电磁场与电磁波第四章时变电磁场

它可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变 量，它与时间的变化关系可以表示为：
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
利用三角公式 其中
复振幅
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
实数表示法 或称瞬时表示法

jt j[t ( r )] A(r , t ) Re A0e Re[ A(r )e ]
c j( + )
磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为 c j ，其虚部为表示磁 介质的磁化损耗。
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损耗角正切 工程上通常用损耗角正切表示介质损耗的大小，其定义为：
复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比。即有
2
E 2 E 2 0 t
2
H 2 H 2 0 t
2
在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？
真空无源区域中电磁场波动方程：
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
c
1
0 0
注意：该方程适用于真空中的一切电磁波，而不 只适用于“简谐波”，也不只适用于“平面波”。 一般电磁波中有多种频率成份，也就是说， 复杂电磁波应该是多种简谐电磁波叠加而成。
有关复数表示形式的进一步说明：
复数式只是数学表示形式，不代表真实的场函数。 真实场函数是其复数式的实部，一般称为场的瞬时表达式。
由于时间因子是确定的，所以只写出与坐标有关的部分。
称为该简谐场的复矢量。
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例4.5.1 将下列场矢量的瞬时表达式写为复数形式 E ( z, t ) ex Exm cos(t kz x ) ey E ym sin(t kz y ) 解：由于
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为 t
D H J t B E t B 0 D
t
H J j D m m m E j B m m Bm 0 D m m
库仑规范条件
库仑规范条件
库仑规范条件下标位和矢位的微分方程 库仑规范的最大优点是标位所满足的微分方 程与静电位的微分方程相同，比较容易求解。
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4.3 电磁场能量守恒关系 (第2章中已讲）
电磁场能量密度 玻印廷定理 玻印廷矢量
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4.5.4 简谐电磁波场量的波动方程 —亥姆霍兹方程
复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
2 在简谐情况下，将 j 、 2 2 ，即可得到场 t t
电磁波瞬时场量的波动方程 简谐电磁波的波动方程 2 2 2 2 E E k E 0 E 2 0 t 2 理想介质中 2 H k H 0 2 2 H H 0 (k ) 2t 2 2 E E 2 2 E 2 0 E kc E 0 t t 2 导电媒质中 2 H kc H 0 2 H H 2 H 2 0 t t ( kc c )
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本章内容
4.1 电磁场波动方程
4.2 时变电磁场的矢量位和标位
4.3 4.4 4.5 电磁能量守恒定律 唯一性定理 简谐电磁场
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4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场


各分量合成以后，简谐变化的电场强度可以表示为： 复矢量
jt E (r , t ) Re[ Em (r )e ]
jx ( r ) jy ( r ) jz ( r ) Em (r ) ex Exm (r )e ey Eym (r )e ez Ezm (r )e
j ( r (r ) A e ) A 0
复数表示法 空间相位因子
时间因子
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这样，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示为：
j[ t ( r )] j t i (r )e ] Re E e Ei (r , t ) Re[ E i im
电磁场波动方程
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推证
Ε H t H Ε t H 0 Ε 0
同理可得 问题：
E H ( ) t
H 2 ( H ) H 2 t
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4.5.5
简谐电磁波位函数的波动方程
在简谐情况下，矢量位和标量位的定义式，以及它们满足
的方程都可以表示为复数形式。 瞬时位函数的定义 位函数的复矢量表示式 B A B A A E j A E t 洛仑兹条件 A A j t 2 2 A 2 2 A J A k A J 2 t 达朗贝尔方程 2 2 2 2 k 2 t
间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。 麦克斯韦方程组 波动方程。
无源区域中电磁场波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有
E 2 E 2 0 t
2
H 2 H 2 0 t
2
H J j D E j B D B 0
— j
略去“.”和下标m
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4.5.3 复电容率和复磁导率
实际的电磁媒质都存在损耗： 导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗。
电介质 tan ，磁介质 tan ， 导电媒质 tan
材料按其导电性能的分类 不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性
能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分类：
1—— 弱导电媒质和绝缘体 1 —— 一般导电媒质 1—— 良导体
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
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作业：P189 4.7 4.9
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4. 5
简谐电磁场
π E ( z, t ) ex Exm cos( t kz x ) ey E ym cos(t kz y ) 2
j(t kz y π / 2) j(t kz x ) Re[ex Exme ey Eyme ]
所以
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4.4 唯一性定理
问题的提出
在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初
始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么边界条 件下，麦克斯韦方程的解才是唯一的呢？ 时变电磁场唯一性定理 在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V S
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
简谐场量的复数表示形式
简谐电磁场的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 场复矢量的亥姆霍兹方程
简谐电磁场位函数的复矢量方程
平均能量密度和平均能流密度
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4.5.1 简谐电磁场的复数表示 简谐场量的复数表示形式 设 A( r , t ) 是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，
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4.5.6 简谐电磁波的平均能量密度和平均能流密度
简谐场量的二次式，如电磁场能量密度和能流密度等。 注意：简谐场的二次式不能表示为复数形式，不能采用场的 复矢量直接代入二次式进行计算。 例如：某简谐电磁场的电场强度和磁场强度分别为 E (r , t ) E0 cos[ t (r )] H (r , t ) H 0 cos[ t (r )] j ( r j ( r ) 其复矢量为： E (r ) E0e H (r ) H 0 e ) jt jt jt ( r ) jt ( r ) S Re( Ee He ) Re E0e H 0e j2t ( r) E0 H 0 Re e E0 H 0 cos 2t 2 (r )
电介质——受到极化时，存在电极化损耗。
磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗。 损耗大小与材料性质和电磁场频率有关。一些媒质
损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。
导电媒质的等效电容率
对于电容率为 、电导率为 的导电媒质，有
H E j E j ( j ) E j c E
1.时变电磁场中矢位和标位的定义 在变化的电磁场中 所以矢位的定义不变。
A E t
仍然成立。
场矢量
标位矢位
2. 电磁场的规范变换不变性
称为规范变换
因此，为了确定矢位和标位，必须增加约束 条件，而且附加约束条件的选择并不是唯一的。选 择不同的附加约束条件，称为不同的规范。
电磁波的波阵面可能是各种各样的。其中， 最简单、也是最常见的就是平面电磁波和球面电 磁波。
4.2 时变电磁场的矢位和标位
• 在讨论静电场和静磁场问题时，分别引进了 静电场标位和磁矢位。
在静电场中 E 0
在静磁场中
我们讨论电磁波时所遇到的电场和磁场都是 随时间变化的。那么在随时间变化的电磁场中， 是否还可以使用标位和矢位讨论问题呢？

其中c= －jσ/ω、称为导电媒质的等效电容率。
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有损耗电介质的复电容率 对于存在电极化损耗的电介质，有 c j ，称为复介电
常数或复电容率。其虚部表示电介质的电极化损耗。在高频情况
下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质电容率 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复电容率为
（1）库仑规范 附加约束条件： 根据定义： 上式显示：电场的无旋分量和无散分量彻底 分开。电场的无旋分量是电荷产生的，无散分量 是交变磁场产生的，属于涡旋电场。
（2）洛仑兹规范
附加约束条件：
3. 时变电磁场中矢位和标位的微分方程
洛伦兹规范条件
达朗贝尔方程
洛仑兹规范的优点是矢位和标位所满足的方 程具有对称形式，这在电磁场理论中非常重要。
j( kz y π / 2) j( kz x ) Em ( z ) ex Exme ey Eyme
j y jx (ex Exme ey jEyme )e jkz
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4.5.2 简谐电磁场的麦克斯韦方程