2018年秋九年级数学下册北师大版(贵阳专版)同步作业课件：3.3 垂径定理(共23张PPT)
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北师大版九年级数学下册教学课件-3-3 垂径定理
P D
B
重合．
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.
求证：AP=BP，
⌒⌒ AC =BC,
A⌒D
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD， ∴AP=BP，
从而∠AOD=∠BOD.
例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段
弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
∴A⌒D =⌒BD，
⌒ AC
=B⌒C.
∠AOC=∠BOC.
·O
AP
B
C
归纳总结 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C 推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP, A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.(结论)
·O
AP
B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
O. A CED B
5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》课件_5
探究
练习
小结 下节课学习内容： 垂径定理的进一步推广，垂径定理常见的几
作业 个图形，强化练习。
结束
圆的轴对称性
目录
引入
同学们，请拿出课前准备好的圆形纸片，沿
目标
着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得到什么结论？
探究
练习 可以发现：圆是轴对称图形，任何一 小结 条直径所在直线都是圆的对称轴．
轴
对 称
性
垂 径 定 理
的 推 论
垂 径 定 理
数 作形 图给 法合
法
新知探究1
圆的轴对称性
目录
引入
同学们，请拿出课前准备好的圆形纸片，沿
目标
着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得到什么结论？
探究
练习 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何 小结 一条直径所在直线都是圆的对称轴．
作业 对称
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）CD ⊥AB吗？弧AC等于弧BC吗？弧AD等于弧BD吗 ?
C
探究
CD是直径
练习 CD平分AB
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C
A⌒D=B⌒D
·O
小结 平分弦（不是直径）的直径垂
E
直于弦,并且平 分弦所对的弧。 A
B
作业
D
对称 练习
定理
练习
推论
作图 数形
定理
练习
B C
O
推论
作图 数形
解决问题
目录
数形结合法
引入
C
目标
连半径、
对于弦长、
探究 练习
作弦心距。 利用垂径 定理和勾
练习
小结 下节课学习内容： 垂径定理的进一步推广，垂径定理常见的几
作业 个图形，强化练习。
结束
圆的轴对称性
目录
引入
同学们，请拿出课前准备好的圆形纸片，沿
目标
着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得到什么结论？
探究
练习 可以发现：圆是轴对称图形，任何一 小结 条直径所在直线都是圆的对称轴．
轴
对 称
性
垂 径 定 理
的 推 论
垂 径 定 理
数 作形 图给 法合
法
新知探究1
圆的轴对称性
目录
引入
同学们，请拿出课前准备好的圆形纸片，沿
目标
着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得到什么结论？
探究
练习 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何 小结 一条直径所在直线都是圆的对称轴．
作业 对称
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）CD ⊥AB吗？弧AC等于弧BC吗？弧AD等于弧BD吗 ?
C
探究
CD是直径
练习 CD平分AB
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C
A⌒D=B⌒D
·O
小结 平分弦（不是直径）的直径垂
E
直于弦,并且平 分弦所对的弧。 A
B
作业
D
对称 练习
定理
练习
推论
作图 数形
定理
练习
B C
O
推论
作图 数形
解决问题
目录
数形结合法
引入
C
目标
连半径、
对于弦长、
探究 练习
作弦心距。 利用垂径 定理和勾
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
新北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(12张)
D
AC =AB ,
B
BC =BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 8:49:20 AM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
D
O
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
北师大版九年级下册第三章3.3垂径定理(共33张PPT)
•o
┐E
A
C
D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径或半径”作为辅助线， 实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
2、若圆的半径为2，圆中一条弦长 为 2 3 ，则弦的中点到弦所对的 劣弧中点的距离为 。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6 EF=10, AH=4， 求BE的长.
A的半径为5，弦AB=8， 点P为弦AB上的一动点， 则OP的 取值范围是 。 6、已知⊙ O的半径为6，OP=4，过 点P作⊙ O的弦中，最长为 ， 最短为 。
7、已知⊙ O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。 8、在半径为1的⊙ O中，弦AB， AC的长分别是 3 , 2 , 求∠BAC的度数。
C
c B
C
C
A
O A D E B
D O
O
O A E B
A E D B
看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
E E E
A 如图，已知在⊙ O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙ O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB
E
.
B
O
在Rt△AOE中，根据勾股定理,得 OA＝ AE 2 OE 2 3 2 4 2 5 厘米 ∴⊙ O的半径为5厘米。 若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
●
n
么这两条弦所夹的弧相等吗?
B D O B D
A C
●
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
课本 P76 1.随堂练习第1题 2.习题第1，2，3题
1.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE •o ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
┐E
A
C
D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径或半径”作为辅助线， 实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
2、若圆的半径为2，圆中一条弦长 为 2 3 ，则弦的中点到弦所对的 劣弧中点的距离为 。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6 EF=10, AH=4， 求BE的长.
A的半径为5，弦AB=8， 点P为弦AB上的一动点， 则OP的 取值范围是 。 6、已知⊙ O的半径为6，OP=4，过 点P作⊙ O的弦中，最长为 ， 最短为 。
7、已知⊙ O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。 8、在半径为1的⊙ O中，弦AB， AC的长分别是 3 , 2 , 求∠BAC的度数。
C
c B
C
C
A
O A D E B
D O
O
O A E B
A E D B
看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
E E E
A 如图，已知在⊙ O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙ O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB
E
.
B
O
在Rt△AOE中，根据勾股定理,得 OA＝ AE 2 OE 2 3 2 4 2 5 厘米 ∴⊙ O的半径为5厘米。 若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
●
n
么这两条弦所夹的弧相等吗?
B D O B D
A C
●
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
课本 P76 1.随堂练习第1题 2.习题第1，2，3题
1.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE •o ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
【精品】2018数学九年级下北师大版3.3垂径定理同步课件(23张)
∴ ¼ AC＝ B»D
2.两条弦在圆心的两侧
M
证明：连接OA、OB、OC、OD， 作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，
由垂径定理，得：
¼ AM ＝ B¼M ，C¼N ＝ D¼N ,
∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON N ∵∠AOM＋∠AOC ＋ ∠CON＝180°
∠BOM ＋ ∠BOD ＋ ∠DON＝180° ∴ ∠AOC＝∠BOD ∴ ¼AC ＝ B»D
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
证明：连接OA、OB、OC、OD， 作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， 由垂径定理，得：
¼ AN＝ B¼N，C¼N＝D¼N ,
N
∴∠AON ＝∠BON，∠CON ＝ ∠DON
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON
即 ∠AOC ＝ ∠BOD
垂径定理
定理回顾 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
应用一下:
如图，完成下列各题：
B′
（1）∵ »AB ＝ ¼ AB
O A′
∴∠AOB＝ ∠AOB ,AB＝ AB.
M
AM＝BM
O
O
AC＝BC
D 图①
D 图②
AD＝BD
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
该定理的题设是： 垂直于弦的直径
该定理的结论是：
平分这条弦，并且 平分弦所对的弧
几何语言叙述定理：
A
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，
2018届北师大版九年级数学下册教案：3.3垂径定理
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理是指在圆中，直径垂直于弦，并且将弦平分。这个定理在解决与圆有关的问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例，展示垂径定理如何应用于实际问题的解决，如求解弦长、确定圆上点的位置等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的基本概念和应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过举例和动态演示来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我对教学过程进行了深入思考。首先，我觉得在导入环节提出与生活相关的问题，确实能够激发学生的学习兴趣，使他们更快地进入学习状态。但在实际操作中，我发现部分学生对问题的理解还不够深入，可能需要我在提问时更加具体、明确。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和圆规作出直径垂直于弦的图形，观察并验证垂径定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理是指在圆中，直径垂直于弦，并且将弦平分。这个定理在解决与圆有关的问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例，展示垂径定理如何应用于实际问题的解决，如求解弦长、确定圆上点的位置等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的基本概念和应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过举例和动态演示来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我对教学过程进行了深入思考。首先，我觉得在导入环节提出与生活相关的问题，确实能够激发学生的学习兴趣，使他们更快地进入学习状态。但在实际操作中，我发现部分学生对问题的理解还不够深入，可能需要我在提问时更加具体、明确。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和圆规作出直径垂直于弦的图形，观察并验证垂径定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。