电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
哈密顿算子：矢量微分算子（ Hamilton、nabla、del ）
ex
x
ey
y
ez
z
★ 标量场的梯度
gradu u u xˆ u yˆ u zˆ ( xˆ yˆ zˆ)u x y z x y z
★ 矢量场的散度计算公式：
divA＝ • A Ax Ay Az x y z
1
2=∞ nˆ • D1 s
nˆ E1 0 nˆ B1 0
nˆ H1 Js
2、理想介质表面上 的边界条件
1=0
2=0
nˆ • (D1 D2) 0 nˆ (E1 E2 ) 0
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
圆柱坐标和球坐标的公式了解:
Bx By Bz
圆柱坐标系中的体积微元: dV=(d)(d)(dz)= d d dz
分析的问题具有圆柱对称性时可表示为：dV=2ddz
球坐标系中的体积微元: dV=(rsind)(rd)(dr)
分析的问题具有球对称性 时可表示为:
=r2sindrdd dV=4r2dr
★ 标量场的等值面方程 u x, y, z 常数C
程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q
d
’d
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁场与电磁波教材
电磁场与电磁波摘要:电磁场与电磁波课程与电气专业息息相关，是我们电气专业学生必须学习的，这学期我们进行了电磁场与电磁波的学习。
主要讲解了矢量分析，电磁场的基本定律，时变电磁场，简述了静态电磁场极其边值问题的解。
第一章:矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。
第二章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，第三章分别介绍了静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法。
第四章主要讨论时变电磁场的普遍规律。
一、矢量分析电磁场是是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本教学工具之一。
1：标量和矢量(1) 标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
矢量一旦被赋予“物理单位”，则成为一个具有物理意义的矢量，如：电场强度矢量E 、磁场强度矢量H 、作用力矢量F 、速度矢量v 等。
(2) 两个矢量A 与B 相加，其和是另一个矢量D 。
矢量D=A+B 可按平行四边形法则得到：从同一点画出矢量A 与B ，构成一个平行四边形，其对角线矢量即为矢量D 。
两个矢量A 与B 的点积是一个标量，定义为矢量A 与B 的与它们之间较小的夹角的余弦之积。
(3) 两个矢量A 与B 的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量A 和B 的平面，大小定义为矢量A 与B 的与它们之间较小的夹角的正弦之积，方向为当右手四个手指从矢量A 到B 旋转时大拇指的方向。
2：标量场的梯度（1）等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
对任意给定的常数C ，方程C z y x u ),,(就是等值方程。
（2）梯度的概念：标量场u 在点M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u 变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad u,即 grad u= e l |max直角坐标系中梯度的表达式为grad u=,标量场u 的梯度可用哈密顿算符表示为grad u=()．u =（3）标量场的梯度具有以下特性：①标量场u 的梯度是一个矢量场，通常称▽u为标量场u 所产生的梯度场；②标量场u （M ）中，再给定点沿任意方向l 的方向导数等于梯度在该方向上的投影；③标量场u （M ）中每一点M 处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向u （M ）增加的方向。
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处⽅饶克谨⾼等教育出版社2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的⼀种极限情况，可将它看做⼀个体积很⼩⽽电荷密度很的带电⼩球的极限。
当带电体的尺⼨远⼩于观察点⾄带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已⽆关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中⼼上。
即将带电体抽离为⼀个⼏何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常⽤到哪⼏种电荷的分布模型？有哪⼏种电流分布模型？他们是如何定义的？常⽤的电荷分布模型有体电荷、⾯电荷、线电荷和点电荷；常⽤的电流分布模型有体电流模型、⾯电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极⼦的电场强度⼜如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平⽅成反⽐；电偶极⼦的电场强度与距离r 的⽴⽅成反⽐。
2.4简述和所表征的静电场特性表明空间任意⼀点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是⽆旋场。
2.5 表述⾼斯定律，并说明在什么条件下可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
关，即在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
2.6简述和所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合⾯的磁感应强度的通量等于0，磁⼒线是⽆关尾的闭合线，表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产⽣恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可⽤该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
如果电路分布存在某种对称性，则可⽤该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
2.8简述电场与电介质相互作⽤后发⽣的现象。
在电场的作⽤下出现电介质的极化现象，⽽极化电荷⼜产⽣附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度⼜什么关系？单位体积的点偶极矩的⽮量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为极化强度P 与极化电荷⾯的密度2.10电位移⽮量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么电位移⽮量定义为其单位是库伦/平⽅⽶（C/m 2）2.11 简述磁场与磁介质相互作⽤的物理现象？ερ/=??E 0=??E ερ/=??E 0=??E ??V S ε00=??B JB 0µ=??0=??B JB 0µ=??CP =-p ρnsp e ?=P ρEP E D εε=+=0在磁场与磁介质相互作⽤时，外磁场使磁介质中的分⼦磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产⽣附加磁场，从⽽使原来的磁场分布发⽣变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产⽣的磁感应强度B 0 和磁化电流产⽣的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度⼜什么关系？单位体积内分⼦磁矩的⽮量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度：磁化电流⾯密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与⾮均匀媒质，线性媒质与⾮线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率处处相等，不是空间坐标的函数。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第4章 时变电磁场【圣才出品】
（2）推导 J% j&。提示：
r A
0。
解：（1） H% J% jD% jD%，方程左边做旋度运算，有：
H% H% 2H%
由于 H%
1 j
E%，于是有
H% 0
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Ñ
s
v (E
v H)
v dS
d dt
(We
Wm )
P
或
Ñ
vv v (E H ) dS
d
(1 E2 1 H 2 )d
E2d
s
dt 2
2
反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。
4．试解释什么是 TEM 波。 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；若电磁场分量都在横向平面中，则称这种 波称为平面波；又称横电磁波即 TEM 波。
f ck 3108 3 4.5 108 Hz
2π 2π
π
E% jB%
2．从复数形式的麦克斯韦方程组源自 H% J% D% &
j
D%推导：
B% 0
（1）自由空间（ & 0、 J% 0 ）磁场复数形式波动方程 2 k 2 H% 0 。提示：
r
r
r
A A 2A ；
5．说明矢量磁位和库仑规范。
答： 由于 g( A) 0 ，而 gB 0 ，所以令 B A ，A 称为矢量磁位，它是一
个辅助性质的矢量。从确定一个矢量场来说，只知道一个方程是不够的，还需要知道 A 的
散度方程后才能唯一确定 A，在恒定磁场的情况下，一般总是规定 gA 0 ，这种规定为
库仑规范。
增加的电磁场能量与损耗的能量之和——能量守恒。
电磁场与电磁波时变电磁场基础知识讲解
例 已知电场强度复矢量
Em (z) ex jExm cos(kz z)
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解： E(z, t) Re[ex jExm cos(kz z)e jt ]
j(t π )
Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ]
ex
Exm
cos(kz
z)
cos(t
π 2
麦克斯韦方程组微分形式
H
(r,t)
J
(r,
t)
D(r, t
t
)
E
(r,
t)
B(r , t ) t
B(r,t) 0
D(r,t) (r,t)
J (r,t) (r,t)
t
H (r) J (r) j D(r)
E(r) j B(r)
D(r) (r)
B(r) 0
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 坡印廷定理 坡印廷矢量 典型问题的应用？
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
推导
t
不利点： 磁矢位与电位函数不能分离！
洛仑兹规范条件
必须引入规范条件的原因：未规定 A的散度。
库仑规范： A 0（静态场）
对时变场问题：
A
t
洛伦兹规范条件
引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程
2
2
2t
2 A
2 A t 2
J
磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
时变电磁场 知识结构体系(1)
07:54
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
恒定电场边界条件：J1n J 2n E1t E2t
电容：C Q U
电感：L I
M12
4
C2
dl1 dl2
R C1
12
电场能量：We
1 2
dV
V
1
we 2
i
qii
磁场能量： Wm
1 2
A JdV
V
Wm
1 2
I
1 2
LI 2
07:54
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
4、掌握应用高斯定理、安培环路定律求解静电场和恒定磁场的计 算方法和技巧。
5、掌握电介质极化和磁介质磁化的微观机理，掌握电位移矢量和 磁场强度矢量的定义，了解极化电荷和磁化电流的求解，了解导电 媒质的传导特性。
07:54
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
6、掌握电磁感应定律的微分形式及其揭示的物理意义；掌握位移电 流的概念，理解麦克斯韦引入位移电流假说对电磁理论发展所作出 的贡献。
n (H1 H2 ) 0 n (E1 E2 ) 0 B1 n B2 n 0 (D1 D2 ) n 0
nH Js nE 0 B n0
D n s
拉普拉斯方程：2 / 0 2 0
电位和电位差：E
A
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
04第四章-时变电磁场和时谐电磁场(1)
电磁场与电磁波_ 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件的一般形式
一、H 的切向分量的边界条件
取一小矩形回路，两个边 l 分别
位取于H分沿界此面闭两合侧回，路的h 线积0 分，，
由
CH
单位
电场强度
E
V/m
电的
电通量密度
D
C/m^2
（电位移矢量）
磁通量密度
B
T
磁的 （磁感应强度）
磁场强度
H
A/m
回顾以上矢量场量的引入
E是讨论自由空间中静电学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位试验电荷上的电作用力
F qE
D是研究电介质中的电场时引入的辅助量
D E 0E P
B是讨论自由空间中静磁学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位长度电流上的磁作用力
D →高斯定律。电场的一个源是静止电荷；电场有通量源
电动力学的基本方程：麦克斯韦方程 +
f
qv
B
+
f
m
dv
dt
电磁场的基本方程： 麦克斯韦方程 第16页
电磁场与电磁波 时变电磁场
2.6.3 媒质的本构关系(电磁场的辅助方程)
本构关系(组成关系、流量关系、特性方程)
SB dS 0
S D dS q
麦克斯韦方程组： 宏观电磁现象所电遵子循科学的与工基程本学院规律，周是俊 电磁场的基本方程。
电磁场与电磁波_ 2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式(点函数形式)
微分形式(麦克斯韦方程的不限定形式)：
所 不 因从 HE有符此18的，)6J。4宏 麦年Bt理观 克提Dt论→电 斯出变上→磁 韦到化也变场方目磁化没问程场前电有产题组为场找生被,止产到并电生认，场任且磁为麦；从何场是克位未真；2移斯J出正0、磁世韦J现值流d纪方是过得是磁之程电错挑场前可场误剔的最以的的(涡成或涡用流东流功与来源西源的实求。物验解 理 B学方0 程→,磁被通称连为续“性上。自帝然的界符不号存”在。磁荷；磁场无通量源
电磁场与电磁波(时变电磁场)
2 .麦克斯韦位移电流假说
在电流对电容器的充放电过 程中，电容器极板间的电场随着 极板上电量的变化而变化，而且 电场变化的方向与电流的方向一 致。 充电时电场增强, 由正 极指向负极，与传导电流方 D 向相同；放电时电场减弱，t 由 负极指向正极，与传导电流方向 也相同。
D t
将
B E t
此为法拉第电磁感应定律的微分形式. 法拉第电磁感应定律为：
B l E dl S t dS
B E t
例5.2.1 如图5.2.1所示，边长为0.60m的正方形线圈， 在磁感应强度 B a x 0.80T 的场中以 60 rad / s 的转 速绕y轴转动。求线圈在输出端口上的感应电压。 解：任意时刻线圈平面与轴 的夹角，线圈平面投射到平 面上的面积为：
1、 静电场和恒定磁场对源的依赖关系在时间上具有即 时性 ，即 ' ' 静电场： 1 (r )(r r )d '
E
4 0
恒定磁场：
0 B 4
' ' J (r ) (r r ) ' d ' 3 |r r | l
' 3 |r r |
麦克斯韦方程中没有写进电流连续性方程 , 可从 D H J 和 D 导出.
D 把 H J t
t
两边同时取散度得
D ( H ) J t
由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得
B d 可转化为 l E dl S t dS l E dl dt SB dS
B 由斯托克斯定律可得 E dl E dS dS t l S S
第四章 时变电磁场
∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。
本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。
在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。
例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
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复数式只是数学表示形式，不代表真实的场函数。 真实场函数是其复数式的实部，一般称为场的瞬时表达式。
由于时间因子是确定的，所以只写出与坐标有关的部分。
称为该简谐场的复矢量。
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
20
例4.5.1 将下列场矢量的瞬时表达式写为复数形式 E ( z, t ) ex Exm cos(t kz x ) ey E ym sin(t kz y ) 解：由于
电介质 tan ，磁介质 tan ， 导电媒质 tan
材料按其导电性能的分类 不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性
能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分类：
1—— 弱导电媒质和绝缘体 1 —— 一般导电媒质 1—— 良导体
电磁场波动方程
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
4
推证
Ε H t H Ε t H 0 Ε 0
同理可得 问题：
E H ( ) t
H 2 ( H ) H 2 t
其中c= －jσ/ω、称为导电媒质的等效电容率。
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
23
有损耗电介质的复电容率 对于存在电极化损耗的电介质，有 c j ，称为复介电
常数或复电容率。其虚部表示电介质的电极化损耗。在高频情况
下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质电容率 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复电容率为
1.时变电磁场中矢位和标位的定义 在变化的电磁场中 所以矢位的定义不变。
A E t
仍然成立。
场矢量
标位矢位
2. 电磁场的规范变换不变性
称为规范变换
因此，为了确定矢位和标位，必须增加约束 条件，而且附加约束条件的选择并不是唯一的。选 择不同的附加约束条件，称为不同的规范。
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
26
4.5.5
简谐电磁波位函数的波动方程
在简谐情况下，矢量位和标量位的定义式，以及它们满足
的方程都可以表示为复数形式。 瞬时位函数的定义 位函数的复矢量表示式 B A B A A E j A E t 洛仑兹条件 A A j t 2 2 A 2 2 A J A k A J 2 t 达朗贝尔方程 2 2 2 2 k 2 t
j ( r (r ) A e 波
第 4 章 时变电磁场
19
这样，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示为：
j[ t ( r )] j t i (r )e ] Re E e Ei (r , t ) Re[ E i im
间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。 麦克斯韦方程组 波动方程。
无源区域中电磁场波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有
E 2 E 2 0 t
2
H 2 H 2 0 t
2
2
E 2 E 2 0 t
2
H 2 H 2 0 t
2
在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？
真空无源区域中电磁场波动方程：
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
c
1
0 0
注意：该方程适用于真空中的一切电磁波，而不 只适用于“简谐波”，也不只适用于“平面波”。 一般电磁波中有多种频率成份，也就是说， 复杂电磁波应该是多种简谐电磁波叠加而成。
电介质——受到极化时，存在电极化损耗。
磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗。 损耗大小与材料性质和电磁场频率有关。一些媒质
损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。
导电媒质的等效电容率
对于电容率为 、电导率为 的导电媒质，有
H E j E j ( j ) E j c E
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
25
4.5.4 简谐电磁波场量的波动方程 —亥姆霍兹方程
复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
2 在简谐情况下，将 j 、 2 2 ，即可得到场 t t
电磁波瞬时场量的波动方程 简谐电磁波的波动方程 2 2 2 2 E E k E 0 E 2 0 t 2 理想介质中 2 H k H 0 2 2 H H 0 (k ) 2t 2 2 E E 2 2 E 2 0 E kc E 0 t t 2 导电媒质中 2 H kc H 0 2 H H 2 H 2 0 t t ( kc c )
15
4.4 唯一性定理
问题的提出
在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初
始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么边界条 件下，麦克斯韦方程的解才是唯一的呢？ 时变电磁场唯一性定理 在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V S
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
它可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变 量，它与时间的变化关系可以表示为：
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
利用三角公式 其中
复振幅
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
实数表示法 或称瞬时表示法
jt j[t ( r )] A(r , t ) Re A0e Re[ A(r )e ]
H J j D E j B D B 0
— j
略去“.”和下标m
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
22
4.5.3 复电容率和复磁导率
实际的电磁媒质都存在损耗： 导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗。
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为 t
D H J t B E t B 0 D
t
H J j D m m m E j B m m Bm 0 D m m
π E ( z, t ) ex Exm cos( t kz x ) ey E ym cos(t kz y ) 2
j(t kz y π / 2) j(t kz x ) Re[ex Exme ey Eyme ]
所以
各分量合成以后，简谐变化的电场强度可以表示为： 复矢量
jt E (r , t ) Re[ Em (r )e ]
jx ( r ) jy ( r ) jz ( r ) Em (r ) ex Exm (r )e ey Eym (r )e ez Ezm (r )e
简谐场量的复数表示形式
简谐电磁场的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 场复矢量的亥姆霍兹方程
简谐电磁场位函数的复矢量方程
平均能量密度和平均能流密度
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
18
4.5.1 简谐电磁场的复数表示 简谐场量的复数表示形式 设 A( r , t ) 是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
1
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
本章内容
4.1 电磁场波动方程
4.2 时变电磁场的矢量位和标位
4.3 4.4 4.5 电磁能量守恒定律 唯一性定理 简谐电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
3
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场
（1）库仑规范 附加约束条件： 根据定义： 上式显示：电场的无旋分量和无散分量彻底 分开。电场的无旋分量是电荷产生的，无散分量 是交变磁场产生的，属于涡旋电场。
（2）洛仑兹规范
附加约束条件：
3. 时变电磁场中矢位和标位的微分方程
洛伦兹规范条件
达朗贝尔方程
洛仑兹规范的优点是矢位和标位所满足的方 程具有对称形式，这在电磁场理论中非常重要。
库仑规范条件
库仑规范条件
库仑规范条件下标位和矢位的微分方程 库仑规范的最大优点是标位所满足的微分方 程与静电位的微分方程相同，比较容易求解。
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
14
4.3 电磁场能量守恒关系 (第2章中已讲）
电磁场能量密度 玻印廷定理 玻印廷矢量
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
27
4.5.6 简谐电磁波的平均能量密度和平均能流密度
简谐场量的二次式，如电磁场能量密度和能流密度等。 注意：简谐场的二次式不能表示为复数形式，不能采用场的 复矢量直接代入二次式进行计算。 例如：某简谐电磁场的电场强度和磁场强度分别为 E (r , t ) E0 cos[ t (r )] H (r , t ) H 0 cos[ t (r )] j ( r j ( r ) 其复矢量为： E (r ) E0e H (r ) H 0 e ) jt jt jt ( r ) jt ( r ) S Re( Ee He ) Re E0e H 0e j2t ( r) E0 H 0 Re e E0 H 0 cos 2t 2 (r )