初中数学知识点017 二次函数概念、性质和图象A真题及答案
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
中考复习精品讲义 二次函数的定义与性质(含答案)
第一讲 二次函数(一) : 二次函数的定义与性质二次函数的概念形如2y ax bx c =++( ,,a b c 是常数, 0a ≠)的函数, 叫做二次函数.注: (1) 等号左边是函数, 右边是关于自变量x 的二次式(x 的值范围是全体实数);(2) ,,a b c 是常数, a (0a ≠)是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项, ,b c 可以为零. 知识点二: 二次函数的基本形式1、二次函数基本形式: 2y ax =的性质:2、2y ax c =+的性质: 上加下减.3、y a x h =-的性质: 左加右减.4、y a x h k =-+的性质:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+, 确定其顶点坐标()h k ，; (2) 保持抛物线2y ax =的形状不变, 将其顶点平移到()h k ，处, 注: 概括成八个字“左加右减, 上加下减”.知识点四: 二次函数2y ax bx c =++的性质1、当0a >时, 抛物线开口向上, 对称轴为2bx a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时, y 随x 的增大而减小; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时, y 有最小值244ac ba-.2、当0a <时, 抛物线开口向下, 对称轴为2b x a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 当2bx a <-时, y 随x 的增大而增大; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而减小; 当2bx a =-时, y 有最大值244ac b a-.:① 一般地, 自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: ________________, 则称y 为x 的二次函数.② 二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.③ 二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y 轴(即直线x ＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b ＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x 轴上.④ 二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a 决定抛物线的__________和__________. 当a ＞0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. 当a ＜0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. |a |越大, 则抛物线的开口越________.(2) 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置: 当a 与b 同号时(即ab ＞0), 对称轴在y 轴______; 当a 与b 异号时(即ab ＜0), 对称轴在y 轴______. (左同右异) (3) 常数项c 决定抛物线与y 轴的交点, 抛物线与y 轴交于________. (答案: (0, c ) ) ⑤ 抛物线与坐标轴的交点 (1) 抛物线与x 轴的交点:当__________时, 抛物线与x 轴有两个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴有一个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴没有交点. (2) 抛物线与y 轴的交点坐标是__________.⑥ 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有解x 1, x 2, 则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x 轴无交点时, 一元二次方程无实数根.2、已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x ＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x ＜3时, y 随x 的增大而减小. 则其中说法正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到, 则下列平移过程正确的是( ) A . 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位 B . 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位 C . 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位 D . 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点. 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式.5、如图, 点A(－2, 0)、B(4, 0)、C(3, 3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上, 点D在y轴上, 且DC⊥BC, ∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.(1) 求抛物线的解析式; (2) CF能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E的坐标.y＝x2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为()A. y＝x2－1B. y＝x2＋1C. y＝(x－1)2D. y＝(x＋1)22、二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A. (－1, 8)B. (1, 8)C. (－1, 2)D. (1, －4)3、已知点A(x1, y1)、B(x2, y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上, 若x1＞x2＞1, 则y1________y2(填“＞”、“＝”或“＜”).4、已知下列函数: ①y＝x2; ②y＝－x2; ③y＝(x－1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________.7、二次函数y ＝2x 2－4x －1的最小值是___________________.8、二次函数y =x 2－mx +m －2的图象的顶点到x 轴的距离为25/16, 求此二次函数.9、(2014黑龙江绥化) 如图, 抛物线y=﹣x 2+3x+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点, 点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2. ① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点.(1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.参考答案:①一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系: ________________, 则称y为x的二次函数. (答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0) )②二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.(答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0); y＝a(x－h)2＋k(a≠0);y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). )③二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y轴(即直线x＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x轴上.(答案: 抛物线; x＝－b2a; b＝0; 顶点; ⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a; y轴; b2－4ac＝0.)④二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a决定抛物线的__________和__________.当a＞0时, 抛物线开口向________, y有最______值.当a＜0时, 抛物线开口向________, y有最______值.|a|越大, 则抛物线的开口越________.(答案: 开口方向; 开口大小; 上; 小; 下; 大; 小. )(2) 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置: 当a与b同号时(即ab＞0), 对称轴在y轴______; 当a与b异号时(即ab＜0), 对称轴在y轴______. (左同右异)(答案: 左边; 右边. )(3) 常数项c决定抛物线与y轴的交点, 抛物线与y轴交于________. (答案: (0, c) )⑤抛物线与坐标轴的交点(1) 抛物线与x轴的交点:当__________时, 抛物线与x轴有两个交点; (答案: b2－4ac＞0 )当__________时, 抛物线与x轴有一个交点; (答案: b2－4ac＝0)当__________时, 抛物线与x轴没有交点. (答案: b2－4ac＜0 )(2) 抛物线与y轴的交点坐标是__________. (答案: (0, c) )⑥一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有解x1, x2, 则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x轴无交点时, 一元二次方程无实数根. (答案: (x1, 0), (x2, 0) )2、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x＜3时, y随x的增大而减小. 则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解: 由二次函数解析式可知a＝2＞0, 所以二次函数的图象开口向上, 其图象的对称轴方程是x＝3, 顶点坐标为(3, 1), 且在对称轴的左侧, 即当x＜3时, y随x的增大而减小, 显然①②③均错误, 只有④正确. 故选A.3、抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到, 则下列平移过程正确的是( )A. 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位解: 抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2, 再向下平移3个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2－3. 故选B.4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点.求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.解: 把A (－2, －4), O (0, 0), B (2, 0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c , 得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0.解得a ＝－12, b ＝1, c ＝0. 所以所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x .5、如图, 点A (－2, 0)、B (4, 0)、C (3, 3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上, 点D 在y 轴上, 且DC ⊥BC , ∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F . (1) 求抛物线的解析式;(2) CF 能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E 的坐标; 若不能, 说明理由;解: (1) 把(－2, 0), (4, 0), (3, 3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，0＝16a ＋4b ＋c ，3＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝65，c ＝245.∴y ＝－35x 2＋65x ＋245. (2) CF 能经过抛物线 的顶点.设此时点E 的坐标为(m , 0), 过点C 、F 的直线为y ＝kx ＋b ,由(1)知抛物线的顶点坐标为(1, 275).∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3k ＋b ，275＝k ＋b ，∴⎩⎨⎧k ＝－65，b ＝335，∴y ＝－65x ＋335.作CM ⊥x 轴,CN ⊥y 轴, 垂足分别为M 、N , 则∠FCE ＝∠NCM ＝90°,∴∠FCN ＝∠ECM .又∵∠FNC ＝∠EMC , CN ＝CM ＝3, ∵△FNC ≌△EMC . ∴FN ＝EM , 即 335－3＝3－m , ∴m ＝－35, 即CF 能经过抛物线的顶点, 此时点E 的坐标为(－35, 0).y ＝x 2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为( A ) A . y ＝x 2－1 B . y ＝x 2＋1 C . y ＝(x －1)2 D . y ＝(x ＋1)22、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( A )A . (－1, 8)B . (1, 8)C . (－1, 2)D . (1, －4)3、已知点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上, 若x 1＞x 2＞1, 则y 1________y 2(填“＞”、“＝”或“＜”). (答案: ＞)4、已知下列函数: ①y ＝x 2; ②y ＝－x 2; ③y ＝(x －1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数 y ＝x 2＋2x －3的图象的有________(填写所有正确选项的序号). (答案: ①③)526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________. (答案: 8)2点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.解: (1)令y=0, 则﹣x 2+3x+4=﹣( x+1)( x ﹣4)=0, 得 x 1=﹣1, x 2=4.∴A(﹣1, 0), B(4, 0). 当x=3时, y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3, 4). 如图, 连接CD, 过点D 作DE ⊥BC 于点E. ∵C( 0, 4), ∴CD ∥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°. 在直角△OBC 中, ∵OC=OB=4, ∴BC=4.在直角△CDE 中, CD=3. ∴CE=ED=2,∴BE=BC ﹣DE=2. ∴tan ∠DBC==3/5;(2) 过点P 作PF ⊥x 轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°, ∴∠PBF=∠DBC, ∴tan ∠PBF=3/5. 设P( x, ﹣x 2+3x+4), 则=3/5, 解得 x 1=﹣2/5,x 2=4(舍), ∴P(﹣2/5,).)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2. ① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点. (1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.。
二次函数概念、图象及性质讲义(含答案)
二次函数初探——表达式、图象及性质一、知识点睛1． 一般的，形如_____________________________________的函数叫做x 的二次函数．2． 二次函数的一般式：________________________________； 二次函数的顶点式：________________________________；二次函数的一般式常用来 ，因为有 个未知数，故一般需要知道 点坐标，分别代入得到 个方程，组成方程组求解；二次函数的顶点式常用来 ，记住口诀： ．3． 二次函数的图象是 ，是 图形，对称轴是 ，顶点坐标是 ．4． 二次函数中，a 的符号决定了抛物线开口的方向，当 时，开口向 ，当______时，开口向 ；c 是图象与_ 交点的______；b 的符号判断方法是：与a ．5． 二次函数中，当a 时，函数有最 值，是 ；当a 时，函数有最 值，是 ；当a 时，图象以对称轴 为界，左侧y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ；当a 时，图象以对称轴 为界，左侧y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ．二、精讲精练1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有 ．① 2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+； ④222y x =+；⑤2y x =-；⑥231252y x x =-+；⑦215s t t =++ ； ⑧ 220x y -+=． 2. 函数72)3(--ax a y =为二次函数，则a =（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．53. 通过配方把221213y x x =-+写成k h x a y +=2)(-的形式（ ）A ．2(3)5y x =--B ．2(3)5y x =+-C ．22(3)5y x =-+D ．22(3)5y x =--4.抛物线21323y x x=-+-与2yax=的形状相同，而开口方向相反，则a=（）A．13-B．3 C．-3 D．135.抛物线5)3(2+=-xy的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．开口向上；直线3x=-；（-3，5）B．开口向上；直线3=x；（3，5）C．开口向下；直线3=x；（-3，-5）D．开口向下；直线3x=-；（3，-5）6.（2011湖南永州）由二次函数22(3)1y x=-+，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线3x=-C．其最小值为1D．当3x<时，y随x的增大而增大7.（2011广东肇庆）二次函数522-+=xxy有（）A．最大值5-B．最小值5-C．最大值6-D．最小值6-8.二次函数221(0)y kx x k=++<的图象可能是（）x xA B C9.反比例函数xky=的图象如图，则二次函数222kxkxy+-=的图象为（）x xA BxC D10. （2011安徽芜湖）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A B C D11. 在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx ²+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能．．是（ ）D12. （2011重庆江津）将抛物线y =x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．13. 抛物线y = (x +2)²-3可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是( ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位14. 抛物线2y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（ ）xA ．b =2，c =3B ．b =2，c =6C ．b =-2，c =-1D ．b =-3，c =215. 已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）． A ．22(2)2y x =-+ B ．22(2)2y x =+- C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++16. 已知抛物线2115322y x x =---，将它配成顶点式为 ，图象的对称轴是直线 ，当______时， y 随x 的增大而减小，顶点坐标为________，当x = 时，y 有最 值，是 ．17. 抛物线y=2(x+m )2+n (m ，n 是常数)的顶点坐标是 ；c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；2241y x x =-++顶点坐标是 ，对称轴是 ．18. 抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是(-1，-2)，则b 与c 的值分别是 、 ．19. 要使二次函数y =mx 2 +2m 的图象开口向上，则m ；抛物线2112y x =-开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，有 值，是 ．20. 已知二次函数的图象经过点A （12，0），B （0，2），C （1， -1），求此二次函数的解析式.【练习】已知二次函数的图象经过点A （2，0），B （-8，152-），C （－1，3），求此二次函数的解析式.21. 二次函数图象顶点坐标是(1，-3)，且过(3，-15)．求二次函数解析式．22. 已知抛物线2145333y x x =-++.（1）把它配方成2()y a x h k =-+形式； （2）写出它的顶点M 的坐标、对称轴和最值；（3）求出图象与x 轴的交点A 、B （A 在B 点的左侧）的坐标，与y 轴的交点C 的坐标；（4）作出函数图象，根据图象指出x 取什么值时y ＞0； （5）求△AMB 的面积．x讲义答案：一、 知识点睛1.2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)2.2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；224()24b ac b y a x a a-=++；求表达式；3；3；平移；左加右减，上加下减 3.抛物线；轴对称；2b x a=-；24(,)24b ac b a a -- 4.0a >；上；0a <；下；y 轴；纵坐标；左同右异5. 0a >；小；244ac b a -；0a <；大；244ac b a -；0a >；直线2b x a=-；减小；增大；0a <；直线2bx a=-；增大；减小 二、精讲精练1.①③⑤⑦⑧2.A3.D4.D5.B6.C7.D8.C9.D 10.D 11.D12.21027y x x =-+ 13.B 14.B 15.B16.21(3)32y x =-+-；3x =-；3x >-；()3,3--；-3；大；-317. (,)m n -；24(,)24b ac b a a--；()1,3；直线1x =18.4，0 19.>0；下；y 轴或直线0x =；(0,1)；最大；120.2252y x x =-+；2135442y x x =--+ 21.2366y x x =-+-22.(1)21(2)33y x =--+ (2) M ()2,3 ；直线2x =；max 3y = (3)A ()1,0-；B ()5,0；C 50,3⎛⎫⎪⎝⎭(4)15x -<< (5)9 作业：1．已知点（a ，8）在二次函数y ＝ax 2的图象上，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．2．若y =(2-m)23m x -是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）A． B ．CD ．03．已知h 关于t 的函数关系式为h =12gt 2（g 为正常数，t 表示时间），则函数的图象为（ ）A B C D 4．抛物线y ＝x 2＋2x -2的图象最低点的坐标是（ ）A ．（2，-2）B ．（1，-2）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）5．（2011江苏无锡）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点（0，1）的是（ ）A ．y = (x − 2)2 + 1B ．y = (x + 2)2 + 1C ．y = (x − 2)2 − 3D ．y = (x + 2)2 – 3 6．二次函数226y x x =+-有（ ）A ．最大值-6B ．最小值-6C ．最大值-7D ．最小值-77．小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的六条信息：① a ＜0，②c =0，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >，⑥对称轴是直线x =2．你认为其中正确的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．认真观察图象，下面给出的四个结论你认为错误的是（ ）A ．图象开口向下B ．抛物线与y 轴交点为（0，6）C ．当x =1时，函数值有最小值8D ．对称轴是直线x=1xx第8题图 第9题图9．二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．000><>c b a ，，B ．a b c <<>000，，C ．a b c <><000，，D ．a b c <>>000，， 10．（2011四川凉山州）二次函数函数a y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例正比例函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）xxxA B C D11．在同一平面直角坐标系中，函数y =kx +k 和函数y =-kx 2+4x +4（k 是常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）D12．（2010甘肃兰州）抛物线y =ax 2+bx +c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b ,c 的值为（ ） A. b =2，c =2 B. b =2，c =0 C. b = -2，c =-1 D. b = -3，c =213．函数y =9-4x 2，当x ____时，y 随x 的增大而增大，当x =_____时有最大值________．14．函数21213y x x =-++，当x ____时，y 随x 的增大而减小．15．抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标是（-1，4），则b 与c 的值分别是 、 ．16．用配方法求下列函数图象的对称轴、顶点坐标；求与x 轴的交点坐标．（1）y =4x 2+24x +35； （2）y =-3x 2+6x +2；（3）y =x 2-x +3； （4）y =2x 2+12x +18．17．用公式法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标、最值．（1）221213y x x =-+； （2）2580319y x x =-+-；（3）21212y x x =--； （4）2(2)(4)y x x =---．18．根据二次函数图象上的三个点的坐标，求出函数的解析式：（1）（-1，3），（1，3），（2，6）； （2）（-1，-1），（0，-2），（1，1）； （3）（1，2），（3，0），（-2，20）．19．二次函数的顶点坐标是（-2，-3），且过点（1，9），求二次函数的解析式．20．（2010广东广州）已知抛物线y ＝-x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内 描点画出该抛物线的图象；（31122满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．x21．（2010山西）已知二次函数y＝x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A,B,C,D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）说出抛物线y＝x2-2x-3可由抛物线y＝x2如何平移得到；（3）求四边形OCDB的面积．作业答案：1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.D8.C9.D 10.B 11.D 12.B 13.<0，0，9 14.>3 15.-4、216．（1）对称轴为直线x=﹣3，顶点坐标（﹣3，-1），交点坐标5(,0)2A-，7(,0)2B-（2）对称轴为直线x=1，顶点坐标（1，5），交点坐标(1A+，(1B（3）对称轴为直线12x=，顶点坐标111(,)24，与x轴没有交点（4）对称轴为直线x=﹣3，顶点坐标（﹣3，0），交点坐标（﹣3，0）17．（1）对称轴为直线x=3，顶点坐标（3，﹣5），最小值为﹣5（2）对称轴为直线x=8，顶点坐标（8，1），最大值为1（3）对称轴为直线x=2，顶点坐标（2，﹣3），最小值为﹣3（4）对称轴为直线x=3，顶点坐标（3，2），最大值为218．（1）y=x2+2 （2）y=2x2+x-2 （3）y=x2-5x+619．42233y x=+-（）41672333y x x=++或20．（1）直线x=1，（1，3）（2）略（3）y1<y2 21．（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）D（1，-4）（2）先向右平移一个单位，再向下平移4个单位（3）152第 11 页共 11 页。
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题（含答案）知识点一：二次函数的概念及解析式 1.一次函数的定义形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y =(a －1)x 2是二次函数，那么a 的取值范围是a ≠0. 2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax 2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h ,k ）; ③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.变式练习：如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B ，C 两点的坐标； (3)求过O ，B ，C 三点的圆的 面积．(结果用含π的代数式表示)解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－5，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5(2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2，可知AB ＝6，∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)，∵y ＝x 2－4x －5， ∴C 点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC ，则△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5，∴BC ＝52， ∴圆的半径为522，注意：若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设交点式.∴圆的面积为π(522)2＝252π知识点二 ：二次函数的图象与性质变式练习2：当0≤x ≤5时，抛物线y=x 2+2x+7的最小值为7 .变式练习2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( ) A. 函数有最小值B. 对称轴是直线x ＝12C. 当x ＜12时，y 随x 的增大而减小 D. 当－1＜x ＜2时，y ＞0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a ＞0，函数有最小值，正确，故本选项不顶点坐标 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性 当x >2ba -时，y 随x 的增大而增大；当x ＜2b a-时，y 随x 的增大而减小. 当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小；当x＜2b a-时，y 随x 的增大而增大.最值x=2ba -，y 最小＝244ac b a -.x =2ba -，y 最大＝244ac b a-. 注意：（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.符合题意；B.由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故本选项不符合题意；C.因为a ＞0，所以，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x ＜2时，y ＜0，错误，故本选项符合题意． 2.系数a 、b 、c 的关系注意某些特殊形式代数式的符号： ① a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对称 某些特殊形式代数式的符号： ② a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ④ 2a+b 的符号，需判断对称 ③ a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值.轴-b/2a 与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a ＞1，再根据a 的符号即可得出结果.④2a-b 的符号，需判断对称轴与-1的大小.3．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( D ) A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小系数a 、b 、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下.a 、b 决定对称轴（x=-b/2a ）的位置当a ，b 同号，-b/2a ＜0，对称轴在y 轴左边；当b ＝0时， -b/2a=0，对称轴为y 轴；当a ，b 异号，-b/2a ＞0，对称轴在y 轴右边． c决定抛物线与y 轴的交点的位置当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在正半轴上；当c ＝0时，抛物线经过原点； 当c ＜0时，抛物线与y 轴的交点在负半轴上.b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点; b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点;b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大知识点三 ：二次函数的平移平移与解析式的关系平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象变式练习1：将抛物线y=x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x －2）2． 变式练习2：如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋3变式练习3：已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( ) A. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B. 若图象与x 轴有交点，则a ≤4C. 当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是1＜x ＜3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1， －2)，则a ＝－3【解析】C ∵y ＝x 2－4x ＋a ，∴对称轴x ＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，所以A 选项正确；B.∵b 2－4ac ＝16－4a ≥0，即a ≤4时，二次函数和x 轴有交点，所以B 选项正确；C.当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，所以C 选项错误；D.y ＝x 2－4x ＋a 配方后是y ＝(x －2)2＋a －4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y ＝(x ＋1)2＋a －3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a ＝－3，所以D 选项正确，故选C.知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式注意：1)二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式2)抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.无论是什么函数，左右移影响着x 的变化，左移x 加，右移x 减；上下移影响着y 的变化，上移y 减，下移y 加。
二次函数图像与性质总结(含参考答案)
二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值2+ax c)2h4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次Array函数图象的平移平移步骤：)k，；⑴caxy+=2变成bx+=2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，caxbxy++++y+=2（或maxcmbx+=2）y-+axcbx⑵caxy+=2变成+bxy+=2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，caxbx++++)y+(=)(2（或cmaxcxmb-+=))-(2）(axy+bmmx三、二次函数()2=-+与2y a x h k=++的比较y ax bx c从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为b ．2bx a=- 2. 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-2b x a=-时，y 有0a ≠）；0a ≠）；x 轴两交点的横坐标）.240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，0b -<，即抛物线的对称轴在y0，在y 轴的右侧则0<ab ，总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：有如下几种情况：．2=---；y ax bx c()2=---；y a x h k2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )个 个 C. 3个 D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x xx-=的正根的个数为（ ） 个 个 个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
(完整版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 二次函数的定义：形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。
3. 二次函数的性质与图像：x 的增大而增大； 的增大而减小； 的增大而增大； 的增大而减小；①若二次函数是一般形式时，则二次函数与y 轴的交点坐标为()c ，0。
若0＞c ，则二次函数与y 轴交于正半轴；若0＜c ，则二次函数与y 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
专项练习题1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系【分析】根据题意列出y 与x 的关系式可得答案． 【解答】解：由题意得，y ＝40﹣2x ， 所以y 与x 是一次函数关系， 故选：B ．2．（2022•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣c （a ≠0），其中b ＞0、c ＞0，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C．D．【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B 、化简二次函数：y ＝﹣3x 2+3x +6， ∵a ＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下， ∴B 错误；C 、∵二次函数对称轴是直线x ＝﹣＝， ∴C 错误；D 、∵3（x +1）（2﹣x ）＝3x ， ∴﹣3x 2+3x +6＝3x ， ∴﹣3x 2+6＝0， ∵b 2﹣4ac ＝72＞0，∴二次函数y ＝3（x +1）（2﹣x ）的图象与直线y ＝3x 有两个交点， ∴D 正确； 故选：D ．4．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．21或4 B ．34或﹣21 C ．﹣34或4 D ．﹣21或4 【分析】分两种情况讨论：当a ＞0时，﹣a ＝﹣4，解得a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，9a ﹣a ＝﹣4，解得a ＝﹣．【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1， 顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ， ∵y 的最小值为﹣4， ∴﹣a ＝﹣4， ∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值， ∴9a ﹣a ＝﹣4， 解得a ＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，故选：D．6．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．7．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故A不正确；∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，故B不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C．8．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）C．该函数有最大值，最大值是5D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．9．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：B．10．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m ＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．12．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝2C．抛物线的顶点坐标为（2，1）D．当x＜2时，y随x的增大而增大【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D．13．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．15．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．16．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），∵抛物线顶点在第四象限，∴m＜0，n＜0，∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，故选：D．17．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．18．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．19．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故选：A．20．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a 的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点（1，﹣3），∴当y ＝﹣3时，x ＝1，当y ＝15时，2（x ﹣1）2﹣3＝15，解得x ＝4或x ＝﹣2，∵当0≤x ≤a 时，y 的最大值为15，∴a ＝4，故选：D ．21．（2022•嘉兴）已知点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3（k 为常数，k ≠0）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（ ）A ．1B ．23C ．2D ．25 【分析】由点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，可得，即得ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣，根据ab 的最大值为9，得k ＝﹣，即可求出c ＝2．【解答】解：∵点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，∴，由①可得：ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣， ∵ab 的最大值为9，∴k ＜0，﹣＝9，解得k ＝﹣，把k ＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c ，∴c ＝2，故选：C ．22．（2022•凉山州）已知实数a 、b 满足a ﹣b 2＝4，则代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14的最小值是 ．【分析】根据a ﹣b 2＝4得出b 2＝a ﹣4，代入代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵a ﹣b 2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．。
二次函数的图象和性质(含详细参考答案10页)
2018年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 1 考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点． 对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ） A ．y=（x+1）2-1 B ．y=（x+1）2+1。
考点07 二次函数的图像与性质(解析版)
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
(完整版)二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题包括答案
二次函数一、二次函数看法：1．二次函数的看法：一般地，形如y ax2bx c （ a ，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c的结构特色：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的张口越小。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质x0 时， y 随x的增大而增大；x0 时， y 随a0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 ．0 ，0x0 时， y 随x的增大而减小；x0 时， y 随a0向下y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 ．2.y ax2c 的性质：上加下减。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质x0 时， y 随x的增大而增大；x0 时， y 随a0向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值c．x0 时， y 随x的增大而减小；x0 时， y 随a0向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值c．3.y a x2 h的性质：左加右减。
a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质h ，0x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a向上X=hx 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 0 ．h ，0x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a向下X=hx 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 0 ．4. y a 2k 的性质： x ha 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a向上X=hx 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k ．ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线剖析式转变为极点式 2h ，k ；y a x hk ，确定其极点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详尽平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0)【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h 2 k 与 y ax 2 bx c 的比较从剖析式上看，y a x2k 与 y ax2bx c 是两种不同样的表达形式，后者经过配方可以得hb 24ac b 2b，k4ac b2到前者，即 y a x，其中h．2a4a2a4a六、二次函数 y ax2bx c的性质1.当 a0 时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而减小；2a当 x b时， y 随x的增大而增大；2a时， y 有最小值4ac2当x b b ．2a4a2.当 a0 时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为 b ，4ac b 2．当x b 时，2a2a4a2ab b时， y 有最大值4ac b2y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小；当x．2a 2 a4a七、二次函数剖析式的表示方法1.一般式： y ax2bx c （ a ，b， c 为常数，a0 ）；2.极点式： y a (x h) 2k （ a ，h，k为常数，a0 ）；3.两根式（交点式）： y a (x x1 )( x x2 ) （a 0，x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的剖析式都可以化成一般式或极点式，但其实不是所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 b 24ac0 时，抛物线的剖析式才可以用交点式表示．二次函数剖析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a⑴当 a 0 时，抛物线张口向上， a 的值越大，张口越小，反之 a 的值越小，张口越大；⑵当 a 0 时，抛物线张口向下， a 的值越小，张口越小，反之 a 的值越大，张口越大．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为y 轴）3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的地址．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特别情况 .图象与 x 轴的交点个数：①当24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元b二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根． .②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与y 轴必然订交，交点坐标为(0 ， c) ；二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y x24x7 的极点坐标是()A.(2,－ 11)B.（－ 2， 7）C.（ 2， 11）D. （ 2，－ 3）2.把抛物线 y2x2向上平移1个单位，获得的抛物线是（）A. y2( x1)2B. y2( x 1)2C. y2x2 1D. y2x213.函数y kx2k 和y k(k0) 在x同素来角坐标系中图象可能是图中的 ()4.已知二次函数y ax2bx c(a 0) 的图象以下列图,则以下结论 : ① a,b 同号 ;②当x 1 和 x 3 时,函数值相等;③ 4a b 0 ④当y 2 时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 ()个个 C. 3 个 D. 4 个5.已知二次函数y ax2bx c(a0) 的极点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2bx c 0 的两个根分别是x1和 x2（）Ａ．－１ .３6. 已知二次函数y ax2bx c 的图象以下列图，则点( ac,bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x22的正根的个数为（）x个个个 .3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且 OC=2.则这条抛物线的剖析式为A. y x2x 2B. y x2x 2C. y x2x 2 或 yx2x 2D. y x2x 2 或 y x2x 2二、填空题9．二次函数y x2bx 3 的对称轴是x 2 ，则 b_______。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
=-+的性质：y a x h k二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
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一、选择题1. （ 2016山东聊城，7，3分）二次函数y=a c bx x ++2(a,b,c 为常数且a 0≠)的图象如图所示，则一次函数y=a b x +与反比例函数y=xc的图象可能是【答案】C【逐步提示】第一步根据二次函数的图象先判断a 、b 、c 的符号，第二步由c 的符号确定反比例函数的图象分布象限，第三步由a 、b 的符号确定一次函数的图象增减性，第四步观察选项确定正确答案．【详细解答】解：根据二次函数c bx ax y ++=2的图象在平面直角坐标系中的位置可知a 、b 、c 的符号：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0；②∵抛物线的对称轴直线a bx 2-=在y 轴的右侧，∴02>-ab ，∴b >0；③∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴的正半轴上，∴c ＜0.由以上分析可知：一次函数b ax y +=的图象是一条自左向右呈上升趋势的直线，且与y 轴的交点(0，b )在y 轴的正半轴上；反比例函数xcy =的图象是双曲线，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.∴在同平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =的图象可能是C.故选择C .【解后反思】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟记这些函数的图象与性质，能够读出图象包含的信息．二次函数、反比例函数及一次函数，它们的图象、性质各有不同，特别是由抛物线在坐标系中的位置获取抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴的交点位置及个数等信息，是必须要熟练掌握的基本技能.①二次函数c bx ax y ++=2的图象是抛物线，抛物线在平面直角坐标系中的位置由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；当对称轴在y 轴左侧时，a 、b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a 、b 异号；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上时，c ＞0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上时，c ＜0，抛物线与y 轴的交点为原点时，c ＝0；抛物线与x 轴的交点个数由ac b 42-的符号决定，当ac b 42-＞0时，有2个交点，当ac b 42-＝0时，有1个交点，当ac b 42-＜0时，没有交点；②一次函数b ax y +=的图象是一条直线：当a ＞0时，直线自左向右呈上升趋势，当a ＜0时，直线自左向右呈下降趋势；当b ＞0时直线与y 轴的交点(0，b )在y 轴的正半轴上，当b ＜0时直线与y 轴的交点(0，b )在y 轴的负半轴上，当b ＝0时直线与y 轴的交点(0，b )为原点；③反比例函数xcy =的图象是双曲线，当c ＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，当c ＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.【关键词】二次函数；反比例函数；一次函数；数形结合思想； 2.2下列说法正确的是（ ）（A ）抛物线的开口向下 （B ）当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大 （C ）二次函数的最小值是－2 （D ）抛物线的对称轴是x=52-【答案】D【逐步提示】本题考查二次函数的性质，由x=－3和x=－2时，y=－2，可直接得出对称轴，即判断出D 正确． 【详细解答】解：从表格中得知当x=－3和x=－2时，y=－2，∴二次函数y=ax 2＋bx+c 对称轴为x=52-，故D 选项正确．故选D ．【解后反思】本题易出现根据表格数据不加分析而错选C． 【关键词】二次函数的性质4.（ 2016山东泰安，12，3分）二次函数2y ax bx c ＝＋＋的图象如图所示，那么一次函数y ax b ＝＋的图象大致是（ ）【答案】A【逐步提示】本题主要考查了二次函数、及一次函数的图象及性质，解题的关键是熟记这些函数的图象与性质，能够读出图象包含的信息．由二次函数2y ax bx c ＝＋＋的图象，结合二次函数的性质可以判断出a 、b 的符号，再由一次函数的性质可得到一次函数y ax b ＝＋的图象．【详细解答】解：∵2y ax bx c ＝＋＋的图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴左侧， ∴b ＞0．∴一次函数y ax b ＝＋经过第一、二、三象限．故答案为A .第12题【解后反思】二次函数的性质：当a ＞0时，抛物线开口向上；a ＜0时，抛物线开口向下；对称轴在y 轴左侧时，a 、b 同号；对称轴在y 轴右侧时，a 、b 异号．一次函数y ax b ＝＋的性质：当a ＞0，b ＞0时，图象经过第一、二、三象限；当a ＞0，b ＜0时，图象经过第一、三、四象限；当a ＜0，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当a ＜0，b ＜0时，图象经过第二、三、四象限．【关键词】二次函数的图象和性质；一次函数的图象和性质．5. (2016山东威海，11，3)已知二次函数y=-(x -a )2-b 的图象如图所示，则反比例函数y=abx与一次函数y=ax+b 的图象可能是 ( )【答案】B【逐步提示】由二次函数的图象可以确定待定系数a 、b 的取值范围，进而确定反比例函数y=abx与一次函数y=ax+b 的图象所经过的象限。
【详细解答】解：∵二次函数y=-(x -a )2-b 的图象的顶点为(a ，-b)，且在第四象限，∴a ＞0，-b ＜0，即a ＞0，b ＞0，ab ＞0，∴反比例函数y=abx的图像分布与第一、三象限，一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，故选择B.【解后反思】二次函数、反比例函数及一次函数，它们的图象、性质各有不同，特别是由抛物线在坐标系中的位置获取抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴的交点位置及个数等信息，必须要熟练掌握.①二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是抛物线，抛物线在平面直角坐标系中的位置由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；当对称轴在y 轴左侧时，a 、b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a 、b 异号；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上时，c ＞0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上时，c ＜0，抛物线与y 轴的交点为原点时，c=0；抛物线与x 轴的交点个数由b 2-4ac 的符号决定，当b 2-4ac ＞0时，与x 轴有2个交点；当b 2-4ac=0时，与x 轴有1个交点；当b 2-4ac ＜0时，与x 轴没有交点．②一次函数y=ax+b 的图象是一条直线：当a ＞0时，直线自左向右呈上升趋势，当a ＜0时，直线自左向右呈下降趋势；当b ＞0时直线与y 轴的交点(0，b)在y 轴的正半轴上，当b ＜0时直线与y 轴的交点(0，b)在y 轴的负半轴上，当b=0时直线与y 轴的交点(0，b)为原点.③反比例函数xcy的图象是双曲线，当c ＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，当c ＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.【关键词】二次函数的图像性质；反比例函数的图像性质；一次函数的图像性质；图像信息6.（ 2016山东省烟台市，11，3分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ①4ac<b 2；②a+c>b ；③2a+b>0； 其中正确的有A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【逐步提示】充分挖掘图中的信息，根据二次函数的图象与性质对各选择支逐一判断：根据二次函数与x 轴的交点的个数即可判断①；根据二次函数与x 轴的交点坐标，把x=﹣1代入二次函数的解析式，再结合图象即可判断②；根据对称轴即可得出﹣2ba=1，求出即可判断③. 【详细解答】解：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解,所以△=b 2-4ac >0，即4ac <b 2，故①正确；由二次函数图象可知，抛物线与x 轴的一交点在（-1,0）的右侧，所以a-b +c <0，即a +c <b ，故②错误； 因为二次函数的对称轴为x>1，所以﹣2ba>1，又因为a <0，所以即2a +b>0，故③正确，故答案为B . 【解后反思】解答此类问题常常用到如下知识：1.二次函数y =a x 2+bx +c 的有关性质，二次函数的图象为抛物线：a 决定开口方向，当a >0时抛物线开口向上，当a <0时抛物线开口向下；a 、b 共同决定对称轴位置，当a 、b 同号时，对称轴在x 轴的负半轴上（y 轴左侧）；当a 、b 异号时，对称轴在x 轴的正半轴上（y 轴右侧）；c 决定与y 轴交点的纵坐标，当c >0时，图象与y 轴交于正半轴（x 轴上方），当c <0时，图象与y 轴交于负半轴（x 轴下方）.b 2-4ac 的值决定与x 轴交点的个数，当大于b 2-4ac >0时，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有唯一一个交点；当大于b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点. 当x =1时，得 a b c ++的值；当x =－1时，得 a b c -+的值.2.二次函数y =ax 2+bx +c =a (x +2b a )2+244ac b a -的顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -)，对称轴为x =-2b a ,当a >0且x =﹣2b a时,二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值244ac b a -；当a <0且x =-2b a时,二次函数y =ax 2+bx +c 有最大值244ac b a -.3.解决此类问题的关键是掌握a 、b 、c 、x ＝－b2a 、a ＋b ＋c 、a-b ＋c 、b 2－4ac 等数量与抛物线的位置之间的关系，能将数形结合起来，并进行灵活转换. 另外还需具有将不等式或等式灵活变形的能力. 【关键词】二次函数的图象和性质；数形结合的思想；函数图象型；7. （ 2016山东省枣庄市，12，3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③a ＞b ；④4ac －b 2＜0．其中，正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【逐步提示】本题考查了二次函数性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．根据二次函数图象过原点，对①进行判断；令二次函数中x ＝1，判断②是否正确；根据对称轴及a 、b 的符号，判断③的正误；根据二次函数与x 轴的交点坐标个数，判断④的对错．【详细解答】解：∵抛物线过原点，∴c ＝0，∴abc ＝0，因此结论①正确；结合图象可知当x ＝1时， y ＝a ＋b ＋c＜0，因此结论②错误；∵二次函数对称轴x ＝2b a -＝32-，∴b ＝3a ，a －b ＝a －3a ＝－2a ，又∵二次函数开口向下，∴a ＜0，∴a －b ＝－2a ＞0，因此结论③正确；∵二次函数与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，因此结论④正确，所以正确的结论有①③④ ，故选择C .【解后反思】二次函数y =ax 2+bx +c 的有关性质：二次函数的图象为抛物线，a 决定开口方向，当a ＞0时抛物线开口向上，当a ＜0时抛物线开口向下；a 、b 共同决定对称轴位置，当a 、b 同号时，对称轴在x 轴的负半轴上（y 轴左侧）；当a 、b 异号时，对称轴在x 轴的正半轴上（y 轴右侧）；c 决定与y 轴交点的纵坐标，当c ＞0时，图象与y 轴交于正半轴（x 轴上方），当c ＝0时，图象过原点，当c ＜0时，图象与y 轴交于负半轴（x 轴下方）；b 2－4ac 的值决定与x 轴交点的个数，当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有唯一一个交点；当b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 当x ＝1时，得 a b c ++的值；当x ＝－1时，得 a b c -+的值． 二次函数的顶点坐标为(－2b a ，244ac b a -)，对称轴为x ＝－2b a ，当a ＞0且x ＝－2ba 时，二次函数有最小值244ac b a -；当a ＜0且x ＝－2ba 时，二次函数有最大值244acb a-．【关键词】二次函数的性质 ；特殊与一般思想8. (2016天津，12，3分)已知二次函数2(x h)1(h )y =-+为常数， 在自变量x 的值满足13x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3 【答案】B【逐步提示】本题考查求二次函数最值的方法．先分析出x 取何时取最小值，此时对称轴在哪个位置，再按照对称轴的位置分类讨论.【解析】根据题意知，最小值肯定不是当x =h 时y 的值，对称轴x =h 中的h 也不13x ≤≤范围内，当h ≤1时，在对称轴的右边，y 随着x 的增大而增大，所以当x =1时y 的值最小，即 (1－h )2+1=5,解得h =－1或3，舍去－1，h 的值为3；当h ≥3时，在对称轴的左边，y 随着x 的增大而减小，所以当x =3时y 的值最小，即 (3－h )2+1=5,解得h =1或5，舍去3，h 的值为5 ，所以h 的值为－1或5.故选择B .【解后反思】乍一看本题以为出错了，最小值不是1吗？仔细分析一下本题会发现函数值y 的最小值为5时是在自变量x 的某一范围内，本题就是用这一函数最小值去确定自变量x 的值，进而确定h 的值. 【关键词】 二次函数最值；对称轴；自变量的取值；8.(2016新疆，7，5分)已知二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ． a>0B ．c<0C ．3是方程2y ax bx c =++的一个根 D ．当x<1时，y 随x 的增大而减小【答案】C【逐步提示】本题考查二次函数图象、二次函数的性质及数形结合思想，．解题的关键是从函数图象中获取信息．根据抛物线开口的方向可确定a 符号，根据抛物线与y 轴的交点情况可确定c 的符号，根据对称轴可判断抛物线与x 轴的交点情况可确定相应的一元二次方程根的情况．根据图象可以直接判断二次函数的增减性． 【解析】 由函数图象可知抛物线开口向上，得到a ＜0，A 选项错误；又抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，得到c ＞ 0，B 选项错误；由抛物线与x 轴的交点为(﹣1，0)及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x 轴另一个交点为(3，0)，进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，C 选项正确；由抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，得到对称轴左边y 随x 的增大而增大，D 选项错误 ，故选择C .【解后反思】在二次函数的关系式y=ax2+bx+c=0(a ≠0)中，a 的符号由抛物线的开口方向决定，c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，b 的符号由a 及对称轴的位置共同决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随x 的增大而增大，对称轴右边y 随x 的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标．【关键词】二次函数 ；二次函数；二次函数的图像；二次函数的性质；9.(2016浙江宁波，11，4分)已知函数y=ax 2-2ax-1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( ) A. 当 a =1 时，函数图象过点(-1，1) B. 当a =-2时，函数图象与x 轴没有交点C. 若a > 0，则当x ≥1 时，y 随x 的增大而减小D. 若a < 0，则当x ≤1 时，y 随x 的增大而增大 【答案】D【逐步提示】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 可对选项A,B,C,D 逐个进行考察，再做判断.【解析】选项A, 当 a =1 时，函数y=x 2-2x-1，x=-1时，y=2，即函数图象不经过点(-1，1)，错误；选项B, 当 a =-2时，函数y=-2x 2+4x-1，244(2)(1)80∆=-⨯-⨯-=>,即函数图象与x 轴有两个交点，错误；选项C, 二次函数y=ax 2-2ax-1的对称轴为x=1,a > 0时，抛物线开口向上，则当x ≥1 时，y 随x 的增大而增大，错误；选项D, 二次函数y=ax 2-2ax-1的对称轴为x=1,a <0时，抛物线开口向下，则当x ≤1 时，y 随x 的增大而增大，正确，故选择 D.【解后反思】本题涉及二次函数图象和性质，其中二次函数图象与x 轴交点的个数可以用判别式24b ac ∆=-来判断，当0∆>时，图象与x 轴有两个交点，当0∆=时，图象与x 轴有一个交点，当0∆<时，图象与x 轴没有交点；二次函数的增减性要结合开口方向和对称轴来判断. 【关键词】 二次函数的图像；二次函数的性质；数形结合思想10(2016浙江衢州，7，3分)2则该函数图象的对称轴是( )A.直线x ＝－3B.直线x ＝－2C.直线x ＝－1D.直线x ＝0 【答案】B.【逐步提示】抛物线是轴对称图形，对称轴可由表中的信息分析求得.【解析】∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2，故选择B .【解后反思】本题也可以依据表中的信息作出草图求得，也可以利用待定系数法求出二次函数的解析式，再进一步求解.【关键词】二次函数、对称轴.11(2016浙江舟山，10，3分)二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n ，且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为( ) A ．52B ．2C ．32D ．12【答案】D【逐步提示】本题考查了二次函数的最值问题以及二次函数的增减性，解题的关键是确定满足题意的最大值、最小值何时出现. 先根据已知条件确定m 、n 的符号，画出二次函数y =－(x －1)2+5的图象，利用数形结合的思想观察满足m ≤x ≤n ，且mn ＜0时函数的最小值、最大值，由此求出m 、n 的值，进而求出m +n 的值.【解析】根据题意“m ≤x ≤n ，且mn ＜0” 得m ＜0，n ＞0，画出二次函数y =－(x －1)2+5的图象，如图，关注自变量x 满足m ≤x ≤n 条件下的图象部分，由此可得：当x=m 时，y 的最小值为2m ，即2m =－(m －1)2+5，解得m=－2(舍去正值)；又函数的最大值为5，即2n =5，解得n=52，从而m +n =－2+52=12，故选择 D.【解后反思】解答本题的过程中需要灵活运用二次函数的图象和性质，利用数形结合思想确定符合题意的图象部分的最小值、最大值是正确解答的关键步骤.【关键词】二次函数的图象和性质；数形结合思想12. （ 2016四川省巴中市，10，3分）如图是二次函数y=a x 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （-3，0），对称轴为直线x=-1，给出四个结论：①c>0；②若点B （13,2y -）、C （25,2y -）为函数图象上的两点，则y 1<y 2；③2a -b =0；④244ac b a-<0. 其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 【答案】B.【逐步提示】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，解题的关键是充分利用数形结合，根据二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，对各选项逐项判断 【详细解答】解：①由抛物线与y 轴交于正半轴， 可知c>0，故①正确；②抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，由32-＞52-，则y 1＞y 2；故②错误；③对称轴为直线x=-1，则12ba -=-，所以2a -b =0，故③正确；④由抛物线与x 轴交于两点，所以24b ac -＞0，又抛物线开口向下，由a ＜0，所以244ac b a-＞0，故④错误，正确结论的个数为2，故选择B. 【解后反思】关健是要熟记二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质主要另：条件“图象过点A （-3，0）”，不知对解题在何作用.？【关键词】二次函数的图像；二次函数的性质；12. （ 2016四川省成都市，9，3分）二次函数y ＝2x 2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点(2，3)C ．抛物线的对称轴是直线x ＝1D ．抛物线与x 轴有两个交点 【答案】D ．【逐步提示】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．根据a 的符号确定抛物线的开口方向，对选项A 进行甄别，把x ＝2代入y ＝2x 2－3验证B 选项是否正确，根据对称轴x ＝2b a-，验证C 选项，根据△＝b 2－4ac 的结果来判定抛物线与x 轴有两个交点个数．【详细解答】解：∵a ＝2＞0，∴抛物线开口向上，可知选项A 错误；把x ＝2代入y ＝2x 2－3，得y ＝5，可知选项B 错误；根据对称轴x ＝2ba-＝0，可知抛物线的对称轴是直线x ＝0(或y 轴) ，故选项C 错误；根据△＝b 2－4ac ＝0－4×2×(－3)＝24＞0，可知抛物线与x 轴有两个交点，故选项D 正确 ，故选择D . 【解后反思】二次函数图象的性质：⑴a ＞0，抛物线开口向上，a ＜0，抛物线开口向下；⑵对称轴x ＝2ba-，a 、b 符号相同对称轴在y 轴左侧，a 、b 符号不同对称轴在y 轴右侧(即左同右异)；⑶c ＞0，抛物线交点在y 轴正半轴，c ＝0，抛物线过原点，c ＜0，抛物线交点在y 轴负半轴，⑷△＝b 2－4ac ＞0时抛物线与x 轴有两个交点，△＝0时抛物线与x 轴有一个交点，△＜0时抛物线与x 轴没有交点． 【关键词】二次函数的性质；函数图像型13. （2016四川达州，10，3分）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-1，0)，与y 轴的交点B 在(0，-2)和(0，-1)之间(不包括这两个点)，对称轴为直线x =1.下列结论：①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0 ③4ac -b 2＜8a ④13＜a ＜23 ⑤b ＞cA .①③B .①③④C . ②④⑤D . ①③④⑤第10题图【答案】D【逐步提示】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图形反映出来的信息，如开口方向，大小，对称轴、交点、增减性等．解题思路是：根据开口方向、对称轴的位置、抛物线与y 轴的交点位置可确定a 、b 、c 与0的关系，根据抛物线与x 轴的交点个数可确定b 2-4ac 与0的关系，根据抛物线与x 轴的交点坐标及对称性、函数的增减性可得4a +2b +c 与0的关系，根据特殊点的函数值及数形结合思想可判断④、⑤．【详细解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴ba ＜0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，∴4ac -b 2＜0，而a ＞0，∴4ac -b 2＜8a ，所以③正确；∵抛物线经过点（-1，0），当x=-1时，y=a-b+c ，∴a-b+c=0.∵对称轴为直线x=1，∴-b2a =1，∴b=-2a. ∴a-(-2a)+c=0，∴c=-3a.∵抛物线与y 轴的交点B 在(0，-2)和(0，-1)之间(不包括这两个点)，∴-2＜c ＜-1，∴-2＜-3a ＜-1，∴13＜a ＜23.故④正确；∵抛物线经过点（－1，0），且对称轴为直线x=1，所以抛物线经过点（3，0），当x=2时，y=4a +2b +c ，当1<x<2时，y 随着x 的值的增大而增大，∴4a +2b +c ＜0.故②错误； ∵抛物线经过点（-1，0），当x=-1时，y=a-b+c ，∴a-b+c=0，∴b-c=a ，∵a>0，∴b-c ＞0.∴b ＞c.故⑤正确；故选择D.【解后反思】1、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ，b ，c 的作用：① a 决定开口方向及开口大小．a >0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口下；②a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，故b ＝0时，对称轴为y 轴；b a ＞0时，对称轴在y 轴左侧；ba ＜0时，对称轴在y 轴右侧；③c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当x ＝0时，y ＝c ，所以抛物线与y 轴有且只有一个交点(0，c )． 2、抛物线与与x 轴交点个数由b 2﹣4ac 的大小决定：①当b 2﹣4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；②当b 2﹣4ac =0，抛物线与x 轴有一个交点；③当b 2﹣4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点． 3、注意4a ＋2b ＋c 、b 2－4ac ，a+b+c 等数量与抛物线的位置之间的关系，能将数形结合起来，并进行灵活转换. 另外还需具有将不等式或等式灵活变形的能力. 【关键词】二次函数的图象和性质14. （ 2016四川省广安市，10，3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2．其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【逐步提示】本题考查了二次函数图象与性质，解题的关键在于正确把握二次函数图象的开口方向、对称轴、二次函数与方程、不等式的联系．解题时，由抛物线与x 轴的交点个数判断b 2－4ac 的正负；由抛物线的开口方向判断a 的正负；由抛物线的对称轴的位置结合a 的正负，判断b 的正负，由抛物线与y 轴的交点判断c 的正负，从而可得出abc 的正负；根据x ＝－1时对应的y 值可判断a －b ＋c 的正负；根据一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0的根的情况，可判断m 的取值范围.【详细解答】解：因为抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0，故①错误；∵抛物线开口向上，∴a >0；∵第10题图抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴2ba->0，∵a >0，∴b <0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，∴c <0.∴abc >0，故②正确；根据图象可知，当x ＝－1时y >0，∴a －b ＋c >0，故③错误；根据图象，当m >－2时，y ＝m 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个不同的交点，从而可得m >－2，故④正确.故选择B.【解后反思】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴在y 轴左侧时，2ba->0 ，抛物线的对称轴在y 轴右侧时，2ba-<0；当x ＝1时，二次函数的函数值为y ＝a ＋b ＋c ，当x ＝－1时，二次函数的函数值为y ＝a －b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图象在x 轴下方时，y <0． 【关键词】二次函数的图象与性质15. （ 2016四川省凉山州，9，4分）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则反比例函数a y x=-与一次函数y bx c =-在同一坐标系内的图象大致是（ ）【答案】C【逐步提示】由二次函数的图像判断出a 、b 、c 的正负，再判断反比例函数和一次函数图形的形状和经过的象限.【详细解答】解：二次函数图像开口向上，∴a ＞0,；二次函数与y 轴相交于y 轴的正半轴，∴c ＞0,；二次函数对称轴02bx a=-> ，∴b ＜0；∵a ＞0，所以-a ＜0，因此反比例函数a y x =- 图像经过二、四象限；又因为b＜0，-c ＜0，所以一次函数y=bx-c 随x 的增大而减小且与y 轴交于y 轴负半轴，图像经过二、三、四象限，故选择C.【解后反思】本题的关键点是理解二次函数中的a 、c 的图象表示，a 的正负决定了图象开口方向，c 所表示的是图象与y 轴的交点的纵坐标.【关键词】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象16.（ 2016四川泸州，10，3分）已知二次函数y=ax 2-bx-2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1,0），当a-b 为整数时，ab 的值为（ ） A.34或1 B.14或1 C. 34或12 D. 14或34【答案】A【逐步提示】首先根据二次函数经过的点得到关于a 和b 的关系，进而根据二次函数的图象的顶点和经过的点画出大致图象，从而确定出a 和b 与零的大小关系，进而根据不等式的性质结合a-b 为整数求出a 和b 的值，从而求出ab 的值.【详细解答】解：因为二次函数一定过点（-1,0）（0，-2）且顶点在第四象限，所以抛物线的图象开口向上，故a ＞0，又因为二次函数过点（-1,0），所以a+b=2，即b=2-a ，又因为图象的顶点在第四象限，所以-b -22ba a=＞0，所以b ＞0，即2-a ＞0,即a ＜2，所以0＜a ＜2，又因为a-b=a-(2-a)=2a-2，所以-2＜2a-2＜2，又因为a-b（第9题图）为整数，所以2a-2的值为-1或0，或1.当2a-2=-1时，a=12,b=32，所以ab=34；当2a-2=0时，a=1，b=1，所以ab=1；当2a-2=1时，a=32，b=12，所以ab=34,故选择A . 【解后反思】解决本题的关键是根据二次函数的解析式以及所过点和顶点的位置确定出字母a 和b 的大小，进而根据不等式的性质结合已知确定出字母a 和b 的值.【关键词】二次函数的图象；二次函数的对称轴；不等式的性质17. （ 2016四川省绵阳市，12，3分）二次函数y ＝2ax bx c ++的图象如图所示，下列结论：①b ＜2a ；②2a c b +-＞0；③b ＞a ＞c ；④22b ac +＜3ab ，其中正确结论的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【逐步提示】本题考查了二次函数的图象位置与系数之间的关系．对要判断的每个不等关系找出对应的图象特征来判断．一般地，只含有a ，b 的不等式一般考虑对称轴的位置；出现代数式a b c -+一般考虑自变量取－1时的y 值，复杂的式子要综合已判断正确的几个式子并结合不等式的性质进行推理等． 【详细解答】解：考虑①：抛物线的对称轴与x 轴的交点在－1表示的点的右侧，所以2b a -＞－1，于是2b a＜1．抛物线开口向上，所以a ＞0，所以b ＜2a ，故①正确．考虑②：因为横坐标为－1的点在第三象限，所以该点的纵坐标小于0．当x ＝－1时，y ＝a b c -+．所以a b c -+＜0．因为抛物线与y 轴正半轴相交，所以c ＞0．而2a c b +-＝()a b c c -++，由于a ，b ，c 的值未知，不能确定a b c -+与c 的大小，因此不能确定a b c -+与c 的和的符号，也就是不能确定2a c b +-的值是正还是负，故②不正确．考虑③：因为a b c -+＜0，c ＞0，所以a b -＜0，于是b ＞a ．因为2ba-＜0，a ＞0，所以b ＞0．因为b ＜2a ，所以2b ＜24a ．因为抛物线与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，即2b ＞4ac ．所以24a ＞4ac ．因为a ＞0，所以a ＞c ．综合知b ＞a ＞c ，故③正确．考虑④：因为a b c -+＜0，所以a c +＜b ．因为a ＞c ，所以c c +＜b ，即2c ＜b ．因为a ＞0，所以2ac ＜ab ．因为b ＜2a ，所以2b ＜2ab ．所以22b ac +＜2ab ab +，即22b ac +＜3ab ，故④正确，故答案为C ．【解后反思】抛物线在直角坐标系中的位置，由a ，b ，c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，并结合抛物线的对称轴x ＝2ba-的位置，可判断b 的符号，通过抛物线与y 轴的交点，可判断c 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数，可判断24b ac -的的符号．如果图象中给出了自变量取±1，±2等特殊值，可判断相应y 值的符号．另外还要关注抛物线上特殊点的位置，以及结合不等式的性质推导出新的代数式的符号或代数式之间的大小关系等．【关键词】二次函数的图象；二次函数的性质．。