常用数学定值
新人教版高考数学一轮复习定值问题
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【方法提炼】
与面积有关的定值问题的解题策略
1.明确是谁的面积为定值;
2.结合题设条件,利用题设中的参数或选择适当的参数求出面积的解析式;
3.结合题设条件,化简所求解析式得出定值.
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【对点训练】
2 2
(2023·潍坊模拟)已知双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,双
(1)求圆心C的轨迹方程E;
(2)若过点B且斜率为k的直线与E交于M,N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点
P,证明
的值是定值.
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题型四与向量有关的定值问题
2 2
[典例 4](2023·衡水模拟)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的长轴长为,F1,F2 为 C 的两个焦点,且 cos∠F1PF2 的最小值为 .
用等量关系统一变量,最后消元得出定值.
常考题型:1.与斜率有关的定值问题;2.与面积有关的定值问题;3.与角度有关
的定值问题;4.与比值有关的定值问题;5.与参数有关的定值问题.
核心题型·分类突破
4
题型一与斜率有关的定值问题
2 2
[典例1](2023·济南模拟)已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(
复习导学案
微专题11
定值问题
3
在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与
参变量无关,这类问题统称为定值问题.
常见方法:1.从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与
变量无关;2.直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
高考数学复习考点题型专题讲解25 定值问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题25 定值问题高考定位 在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.[高考真题](2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C ：x 26＋y 23＝1，点M ，N 在C 上，点A (2，1)且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. 证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直， 可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt△ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值.样题1(2022·厦门二模改编)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，设O 为坐标原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.证明 由题意，可知直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，Δ＝(2k －4)2－4k 2>0，得k <0或0<k <1. 则x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2，直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得M 的纵坐标y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2， 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2， 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ， 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.样题2(2022·湖南六校联考改编)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1.已知点A 是C 上一定点，过点B (0，1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，记k AP ，k AQ 分别为直线AP ，AQ 的斜率，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.解 设A (m ，n )，过点B 的动直线为y ＝tx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1，得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t 2≠0，Δ＝4t 2＋8（1－t 2）>0，x 1＋x 2＝2t 1－t2，x 1x 2＝－21－t2， 由1－t 2≠0，且Δ>0，得t 2<2且t 2≠1. 因为k AP ＋k AQ ＝λ， 所以y 1－n x 1－m ＋y 2－nx 2－m＝λ， 即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)·－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )·2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0，化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以⎩⎨⎧m （λm －2n ）＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0.如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去， 所以m ≠0，所以λm ＝2n ＝n ＋1， 所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，因为λ＝2nm≠0，所以m 2＝2，得m ＝±2， 此时A (±2，1)在双曲线C 上.综上，A (2，1)，λ＝2，或者A (－2，1)，λ＝－ 2.样题3(2022·石室中学三诊改编)已知椭圆M ：x 24＋y 2＝1，设O 为坐标原点，A ，B ，C是椭圆M 上不同的三点，且O 为△ABC 的重心，探究△ABC 面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.解 当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，点C 到AB 的距离d ＝32|a |＝3，|AB |＝3， 则S △ABC ＝12|AB |d ＝332.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. 因为O 为△ABC 的重心，所以OC →＝－(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋1，－2m 4k 2＋1， 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8km4k 2＋1，－2m 4k 2＋1在椭圆上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 4k 2＋12＝1，即4m 2＝4k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2＋1－m 24k 2＋1.点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △ABC ＝3S △ABO ＝32·|AB |·d ＝6|m |4k 2＋1－m 24k 2＋1＝6|m |3m 24m 2＝332.综上，S △ABC ＝332为定值.规律方法 求解定值问题的两大途径(1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.训练(2022·湖州调研)已知定点F (0，1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，与圆N ：x 2＋y 2－2y ＝0交于C ，D 两点(A ，C 在y 轴同侧)，求证：|AC |·|BD |是定值. 解 (1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意|MF |＝d . 设M (x ，y )，则有x 2＋（y －1）2＝|y ＋1|， 化简得x 2＝4y .(2)抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F (0，1)，设直线l 的方程是y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1， 得x 2－4kx －4＝0， 则Δ＝16(k 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.由条件可知圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N (0，1)，半径为1，圆心就是焦点， 由抛物线的定义有|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 则|AC |＝|AF |－1＝y 1，|BD |＝|BF |－1＝y 2，故|AC |·|BD |＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. 即|AC |·|BD |为定值，定值为1.一、基本技能练1.(2022·合肥模拟改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 1，A 2.点P 是椭圆C 上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.证明 设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b2＝1，所以y 20＝b 2（a 2－x 20）a2， 所以kPA 1＝y 0x 0＋a，kPA 2＝y 0x 0－a (x 0≠±a )，所以k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2（a 2－x 20）a 2x 20－a 2＝－b 2a 2， 又因为e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2a 2＝34，所以－b 2a 2＝－34，所以点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值－34.2.(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4＋2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为圆x 2＋y 2＝5上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，试判断PA →·PB →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2a ＋2c ＝4＋23，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝5.当x 0＝±2时，y 0＝±1，显然PA ⊥PB ， 则PA →·PB →＝0.当x 0≠±2时，过点P 的切线可设为y ＝k (x －x 0)＋y 0， 联立切线方程与椭圆方程， 得⎩⎨⎧y ＝kx ＋（y 0－kx 0），x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0， 所以Δ＝64k 2(y 0－kx 0)2－16(4k 2＋1)·[(y 0－kx 0)2－1]＝0. 整理成关于k 的方程，得(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，此方程的两个根k 1，k 2就是切线PA ，PB 的斜率， 所以k 1·k 2＝1－y 204－x 20＝1－（5－x 20）4－x 20＝－1.所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0. 综上，PA →·PB →＝0，为定值.3.(2022·盐城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，P 是椭圆C 上一动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线PF 1，PF 2与椭圆C 分别相交于点A ，B ，求证：|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |为定值. (1)解 由题意得△PF 1F 2内切圆半径r 的最大值为33，设|F 1F 2|＝2c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×（2a ＋2c ）×33＝12×2c ·b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝3，a 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当y 0≠0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别是x ＝m 1y －1，x ＝m 2y ＋1.联立⎩⎨⎧x ＝m 1y －1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 21＋4)y 2－6m 1y －9＝0，∴y 0y 1＝－93m 21＋4. ∵x 0＝m 1y 0－1，∴m 1＝x 0＋1y 0， 又x 204＋y 203＝1，∴y 0y 1＝－5＋2x 03. 联立⎩⎨⎧x ＝m 2y ＋1，x 24＋y 23＝1，同理可得y 0y 2＝－5－2x 03，∴|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝－y 0y 1－y 0y 2＝103； 当y 0＝0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，易得|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝3＋13＝103. 综上所述，|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝103. 二、创新拓展练4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.(1)解 由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)证明 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 22＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt )2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 2k 2＋1. 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1. 又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2＋2t 2（2k 2＋1）2＝1， 即t 2＝2k 2＋12. 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝221＋k 22（2k 2＋1）－t 22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k2， 所以平行四边形OAPB 的面积S ＝2S △OAB ＝|AB |·d ＝23|t |2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝ 6. 即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。
定值的概念解释
定值的概念解释全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定值，顾名思义即“固定数值”，是一个在数学、物理学、工程科学等领域常见的概念。
在这些学科中，定值是指在一个过程或系统中所具有的一个确定的数值，该数值在一定条件下保持不变。
在物理学中，定值通常用于描述一个系统的特定物理量。
一个物体的质量、长度或者电荷数量等都可以视为定值。
这些物理量在一个特定的环境下通常是不会发生改变的，即它们具有固定的数值。
定值在物理学中具有重要的意义，它可以帮助科学家们更好地理解物体的性质以及系统的运行机理。
在工程科学中，定值也扮演着至关重要的角色。
工程师们在设计各种设备和系统时，通常需要考虑到各种因素的定值。
在设计一座桥梁时，工程师们需要考虑到桥梁的长度、宽度、承重能力等物理量的定值，以确保桥梁的结构稳定可靠。
定值在工程科学中的应用范围非常广泛，它可以帮助工程师们准确地设计和制造各种设备。
在数学中，定值是一个常见的概念。
数学中的定值通常指的是一个常数，即一个固定的数值。
π是一个著名的定值，它代表着圆周率的数值，是一个无理数。
在代数方程中，常常需要考虑到各种参数的定值，以确定方程的解。
定值在数学中扮演着重要的角色，它可以帮助数学家们推导出各种数学定理和公式。
定值是一个非常重要的概念，它在数学、物理学、工程科学等领域都有着广泛的应用。
通过研究和理解定值，我们可以更好地理解和描述各种现象和系统，从而推动科学技术的发展。
希望本文对定值的概念有着更加清晰的理解。
第二篇示例：定值是一个常用的概念，在不同领域都有不同的含义和应用。
在数学和工程领域，定值通常指一个固定的数值或参数，在某个范围内不变的值。
在统计学中，定值通常指一个不随机变量的取值。
在计算机科学中，定值通常指一个不可更改的常量。
定值在各个领域都有着重要的作用和应用，下面就让我们来深入探讨一下定值的概念和应用。
在数学和工程领域，定值是指一个不变的数值或参数。
定值通常用来表示一个固定的量，比如一条直线的斜率，一个圆的半径，或者一个方程的常数项。
初中数学-平面几何的定值问题
平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动 解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.AP【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1） （图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.AABCDEF（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A .30°B .40°C .50°D .60° 5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6.如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A .3 B .6 C .9 D .127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解46 三定问题(定点、定值、定直线)(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解 考点46 三定问题(定点、定值、定直线)一．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量k )；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考点题型分析考点题型一 定值【例1】(2022·北京丰台区·高三一模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -(1)求椭圆C 的方程；(2)P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .(ⅰ)求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； (ⅱ)判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】(1)2214x y +=；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)是，理由见解析.【解析】(1)由题意得2,c a e a ===，所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)(ⅰ)证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -， 所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---.所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---. (ⅱ),,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由(ⅰ)可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++.所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线. 【举一反三】1．(2022·陕西宝鸡市·高三二模(文))已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2FG 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】(1)221123x y +=；(2)证明见解析.【解析】(1)因为12GF F △的周长为6+，所以226a c +=+，即3a c +=+.又离心率c e a ==a =3c =， 2223b ac =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k-⋅=+， ()121222214my y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=-=====. 故平行四边形OAGB的面积为定值为2．(2022·四川遂宁市·高三二模(文))如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.(1)求a 的值；(2)设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(2)为定值5.【解析】(1)设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =(2)由(1)知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是00000055E D DE E D E D y y y k kx x x -====⋅=-.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5.考点题型二 定点【例2】(2022·河南月考(文))已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 均不是椭圆C 的右顶点)，且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(Ⅰ)22143x y +=；(Ⅱ)证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=，解得：b = 由222a b c =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (Ⅱ)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227km =-，(1m ，2m 均满足22340k m +->)． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．(2022·黑龙江大庆市·高三一模(理))已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析，(6,0).【解析】(1)由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).2．(2022·全国高三月考(文))已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b --=-即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 所以直线GH 过定点31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点题型三 定直线【例3】(2022·深圳实验学校高中部)如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)证明：OA OB ⊥；(2)设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】1)设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ (2)212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，① 同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上.【举一反三】1．(2022·浙江温州市)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点.(i)求证：点P 在一条定直线上；(ii)求PAB △面积的取值范围.【答案】(1)24x y =；(2)(i)证明见解析；(ii))⎡+∞⎣. 【解析】(1)抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2， 可得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =.(2)联立方程组24,2x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2480x kx --=， ∴124x x k +=，128x x =-由24x y =得，12y x '=，所以切线PA 方程为()111112:l y y x x x -=- 切线PB 方程为()22221:2l y y x x x -=- 联立直线PA ､PB 方程可解得1222x x x k +==，1224x x y ⋅==-. (i)所以点P 的坐标为()2,2k -.所以点P 在定直线2y =-上(ii)点P 到直线AB 的距离为2d =所以AB ==PAB △的面积为()322214422PABS d AB k =⋅==+△ 所以当0k =时，PABS 有最小值PAB△面积的取值范围是)⎡+∞⎣.2．(2022·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．(1)求证：点M 在定直线上；(2)设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1)设2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线l 的斜率存在且不为零， 由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ， 因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-， 联立方程1y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上． (2)由(1)知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，而()211||124PFN S FN m m m ==+，()()()2232221||22181PDM m m m S PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PDM S m S m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PDM S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以PFN 与PDM △面积比的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
初中数学定值定点最值问题
初中数学定值定点最值问题初中数学定值定点和最值问题是中考数学压轴题常考考点，对于定值定点问题可以采用特殊点，特殊值和特殊位置确定其值是多少，然后采用一般法去证明，最值问题一般是线段的和与差，最常用的方法是“化折为直”比如常见的“将军饮马问题”、“胡不归问题”、“阿氏圆问题”、“隐圆问题”。
例1.对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m+1，4﹣2m），则符合条件的点P的坐标为．变式1.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．变式2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m﹣2，m2﹣9），写出符合条件的点P的坐标：．变式3.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0，2x0﹣6），写出符合条件的点P的坐标：．变式4.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（m﹣3，m2﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．变式5.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5）写出符合条件的点P的坐标：．变式6.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．例2.已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．求直线l的解析式；例3.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．例4.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．例5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．例6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG ∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，求四边形ACGH周长的最小值例7如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．例8.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例9.如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是．例10.如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．当△OAB的面积为15时，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．例11.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．例12.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE ⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．。
初一数学定值问题例子
初一数学定值问题例子定值问题在初一数学中是一个常见的问题类型，通常涉及到一些变量或表达式，它们的值始终保持不变。
以下是一个简单的例子：例题：设$x$、$y$、$z$为正实数，且$x + y + z = 2$，求$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$的值。
解：根据已知条件，我们有：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{x + y + z}{xyz}$因为$x + y + z = 2$，所以：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{xyz}$为了求出$\frac{2}{xyz}$的值，我们可以将原式变形为：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}( \frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) (x + y + z)$$= \frac{1}{2}( 3 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z})$由于$x$、$y$、$z$为正实数，根据基本不等式，我们有：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 2$ $\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2\sqrt{\frac{z}{y} \cdot \frac{y}{z}} = 2$ $\frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2\sqrt{\frac{z}{x} \cdot \frac{x}{z}} = 2$将上述不等式相加，得到：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{1}{2}( 3 + 2 + 2 + 2 ) = \frac{9}{2}$当且仅当$x = y = z = \frac{2}{3}$时，等号成立。
高考数学热点问题专题解析——定值问题
圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。
1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。
2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 二、典型例题：例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为43y x =，右焦点()5,0F ，双曲线的实轴为12A A ，P 为双曲线上一点（不同于12,A A ），直线12,A P A P 分别于直线9:5l x =交于,M N 两点 （1）求双曲线的方程（2）试判断FM FN ⋅是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由解：（1）由()5,0F 可得5c =，且焦点在x 轴上所以设双曲线方程为：22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a=±43b a ∴= 由22225a b c +==解得：34a b =⎧⎨=⎩∴双曲线方程为1916-=（2）由（1）可得：()()123,0,3,0A A -，设()00,P x y设()11:3A P y k x =+，联立方程()1395y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1924,55M k ⎛⎫⎪⎝⎭同理：设()22:3A P y k x =-，联立方程()1395y k x x =-⎧⎪⎨=⎪⎩可得：296,55N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭121624166,,,5555k k FM FN ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 122561442525k k FM FN ∴⋅=- 下面考虑计算12k k 的值001200,33y y k k x x ==+- 2012209y k k x ∴=- ()00,P x y 在双曲线上()22222000001616116991699x y x y x -=⇒=-=- 2012201699y k k x ∴==-25614416025259FM FN ∴⋅=-⋅= 所以FM FN ⋅为定值例2：已知椭圆()222210x y a b ab +=>>2⎭ （1）求椭圆方程（2）设不过原点O 的直线():0l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，且满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为222214x y b b +=代入2⎭可得：22221142b b ⎛+⋅= ⎝⎭解得：1b = 2a ∴= ∴椭圆方程为2214x y +=（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程可得：2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 可得：()2244x kx m ++=，整理可得： ()222418440kx kmx m +++-=依题意可知：112212111222,y kx m m y kx m m k k k k x x x x x x ++===+===+ 121211442k k k k k m x x ⎛⎫∴=+⇒=++ ⎪⎝⎭即12122x x k m x x +=⋅① 由方程()222418440k x kmx m +++-=可得：2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++ 代入①可得： 22284124441km k k m m k -+=⋅-+，整理可得：222282144km k m m m =-⇒-=-- 212m =∴可知2m 为定值，与k 的取值无关例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2e =，动点()()2,0M t t >（1）求椭圆标准方程（2）设F 为椭圆的右焦点，过F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：ON 的长为定值，并求出这个定值 解：（1）由2e =::a b c = ∴椭圆方程可转化为：222212x y b b +=，将122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得：22221111222b b ⎛⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：21b = ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由（1）可得：()1,0F :2t OM y x =思路一：通过圆的性质可得ON MN ⊥，而NF OM ⊥（设垂足为K ），由双垂直可想到射影定理，从而2ON OK OM =⋅，即可判定ON 为定值()2:1FN y x t∴=--，设OM 与FN 相交于K 则()2:21t y x K y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：2242,44t K t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭OK ∴==OM = OM 为圆的直径 ON MN ∴⊥NK OM ⊥由射影定理可得：22ON OK OM =⋅=ON ∴=思路二：本题也可从坐标入手，设()00,N x y ，则只需证明22200ON x y =+为定值即可，通过条件寻找00,x y 关系，一方面：0FN OM FN OM ⊥⇒⋅=，可得0022x ty +=；另一方面由N 点在圆上，可求出圆的方程()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，从而()222001124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，展开后即可得到2200x y +为定值解：设()00,N x y ，则()()001,,2,FN x y OM t =-=()00210FN OM x y t ∴⋅=-+=0022x y t ∴+=OM 的中点坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭，OM =2r ∴=∴以OM 为直径的圆方程为：()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭代入()00,N x y ，可得：()222001124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭222200021144t t x y x ty ∴+-+-+=+22000022x y x ty ⇒+=+=22002x y ∴+=即22ON =ON ∴=例4：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23，半焦距为()0c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点F ，斜率为()110k k ≠的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的方程（2）设()1,0R ，延长,AR BR 分别与椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值 解：（1）23c e a ==，设2,3c k a k == 由1a c -=可得：3211k k k -=⇒=3,2a c ∴==2225b a c ∴=-=22:195x y C ∴+=（2）由（1）可得()2,0F - ，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 可得：()11111:111y x AR y x x y x y -=-⇒=+- ∴联立方程1211122211115140195x x y y x x y y y y x y -⎧=+⎪--⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩221113114455y y y y x x ∴=-=-- 13145y y x ∴=- 11331115915x x x y y x --∴=+=- 1111594,55x y C x x ⎛⎫-∴ ⎪--⎝⎭同理，直线BR 与椭圆交点D 的坐标为2222594,55x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭()()()()()()12122134122123412211244454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x -------∴===-----------()()()()()1221122121212145455164y x y x y x y x y y x x x x ----+-==--设()1:2AB y k x =+ ()()11121222y k x y k x =+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩，代入可得：()()()()()()()1121212112121221212252544k x x k x x y y k x x y y k x x x x +-++--+-==--211111211515724244y y k k k k x x -=+⋅=+=- 2174k k ∴= 例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F，且点2P ⎭在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为,m n ，求证：22113m n +为定值 解：（1）依()1,0F 可知1c = ∴椭圆方程为222211x y a a +=-代入2P ⎫⎪⎭解得：24a = 2223b a c ∴=-=∴椭圆方程为22143x y +=（2）思路：由（1）可得：2213:144x y C +=，可设()00,Q x y ，由题意可知MN 为过Q 作圆切线所产生的切点弦，所以004:3MN x x y y +=,从而可得0044,33m n x y ==，所以()2200221193348x y m n +=+，由椭圆方程可得220034x y +=，从而2211933124m n +==为定值 解：由（1）可得：222213:11544433x y x y C +=⇒+=-设()00,Q x y ∴可知MN 是过Q 作圆切线所产生的切点弦 设()()1122,,,M x y N x y ，由,M N 是切点可得：,OM MQ ON NQ ⊥⊥111MQ OMx k k y ∴=-=-()1001:x MQ y y x x y ∴-=-，代入()11,M x y ：()110101xy y x x y -=--， 即22101011x x y y x y +=+ ，同理可知对于NQ ，有22202022x x y y x y +=+因为,M N 在圆224:3O x y +=上 221122224343x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩101020204343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ ,M N ∴为直线0043x x y y +=上的点因为两点唯一确定一条直线004:3MN x x y y ∴+=，即0014433x y x y +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由截距式可知0044,33m n x y ==()2222000022111999333161648x y x y m n ∴+=⋅+=+ Q 在椭圆1C 上220034x y ∴+=()220022119333484x y m n ∴+=+=即22113m n +为定值 （1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后22034x y +=的特点整体消去00,x y 所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。
等边三角形,三条高的垂线,垂线段长度之和为定值
等边三角形,三条高的垂线,垂线段长度之和为定值《等边三角形的三条高的垂线长度之和为定值》1. 简介在初中数学中，我们学过等边三角形的概念，它具有三条边长度相等的性质。
而在等边三角形中，我们还可以探讨三条高的垂线，以及它们长度之和的特性。
本文将深入探讨等边三角形的性质，以及三条高的垂线长度之和为定值的原理和推导过程。
2. 等边三角形的性质等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等。
在等边三角形中，三条角的大小也相等，均为60°。
由于等边三角形具有此特殊的性质，因此它的三条高的垂线也具有一些特殊的性质，其中就包括了长度之和为定值的特点。
3. 三条高的垂线长度之和为定值的证明我们先来看一下等边三角形的三条高的垂线的长度。
我们知道，等边三角形的三条高的垂线都会相交于一个点，即三角形的垂心。
我们可以利用垂心的性质来证明三条高的垂线长度之和为定值。
设等边三角形的边长为a，根据三角形面积和底边关系可知，等边三角形的高为√3/2 * a。
等边三角形三条边的高分别为√3/2 * a，√3/2 * a，√3/2 * a。
根据勾股定理，垂线段长度的平方之和等于斜边的平方。
三条高的垂线长度之和为3 * (3/4 * a²) = 9/4 *a²。
我们得出了结论：等边三角形的三条高的垂线长度之和为定值，即9/4 * a²。
4. 总结与回顾通过以上的推导和证明，我们可以得出等边三角形的三条高的垂线长度之和为定值的结论。
这一性质不仅在数学中具有重要的意义，同时也能引出我们对于等边三角形的更多探讨和认识。
5. 个人观点和理解在学习和探讨等边三角形的过程中，我发现它的性质和定理都具有一定的美感和深刻的含义。
数学作为一门学科，不仅仅是一些枯燥的公式和计算，更包含着一种美和智慧。
对于等边三角形的三条高的垂线长度之和为定值这一定理，在探讨中不仅能让我们加深对等边三角形本身的认识，同时也能让我们领悟到数学中蕴含的一种精妙和美感。
初一数学动点定值问题
初一数学动点定值问题
初一数学中的动点定值问题是一个有趣且富有挑战性的主题。
这类问题通常涉及到一定点在某个图形上运动，并研究某些量是否随点的运动而变化，以及如何变化。
关键在于找到那些不随点运动而变化的量，即定值。
例如，考虑一个直角三角形，其中一条直角边长度固定，另一直角边和斜边分别有一个动点。
当这两个动点沿着固定边所在直线运动时，斜边上的动点形成一条直线。
问题在于，这条直线的长度是否是一个定值。
解决这类问题的步骤通常包括：
1.确定动点的轨迹：首先需要明确动点在哪些位置上移动。
这通常涉及到几何图形的性质
和条件。
2.建立数学模型：使用代数或几何公式来表示动点之间的关系。
这可能涉及到距离、角度
或其他几何属性。
3.寻找定值：通过化简数学模型或使用代数方法，找出那些不随动点位置变化的量。
这可
能是一个具体的数值，也可能是一个与动点位置无关的表达式。
4.证明定值性质：为了确保所得结果是正确的，需要进行逻辑证明。
这可能涉及到几何图
形的性质、公理或定理。
5.应用与扩展：一旦找到了定值，可以尝试将其应用于其他类似的情境或问题，以扩展对
该问题的理解。
解决动点定值问题需要深入理解几何图形的属性和数学逻辑推理技巧。
它有助于培养学生的空间思维和解决问题的能力，也是数学教育的一个重要部分。
定值问题-高考数学复习课件
例 已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的中心为原点 O，P，Q 分别在椭圆上，且 OP⊥OQ. 求证：|O1P|2＋|O1Q|2为定值.
证明 设P，Q坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ：mx＋ny＝1， 联立方程xa22＋by22＝1，
mx＋ny＝1. 齐次化有xa22＋by22＝(mx＋ny)2，整理可得 b12－n2y2－2mnxy＋a12－m2x2＝0. 左右两边同除以 x2，即b12－n2xy2－2mnxy＋a12－m2＝0.
题型一 长度或距离为定值
例 1 (2024·合肥质检节选)已知椭圆 E：x42＋y2＝1，且椭圆 E 的上、下顶点分别为 A，B，右顶点为 D，直线 l 过点 D 且 垂直于 x 轴.如图，若点 Q 在椭圆 E 上(且在第一象限)，直 线 AQ 与 l 交于点 N，直线 BQ 与 x 轴交于点 M，试问：|OM| ＋2|DN|是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明 理由. 解 设Q(x0，y0)， 由点 Q 在椭圆 E 上(且在第一象限)可知x420＋y20＝1(x0>0，y0>0)， 因为 D(2，0)，所以直线 l：x＝2，
证明 双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x.
由(1)得 Ak－－m3，－k－3m3 ，Bk－＋m3，k＋3m3，∠AOB＝23π.
所以|OA|＝
(k－4m23)2＝k－2m
3，|OB|＝
(k＋4m23)2＝k＋2m
3.
所以 S△OAB＝21|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝12·k42－m23·23＝k23－m32. y＝kx＋m，
(2)M→A＝λF→1A，M→B＝μF→1B，试分析 λ＋μ 是否为定值，若是，求出这个定值； 否则，说明理由.
高考数学复习---《定值问题》典型例题讲解
高考数学复习---《定值问题》典型例题讲解【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例1、（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点.当直线l 垂直于x 轴时，6AB =. (1)求双曲线C 的标准方程.(2)记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为过点F 的垂直与x 的直线方程为x c =，代入双曲线方程22221x y a b−=可得2b y a =±，所以此时22b AB a =，又直线l 垂直于x 轴时，6AB =，所以226ba=①，因为双曲线C 的离心率为2，所以2ca=②，又222c a b =+③，由①②③解方程可得1,2a b c ===，故双曲线C 的标准方程为2213y x −=；（2）由（1）可知()()()()()11222,0,1,0,1,0,,,,F D E A x y B x y −，若直线l 的斜率为0，则直线l 与双曲线C 的右支只有一个交点，不满足要求， 所以直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+， 联立222,1,3x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩整理得()22311290m y my −++=，()()222Δ14436313610m m m =−−=+>，且29031m <−，则121222129,3131m y y y y m m +=−=−−，故()121243my y y y −=+. 由题意可得直线AD 的方程为()1111y y x x =++，直线BE 的方程为()2211y y x x =−−， 则()()()()21121111x y x x y x −+=+−，即()()121212121213234262y y x my y y y my y y y −=−−−=−−−， 把()121243my y y y −=+代入上式， 得()()()12121212113326322y y x y y y y y y ⎡⎤−=+−−=−⎣⎦， 解得12x =. 故点P 在定直线12x =上. 例2、（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B )，直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．【解析】（1）由题可知，(),0F c ，()10,B b ，()20,B b −，12B FB 为等腰直角三角形，b c ∴=，又直线1FB 与圆221x y +=相切，所以原点O 到直线1FB 的距离为1，直线1FB 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +−=，所以21d ===，解得b c ==又2224a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）由过()0,2P 的直线l不过(10B，(20,B ，可设其直线方程为()20y kx k =+≠， 把2y kx =+代入22142x y +=，得()2221840k x kx +++=，0∆>，即212k >，设()11,E x y ，()22,D x y ，则122821k x x k −+=+，122421x x k =+，直线1B E的方程为1y x =直线2B D的方程为2y x =设直线1B E 和2B D 的交点为(),Q x y121212x y kx x x +== 把122821kx x k −=−+及122421x x k =+代入上式，得(22432213k k x −+−+==−+，整理得1y =，故点Q 在一条平行于x 轴的直线1y =上，得证．例3、（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −. (1)求椭圆E 的方程及其焦距；(2)过点()2,1P −的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值.【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −，所以有222222224014101411a x a b y b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩； （2）依题意过点()2,1P −的直线为()12y k x −=+，设()11,C x y 、()22,D x y ，不妨令1222x x −<<≤，由()221214y k x x y ⎧−=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+−++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k+⋅=+， 直线BC 的方程为1111y y x x −−=，令0y =，解得11111(2)M x x x y k x ==−−+， 直线BD 的方程为2211y y x x −−=，令0y =，解得22221(2)N x x x y k x ==−−+， 121221121212121212(2)(2)22()(2)(2)(2)(2)[2()4]M N x x x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x x x +++++=+==−+−+−++−++++， 因为212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k +⋅=+，所以22222222161616822141416441616168241414M Nk k k k k k k x x k k k k k k k k ⎛⎫++⋅+− ⎪++⎝⎭+===−−⎡⎤⎛⎫++−+−+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 因为1222x x −<<≤，所以12122112121212(2)(2)2()0(2)(2)(2)(2)(2)(2)M N x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x +−+−=−==<−+−+−++−++−，即M N x x <，于是有()2)(2M N x x =−−−−，即1AM AM AN AN=⇒=.。
高中数学 经典资料 第104课--定值问题
8kx
8b
0
．则
x1 x2 8k, x1 x2 8b ．设 AB 的中点为 Q ，则点 Q 4k, 4k 2 b ．由条件设切线方程为 y kx t ，
由
y kx
x2
8y
t
消去
y
整理得
x2
8kx
8t
0
．∵直线与抛物线相切，∴
64k 2
32t
0
，∴
t
2k 2
，∴切
点 C 的横坐标为 4k ，∴ 点 C 4k, 2k 2 ．∴ CQ x 轴．∵ x2 x1 m2 1 ，
1 m2
y12 ，同理可得 | NR |2 1 m2
y
2 2
，则有 1 | NQ |2
1 | NR |2
1
1
y12 y22 y1 y2 2 2y1 y2 16m2 8t 2m2 t .
1 m2 y12 1 m2 y22 1 m2 y12 y22
1 m2 y12 y22
2
3 x1 x2 x1x2 x1
2 x2 1
3 8k 2 6 8k 2
2 4k 2 12 8k 2 3 4k 2 0 .当 x1 1 x2 时，同理可得 1 2 0 . 所以 1 2 为定值 0 .
法 3：由题意直线 AB 过点 F 1,0 ，设方程为 x my 1
所以 x1
4,
y1
3k
1 1
x1, y1
，且 x2
4,
y2
3k
2
1
x2 , y2 ，所以 1
x1 4 1 x1
，同理 2
x2 4 1 x2
.
从而
1
2
数学课程0130定值定点问题
（1） 题型一：定值定点题型解题思路：推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
一般的解题思路是对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．1.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2.（本小题共13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．1. 解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． 又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=uuu r uuu r 恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++ 22314k k -=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分2. 解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =． 因为12e = 所以222222314b ac e a a -==-=， 所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （II ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -．又A ，B 两点在椭圆C 上， 所以2200143x x +=，20127x =． 所以点O 到直线AB的距离7d ==． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+． 由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=． 由已知0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 因为OA OB ⊥， 所以12120x x y y +=． 所以1212()()0x x kx m kx m +++=． 即221212(1)()0k x x km x x m ++++=． 所以22222224128(1)03434m k m k m k k -+-+=++． 整理得)1(12722+=k m ，满足0∆>． 所以点O 到直线AB 的距离 2||12221771m d k ===+为定值．赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
专题29定值计算
专题29定值计算定值计算是数学中的一种常见计算方法，它通过给出一些已知的数值或条件，然后根据这些数值或条件进行相应的运算，得到一个特定的结果。
定值计算可以应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。
在代数学中，定值计算可以用来求解方程、不等式以及函数的值。
例如，我们可以利用定值计算求解一个一元二次方程的根。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知的实数，我们可以利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解方程的根。
我们只需要将a、b和c的具体值代入公式，便可以计算出方程的根。
在几何学中，定值计算可以用来求解几何图形的面积、体积等属性。
例如，要计算一个正方形的面积，我们可以利用定值计算公式S=a^2，其中a为正方形的边长。
我们只需要将边长的具体值代入公式，便可计算出正方形的面积。
在概率学中，定值计算可以用来计算事件发生的概率。
例如，要计算一个骰子掷出的点数为6的概率，我们可以利用定值计算公式P(E)=n(E)/n(S)，其中P(E)表示事件E发生的概率，n(E)表示事件E的样本空间中的元素个数，n(S)表示样本空间中的总元素个数。
对于这个问题，骰子点数为6的事件E只有一个元素，而样本空间S有6个元素，因此我们可以得到P(E)=1/6除了以上几个具体的例子，定值计算在数学中还有许多其他的应用。
无论是代数、几何还是概率，定值计算都是解决问题的一种重要方法。
通过给出已知的数值或条件，我们可以利用定值计算得到具体的结果，帮助我们更好地理解和运用数学知识。
定值计算需要我们对数学知识的掌握和运用能力，同时也需要我们进行合理的推理和计算。
通过定值计算，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高自己的数学能力。
考点45 三定问题(定点、定值、定直线)——2021年高考数学专题复习讲义
考点45 三定问题（定点、定值、定直线）(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一 定点1．（2020·安徽马鞍山高三三模）已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4. M y （1）求圆心的轨迹方程；M （2）若的顶点在的轨迹上，且，关于轴对称，直线经过点，求证：直线ABC M A C x BC (1,0)F 恒过定点.AB2．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆，上顶点为A ，右顶()2222:10x y C a b a b +=>>点为B .点在椭圆C 内，且直线垂直. 2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭AP 30y -=（1）求C 的方程；（2）设过点P 的直线交C 于M ，N 两点，求证：以为直径的圆过点. MN B3．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知椭圆（，且经过2222:1x y C a b +=0a b >>点. ⎛- ⎝（1）求椭圆的方程；C（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线)l C A B x Q QA与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. QB x Q考法二 定值1．（2020·甘肃城关兰州一中高三）已知抛物线的焦点为F ，点，点B 在抛物2:2(0)C y px p =>(2,2)A 线C 上，且满足（O 为坐标原点）. 2OF FB FA =-（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线D 'D 'C 交于M ，N 两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值. OPQ △1S OMN 2S 221211S S +2．（2020·河北新华石家庄二中高三）已知椭圆，其右顶点为()2222:10x y C a b a b +=>>A，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两B ()0,2C ABC 3C y l C ,P Q 点，直线分别与轴交于两点.,BP BQ x ,M N（1）求椭圆的方程；C （2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.,M N3．（2020·全国高三课时练习（理））已知椭圆C ：，且过点A （2，22221(0)x y a b a b +=>>1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．考法三 定直线1．（2020·安徽高三其他（理））已知椭圆，，分别为椭圆C 的左，右焦2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 点，过且与x 轴不重合的直线l 交C 于P ，Q 两点，的周长为8，面积的最大值为2． 2F 1PQF △12PF F △（1）求C 的方程；（2）点，证明：内切圆的圆心在x 轴上．A APQ2．（2020·辽宁高三其他（理））已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，P (1,0)F :4l x =d 12设动点形成的轨迹为曲线. P C （1）求曲统的方程；C（2）过点的直线与交于，两点，已知点，直线分别与直线，交Q l C E F (2,0)D 0x x =DE DF 于，两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.S T ST M 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
初一数学什么叫定值
初一数学什么叫定值
数学中的定值：
一、1、就是固定值。
就是其他量无论怎么变化，他都是不变的。
如：圆周率。
2、假设不变的量。
如：速度*时间=路程。
假设路程为定值时，速度和时间成反比例。
二、定值可以是一个数、一个字母、一个整式、一个量。
数学（mathematics、maths）是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。
数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。
数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。
定值计算说明及算例
定值计算说明及算例定值计算是指根据给定的条件和数值计算出所需要的结果。
在数学和工程领域，定值计算广泛应用于解决各种复杂的问题。
它可以通过数学公式、逻辑推理、统计分析、模型建立等方法进行计算。
一、定值计算的种类1.数值计算:将问题转化为数值计算的形式，并使用数值方法求解。
例如，求解函数的根(即方程的解)，求解极值等。
2.统计计算:根据给定的样本数据，计算出平均值、方差、标准差、相关系数、回归方程等统计指标，用于描述数据分布和分析数据关系。
3.概率计算:根据概率分布函数和概率密度函数等概率模型，计算事件发生的概率、期望值、方差等。
4.逻辑计算:根据给定的逻辑条件和规则，进行逻辑推理和判断，得出结论。
例如，根据给定的真值表，进行逻辑电路的设计。
5.模拟计算:根据已知的规律和参数，通过模拟实验得出结果。
例如，通过蒙特卡洛方法模拟投资收益的分布情况。
二、定值计算的步骤1.明确问题:首先要明确问题的定义和要求，确定需要计算的结果。
2.建立模型:根据问题的特点和条件，建立适当的数学模型、统计模型、概率模型或逻辑模型。
3.收集数据:如果需要，收集相关的数据和参数，并进行整理和处理。
4.进行计算:根据模型和数据，进行相应的计算。
可以使用数学公式、计算机程序、统计软件等工具进行计算。
5.分析结果:对计算结果进行分析和解释，判断结果的合理性和可靠性。
6.验证结果:如果可能，使用其他方法或实验证据对结果进行验证，以确定结果的正确性。
7.提出结论:根据计算结果和分析，得出结论，并进行解读和推导，提出相应的建议和决策。
三、定值计算的算例1.数值计算算例:求解非线性方程的根假设要求解方程x^2+2x-3=0的根。
根据解方程的方法，可以利用二分法、牛顿法、割线法等数值方法进行计算。
例如，使用二分法进行计算，则有f(x)=x^2+2x-3，选择初始区间[a,b]=[-4,4]，通过迭代计算找到方程的根。
2.统计计算算例:计算平均值和标准差假设有一组数据[5,8,7,6,9]，要计算这组数据的平均值和标准差。
到两个定点距离之差为定值
到两个定点距离之差为定值在数学中，我们常常需要研究和解决各种关于距离的问题。
本文将探讨一个有关距离的问题：以到两个定点距离之差为定值。
我们来明确一下问题的意义。
给定平面上的两个定点A和B，我们可以通过计算它们之间的距离来确定它们之间的位置关系。
通常情况下，我们会计算出A到B的距离和B到A的距离，并比较这两个距离的大小。
然而，本文要讨论的是一种特殊情况，即以到两个定点距离之差为定值。
假设我们有一个定值d，我们需要找到平面上的所有点P，使得P到A的距离和P到B的距离之差等于d。
我们可以用数学语言来表达这个问题：找到所有满足|PA - PB| = d的点P。
为了解决这个问题，我们可以利用一些几何知识和数学方法。
首先，我们可以通过计算A和B之间的距离来确定d的取值范围。
如果d 大于AB的距离，那么不存在满足条件的点P；如果d等于AB的距离，那么只有一个点P满足条件，即P为A和B的中点；如果d小于AB的距离，那么存在两个点P满足条件，即P为AB之间的两个等距离点。
接下来，我们可以通过几何方法来确定满足条件的点P的位置。
首先，我们可以在平面上画出以A和B为中心，以d为半径的两个圆。
然后，我们可以找到这两个圆的交点，这些交点就是满足条件的点P。
具体地说，我们可以通过求解方程组来找到交点的坐标。
设A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，P的坐标为(x, y)，则有以下方程：(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2 + d^2化简上述方程，我们可以得到一个关于x和y的一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以得到满足条件的点P的坐标。
除了使用几何方法，我们还可以使用代数方法来解决这个问题。
我们可以先假设点P的坐标为(x, y)，然后利用勾股定理来建立方程。
根据勾股定理，我们可以得到以下方程：(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2 + d^2通过整理方程，我们可以得到一个关于x和y的一元二次方程。