基于反应谱的土与结构相互作用体系演变随机激励响应

T T
0
{ 0} mb +
θ
{ 0} { 1}
6
0
mj
0
ξ g
0. 64 0. 72 0. 80 0. 90
S0
t/ s
6
m j Hj
1 1
ug ( t) ¨
17. 06 23. 53 29. 16 44. 12
11. 0 15. 5 20. 0 29. 0
( 6)
式 ( 6) 进一步转化为 [ M ]{ X ¨ } + [ C]{ X} + [ K]{ X} = - [ M g ]{ J} ¨ u g ( t) ( 7) 式 ( 6) 中 , [ M s ] , [ Ks ] , [ C s ] 表示上部结构质量矩 阵、 刚度矩阵和阻尼矩阵 ; m j 表示上部结构第 j 层 的集中质量 ; m b , I b 表示基础的质量和转动惯量 ; Hj 表示第 j 个质点离地面的高度 ; I j 表示第 j 层的 集中质量对其自身的转动惯量 ; u j 表示第 j 个质点 的相对位移 ; u b ,θ 表示基础的平动位移和转动位 移 ; Kii ( i = h , r) 表示地基土弹簧刚度 ; Cii ( i = h , r) 表示地基土阻尼 ;{ J }为单位列向量 。
4 3. 75 528 264
5 3. 75 528 473
6 7 3. 75 4. 5 528 539 371 405
{ u ( t) } =
{ M (ω, t ) } e ∫
- ∞
ω i t
d FX (ω)
-ω i t
( 9) dτ ,
t
式中 { M (ω, t ) } =
) A (τ,ω) e h( t - τ ∫
数 ωg ,ξ g , S 0 及地震动持续时间 t 见表 1 ,根据场地 类别确定 。输入非平稳演变随机模型的功率谱密度 α= 012 ,β= 016 , C = 215974 , t = 函数如图 1 所示 。 2910 s 时调制函数如图 2 所示 。
表1 控制参数 Table 1 Control parameters[ 5 , 6]
t
0
并具有如下响应演变谱密度函数 : )} { S uu (ω, t ) } = | M (ω, t ) | 2 { S ¨ x g (ω
根据以上推导的计算公式 , 第 4 层层间位移的 时变均方根响应如图 4 所示 。从图 4 可以看出 , 在 很短的时间内 , 体系的响应达到最大 , 然后很快衰 减 。对于剪切型框架结构体系 , 系统的响应主要集 中在地震开始的很短时间内 。
d FX (ω)
( 1)
式中 A ( t , ω) 为调制函数 , FX (ω) 与平稳随机过 程 x ( t ) 有关 , x ( t ) 满足 :
∞
x ( t) =
e d F (ω) ∫
ω i t
X
- ∞
( 2)
2006 No 12
张国栋 : 基于反应谱的土与结构相互作用体系演变随机激励响应
收稿日期 :2005207220 作者简介 : 张国栋 (1968 - ) ,男 ,河南南阳人 ,博士 ,副教授 ,主要从事 土动力学与结构抗震研究 。 基金项目 : 湖北省教育厅科学研究基金资助项目 ( 2001A53013) ; 三 峡大学科学研究基金资助项目 (2002C05)
E - mail :t mzgd @163. com
0 引 言
地震动是地震时由震源释放出的地震波以一定 的幅射方式通过地壳介质传播至地表或地下浅层而 产生的近地表介质的强烈振动 。地震动不仅是地球 地壳介质这一复杂系统对于震源激励的输出 , 同时 又是地震区工程结构所遭遇的主要外部激励之一 , 对于结构抗震设计常常起到控制作用[ 1 ] 。因而 , 地 震动 一 直 是 地 震 学 家 和 工 程 师 研 究 的 对 象 。自 1947 年 Housner [ 2 ] 首次用随机过程描述地震动以来 的半个世纪 ,是地震动模型化飞速发展的时期 。目 前 ,用于结构体系随机地震反应分析的随机模型是 用功率谱来描述的 , 作为工程应用角度又习惯于应 用反应谱 。怎样确定未来可能发生的地震功率谱 , 人们作了许多研究 。鉴于目前世界上大多数国家都
{ m H}
( 5)
{¨ u j}
6
6
m j Hj [ Cs ]
T
{ 0}
6 m j Hj 6 Ij + 6
{ u j} ub
m j Hj2
4 式中 S ¨ x g ( ω) 取 如 下 形 式 : S ¨ x g ( ω) = [ ω g + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 1 ξ 4ξ S 0 , 其控制参 gω gω ] [ (ω g - ω) + 4 gω gω ]
2 基于反应谱的随机演变过程响应分析
211 土与结构相互作用体系力学计算模型及运动
(ω) 时 ,地震随机激励非平稳演变随机过程的自相
关函数表示为
E[ ( t 1 )
∞
( t 2) ]
1 2
方程的建立 土与结构相互作用体系力学计算模型如图 3 所 示 。把地基土的作用转化为凝聚在基础边界上的平 动 ( Sway) 弹簧 — 阻尼器和转动 ( Rocking) 弹簧 — 阻 尼器 ,该模型称之为集总参数模型 ( S — R 模型 ) 。建 筑物 — 基础 — 地基耦联体系的运动方程为[ 7 ] :
谱关系的建立
地震动过程的非平稳性已由实际观测结果所证 实 ,许多学者提出了各种不同的非平稳随机过程模 型 ,从不同的角度反映地震动的非平稳性 ,其中较有 影响的是 Priestley 提出的具有演变谱密度的非平稳 随机过程模型 [ 3 ] :
∞
( t) =
A ( t ,ω) e ∫
- ∞
ω i t
118
四川建筑科学研究 Sichuan Building Science
第 32 卷 第2期 2006 年 4 月
基于反应谱的土与结构相互作用体系演变随机激励 响应
张国栋
( 三峡大学土木水电学院 ,湖北 宜昌 443002)
摘 要 :利用功率谱与反应谱的转换关系 ,建立了演变随机过程输入功率谱密度函数表达式 , 提出了分析土与结构相互作用 体系演变随机过程的反应谱分析方法 ,该方法利用新规范中的加速度反应谱作为目标谱 ,计算与之相对的功率谱并按该功率 谱作为地震输入谱进行土与结构相互作用体系随机地震反应分析 。研究表明 , 该方法反映了地震动和相互作用体系的动力 特性 ,是进行土与结构相互作用体系随机地震反应分析的一种有效方法 。 关键词 : 反应谱 ; 随机分析 ; 土与结构相互作用 ; 功率谱 中图分类号 : TU44 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 1933 ( 2006) 02 - 0118 - 03
∞
第 32 卷
变换对) 可表示为
h ( t) =
1 i t (ω) } eω dω π { H 2 - ∞
∫
Table 2 Structure calculation parameters
( 8)
式中 H (ω) 为土与结构相互作用体系的频率响应 函数 ,则体系的响应可以表示为
∞
层号 1 2 3 计算层高/ m 4. 8 4. 2 3. 75 466 660 613 计算质量/ (t ・ s2/ m) 计算刚度/ ( × 10 3 kN/ m) 422 433 309
212 土与结构相互作用体系运动方程求解
图2 连续函数调制模型 Fig. 2 Modulation f unctions
若体系的脉冲响应函数为 h ( t ) , 则体系的脉冲 响应函数 h ( t ) ( 脉冲响应函数与表2 结构计算参数
1 19
调制函数采用 Shinozuka 和 Sato 连续模型[ 4 ] : β -α t A (ω, t ) = C ( e - e - t ) (β> α≥ 0) ,
α β ( 3) α β- α α β- α C= β β 式中 C ,α,β为常数 ,根据实际地震情况确定 。当 平稳随机过程 x ( t ) 的输入功率谱密度函数为 S ¨ xg
场地条件 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ωg
31. 42 20. 94 15. 71 9. 67
[ 5 ,6 ]
C hh ¨ u b + { 0} T θ ¨ { 0} 0 [ Ks ] { 0} { 0 } + { 0}
T T
0
C rr { u j} ub
θ
Khh
0
Krr
{ 0} [ Ms] ={ 0} { 0}
采用反应谱作为抗震设计的依据 , 从标准反应谱求 出其相应的功率谱 , 并把它作为地震输入谱应该是 一种有效而合理的途径 。以往人们的研究大都把地 震动作为平稳随机过程 , 并建立了功率谱与反应谱 的转换关系 ,对于非平稳随机演变过程 ,还没有人做 过这方面的研究工作 ,本文对此进行了研究 。
1 地震动演变随机过程反应谱与功率
[ Ms] { m} mb + { m H} mj Ib + { 0}
T
= 则
A (ω, t ) A (ω, t ) e ∫
- ∞
ω i (t 2 - t 1 )
) dω ( 4) S¨ x g (ω
{ m}
T
( t ) 的瞬时功率谱密度函数为
2 ) S (ω) = | A (ω, t ) | S ¨ x g (ω
图1 输入功率谱密度函数 Fig. 1 Input power spectral density f unctions
图3 建筑物 — 基础 — 地基耦联体系计算模型 Fig. 3 Calculation model of structure2foundation2 ground couble system