高中数学《空间中直线与直线的位置关系》学案1新人教A版必修2
高中数学 (2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2.doc
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a∥b,b∥c ⇒a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？ 答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取在a 或b 上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，且FG=BD 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.变式训练如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB 与CC 1； （2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ； （4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF. 解：（1）∵C∈平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，又C ∉AB ，C 1∉平面ABCD,∴AB 与CC 1异面. （2）∵A 1B 1∥AB，AB∥DC，∴A 1B 1∥DC.（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC，∴A 1D 1∥BC，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内. ∴A 1C 与D 1B 相交.（4）∵B∈平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，又B ∉DC ，D 1∉平面ABCD,∴DC 与BD 1异面. （5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ， ∵AF∥DC，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=BC 21，FG∥AD，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系. 变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ，∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG. ∴612sin∠EHG=312. ∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. 知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.③④ 答案：D 课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理. 作业课本习题2.1 A 组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。
人教A版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：C C既不平行也不相交。
直线'A B与直线'学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系精品教案
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例 3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1．填空题：学生独立完成答案：.（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB ∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立. 上述结论中，正确的是（）A ．①④⑤正确B ．①③④正确C ．仅②④正确D ．仅①⑤正确【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高中数学 第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案 新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是( )A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )A．2对 B．3对 C．4对 D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3 提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D 2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1．迁移与应用1．D2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD 1与A 1B 所成的角为45°．(3)连接D 1C ，AD 1，则A 1B ∥D 1C ．∴D 1C 与AC 所成的角就是A 1B 与AC 所成的角． 又∵AC ＝CD 1＝D 1A ， ∴∠ACD 1＝60°．∴A 1B 与AC 所成的角为60°．迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90° 【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．BB 1，CC 1，DD 1 5．8。
高中数学：2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》教学案(新人教版A版必修2)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
共面直线=>a ∥c公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
新人教A版必修2高中数学 2.1.2空间直线位置关系导学案
第二章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置【学习目标】1.理解异面直线的概念；了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；2.能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。
3.通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．【学习重点】重点：异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法难点：理解异面直线概念，作异面直线所成的角.【知识链接】以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系；通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理．【基础知识】复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理)公理1_________________________________________________________________；公理2_________________________________________________________________；公理3_________________________________________________________________.探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A1B与CC1这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：αabαβabαab理解选择合适的异面直线的定义：A BC1C1B1AD不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解空间中两条直线的位置关系；〔2〕理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；〔3〕理解并掌握公理4；〔4〕理解并掌握等角公理；〔5〕异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.〔二〕教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.〔三〕教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师〔肯定〕：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如下图P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师〔肯定〕所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交〞那么“不同在任何一个平面内〞是否可改为“不在一个平面内呢〞学生讨论发现不能去掉“任何〞师：“不同在任何一个平面内〞可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内〞培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解〔1〕公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行〔2〕定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师〔肯定〕下面我们来看培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角〔1〕异面直线所成角的概念.两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).〔2〕异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例3 如图，正方体ABCD–A′B′C′D′.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：〔1〕由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.〔2〕由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.〔3〕直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动〔作平行线〕，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：〔1〕如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.〔2〕如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：〔1〕3条. 分别是BB′，CC′，DD′；〔2〕相等或互补.2．如图，长方体ABCD–学生独立完成答案：.2．〔1〕因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.〔2〕因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.附加例题例1 “a、b为异面直线〞是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的选项是〔〕A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确[解析] ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.应选D例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，那么过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.[解析]如下图，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高中数学A版数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案
2.1.2空间中直线与直线的位置关系1.教学目标1.1知识与技能(1)通过学习能知道空间直线的三种位置关系;(2)初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系;(3)初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理;(4)初步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角.1.2过程与方法(1)通过学习经历异面直线的概念的形成过程，体会异面直线的直观画法；(2)通过长方体的模型让学生发现与感知平行线的传递性质．(3)通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；1.3情感、态度与价值观(1)让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义；(2)培养学生自主发现问题与解决问题的能力．2.重点、难点2.1重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．2.2难点：异面直线概念的理解与求法．3.教学准备：长方体模型，直线、平面教具，教学课件．4.教学过程设计：4.1复习引入：平面三个公理和作用设计意图：巩固上一节课的知识以及集中学生的注意力，让学生快速投入本节课的学习中4.2异面直线4.2.1异面直线的概念思考1： 同一平面内的直线有哪些位置关系？思考2：在空间中，两条直线不相交则平行吗？思考3：在空间中，无公共点的两条直线一定平行吗？设计意图：由一系列问题，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．师生活动：教师放课件图片，引导学生观察：黑板所在直线与课桌边缘所在直线的位置关系，立交桥上下面公路所在直线的位置关系等例子，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系,从而得出异面直线的概念.板书：异面直线的定义：把不同在任何．．．．．一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．概念辨析：例1：判断正误（1）下面两图中直线m 和l 都是异面直线（2） （3） 设计意图：通过3道判断题，让学生深刻解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，加深对异面直线的理解。
高中数学 必修二 2.1.2空间中直线与直线的位置关系学案学案 新人教A版必修2
2.1.2空间中直线与直线的位置关系学案回顾﹒预习通过预习回答下列问题:（1）空间中两条直线有多少种位置关系？ （2）公理4及等角定理的内容是什么？（3）异面直线所成角的概念？自主﹒合作﹒探究 探究一、异面直线 1、定义：2、判定：例1： 判断下列各图中直线l 与m 的位置关系（1） （2） （3）（4） （5） （6）探究二、空间直线的平行关系 （1）平行关系的传递性公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.例2、已知ABCD 是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，连结EF ，FG ，GH ，HE ，求证：EFGH 是一个平行四边形。
αl m l m αβαl ml αβm lmαβlm αβB F C探究：在例2中，如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？（2）等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？（用图形表示）探究三、异面直线所成的角1、定义：2、异面直线所成的角的求法3、两条直线互相垂直例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线?(2)求下面异面直线所成角的度数1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1 4）AD1与B1C （3）与直线BB1垂直的棱有多少条？当堂达标（一）判断对错：1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
( )2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
( )3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。
( )5、一条直线垂直两条平行直线中的一条，它一定与另一直线垂直。
( )（二）如图，空间四边形SABC 中各边及对角线长都相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒反思﹒提升1、空间中两直线的位置关系2、空间直线的平行关系及相关定理3、两条异面直线所成的角研究空间图形的一种基本思路：把空间图形问题转化为平面图形问题 拓展﹒延伸1．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（ ） A ．异面或平行 B ．异面或相交 C ．异面 D ．相交、平行或异面3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交F EB AC SC．一定异面 D．相交或异面4. 给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .5．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面。
高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2教材分析空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。
它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。
学情分析本班学生为省级重点高中学生，初中基础较好，理解力较强。
空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。
其中，相交直线与平行直线是平面几何的内容，同学们已经非常熟悉。
异面直线的概念是学生比较生疏的，也是本节的重点和难点。
设计思想从日常生活中的实例入手，直观感知异面直线不同于相交直线、平行直线的特点，抽象概括出异面直线的定义；通过对位置关系的内涵的探讨，同时类比平面内两直线的位置关系的量化研究，引导学生发现两条异面直线的位置关系应包含角度与距离两项指标；让全体学生经历异面直线所成的角的科学性研究，引导学生发现公理4与等角定理两个理论依据，以及体会空间图形问题转化为平面图形问题的降维转化思想；例题的分析与讲解让学生加深对异面直线所成角的定义的理解，同时初步掌握平移的方法求异面直线所成的角.教学目标［知识与技能］1.知道空间直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，初步掌握判断两直线的异面关系的方法，掌握异面直线的衬托画法；2.以公理4和等角定理为基础，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角.［过程与方法］1. 从日常生活中的实例入手，让学生经历直观感知异面直线特点，并抽象概念出异面直线定义的过程；2. 通过类比日常生活中确定两个物体位置关系、以及平面几何中研究两直线位置关系的量化方法，发现研究异面直线位置关系的两个数量：角及距离；3. 让学生经历对异面直线所成的角定义的科学性的探究，发现公理4及等角定理是异面直线所成的角定义的科学性的理论依据；4. 经过对异面直线所成角的学习，让学生体会空间图形问题往往降维处理，转化成平面图形问题解决的思想.［情感、态度与价值观］由一系列问题引发学生思考，深化对概念的理解与应用，养成独立思考的习惯，形成严谨的科学研究态度。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线的位置关系一学案
数学必修2编号_9 时间___________ 班级___ 组别___ 姓名________编制人： 审核人： 下科行政：【学习目标】1. 理解空间中直线与直线的位置关系2. 理解公理4及等角定理，并能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题自主学习案 【知识梳理】1、空间两条直线的位置关系 （1）异面直线① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
② 图示：（2）空间两条直线的位置关系共面直线： 相交直线：___________________________________ 空间中的直线 平行直线：___________________________________ 异面直线：___________________________________ 2、平行直线的公理及定理（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行，用数学符号表示为_______________。
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_________或_________ 3、空间四边形顺次连结不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形。
【预习自测】1. 如果直线m 和n 没有公共点，则直线m 和n 的位置关系是（ ）A ．异面 B.平行 C.相交 D.平行或异面2. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另外一条直线的关系是（ ） A ．平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交3．空间任意两个角,ϕθ、且θ与ϕ的两边对应平行，︒=60θ，则ϕ为 。
【合作探究】例1.如图所示，E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 各边的中点。
（1） 证明：四边形EFGH 为平行四边形 （2） 如果AC=BD,那么EFGH 是什么四边形例2.如图，已知E 、F 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1上的点，且AE=C 1F.求证：EB//D 1F 。
例3.如图，已知E 、E 1是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1上的中点,求证：111C E B BEC ∠=∠【当堂检测】1. “是异面直线、b a ”是指：①b a b a 不平行于且φ≠⋂；②αα平面，平面⊄⊂b a ；③φβα≠⋂⊂⊂b a b a 且平面平面,；④ααα⊂⊂b a 且，使不存在平面.其中正确的是（ ）A ．①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 2.设AA 1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1异面的棱共有_______条3、若111B O A AOB ∠=∠,且的方向相同与11,//OA OA OA OA ，则下列结论正确的是（ ）A ．且方向相同,//1OB OB B.1//OB OBC ．不平行与1OB OB D.不一定平行与1OB OB课后练习案1. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面AA 1B 1B 和面BB 1C 1C 的对角线的交点，则在长方体的所有顶点间的线段中与EF 平行的是 。
高中数学 2.1.2《空间直线与直线的位置关系1》导学案 新人教A版必修2
2.1.2《空间直线与直线的位置关系1》导学案【学习目标】知识与技能：1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念。
2．理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
过程与方法：培养空间想象力。
情感态度与价值观：通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。
【重点难点】学习重点：异面直线的概念、公理4学习难点：异面直线的概念【学法指导】通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
【知识链接】平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，同一平面内两条直线有几种位置关系？相交直线——有且仅有一个公共点平行直线——在同一平面内，没有公共点【学习过程】A 问题1空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？A问题2：归纳总结，形成概念异面直线：A问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：B问题4判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗? A BA B’DC Dαlmlmαβαlm1 2 34 5 6 B 问题5辨析①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线 ④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 A 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A BC D -中,哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线? 图 2.1.2-1 B 问题6如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB 、CD 、E F 、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？A 问题7．思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。
高中数学 空间两直线的位置关系(1)导学案 新人教A版必修2
高中数学人教版必修2导学案：空间两直线的位置关系（1）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第5课时分课题空间两条直线的位置关系分课时第1课时主备：李东华审核：戴荣学习目标了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．重点难点公理4及等角定理．引入新课2．异面直线的概念：________________________________________________________________________．3位置关系共面情况公共点个数4．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言）____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析例1 如图，在长方体1111DCBAABCD 中，已知FE、分别是BCAB、的中点．求证：11//CAEF．A BFDA1B1例2 已知：BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3 如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习 1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有 条．2．A 是BCD ∆所在平面外一点，N M ，分别是ABC ∆和ACD∆的重心，若a BD =， 则MN =____________________．3．如果OA ∥11A O ，OB ∥11B O ，那么∠AOB 与∠111B O A 之间具有什么关系？4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =.AC ED A 1E 1B 1求证：ABC ∆≌111C B A ∆．课堂小结了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．B1ABC 1班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若把两条平行直线称为一对，则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有_______对． 2．已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ，∠︒=30ABC ，则∠PQR 等于_________________． 3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，，则由直线c b a 、、确定________个平面． 二 提高题4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形；（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5．在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．B D A 1 D 1C 1 B 1E F E 1 F 1 F G HBC E6．已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点． 且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．7．已知三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，，求22BD AC +．BF C GDHE A。
人教新课标版数学高一人教A必修2学案 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】1、理解空间中直线与直线的位置关系，会判定异面直线．2、理解异面直线所成的角的含义，掌握求异面直线所成角的步骤．3、理解平行公理与等角定理，知道平面几何中的定理推广到立体几何中需要证明．【探索新知】1、空间两条直线的位置关系有_______种，分别是________直线、________直线、________直线。
（1）相交直线：在________平面内，有且只有_____个公共点；（2）平行直线：在________平面内， _____公共点；平行直线与相交直线统称为_______直线； （3）异面直线：不同在____________平面内，_____公共点。
2、空间两条直线的位置关系的表示： （1）图形表示：（2）符号表示： ________ ________ _______ 3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________________5、异面直线所成的角：已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a '∥a 、b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
6、异面直线的夹角的范围为____________，若异面直线a 与b 所成的角为90°，那么这两条直线________，记作______【合作学习】例1、空间四边形ABCD 中，E 、F 、G.、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形ababab AABCDE FGH变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 例2、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BD 1成异面直线？ （2）求直线BA 1与DC 1的夹角的度数。
最新人教A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学案
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标：1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.2.理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点)3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)[自主预习·探新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法．图2115思考：分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？[提示]不一定．分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线．2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性4．等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°作用证明两个角相等或互补(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角)．(2)范围：0°＜θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a ⊥b.[基础自测]1．思考辨析(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[提示](1)×也可能异面．(2)√(3)×平面内的直线需不过该点，才可以是异面直线．(4)×也可能是相交直线．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交B[一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条相交或异面．]3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[由等角定理可知∠PQR＝30°或∠PQR＝150°，选B.]4．如图2116，正方体ABCDA′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．图211690°45°[∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.][合作探究·攻重难]空间两条直线的位置关系的判定，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为 ( )图2117A．1 B．2C．3 D．4(2)如图2118所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).【导学号：07742099】图2118(1)C(2)②④[(1)把平面展开图折合成正方体，观察相对位置的变化，可知AB与CD、EF与GH、AB与GH是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故异面直线有且仅有3对．(2)如图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以GH与MN异面．所以图②，④中GH与MN异面．][规律方法]1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.2．判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，B l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图2119)．图2119提醒：要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测．[跟踪训练]1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线(1)D(2)C[(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a ∥c.]公理4及等角定理的应用11111A1D1的中点．图2120(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【导学号：07742100】思路探究：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[解] (1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.[规律方法]1．证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等．(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．(3)公理4用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c.2．证明两个角相等的方法(1)利用等角定理．(2)利用三角形全等或相似．[跟踪训练]2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝12BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝12DD1.又BB1綊DD1，所以BF綊D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.异面直线所成的角[1.已知直线a，b是两条异面直线，如图2121，如何作出这两条异面直线所成的角？图2121[提示]如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)θ，即两条异面直线a，b所成的角．2．异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？[提示]异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O 的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．如图2122所示，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：图2122(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角. 【导学号：07742101】[解] (1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.母题探究：1.在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP 和CD所成的角．[解] 连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．在本例正方体中，若M、N分别是BF、CG的中点，且AG和BN所成的角约为39.2°，求AM和BN所成的角．[解] 连接MG.因为BCGF是正方形，所以BF綊CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM綊NG，所以BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM 和BN所成的角为78.4°.(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[当堂达标·固双基]1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A．4 B．5C．6 D．7C[在右边的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6条直线与直线BA1是异面直线，故选C.]2．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.【导学号：07742102】A．1个B．2个C．3个D．4个B[由公理4及等角定理知，只有②④正确．选B.]3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．因此，这样的异面直线有无数条．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________．13[连接AD1(图略)，∵A1B1∥C1D1，∴∠AED1是异面直线AE与A1B1所成的角，设正方体的棱长为2，则AD1＝22，D1E＝1，∴在Rt△AD1E中，AE＝AD21＋D1E2＝3，∴cos∠AED1＝D1EAE＝13.]5.如图2123所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角.【导学号：07742103】图2123 [解] 取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°. 故EF和AB所成的角为45°.11/11。
最新人教A版必修二 空间中直线与直线之间的位置关系 学案
空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法： ①定义法②两直线既不平行也不相交 (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分：⎩⎨⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎨⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ，该结论在空间中是否成立？ 答案 成立1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点三 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等.类型一异面直线的判断例 1 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练1 (1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示：类型二 平行公理和等角定理的应用例2 (1)在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CGCD，则EH 与FG 的位置关系是________． 答案 平行解析 连接BD ，如图， ∵AE AB ＝AH AD， ∴EH ∥BD ， 又∵CF CB ＝CGCD，∴FG ∥BD ， ∴EH ∥FG .(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别棱AD 和A 1D 1的中点． 求证：∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.证明 在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点，∴A 1M 1綊AM ， ∴四边形AMM 1A 1是平行四边形， ∴A 1A 綊M 1M .又∵A 1A 綊B 1B ，∴M 1M 綊B 1B ， ∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形． ∴B 1M 1∥BM .同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形， ∴C 1M 1∥CM .由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角．∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.反思与感悟 1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．跟踪训练2 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点． 求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图 ，连接AC ， 在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三 两异面直线所成的角例3 如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E 、F 分别是BD 1和AD 中点，求异面直线CD 1，EF 所成的角的大小．解 如图，取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ，∵E 是BD 1的中点， ∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形， ∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角．又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1， ∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°.反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3 如图所示，在正方体AC 1中，E 、F 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．解 方法一 如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G . 则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1.∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.方法二 如图所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE 綊12DB 1.于是∠HEF 为所求异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． 连接HF ，设AA 1＝1， 则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ， 则HI ⊥IF .∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54.∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案 D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能答案 D解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面．4．如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小．(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小．解(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．一、选择题1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定答案 C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.2．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案 B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．5．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( ) A．12对B．24对C．36对D．48对答案 B解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )A．30°B．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1， ∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°.故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.7.如图，在三棱锥D ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别是为CD ，AB 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12AC ，EG ＝12BD . 又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角．∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.二、填空题8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．答案60°解析连接BC1，BA1，A1C1，∵EF∥BA1，GH∥BC1，∴异面直线EF与GH所成的角即为BA1与BC1所成的角，即∠A1BC1，又∵A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.9．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案(2)(4)解析(1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．10．已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案(1)60°(2)45°解析 如图，连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形，知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC .易知∠C ′BC ＝45°.11．已知a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的是________(只填序号)．答案 ①解析 由公理4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．三、解答题12.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．13.如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，求AD 与BC 所成角的大小． 解 如图，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝12AD ＝1.因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ＝1.所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝3(如图)，取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝12EF ＝32.所以sin ∠EGO ＝EO EG ＝32，∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角是180°－120°＝60°.。
高中数学 空间中直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2
高中数学空间中直线与直线之间的位置关系学案新人教A版必修2一、学习目标：1、知识与技能：了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法：学生在学习过程不断归纳整理所学知识3、情感态度与价值观：让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、重点与难点：重点：异面直线的概念；公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算三、课前学习：用阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标，从中能发现什么？四、课中学习：一）创设情景，揭示课题1．提出问题：通过身边诸多实物，得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2．空间两条直线有多少种位置关系，引入本节内容。
（二）研探新知1．出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律。
3．探求公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4．例题分析讲解例2的讲解让学生掌握了公理4的运用（3）教材P47探究让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
（三）巩固练习P49 练习1、2例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
五、课后反思对这一节的收获是什么？计算异面直线所成的角应注意什么？有什么问题期待解决？六、作业设计：填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
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课题：空间中直线与直线的位置关系（一）
编制人：审核人：下科行政：
【学习目标】
1.理解空间中直线与直线的位置关系
2.理解公理4及等角定理，并能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题
自主学习案
【知识梳理】
1、空间两条直线的位置关系
（1）异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
②图示：
（2）空间两条直线的位置关系
共面直线：相交直线：___________________________________
空间中的直线平行直线：___________________________________
异面直线：___________________________________
2、平行直线的公理及定理
（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行，用数学符号表示为_______________。
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_________或_________ 3、空间四边形
顺次连结不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形。
【预习自测】
1.如果直线m和n没有公共点，则直线m和n的位置关系是（）
A．异面 B.平行 C.相交 D.平行或异面
2. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另外一条直线的关系是（）
A．平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
3．空间任意两个角,
θ，则ϕ为。
ϕ
θ、且θ与ϕ的两边对应平行，︒
=60
【合作探究】
例1.如图所示，E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边的中
点。
（1）证明：四边形EFGH为平行四边形
（2）如果AC=BD,那么EFGH是什么四边形
例2.如图，已知E 、F 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1上的点，且AE=C 1F.求证：EB//D 1F 。
例3.如图，已知E 、E 1是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1上的中点,求证：
111C E B BEC ∠=∠
【当堂检测】
1. “是异面直线、b a ”是指：①b a b a 不平行于且φ≠⋂；②
αα平面，平面⊄⊂b a ；
③φβα≠⋂⊂⊂b a b a 且平面平面,；④ααα⊂⊂b a 且，使不存在平面.其中正确的是（ ）
A ．①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 2.设AA 1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1异面的棱共有_______条
3、若111B O A AOB ∠=∠,且的方向相同与11,//OA OA OA OA ，则下列结论正确的是（ ）
A ．且方向相同,//1O
B OB B.1//OB OB
C ．不平行与1OB OB D.不一定平行与1OB OB
课后练习案
1. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面AA 1B 1B 和面BB 1C 1C 的对角线的交点，则在长方体的所有顶点间的线段中与EF 平行的是 。
2.已知直线a 、b 确定了一个平面α ，又平面c =⋂αβ，且β⊂d ，下列结论：①
d c //；
②相交与d a ；③异面与d c ；④d b //；⑤异面与b d .可能正确的是 。
3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点. 求证：（1）四边形MNA 1C 1是梯形；（2）111C A D DNM ∠=∠
4.如图，已知'
'',,CC BB AA 不共面，且
'
'
'
'
'
'
'
'
,//,,//CC BB CC BB BB AA BB AA ==，求证：'
'
'
C B A ABC ∆≅∆
A
1
B 1
A
C
C
1
A
B
5.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AA 1、CC 1上的中点， （1）判断四边形D 1PBQ 的形状
（2）若正方体的棱长为2,求QB D 1 的余弦值
A 1
B 1
A
C
C 1。