17.2 一元二次方程的解法(第1课时)-课件
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
沪科版八年级数学下册课件17.2 一元二次方程的解法(1)-配方法
（A）1
（B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
5.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是
一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
课堂小结
体现了从特殊到一般的数学思想方法
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 (1)x2-4x-1=0； (2)2x2-3x-1＝0
解:(1)移项，得：x2-4x=1 配方，得：x2-4x+_2_2_=1+_4___, 即(x-_2__)2=___5___.
开平方得:__x___2______5__. ∴x1＝_2____5__，x2＝_2____5_.
+
1 36
即：(y- 1 )2= 25
6
36
开方，得：y- 1 =± 51，y2=-
2 3
总结：用配方法解一元二次方程的步骤:
（1）二次项系数化为1： 方程两边同时除以二次项系数a
（2）移项:把常数项移到方程的右边
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 （等式的性质）
x+
1 4
2
=
1 4
+
1 16
即：(x- 1 )2= 9
4 16
开方，得：x- 1 =± 3
24
∴原方程的解为：x1=1，x2=-
1 2
(4) 3y2-y-2=0
解：移项，得： 3y2-y=2
把二次项系数化为1，得：y2- 1 y= 2
33
配方，得： y2-
1 3
y+ = 1 2 6
2 3
（4）开方:根据平方根意义，方程两边开平方 （5）求解:解一元一次方程 （6）定解:写出原方程的解
17.2一元二次方程解法因式分解法课件
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
ห้องสมุดไป่ตู้
简记歌诀：
右化零 两因式
左分解 各求解
我思 我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
新方法探究: 1、若ab=0,则a= 0? 或b= 0? 2、若x(x-2)=0,则x=?0 或x-2=0? 3、若(x+3)(x-2)=0,则x+3=0? 或x-2= ?0
用因式分解法 解一元二次方程的依据
由AB=0得A=0或B=0
（ A、B表示两个一次因式）
试一试，你能行 解方程： x2－9=0
解：将方程左边因式分解得：
(x+3)(x－3)=0
沪科版数学八年级下册17.一元二次方程的解法课件(1)
第17章 一元二次方程
17.2
一元二次方程的解法
第1课时
直接开平方法、配方法
知识回顾
平方根定义
一个数x的平方等于p，这个数x叫做a
的平方根
即
x²=p（p≥0）
则x叫做a的平方根，表示为：
x p
讨论： 下列方程是一元二次方程吗？
(1)x2
5
2
-1
2
49
（2）x
（3）x
你能利用平方
根定义解求出
这些方程的解
吗？
解：
(1)x
x=
2
5
5
(2)
x
2
-1
∴ 方程无解
0
（3）x²=
∴ x=±7
新知讲授
例1、解方程
x 4 0
2
x 4
解：先移项，得： 2
因此：
可见，上面的
2
x 4 实际
上就是求4的平
方根。
x 4 2
利用平方根定义解一元二次方
程的方法叫做直接开平方法。
2
已知关于x的一元二次方程方程 mx n p p 0
求出方程的解
解：（1）直接开平方，得：
mx
n
p
p
整理得：
x
p n
m
0
提升练习
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x p p 0 或
2
mx n
2
p p 0;
根据平方根的定义，要特别注意：由于负
3 16 x 49 0;
5x 5
2
沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（课件ppt）
（2）x2
3x 1 0； 4
（3）3x2 6x 2 0 ; （4）4x2 6x 0 .
解：（1）a 1, b 1, c 6 .
b2 4ac 12 4 1 6 25.
x 1 25 15, 21 2
x1 ２, x2 －3.
课堂练习
2 x2 3x 1 0
2a
a 2a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
新知导入
由上式可知，
( x b )2 b2 4ac
2a
4a2
能用直接开平方解吗？
那么什么条件下就能用直接开平方解？
当 b2 4ac 0 , 且 a≠0 时，可以开平方
得 x b 2a
所以 x b 2a
b2 4ac 2a
b2 4ac 2a
a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2 3 0 2 3 3, 21 2
∴x1= x2= 3
新知讲解
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式
2、写出a、b、c 的值
3、求出b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0 提醒：因为在实数范围内，负数不能开平方，所 以方程没有实数根.
新知讲解
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解：a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 4 1 (1) 5 0
x 1 5 2
即
x b
b2 4ac 2a
新知讲解
一般地，对于一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第十七章 第2讲 一元二次方程的解法知识精要 1.开平方法通过对方程两边开平方求方程的解的方法叫做开平方法.对于一元二次方程d x =2，如果0≥d ，那么就可以用开平方法求它的根.当0>d 时，方程有两 个不相等的根：d x d x -==21,；当0=d 时，得02=x ，这时就说方程有两个相等的根，记 作：021==x x .2.因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 3.配方法解一元二次方程，有时可以先把方程的一边配成一个含有未知数的完全平方的形式，右边是一个 常数，然后用开平方法来解，像这样解一元二次方程的方法，叫做配方法.对于一般的一元二次 方程，都可以用配方法来解. 解方程)0(02≠=++a c bx ax 的一般步骤是：(1)通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为q px x =+2(q p 、是已知数)的形式. (2)通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程q px x =+2的左边配成一个关于x 的完全平方式，方程化为q pp x +=+22)2()2(. (3)当0)2(2≥+q p 时，再利用开平方法解方程；当0)2(2<+q p时，原方程无实数根.4.求根公式研究解一元二次方程的通用方法，其实就是解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax . 因为 0≠a ，所以方程两边同除以a ，得 02=++acx a b x . 移项，得 a c x a b x -=+2. 两边同时加上 2)2(a b ，得 222)2()2(aba c ab x a b x +-=++， 整理，得 22244)2(aac b a b x -=+. 因为 0≠a ，所以 042>a . (1)当042≥-ac b 时，04422≥-a acb . 利用开平方法，得 22442a ac b a b x -±=+. 则 22442aac b a b x -±-=， 即 a acb b x 242-±-=.(2)当042<-ac b 时，04422<-a acb . 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(aacb a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根. 由上述讨论可得：一元二次方程)0(02≠=++ac bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=，这就是一元二次方程的求根公式. 在求根公式中，如果042=-ac b ，那么abx x 221-==，即方程有两个相等实根. 在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式)0(02≠=++a c bx ax ，如果042≥-ac b ，把c b a 、、 的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果042<-ac b ，那么原方程无实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法.经典题型精讲 (一)开平方法例1.利用开平方法解下列方程：(1)014732=-x ； (2)231y =； (3)02592=+x .举一反三：说出下列方程的根：(1)1442=x (2)036252=-x (3)062=-x (4)0252=+x (5)1642=y (6)0422=+-y总结：形如)0(02≠=+a c ax 的一元二次方程可用开平方法求解. 例2.解下列方程：(1)9)52(2=-x ； (2)12)32(22=-x ； (3)22)13(21)2(8+=+x x ； (4)22)3(a x =-； (5)049)3(22=-+x ； (6)16)1(2=+x .举一反三：用开平方的方法解下列方程：(1)08212=-x ； (2)0242=-x ； (3)01.012=-x ； (4)25)2(2=+x ； (5)36)5(32=-x ； (6)25)32(312=-x .(二)因式分解法 例3.解下列方程：(1)01582=+-x x ； (2)5)2(222+=-x x x ； (3)02)23()21(2=++-+x x x ； (4)0452=-x x ； (5)025)523(32=--+x x ； (6)07122=+-x x .举一反三：(口答)说出下列方程的根：(1)0)4(=+x x ； (2)0)15)(1(=+-x x ； (3)0)42)(15(=-+x x ；(4)0))((=+-b x a x ； (5)08122=+x x ； (6)0232=-x x .例4.解下列关于x 的方程：(1)0)12(22=+++-a a x a x ； (2)22)23(b b a x a x =+--； (3)0)(222=++-ab x b a abx .举一反三：解下列方程：(1)5)2(22+=-x x x ； (2)0)52)(1()52(2=+--+x x x x ； (3)022=--x x ； (4)01282=+-x x ； (5)x x 322=+； (6)2142=+x x .(三)配方法例5.用配方法解下列方程：(1)0562=-+x x ； (2)04032=-+x x ； (3)01232=--x x ；(4)422=-x x ； (5)071242=-+x x ； (6)021322=+-x x .举一反三：用配方法解下列方程：(1)0282=-+x x ； (2)012=--x x ； (3)01522=+-x x ； (4)04242=--x x .例6.求证：无论x 为何值时，代数式542+-x x 的值恒大于0.举一反三：(1)22_____)(_______21-=+-x x x ； (2)22______)(_______25+=++x x x .例7.求多项式20451622+-x x 的最小值，并求出此时x 的值.(四)公式法例8.用公式法解下列方程：(1)01322=+-x x (2)x x 3222=- (3)01652=++x x (4)x x 2222=-例9.用公式法解下列方程：(1)1)1(28)12)(12(--=-+-y y y y ； (2)3)2(5)3)(1(2-+=++-y y y y ；(3)1)35(22=--x x ； (4)1)2()1(22+-=-x x x .(五)综合应用例10.用适当方法解下列方程：(1)06322=+--x x x ； (2)51)12(212=-y ；(3)09964122=--x x ； (4)0572=+-x x .举一反三：用适当方法解下列方程：(1)0)13(2=++x x ； (2)1)5)(3(=-+x x ；(3))8(2)6(-=-x x x ； (4)1)3(412=+x .例11.解下列关于x 的方程：(1)02222=-+-n m mx x (2)032)3(2222=-+--+n mn m x n m x(3)0422=--k x x (4)(k +1)x 2-2(k -3)x +k =0(k <97且k ¹-1)举一反三：用适当方法解下列方程：(1)x 2+2)x =0 (2)1)5)(3(=-+x x (3))8(2)6(-=-x x x(4)1)3(412=+x (5))4(2)4(-=--x x x (6)x x x =+-2322能力提升1.用开平方法解下列方程：(1)04052=-x ； (2)09)1(2=-+x ； (3)014)4(22=-+x ； (4)27)33(2=-x ； (5)0)13(9)13(422=+--x x ； (6)96)32)(32(2+-=--x x x x ； (7)2222)(b ab a a x ++=-. 2.用开平方法解下列方程：(1)06252=-x ； (2)016)42(2=-+x ； (3)09)12(42=--x ； (4)2128)6(22=-x ； (5)231)23(2+=-y ； (6)22)21()23(9x x -=-；(7)049)3(92=--x ； (8)0442=+-x x . 3.解下列方程：(1)0211122=--x x (2)02)2(2=-+x (3)033)321(2=++++x x (4)x x )21()21(2+=- (5)36132+=x x (6)0)3(2)3(7=---x x x 4.解下列关于x 的方程：(1)0)(33442=++-b a x b a abx (2))1(3222≠+=++m x mx mx x (3))0(0)(4)(2222222≠-=----n m n m mnx x n m (4)0)25(4)52(3=---x x x ； (5)0962=+-x x5.已知32+是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.6.阅读下列题目的解答过程，请判断是否有错误？若有错误，请给出正确解答. 已知m 是关于x 的一元二次方程022=+-m x mx 的一个根，求m 的值. 解：把m 代入原方程，化简得m m =3，两边同除以m ，得12=m ，解得1=m . 把1=m 代入方程，检验知1=m 符合题意.7.填空： (1)22____)()(6+=++x x x (2)22____)()(8(-=+-x x x(3)22____)()(23+=++x x x (4)22____)()(52-=+-x x x (5)22____)()(+=++x bx x (6)22____)()(+=++x x abx8.用配方法解下列方程：(1)0462=+-x x (2)x x 6132=- (3)x x 4132=- (4)030222=-+x x (5)0422=--mx x9.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值为___________. 10.用配方法解下列方程：(1)0522=-+x x (2)8632+-=x x (3)0412=++x x (4)x x 4232=- (5)0231322=-+y y (6)06522=+-a ax x 11.设b a 、为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 与b 的值. 12.用公式法解下列方程：(1)02391692=--x x (2)01222=--x x (3)x x 5)1(2=+ (4)1)23(3-=-x x (5))1(22-=x x (6))1(22+=x x(7)04)53)(52(=++-x x (8)012=-+px x (9))0(0)()12(22>>=+++-n m n m x m x 13.(1)求当x 为何值时，二次式632-x 的值等于21； (2)求当x 为何值时，二次式632-x 的值与2-x 的值相等. 14.用适当方法解下列方程：(1)9)3(22=+-t t (2))34(3)32(2+=+x x (3)4)3)(12(=+-x x (4)x x x 32)1)(1(=-+ (5)1)12)(3(=-+x x (6)x x x 2652=+-(7)4)2(212=+x (8)0822=--x x (9)22)32(x x =- (10)16)8(=+x x 15.解下列方程：(1)0622=-x (2)2427x = (3)x x 532= (4)0)1(3)1(=-+-x x x (5)2)1(2=+x (6))7(2)7(32x x -=- 16.解关于x 的方程：(1)ax a x 3222=+ (2)02222=-++b a ax x (3))0)(1()1(22≠-=-a a x x a (4)(m -n )2x 2-4mnx =(m +n )2(m -n ¹0) (5)(x -a )2=b (x 2-a 2)(b ¹1).参考答案：1.(1)x =±(2)x 1=2,x 2=-4 (3)x =-4±(4)x 1=3x 2=-3(5)x 1=-53,x 2=-115 (6)x 1=0,x 2=2 (7)x 1=2a +b ,x 2=-b 2.(1)x =±5 (2)x 1=0,x 2=-4 (3)x 1=-14,x 2=54(4)x =6± (5)y =±1 (6)x 1=57,x 2=711 (7)x 1=23,x 2=163 (8)x 1,2=2 3.(1) x 1=-32,x 2=7(2)x =-2 (3)x 1=1,x 2= (4)x 1=0,x 2=-3- (5)x 1=4,x 2=9 (6)x 1=3,x 2=274.(1)当a =0,b ¹0时，x =0；当a ¹0,b =0时，x =0；当a =0,b =0时，x 为一切实数；当a ¹0,b ¹0时，x 1=b 3a ,x 2=a 3b (2)当m =1时，x =1; 当m ¹1时，x 1=21-m ,x 2=1 (3)x 1=n -m m +n ,x 2=m +n n -m(4)x 1=52,x 2=-43 (5)x 1,2=3 5.2-c =1 6.错误，m 还可能为-1和0 7.(1)9, 3 (2)16, 4(3)916, 34 (4)125, 15 (5)14b 2, 12b (6)b 24a 2, b 2a 8.(1)x =3±(2)x =1±3 (3)x =2±3(4)x 1=2x 2=-(5)x =m ±9. ±1 10.(1)x =-1±(2)x =-1±3(3)x 1,2=-12(4)x =2±3 (5)x 1=2,x 2=-32 (6)x 1=2a ,x 2=3a 11.a =-2,b =2,最小值为112.(1)x =3±26 (2)x =(3)x =32(4)x 1,2=13 (5)无解 (6)x =1±(7)x =±12 (8)x =(9)x =2m +1±2 13.(1)±3 (2)-1或4314.(1)t 1=0,t 2=3 (2)x 1,2=0 (3)x 1=-72,x 2=1 (4)x =±2 (5)x =-54 (6)x =±1,±6(7)x =-2±(8)x 1=-2,x 2=4 (9)x 1=3,x 2=1 (10)x =-4± 15.(1)x = (2)x =±2(3)x 1=0,x 2=53 (4)x 1=1,x 2=-3 (5) x =-1± (6)x 1=7,x 2=193 16.(1)x 1=a ,x 2=2a(2)x =-a ±b (3)x 1=-1a ,x 2=a (4)x 1=-1,x 2=(m +n m -n)2(5)当b =0时，x 1,2=a ;当b ¹0,1时x 1=a ,x 2=a (1+b )1-b。
一元二次方程(第一课时)课件
02
理解一元二次方程的解 法，并能够灵活运用。
03
通过练习题巩固所学知 识，提高解题能力。
04
为下节课学习一元二次 方程的应用做好准备。
感谢您的观看
THANKS
一元二次方程(第一课时 )ppt课件
目 录
• 引言 • 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 课堂练习与解答 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
01
一元二次方程是初中数学的重要 内容，是代数知识的基础之一。
02
通过学习一元二次方程，学生可 以加深对代数概念的理解，提高 解决实际问题的能力。
进阶练习题
总结词
提高解题能力
详细描述
进阶练习题是在基础练习题的基础上进行提升，难度有所增加。这些题目需要学生灵活 运用一元二次方程的知识点，提高解题能力和思维灵活性。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
综合练习题是将一元二次方程与其他知识点 进行综合运用，题目难度较大，需要学生具 备较高的思维能力和综合运用知识的能力。 这类题目有助于培养学生的思维能力和创新 能力。
学习目标
掌握一元二次方程的 标准形式和一般形式 。
能够运用配方法求解 一元二次方程。
理解一元二次方程的 解的概念和解的判别 式。
02
一元二次方程的定义
一元二次方程的数学定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的标准形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程表示 一个未知数 x 的二次方程，其中 x 的最高次数是2。根与系数的关系根 Nhomakorabea系数的关系
【数学课件】八下数学17.2一元二次方程的解法之因式分解法(沪科版)
（1） 4x2 -9=0 （2） x2+3x=0 （3） 3x（x+2）=5（x+2） （4）（3x+1）2 - 5=0
合作探究
解方程 x2+x=0
你可以有哪些方法解这个方程？ 除了配 方法、公式法外，还有没有更简便的方法解 这个方程呢？
x2+x=0 解：原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1
2 x +3x=0
巩固练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(1) x( x 2) 0 x1 0, x2 2 (2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
可以发现，如果两个因 式的积等于0，那么这 两个因式中至少有一个 等于0；如果两个因式 中有一个等于0，那么 它们的积就等于0.
上述解法中，通过因式分解，将一
个一元二次方程化为两个一元一次方程
来求解方法叫做因式分解法。
分解因式法:
当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以 用分解因式的方法求解.
分析：（1）对于缺少一次项的，化为一般形式后形如 a x2+c=0（a≠0），当ac≤0时，总可以用因式分解法或开平 方法求解；当ac＞0时，方程无实数根。
（2）对于缺少常数项的，化为一般形式后形如a
x2+bx=0（a≠0），
进行因式分解，总有一根为0.
合作探究 解方程:
(1) (2) 3x(x+2)=5(x+2) (3) 4x2 -9=0 2 (4) (3x+1) - 5=0
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或 （x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的 意义求解
例1 解下列方程 （1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
一元二次方程(第1课时)课件
因式分解法适用于可以分解为 两个一次方程的一元二次方程 ，但在分解过程中需要注意符 号和根的存在性。
04
一元二次方程的根的性质
判别式的性质
判别式Δ=b²-4ac
用于判断一元二次方程实数根的个数，Δ>0时有两个不同的实根，Δ=0时有两个相 同的实根，Δ<0时没有实数根。
判别式的几何意义
Δ表示一元二次方程与x轴交点的距离，即两根之间的距离。
数学中的一元二次方程问题
总结词
解决数学中的问题
详细描述
一元二次方程是数学中常见的问题，它可以用来解决一些代数、几何和三角函数的问题。通过解一元 二次方程，可以找到数学模型中的未知数，从而解决一些数学问题。
科学中的一元二次方程问题
总结词
解决科学中的问题
VS
详细描述
一元二次方程在科学中也有着广泛的应用 ，如物理学中的自由落体运动、机械能守 恒等问题，化学中的化学反应速率、化学 平衡等问题，以及生物学中的种群增长、 生态平衡等问题。通过解一元二次方程， 可以找到科学模型中的未知数，从而解决 一些科学问题。
03
一元二次方程的解法
配方法解一元二次方程
01Biblioteka 总结词通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解。
02 03
详细描述
将一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 转化为 $a(x + frac{b}{2a})^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a}$ 的形式，然后求解 $x = -frac{b}{2a} pm sqrt{frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为 2。
17.2一元二次方程的解法(第1课时)讲解与例题
5．二次多项式的配方
(1)基本思路：二次多项式的配方与解方程中的配方略有不同，二次多项式的配方是恒等变形，为了使二次项系数化为1，各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数一半的平方，同时再减去同样的数，使代数式的值保持不变．
(2)主要步骤
①将二次项系数化为1.
②加上一次项系数一半的平方，同时为保证原式的值不变，再减去所加上的数．
所以x－2＝±.
所以x－2＝或x－2＝－.
所以x1＝，x2＝.
(3)移项，得(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，
所以3y－1＝±4.
所以3y－1＝4或3y－1＝－4.
所以y1＝，y2＝－1.
点拨：用直接开平方法解题时，应根据式子的特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意开平方后各系数符号的变化．
3．用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程
当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．
例如，关于x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接开平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然后可化为两个一元一次方程进行求解．
【例3】解方程：x2－6x＋9＝(5－2x)2.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：
①将方程转化成(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；
②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n＜0时，方程无实数根．
直接开平方法实际是求一个数平方根的运算．特别注意方程两边开平方时，一边取“±”号，以防漏解．
【例1】用直接开平方法解下列方程：
例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程进行．
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直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法。
1.如果x a(a 0) ，则 x 就叫做a 的 平方根 ，记作 x = a .
2
2 x 64 ，则 2.如果
x = 8
.
求一个非负数的平方根的过程叫做 开平方运算。
解方程：60x2 =1500 解： x2 =25 根据平方根的定义可知:x是25的 ( 平方根). ∴ 即: x = 25 x =±5
（2）4x2－16 = 0
归纳：直接开平方法类型1： x2=p (p≥0)
思考：2）题如何完成？ 例2、利用直接开平方法解下列方程： 1）（x+1）2－4=0 2）6（2－x）2－9=0 解：(1)移项，得 （x+1）2=4 ∴ x+1= ±2 即 x+1= 2 或 x+1=－2 ∴ x1=1，x2=－3. 归纳：直接开平方法类型2： （mx－n）2=p（p≥0) 将二次方 程变成一 次方程
作业：
1.课本30页 习题17.2 第1题（1）（4）（5） 2.思考：解方程 x2 —4x +4 = 0
方程(2－x)2 + 9=0的解是怎样的？
练一练：
用直接开平方法解下列方程：
（1）(6x－1)2 = 25
（2）(x+3)2－2 = 0
（3）(x+2)2 = 0
（4）3(x+1)2 = 48
注意：（3）(x + 2)2 = 0
x1 = x2 = － 2
今天你有哪些收获？
平方根的定义 1. 直接开平方法的理论根据是： 基本思想是将一元二次方程降幂为一元一次方程. 2. 用直接开平方法可解形如x2=p(p≥0)或 （mx－n）2=p（p≥0)的一元二次方程. 3. 解方程时要注意书写的格式. 小结中的两类方程为什么要加条件：p≥0呢？
这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的 一元二次方程的两个根。 ∴ 原方程的两个根为 x1 =5，x2 =－5.
例1、利用直接开平方法解方程: x2 －900=0 解： 移项，得 x2 =900
直接开平方，得 x=±30 ∴x1=30，x2=－30
练一练：
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 = 25