维,根据不等式的特点合理选择解题策略,方可求得正确结果[３]．而数学语言的规范表达是学生稳拿高分的必杀技,高中生的书写状况和学生的成绩显著正相关,且呈正向影响[４]．教师在教学过程中应注重语言的连贯性㊁逻辑性㊁准确性,给学生良好的㊁正确的示范,避免学生造成 会而不对,对而不全 的状况．参考文献:[１]张志明．容易混淆的 恒成立 问题与 存在成立 问题[J ]．数学通报,２０１１,５０(５):５４Ｇ５５．[２]姬梁飞．分类讨论思想方法在数学解题中的应用[J ]．教学与管理,２０１８(２８):４０Ｇ４２．[３]孔祥士．例谈 含参数的单变量不等式恒成立问题 的解题策略[J ]．中学数学,２０１９(１５):５２Ｇ５３．[４]严必友,宁连华,赵静亚,高中学生数学书写状况的调查研究[J ]．数学教育学报,２０１９,２８(６):１０Ｇ１５．Z ０５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高等几何 - 云南师范大学数学学院
高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第九章：几何基础
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高等几何
高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第九章 几何基础之 9.5 几何公理体系的三个基本 问题
2
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数千年来，不论在思想领域的突破上， 在科学方法论的创建上，几何学总是扮演 着“开路先锋”的角色。 今天，几何学仍 然是一门方兴未艾、蓬勃发展的学科，在 整个数学体系中，几何等几何 高等几何 ──朱维宗
高等几何第九章 9.5完
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——题 记
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高等几何
提 纲
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9.5 几何公理体系的三个基本问题
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• 定义9.1 设一个公理体系具有两个模型∑ 和∑’ ，如果在的对象之间能建立这样的 一一对应，使得∑中的元素间的相互关系 或命题，总跟∑’中相应元素间的相互关 系或命题相对应，则称这两模型是同构的。 • 定义9.2 如果一个公理体系的各个模型是 同构的，这个公理体系就称为完备的。
名师工作室运行存在的问题及对策
· 58 ·2021年1月20日投稿网址： 名师工作室运行存在的问题及对策*孔德宏 李一凡（云南师范大学数学学院，昆明，650500）摘 要 课题组采用问卷调查法和访谈法，发现当前名师工作室的运行整体较为高效，但也存在区域差异难协调、管理制度不完善、考评制度不完善、外部保障不到位、研修活动不丰富等问题。
基于上述问题提出如下对策：转变观念，构建“成长共同体”；树立科研意识，提高科研能力；创设多样化研修活动，在实践中反思成长；重视“互联网+”，构造线上线下一体化平台；完善多级管理，兼顾制度与情感；建立科学的考评制度，明确考评标准。
关键词 名师工作室 教师教育 问题 对策教师教育是教育事业的工作母机，是提升教育质量的动力源泉。
教育部等五部门印发的《教师教育振兴行动计划（2018-2022年）》指出，要推进教师教育创新、协调、绿色、开放、共享发展，从源头上加强教师队伍建设，着力培养党和人民满意的师德高尚、业务精湛、结构合理、充满活力的教师队伍[1]。
作为提升教育质量、促进教师教育振兴的重要举措，名师工作室这种集教学、教研、培训于一体的专业发展共同体在全国得到蓬勃发展。
同时名师工作室运行中的问题也引起了教师教育研究者的广泛关注。
为研究云南省中小学名师工作室项目实施的有效性，课题组采用文献分析法及专家咨询法构建了3个考评工具。
在云南省8个市（州）共选取15个名师工作室（发达地区6个，偏远地区9个）为研究对象，回收问卷后整理得到有效问卷云南省中小学名师工作室年度考评表15份、成员对名师工作室满意度的调查问卷212份、云南省中小学名师工作室成员考评表211份。
调查结果（除满意度外得分以百分制计）显示，工作室考评平均分为92.78，成员对工作室的平均满意度为89%，成员自评平均分为85.10，工作室对成员考评的平均分为85.43。
因此，工作室与成员整体成绩较好，成员对工作室基本满意，工作室项目实施整体有效。
大学数学系排名
学校名称
1
浙江大学
2
北京大学
3
中国科学技术大学
4
武汉大学
5
复旦大学
6
清华大学
7
南京大学
8
山东大学
9
吉林大学
10
北京师范大学
11
南开大学
12
中山大学
13
华东师范大学
14
厦门大学
15
四川大学
16
首都师范大学
17
中南大学
18
西安交通大学
19
新疆大学
20
大连理工大学
21
北京航空航天大学
5.武汉大学6.中山大学7.山东大学
理工
1.清华大学2.上海交通大学3.华中科技大学4.中国科学技术大学
5.哈尔滨工业大学6.西安交通大学7.东南大学8.中南大学
9.天津大学10.同济大学
师范
1.北京师范大学2.华东师范大学3.华中师范大学4.南京师范大学
5.东北师范大学6.首都师范大学7.华南师范大学
4南开大学4（83.26）5（79.3）7（78.86）3（78.71）3（96.36）
5中山大学5（81.39）8（75.4）2（89.14）13（69.23）11（86.26）
6中国科学技术大学6（79.11）10（73.95）9（77.63）12（69.66）4（93.7）
7四川大学7（79.06）6（77.43）6（79.1）15（69.17）8（89.88）
中国大学数学系排名
名次学校名称整体水平学术队伍科学研究人才培养学术声誉
1北京大学1（100）1（100）1（100）1（100）1（100）
德艺双馨的知识守望者
德艺双馨的知识守望者——记中共党员、云南师范大学数学学院教授李玉华同志“我是一名共产党员，本本分分地做人，踏踏实实地做学问是我为人处事的信念”。
这就是一个共产党员对自己16载从教生涯，18年孜孜不倦工作的概括。
我的路上我的灯“理想和信念是一个人前进路上的航标，没有航标的指引，我们的工作就会迷失方向，甚至走向错误的道路。
”这是李玉华对理想信念的深入理解。
早在学生时代便加入了中国共产党的李玉华，于1989年开始了大学的执教生涯。
在日常的工作学习中，他注重理论的学习和思想的提高,对自己严格要求，每一次政治学习，都留下了他的身影和深刻真诚的发言，每一次思想汇报他都以学术研究的认真态度一笔一划地独立完成，而且总有自己独到的见解和体会。
有人对他说，像你这样把时间花在这些地方，还不如多花点时间写论文。
李玉华谈到,当前少数人急功近利，科研上不踏实，弄虚作假，难道根子不正是在于理想和信念缺失、一切为自我利益考虑上吗？一席话，说得大家心服口服。
正是坚定的理想和信念以及长期自觉的思想提高，使李玉华从一个普通的农家子弟，成长为一个在思想上不追名不逐利、业绩上先后获得两个博士后称号、工作上对学生认真负责的优秀的共产党员。
“心”是一把火李玉华出身于云南大理一个贫寒的白族家庭。
作为少数民族的一员，淳朴的乡情感染着他，他深知边疆建设需要他。
2002年正在中国科学院数学研究所从事博士后研究工作的他，与中国科学院杨乐院士有一段对话:‚你出站后是打算留在北京还是到上海工作？我给你推荐个好学校你看如何？‛李玉华回答说：‚杨老师，我是云南师范大学定向培养的学生，是要回去工作的‛。
面对诸多的优厚条件，他毅然决然地回到了长期关心他、爱护他的云南师范大学数学学院从事教学与科研工作。
他没有向学校提任何要求，与从外面引进的同类人员相比，尽管目前住房条件不佳，居住的房屋面积只有70平方米，过着俭朴的生活，但他没有任何怨言，一心一意为学校建设做工作。
多元函数条件极值问题
第24卷第2期2021年3月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 24 ,No. 2Mar. ,2021doi :10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 02. 024多元函数条件极值问题闵超，陈绍雄(云南师范大学数学学院,云南昆明650500)摘 要 本文对多元函数条件极值问题进行研究，讨论条件极值稳定点的4定方法，总结并证明条件极值问题中 一些最值存在=4断方法.关键词 条件极值；拉格KL 乘数法；黑塞矩阵；最值问题中图分类号 O172文献标识码 A 文章编号 1008 - 1399(2021)02 -0072 -04Conditional Extremums of Functions of Multi-variablesMIN Chao and CHEN Shaoxiong(Fcculty of Mathematics , Yunnan Normal University, Kunming 650500, China)Abstract The main purpose of this paper is to analyze the conditional extremum of functions of multi-vari ables and the criteria of the saddle points , and to summarize some of the methods for solving max/minproblems.Keywords conditional extremum , method of Lagrange multipliers , Hessian Matrix , max/min problems1量右,(2 ,，…,(m 建立拉格朗日函数：L(x 1 ,,・x ” , ( 1 ,,…,(m ) = f (1 ,,…,x ”)条件极值问题主要研究目标函数f (x 1 ,…,x =) 在m 个约束条件! (x 1，…,x ”)= 0,3 = 1，…,m 下的极值.在现有的教材中常见的方法为代入法和拉 格朗日乘数法.本文将围绕拉格朗日乘数法对条件 极值稳定点判定的方法进行讨论,并对条彳极值问题中最值存在的条件进行归纳和证明.2拉格朗日乘数法考虑函数f (x 1 , ■" , x ”)在m 个约束条件(x 1 ,…,x ”)= 0,3 = 1，…,m (m < ”)下的极值. f (1，…,x ”)对每个自变量x ,都存在二阶连续偏导数.对目标函数和m 个约束条件,引入m 个辅助变+ *( • (x 1 ,,…,x ”)3-1定理 1*1+ 若 f (1 ,,…,x ”)和! (x 1 ,,…,x ”)= 0 ,3 = 1,,…,在区域D 上存在一阶连续偏导,若在区域 D 上存在内点P o(x Q ,x Q ,,…,x 。
积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)
n n
x
解 利用中值定理,得
因为 f x sin x 在 n, n p上连续,由积分中值定理得
x
n p sin xdx sin p, n, n p
nx
当 n 时, ,而| sin | 1.
故
lim n p sin xdx = lim sin .p =0.
n n
x
例 7 求 lim 2 sin n xdx . n 0
解 若直接用中值定理
lim
2
sin n xdx
=
sin n
,
n 0
2
因为 0 而不能严格断定 sin n x 0 ,其症结在于没有排除,故采取下列措施 2
第 5 页 共 10 页
lim
n
2 sin n xdx =
0
2
sin
n
xdx
+
0
2
sin
n
xdx
.
2
其中 为任意小的正数.
对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有
lim
2
s
in
n
xdx
.
n 0
= lim sin n 0 , 0 .
n 2
2
2
而第二个积分
2
sin n
xdx
2
sin n
x dx
2
dx
=
,
2
2
2
由于 得任意性知其课任意小.
所以
lim
n
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱin n xdx =
b
a
f xdx
f
b a, a
b.
证明 由于 f x 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值 M 和最小值 m .由
数学模型之Matlab介绍
dx dt x, x(0) 1100 x z, t 2; d z z (0) 0 dt x 2 z, t 2
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例题2 设
%建立文件lianxi03.m function []=lianxi03() ts=0:0.2:10; z0=[2,0]; [t,z]=ode23(@fun,ts,z0); %显示t x y值 求t=0 0.2 0.4 …10 [t,z] 对应的x，y值,并 x=z(:,1); y=z(:,2); plot(t,x,'o-',t,y,'*-'); 绘t-x和t-y图. function u=fun(t,z) 分析： u=[0;0]; x 令： z= x=z1,y=z2 u(1)=z(2); y u(2)=(1-z(1)^2)*z(2)-z(1);
用法实例1:
x
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用法实例2: 设已有下列测量数据（ti，ni）
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n 7.38 6.73 6.62 6.14 6.11 5.97 5.98 5.9 5.64
求： A ni , B n , C ti n
2 i
2 i
t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9];
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5.基本初等数学函数
• • • • • asin(x)反正弦函数 acos(x)反余弦函数 atan(x)反正切函数 exp(x) e为底的指数 log10(x)常用对数
• • • • •
sin(x)正弦函数 cos(x)余弦函数 tan(x)正切函数 sqrt(x)平方根 log(x)自然对数
“不满一格算半格”引发的教学思考
教材研究“不满一格算半格”引发的教学思考黄旭，黄永明云南师范大学数学学院，云南昆明650500 M.M基于“平行四边形的面积”的公开课教研活动，通过呈现教研情境、对教研情境中提出的 “不满一格算半格”进行了思考，得出“不满一格算半格”的说法不合理，由此给出了“不满一格 算半格”的教学处理建议，最后明确了在数学教学中，教师应强化教学实践育人功能，充分发 掘数学学科的育人价值,并给出了两点建议。
关键词小学数学；数学教材；育人价值"平行四边形的面积"是人教版小学数学教材五年级上册的内容，在一次市教研活动公 开课中，执教老师采用教材中‘‘数方格”的方法来探索平行四边形的面积公式。
当面对"不 满一格"这个教学难点时，他按照教材中“不满一格的都按半格计算’’的规定解决了该问 题。
在课后的评课、议课环节，来自某师范大学的老师指出教材中的规定以及执教老师课 上的处理方式都有所欠妥。
但这一质疑引起了当场很多教师的激烈反对。
课后针对此次 公开课，有一些思考和见解，以供同行参考。
―、教研情境呈现(一）课堂再现教研活动中，执教老师以如下教学活动引入平行四边形的面积公式：老师:孩子们，今天让我们一起来走进图形的世界，请看情境图，你发现了哪些图形？学生甲：我看见了长方形，平行四边形，三角形，梯形，圆形还有正方形。
老师：真不错，你会计算图中哪些图形的面积？学生甲：正方形和长方形。
老师：那平行四边形的面积呢？学生：……老师：如何计算平行四边形的面积？这就是我们本节课要研究的内容。
回想一下，我 们在探究长方形面积的时候用的是什么方法？提示一下，是我们在三年级时学过的一种方作者简介：黄旭（1996-),男，云南曲靖人，云南师范大学数学学院研究生。
研究方向：数学教育；黄永明 (1%丨-)，男，云南普洱人,云南师范大学数学学院教授，大学本科。
研究方向：数学教育、教师教育。
19中小学表学研fc2019.1法。
高中数学教材习题与课程标准的一致性分析探究——以“数列”为例
-060-2020年第28期（总第228期）教学案例JIAOXUE ANLI引 言学业评价和课程标准的一致性研究是在美国最先兴起的。
学业评价和课程标准如果有良好的契合度，就能够更好地指导教师教学，更好地保证学业评价指向学习内容。
在《新课标》的指导下，学业评价与课程标准的契合度引起了教育界学者的重度关注。
国外有很多著作都是关于一致性的研究，其中不乏用韦伯模式、SEC 模式来研究教学评价与课程标准的一致性，而国内运用Achieve 模式来分析教学评价与课程标准的一致性的研究则少之又少[1]。
因此，受杨玉琴、张新宇、占小红等学者的启示，笔者运用Achieve 模式来分析高中数学人教版必修五“数列”这一章节的课后习题和课程标准的一致性。
一、研究方法与过程Achieve 模式也被称为成功分析模式，是由美国的非营利组织的罗伯特和斯莱特发明的，相对于其他模式，Achieve 模式分析的维度更多，结果更加综合，显示的数据更加微观。
Achieve 模式主要从向心性、挑战性、均衡性三个层面进行研究分析（见图1）。
图1 Achieve 模式1.向心性这一层面主要关注的是评价项目与课程标准在知识技能和认知要求上的匹配度。
向心性一般分为三个等级：完全一致、部分一致、完全不一致，其包括内容向心性和表现向心性两个方面。
内容向心性是指课程标准中学习目标的知识内容和习题考查的内容是否具有一致性，并根据题目与课程标准的紧密程度判定等级；表现向心性又被称为认知向心性，是指课程标准中的学习目标的认知要求与习题内容的一致性，并根据题目中体现的认知要求判定评定等级[2]。
本单元的内容包括数列概念、等差数列、等比数列、数学归纳法等，将其与习题内容对比，得出相应的等级判断（见表1）。
表1 课后习题内容与课程标准的向心性的一致程度知识领域数列概念等差数列等比数列数学归纳法习题内容部分一致完全一致完全一致完全一致认知要求完全一致完全一致完全一致部分一致例如，“数列概念”这一知识中，课后习题内容与课程标准的向心性的一致性分析：课程标准要求：通过日常生活和数学实例，了解“数列”的概念和表示方法（列表，图像，通项公式），了解“数列”是一个特殊的函数。
梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
２．２ 利用平行线分线段成比例定理进行证明
平行线分线段成比例定理是研究相似形和比例
关系的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接
判定线段成比例，另一方面，当不能直接证实要证的
比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”
成另两条线段的比．
证 明：过 点 Ｃ作 ＣＧ
∥ＤＦ交 ＡＢ于 Ｇ，如图，则
ＣＥＥＡ＝ＧＦＦＡ，ＢＤＤＣ＝ＢＧＦＦ，
则易得ＢＣＮＰ＝ＢＤＤＣ，
故ＦＡＦＢ·ＢＤＤＣ·ＣＥＥＡ＝ＢＡＱＮ·ＢＣＮＰ·ＣＡＱＰ＝１．
２．１ 运用相似三角形的知识进行证明
由于梅涅劳斯定理涉及到比例关系，而且还是
针对于三角形，故我们想到九年级数学的相似三角
形相关知识，通过作辅助线，创造出可以利用相似三
角形知识的条件，然后一一分析作答．
证 明：（法平 行 线 交
ＤＦ的延长线于 Ｇ，则 ∠Ｇ＝
∠Ｄ，∠ＢＡＧ ＝ ∠Ｂ．因 此
△ＡＦＧ∽△ＢＦＤ．
从而ＦＡＦＢ＝ＢＡＧＤ．又因为∠ＡＥＧ＝∠ＣＥＤ，
所以△ＡＥＧ∽△ＣＥＤ．故ＣＥＥＡ＝ＣＡＧＤ．
从而ＢＤＤＣ·ＣＥＥＡ·ＦＡＥＢ＝ＢＤＤＣ·ＣＡＧＤ·ＢＡＧＤ＝１．
因此结论成立．
那么ｓｉｎｓ∠ｉｎＣＤＥＤ＝ＣＣＤＥ，ｓｓｉｉｎ ｎ∠ ∠Ａ ＡＥ ＦＦ Ｅ＝Ａ ＥＦＡ，ｓｉｎｓ∠ｉｎＢＤＦＤ＝ＢＦＤＢ．
∵∠ＣＥＤ＝∠ＡＦＥ，∠ＢＦＤ＝１８０°－∠ＡＦＥ，
∴ｓｉｎ∠ＢＦＤ＝ｓｉｎ∠ＡＦＥ，ｓｉｎ∠ＣＥＤ＝ｓｉｎ∠ＡＥＦ，
故ｓｉｎｓ∠ｉｎＣＤＥＤ·
ｓｓｉｉｎｎ∠∠ＡＡＥ ＦＦ Ｅ·
《数学之友》 ２０２０年第 ２０期
梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
屋檐之上的数学密码
数学
计形式。
与西方建筑中笔直的直线坡屋顶、向上隆起的穹顶不同，中国古代建筑的凹曲屋面具有柔和的曲线美，杉树理论认为，古人崇尚自然之美，
凹曲屋面是对杉
树外形的模仿；功
能说认为，凹曲屋▶ 陕西历史博物馆
2024 10FEB.
▶ 向下凹陷的帐篷顶
▶ 北京故宫太和殿屋面曲线与存在黏滞阻力的最速降线的对比 同样的条件下，右边的小球比左边的小球更快到达终点起点
起点
终点
终点
▶ 向上翘的杉树树枝
面可将雨水远泄，向上弯折的屋檐可以满足采光需求……
先秦时期的科技著作《考工记》
中记载：“上尊而宇卑，则吐水疾而
溜远。
”意思就是，凹曲屋面的这种造型，可以让屋顶排水达到既快又远的效果。
由此可知，把建筑屋面设计成凹曲的形状，是古人在不断
实践中得出的最优设计。
最速降线
那么，为什么凹曲屋面可以让
水快速排出呢？意大利物理学家伽
利略曾做过一个实验给定起点和终点的斜面上运动时，沿下凹曲线滚落的小球，滚下的小球更快到达终点线，便被称为最速降线坡度不同时，小球先到达终点有一条最速降线在伽利略的研究中，他并没有。
云师大基础数学研究生
云师大基础数学研究生
云南师范大学基础数学专业研究生，是指在云南师范大学攻读基础数学研究方向的硕士或博士研究生。
基础数学涉及数理逻辑、代数学、几何学、数论等数学领域的基本理论和方法。
研究生在该专业中主要学习数学的高深理论与方法，掌握高级数学知识，并进行数学研究与创新。
在云南师范大学攻读基础数学研究生可以深入学习基础数学的前沿理论与发展动态，培养自主研究能力和创新能力，并为将来从事教学、科研以及相关数学领域工作做好准备。
高中数学人教A版新旧教材中教材旁白的比较研究——以“三角函数”为例
22中学数学研究2021年第2期（下）高中数学人教A版新旧教材中教材旁白的比较研究——以“三角函数”为例云南师范大学数学学院（650500）黄永明叶丹何恩荣摘要教师的教与学生的学都离不开教材，而旁白作为教材的组成部分之一，发挥着重要的教学价值.在《普通高中数学课程标准（2017年版）》的指导下,人民教育岀版社编制印发了新版高中数学教科书，对旧版教科书加以改进.因此,本文以人教A版新旧两版教材中的“三角函数”为例,从四个维度对其教材旁白进行对比分析，并结合分析结果提岀合理的教学建议.关键词高中数学;教材旁白；三角函数；比较研究1前言旁白是指戏剧角色背着台上其他剧中人对观众说的话,也指影视片中的解说词，往往具有传递丰富信息、表达特定情感、启发观众思考的作用，但本文中所说的教材旁白是指教材中除正文以外的课本上的非正文内容，是对正文内容的注释或补充，包含思考、探究、观察、归纳等诸多栏目，位于教材中的正文上方、中间、下方或左右两边，具有丰富的教学价值,是教师进行备课的重要资源，是学生学习的重要指导材料.但在实际教学中，多数教师对教学旁白的重视度不够，难以体现旁白的教学价值，因此，可以通过对不同版本数学教材中的旁白进行比较研究，提高教师对旁白的关注度，促进教师对旁白的开发利用.“三角函数”岀现在两版教材中的必修模块，是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求,也是高考的内容要求，是学生必须学习的内容，作为教师要引导学生通过必修模块知识的学习，为学生发展提供共同基础，应对并通过数学学业水平考试，在基础上，通过选修模块知识的学习，满足学生的兴趣、爱好，促进学生的个性发展.基于“三角函数”在高中数学学习中的重要地位，就这一内容对不同版本教材中的旁白进行比较研究，可以促进师生对三角函数的“教”与“学”.2研究对象介绍本文选取人民教育岀版社在2004年和2019年岀版的高中数学教科书（均是人教A版）进行比较研究，其中2004年岀版的高中数学教科书（以下简称旧教材）是在《普通高中数学课程标准（实验稿）》的指导下进行编写的,2019年岀版的高中数学教科书（以下简称新教材）是在《普通高中数学课程标准（2017年版）》的指导下进行编写的;另外，就“三角函数”这一内容来说，新旧两版教材中的编写是不一样的，比如编排顺序、呈现方式、例题难度等，因此本文以新教材的第一册第五章“三角函数”中的旁白与旧教材的必修4第一章“三角函数”及第三章“三角恒等变换”的旁白为具体的研究对象,具体内容见表1.表1新旧教材“三角函数”内容分布表新教材旧教材章名称第五章第一章第三章三角函数三角函数三角恒等变换5.1任意角与弧度制 1.1任意角与弧度制 3.1两角和与差5.2三角函数的概念 1.2任意角的三角函数的正弦、余5.3诱导公式 1.3三角函数的诱导公式弦和正切公式节名称 5.4三角函数的图象与性质5.5三角恒等变换5.6函数y=A sin（3x十卩）5.7三角函数的应用1.4三角函数的图象与性质1.5函数y=A sin（3x十卩）的图象1.6三角函数模型的简单应用3.2简单的三角恒等变换3高中数学新旧两版教材中教材旁白的比较经查阅文献,发现在已有的对教材旁白的比较研究中,各研究者有着不同的比较思路.莫冬梅构建了一个教科书旁白的分析框架，即整体和部分分析、旁白类型分析、旁白视觉效果分析、旁白难度分析、旁白密度分析，并从这五个维度对人教版和湘教版的12本初中数学教科书的旁白进行比较研究;李保臻从密度分布、类型分析、呈现方式三个维度对三个准》的核心素养、高考数学学科素养及高考评价体系的学科素养,有效开展主题教学.通过课堂教学改革积极回应高考评价体系倡导的“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的评价理念.参考文献[1]任子朝，赵轩.基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J].中国考试,2019（12）:27-32.[2]柯跃海.高考数学试题情境的创设实践[J].中国考试，2020（06）:1-9.[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社,2018.2021年第2期(下)中学数学研究23版本高中数学教材中“统计"与"概率"两章的旁白进行对比分析，具体见图1;杨霞从两个大的方面，即宏观与微观(案例分析),再结合具体的分析维度进行对比研究，具体见图2;丁晓兰和徐洁都是对教材整体内容的比较，因此对旁白的比较只是点到为止，对比得不细致,主要从旁白数量和类型两个方面进行了比较.人教A版北萍版苏教版I I I'--------------►tt.it*---------------1f[密应介*类型孙析■!现才X图1三维度旁白比较但仔细分析后发现,在从旁白密度这一维度进行对比分析时，已对旁白数量进行过统计，其分析结果可以体现岀数量这一维度；就旁白难度这一维度，已有文献中是利用鲍建生构建的综合难度模型进行旁白难度的比较分析，而这个模型主要是用来对习题难度进行研究的，故对旁白不太适用.基于以上分析，本文将从旁白表现形式、旁白功能、旁白密度三个维度对新旧两版教材中的旁白进行对比分析.图2旁白的宏观微观对比3.1旁白表现形式分析表2新旧教材“三角函数”旁白表现形式对比分析表教材旁白数量旁白标题(识)旁白表现形式形状与颜色位置无特殊标记(23)蓝色边框的卡片教材正文右侧问号标识(10)带问号图标褐色边框矩形定理、例题证明旁新探究(22)绿色矩形穿插于教材正文中教思考(17)黄褐色矩形穿插于教材正文中材归纳(1)紫色矩形框穿插于教材正文中阅读与思考、探究与发现、蓝色矩形节末、章末信息技术应用(6)无特殊标记(15)淡紫色矩形框教材正文右侧钥匙标识(12)带钥匙图标的紫色矩形教材正文右侧【口问号标识(13)带问号图标的紫色矩形定理、例题证明旁旧探究(13)灰色矩形框穿插于教材正文中教76思考(17)紫色矩形框穿插于教材正文中材阅读与思考、探究与发现、紫色边框的矩形节末、章末信息技术应用(6)教材旁白是辅助教师教学的资源之一，考虑到分类的适用性与可操作性,将教材中的旁白标题作为划分标准，对比分析旁白表现形式.从表现形式上来说,旁白异于正文内容,两个版本的教材都通过标题、颜色和形状来突岀和区分，以引起教师和学生的注意,根据教材旁白的表现形式对新旧版本旁白分类统计，结果见表2.由表2可知“三角函数”一章新旧教材的旁白数量无明显差异，对比分析旁白的表现形式，从旁白标题(识)看，新教材增加了归纳类旁白，删除了带有钥匙标识的旁白，实则将其归入新教材中无特殊标识类旁白；新教材每个类型的旁白颜色分明，旧教材与必修4课本紫色保持整体一致;新教材从旁白标题颜色上将不同类型旁白的区分得更加明显，便于教师区分使用.从数量上看新教材增加了探究类旁白的数量，探究类旁白是以问题解决为导向，使学生在问题解决的过程中经历数学知识的发生发展，提升学生的核心素养；此变化与数学课程改革的理念契合.而旁白在教材中分布的位置与其所承载的教育教学功能有关，无标识类旁白位于教材正文的右侧，主要起到补充解释相关正文内容的作用；在定理、例题推理过程旁的旁白,旨在深究逻辑推理过程中的某一步骤,可借助其培养学生的逻辑推理素养;穿插于在教材正文中的探究与思考类旁白,发挥着承上启下、推进教学进程、提炼思想方法的重要作用,通过探究与思考主要发展学生的数学抽象素养;分布在节末与章末的教材旁白数量较少，阅读与思考主要是数学文化的渗透，探究与发现主要将某些定理公式结论一般化,方便学生记忆.3.2旁白功能对比分析不同的旁白有着不同的功能，在教学过程中都发挥着至关重要的作用，在对旁白功能研究的过程中，我们发现不同标题(识)的旁白对教师的教学具有不同的辅助功能，因此本文以旁白标题(识)为划分标准，分析各种旁白的功能.现结合新旧教材中的旁白标题(识),总结旁白功能，结果见表3.由表3可知,不同类型的旁白发挥着不同的教育功能.在对不同标识的旁白功能进行分析及举例后,本文参考李保臻对教材旁白的功能分类方法,将教材旁白按其功能进行分类统计，分为补充说明、课外拓展、信息技术建议、提岀问题、点拨提示、名词解释和归纳总结共7类，对新旧教材旁白功能类型进行统计分析(括号后面的小数表示该版本教材中相应类型旁白数量与该教材中旁白总数的比值,结果保留两位有效数字)，结果见表4.由表4可知新旧教材“三角函数”章节每种功能的旁白占比大致相同，有明显区别的是新教材降低了点拨提示类旁24中学数学研究2021年第2期（下）白的比例,增加了问题提岀类的旁白，在思维转折处及时点拨确实可以使学生发散思维，培养学生思维的深刻性，但过多的浅显的点拨提示会阻碍学生的思考，久而久之易使学生过度依赖提示点拨,因此新教材删减了部分点拨提示类旁白;新旧教材中提岀问题类的旁白占比最高，也体现了问题导向的数学学习，总的来说,每一种变化都指向数学学科核心素养的培养.表3新旧教材“三角函数"旁白功能分析______________旁白标题（识）___________________________功能分析__________________________主要对正文中内容进行补充说明，同时也涉及其他六类,是综合无特殊标识类旁白例：为简单起见，“角a”或“Za”，可以简记为“a”主要以提出问题，问题主要针对逻辑推理过程中某一步骤进行补、口+_、充提问；、点拨提示为主，同时也对教材中示范的推理进行举一反问号标识三的提示例1：你能说说这一步的理由吗？例2:据此你能如何证明公式六？主要以提出问题为主，由探究问题引出新知，明确重难点，辨析易旷宀错点,推进课堂进度，问题解决结论一般为本节课的重难点探究例：如果已知任意角a,0的正弦、余弦，能由此推出a+0,a—0的正弦、余弦吗？主要以提出问题为主，问题主要是对基本活动经验、基本思想方思考法的提炼例：确定正弦函数的图像形状时，应该抓住哪些关键点？主要课外拓展，介绍相关知识的起源与应用，渗透数学史和数学阅读与思考 文化教育例：三角学与天文学「宀-4E主要是归纳总结，将结论一般化,便于学生记忆和使用探究与发现例：函数y=A sin（3x+卩）及函数y=A cos（qx+卩）的周期宀百卄上-宀中主要是信息技术建议，加强信息技术与数学的联系信息技术与应用例：利用信息技术制作三角函数表主要是归纳总结知识与方法，理清知识之间的逻辑关系归纳例：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系,请你进行归纳总结主要是对相应的数学知识进行解释说明钥匙标识例：单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具,借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质表4新旧教材“三角函数”旁白功能类型对比分析表类型补充说明课外拓展信息技术建议提出问题点拨提示名词解释归纳总结新教材10(0.13)5(0.06)4(0.05)48(0.62)6(0.08)1(0.01)4(0.05)旧教材9(0.12)3(0.04)4(0.05)41(0.54)12(0.16)1(0.01)6(0.08)3.3旁白密度对比分析旁白密度是指在特定版本的教材中，每册教材每章每节含有的旁白数量与该册教材所选取章含有的节数之比，计算公式为d i=竺,其中d i为该册教材选取章中第i节的旁白密度,n为该册教材选取章中第i节含有的旁白数量,m i为选取章中含有的旁白数量总数.但由于两个版本章节设置不同,新教材“三角函数”一章共7节，旧教材分为“三角函数”、“三角恒等变换”两章，共8节,本文根据教学内容将两本教材统一为7节，旧教材“3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式”与“3.2简单的三角恒等变换”合并为一节“三角恒等变换”，其余不变.根据章节旁白密度公式，“三角函数”章节旁白密度统计如下（结果保留两位有效数字）:表5新旧教材“三角函数”旁白密度分布表节序号第1节第2节第3节第4节第5节第6节第7节新教材密度0.090.100.100.260.260.130.08旧教材密度0.130.130.070.250.320.070.04由上表可知两版教材三角函数一章旁白密度大致相同,其中“第5节三角恒等变换”的旁白密度最大，由此可知旁白密度与教学任务成正比,利用旁白辅助教学帮助学生攻克重难点;新教材前三节的旁白密度小于旧教材,而后两节的旁白密度大于旧教材，其中前三节是概念课和定理课,后两节主要是数学模型与三角函数的应用，新教材的旁白使得数学的应用领域得到了拓展.4反思4.1关注教材旁白的教学价值，发展学生核心素养数学核心素养是《普通高中数学课程标准（2017年版）》中新提岀的内容,是高中数学课程目标的集中体现,而教师作为贯彻落实核心素养的主体，要本着促进学生发展的原则,落实好立德树人的根本任务，提升学生的核心素养.因此，教师不应该让教材旁白形同虚设，要研读并有效运用旁白，找到各类旁白与数学核心素养联系的契合点，进而发挥旁白的教学价值，并在教学中亲身实践.4.2挖掘教材，实现由“教教材”向“用教材教”转变从关注旁白到研读旁白，再到运用旁白，根本上体现了“用教材教”的教学理念,是教师在理念的驱使下依据课程标准，按着自身的实践经历与研究，自主领会探讨课程与教学,把教材当做一种重要的“传播媒介”进行深度利用的教学行为，而这种教学行为正与“教教材”相对立，因此，教师要挖掘教材，实现由“教教材”向“用教材教”的转变.参考文献[1]张文亮.高中数学教材中的旁白在教学实践中的作用与价值[J].中学数学教学参考,2015（12）:32-33.[2]韩晓芳•利用“教材旁白”咅养高中学生数学素养的思考[J].中学数学，2020（03）:90-91.[3]唐义恒，陈艳艳，张晓斌.数学教材旁白的教学价值[J].教学与管理,2017（28）:49-50.[4]李建成.从“用教材教”走向“用教材学”J].课程教材教学研究（教育研究），2018（Z2）:96.[5]李保臻，李艳.不同版本高中数学教材旁白的比较分析——以人教A版、北师版、苏教版“统计与概率”部分为例[J].中小学教师培训, 2015（02）:51-55.[6]莫冬梅.初中数学教科书旁白的比较研究[D].广西•广西师范大学.2016.[7]杨霞.人教A版和北师版高中数学教材必修模块旁白的比较分析[D].湖南.湖南师范大学.2016.[8]丁晓兰.高中数学教材解析几何内容的比较[D].南京.南京师范大学.2017.[9]徐洁.苏科版与沪科版初中数学教材[D].江苏•扬州大学.2019.。
整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法
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整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法
王守峰
云南师范大学数学学院!云南昆明!)&*&**
摘4要本文总结和归纳了整系数多项式在有理数域上不可约的一些判定方法并通过具体例子展示了这些方法的实际 应用和局限性扩展了相关文献的结果
#基本结论 本节给出涉及整系数多项式在有理数域上不可约的判 定的一些事实& 对任意非零多项式 "' !( "用."' !( 表示 "' !( 的次数& 事实 $&$ 设 "' !( (I) !* & '$( 若."' !(=$"则 "' !( 在 H上不可约& ')( "' !( 在 H中有根当且仅当 "' !( 在 H上有一次因式& '((若."'!(+) 且 "'!(在 H中有根"则 "'!(在 H上可约& '3( 若 ) ."' !( ("则 "' !( 在 H上不可约当且仅当 "' !( 在 H中无根& 事实 $&) 设 "'!(=1% !% E1%n$ !%n$ E1E1$ !E1% (I)!*且 1% " 1% 均不为零& 记 "!'!(=1% !% E1$ !%n$ E1E1%n$ !E1% & 则 "'!( 在 H上不可约当且仅当 "!'!(在 H上不可约& 证明 容易验证"若 "' !( =# ' !( < ' !( " # ' !( " < ' !( ( I ) !* "则 "!' !(=#!' !( <!' !( 且."!' !( =."' !( ".<!' !( =.< ' !( ".#!' !(=.#' !( & 于是结论成立& 事实 $&( 设 "' !( (I) !* "1";(I"1#%& 则 "' !( 在 H上 不可约当且仅当 "' 1!E;( 在 H上不可约& 证明 若 "' !( 在 H上可约"则 "' !( =#' !( <' !( "#' !( "< '!( (I) !* " .#' !( ".<' !( l."' !( & 于是 "' 1!E;( =#' 1!E;(
关于学生数学认知理解的思考
Ponder about Student Mathematics Cognition
Understanding
作者： 张洪魏
作者机构： 云南师范大学数学学院,云南昆明650092
出版物刊名： 数学教育学报
页码： 14-16页
主题词： 理解 操作性理解 关系性理解 迁移性理解
摘要：学生对数学知识的理解存在操作性理解、关系性理解和迁移性理解3个层次．我国许多学生数学认知处于操作性理解水平，他们可以在带有识记性与操作步骤的问题解答中取得较好的认知成绩，但因为许多学生对数学知识的理解尚未达到关系性理解与迁移性理解（深刻理解）水平，所以在综合性问题测试和解决实际问题的能力测试中成绩不理想．数学教学要采取有效措施，重视促进学生的数学认知理解水平．。
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云南师范大学数学学院教师周教学方案
课程名称：高等几何
任课教师：朱维宗
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