2013高三数学总复习同步练习：9-7用向量方法证明平行与垂直(理)
2013届高考数学一轮复习讲义：8.6 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直
1 1 3 3 → → ∴AE· ＝－ × ＋ × ＝0， CD 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
→ 2 3 (2)方法一 ∵P(0,0,1)，∴PD＝0， ，－1. 3 3 2 3 1 → → 又AE· ＝ × PD ＋ ×(－1)＝0， 4 3 2 → → ∴PD⊥AE，即 PD⊥AE. → → → ∵AB＝(1,0,0)，∴PD· ＝0， AB
建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz， 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)， → FG＝(1,1，－1)，
→ → → 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2， ∴t－s＝0， －t＝－2， 解得 s＝t＝2.
(－2,1,0)． → → 因为 n⊥BA1，n⊥BD，
→ －x＋2y＋ 3z＝0， n· 1＝0， BA 故 ⇒ －2x＋y＝0， → n· ＝0 BD 令 x＝1，则 y＝2，z＝－ 3，故 n＝(1,2，－ 3)为平面 A1BD 的 → 一个法向量，而AB1＝(1,2，－ 3)， → → 所以AB1＝n，所以AB1∥n，故 AB1⊥平面 A1BD.
→ → 设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，BA1＝(－1,2， 3)，BD＝
利用空间向量解决探索 性问题
例 3 如图，四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平 面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45° ， 底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝ 1 ∠BAD＝90° ，PA＝BC＝ AD＝1. 2 (1)求证：平面 PAC⊥平面 PCD； (2)在棱 PD 上是否存在一点 E， CE∥平面 PAB？若存在， 使 请确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由．
高考数学(理)一轮题组训练：立体几何中的向量方法一——证明平行与垂直(人教版)
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v ＝(3，－1，4)，则 ( )． A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上都不正确解析 ∵－23≠3－1≠－54，∴μ与v 不是共线向量，又∵μ·v ＝－2×3＋3×(－1)＋(－5)×4＝－29≠0，∴μ与v 不垂直，∴平面α与平面β相交但不垂直． 答案 C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )． A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 答案 D3．(2014·泰安质检)已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)三点，向量n ＝(1,1,1)，则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是 ( )．A ．垂直B ．不垂直C ．平行D ．以上都有可能解析 易知AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，∴AB →·n ＝－1×1＋1×1＋0＝0，∴AC →·n ＝0，则AB →⊥n ，AC →⊥n ，即AB ⊥l ，AC ⊥l ，又AB 与AC 是平面ABC 内两相交直线，∴l ⊥平面ABC . 答案 A4.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )．A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)． ∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM . 答案 C5.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )．A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1解析 连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点．在空间坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1)． 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.答案 C 二、填空题6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.解析 ∵α⊥β，∴a ·b ＝x －2＋6＝0，则x ＝－4. 答案 －47．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，故n 也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.答案 平行8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________． 解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确． 又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确． 由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误． 答案 ①②③ 三、解答题9.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1，2,0)．∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面． ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD的一个法向量，则⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →， 又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)取AP 的中点E ，并连接BE ， 则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)， ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，则BE ⊥DA . ∵P A ∩DA ＝A .∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ＋y 的值为 ( )．A.257B.67C.187D.407解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得x ＝407，y ＝－157.于是x ＋y ＝407－157＝257. 答案 A2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )．①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确． 答案 C 二、填空题3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于B 1E ⊥平面ABF ，所以FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案 1 三、解答题4．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点.。
用向量方法证明平行与垂培训资料
总结词
向量线性组合定理
详细描述
如果两个平面上的任意两个向量都可以由另一个平面上的某个向量线性组合得到，则这两 个平面一定平行。
证明过程
设两个平面上的任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$可以由另一个平面上的某个向量$vec{c}$ 线性组合得到，即$vec{a} = k_1vec{c}$和$vec{b} = k_2vec{c}$，则根据向量线性组合的性 质，这两个平面一定平行。
03
向量的向量积
向量向量积的定义
总结词
向量积是由两个向量生成的第三个向量，其大小等于两个原向量构成的平行四边形的面 积，方向与原向量构成的平面垂直。
详细描述
向量积的定义基于几何概念，它表示两个向量通过点乘和叉乘运算生成第三个向量。这 个新向量的模等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的
垂直证明
证明两向量垂直，即证明两向量之间 的夹角为90度。
通过向量的点积性质，可以证明两向 量的点积为0，即 $overset{longrightarrow}{AB} cdot overset{longrightarrow}{CD} = 0$。
2013年高考数学总复习 9-7 用向量方法证明平行与垂直(理)但因为测试 新人教B版
基础巩固强化1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面CC 1D 1D 的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AA 1→＋12AB →.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3，－1)[答案] B[解析] 欲使l ∥α，应有n ⊥a ，∴n ·a ＝0，故选B.3．二面角α－l －β等于60°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长等于( ) A.3a B.5a C ．2aD ．a[答案] C[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于60°，∴AC →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝a ，|BD →|＝2a ， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝4a 2，∴|CD →|＝2a .4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(4,5，x )，若a 、b 、c 三向量共面，则|c |＝( )A ．5B ．6 C.66 D.41 [答案] C[解析] ∵a 、b 、c 三向量共面，∴存在实数λ、μ，使c ＝λa ＋μb ，∴(4，－5，x )＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x .∴x ＝5，∴|c |＝42＋52＋52＝66.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2C.14a 2D.34a 2[答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.94[答案] D[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ，∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12BC →＋BD →|2＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94. 7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB → 2＋BD → 2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A－BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.8．(2011·金华模拟)已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为________． [答案] (103，－1，73)[解析] ∵C 为线段AB 上一点，∴存在实数λ>0，使AC →＝λAB →，又AB →＝(－2，－6，－2)，∴AC →＝(－2λ，－6λ，－2λ)，∵|AC →||AB →|＝13，∴λ＝13，∴AC →＝(－23，－2，－23)， ∴C (103，－1，73)．9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°.∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD .又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB .∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点，∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0，∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →⊥平面ACD 1，∴B 1D ⊥平面ACD 1.(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→，∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→(其中O 为AC 中点)证明．13．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．[解析](1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴AD 、DC 、PD 两两垂直，如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、P (0,0，a )、F (a 2，a 2，a 2).EF →＝(－a 2，0，a 2)，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)设G (x,0，z )，则FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为(a 2，0,0)，即G 点为AD 的中点．14．(2011·海口调研)在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面P AD ；(2)求证：EF ∥平面P AB ；(3)求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值．[解析] 解法一：(1)∵E 是AD 中点，连接PE ，∴AB ＝2，AE ＝1.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.∴AE 2＋BE 2＝1＋3＝4＝AB 2，∴BE ⊥AE .又平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∴BE ⊥平面P AD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，∵AE 綊12BC ，又∵HF 是△PBC 的中位线，∴HF 綊12BC ，∴AE 綊HF ，∴四边形AHFE 是平行四边形，∴EF ∥AH ，又EF ⊄平面P AB ，AH ⊂平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(3)由(1)知，BC ⊥BE ，PE ⊥BC ，又PE ，BE 是平面PBE 内两相交直线，∴BC ⊥平面PBE ，又由(2)知，HF ∥BC ，∴HF ⊥平面PBE ，∴∠FEH 是直线EF 与平面PBE 所成的角，易知BE ＝PE ＝3，在Rt △PEB 中，EH ＝62，∴tan ∠FEH ＝162＝63，∴cos ∠FEH ＝155. 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155.解法二：容易证明EP ，EA ，EB 两两垂直，建立空间直角坐标系E －xyz 如图．易求BE ＝PE ＝3，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，因为F 是PC 的中点，则F (－1，32，32)．(1)∵EB →·EA →＝0·1＋3·0＝0·0＝0，∴EB →⊥EA →，即EB ⊥EA ，∵EB →·EP →＝0·0＋3·0＋0·3＝0，∴EB →⊥EP →，即EB ⊥EP ，∵EA ，EP 是平面P AD 内的两相交直线，∴EB ⊥平面P AD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，则H (0，32，32)，∵EF →＝(－1，32，32)，AH →＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)，∴EF →∥AH →，∵又EF ⊄平面P AB ，AH ⊂平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(3)∵y 轴⊂平面PBE ，z 轴⊂平面PBE ，∴平面PBE 的法向量为n ＝(1,0,0)，∵EF →＝(－1，32，32)，设直线EF 与平面PBE 所成角为θ，∴sin θ＝|EF →·n ||EF →||n |＝105，∴cos θ＝155， 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155.15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝BC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·NC →＝0，n ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0.即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2.1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH ∥平面F A 1B .(2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1.[解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→)，∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →∥平面F A 1B ，∵HC ⊄平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .(2)平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)，设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0. 令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)．2．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ；(2)直线MN ⊥直线AB .[解析] 证法1：(1)连接CM ，∵四边形ABCD 为矩形，CR ＝RD ，BM ＝MA ，∴CM ∥AR ，又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ，∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a 2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM→＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a 2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，⎩⎨⎧ a 2λ＋a 2μ＝a 2bμ＝b －cλ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝1，∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ， ∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →＝(a,0,0)，∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .3．(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．[分析] 因为AC ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故以A 为原点建立空间直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 、P 的坐标．(1)运用PC →·AD →＝0证明PC ⊥AD ；(2)先求两平面APC 与平面DPC 的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量BE →与CD →的夹角，利用向量夹角公式列等式．[解析] 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (－12，12，0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0. 不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝(12，－12，h )，由于CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD→|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以，310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010， 即AE ＝1010.。
2015届高考数学一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直
2015届高考数学一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直基础巩固强化一、选择题1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12AD →.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．(2012·银川质检)若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确 [答案] B[解析] ∵a ·b ＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0， ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2C.14a 2D.34a 2 [答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.4．已知二面角α－l －β的大小为60°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )A.14B.13 C ．2 2 D ．2 5 [答案] C[解析] 由条件知|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CD →|＝3，AB →⊥BC →，BC →⊥CD →，〈AB →，CD →〉＝120°，AD →＝AB→＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →＝4＋1＋9＋2×2×3×cos120°＝8， ∴|AD →|＝2 2.5．平面α经过三点A (－1,0,1)、B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A.⎝⎛⎭⎫12，－1，－1B ．(6，－2，－2)C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4) [答案] D[解析] 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 二、填空题 7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB →2＋BD →2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A －BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.9．(2012·厦门质检)已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________．[答案] 65[解析] |a |＝22＋(－1)2＋22＝3， |b |＝22＋22＋12＝3，a ·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a ||b |·sin〈a ，b 〉＝65.三、解答题 10.如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°.∴AB ＝1， 由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD . 又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面P AC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0① ∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB .∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1. 将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点，∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.(2013·杭州模拟)直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解析](1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)AC ′→＝－a ＋c ，CE →＝b ＋12c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 12．如图，已知AB⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE . [证明] 证法一：(1)取CE 的中点P ，连接FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP ＝12DE .又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，∴四边形ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD .∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，∴DE ⊥平面ACD ， 又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE .又∵BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .证法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F (32a ，32a,0)．(1)AF →＝(32a ，32a,0)，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )，∴AF →＝12(BE →＋BC →)，∵AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF →＝(32a ，32a,0)，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )，∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →，∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 13.(2013·泰安适应性训练)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；(2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离． [解析] (1)证明：如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，由条件知，OA ＝OC ＝8，PO ＝6，OB ＝8，则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0，0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)， 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0. 又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．要使FM ⊥平面BOE ，只需FM →∥n ， 因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是(4，－94，0)．在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.14．(2013·上海浦东新区质检)四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ＝PB ＝AB ＝12AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别为AD 、PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：EF ⊥平面PBD ； (3)求二面角D －P A －B 的余弦值．[解析] (1)证明：△ABD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°， 由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos60°＝AD 2－AB 2， ∴BD ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，BD ⊥AB ，∴DB ⊥平面P AB ，以B 为原点，直线BA 、BD 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图，令AB ＝2，则A (2,0,0)，D (0,23，0)，P (1,0，3)，C (－2,23，0)，∴EF →＝12(AP →＋DC →)＝12(－3,0，3)＝32(－3，0,1)，又平面P AB 的法向量n 2＝(0,1,0)， ∴EF →·n 2＝0，∵EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(2)证明：BD →＝(0,23，0)，BP →＝(1,0，3)，∵EF →·BD →＝0，EF →·BP →＝0，∴EF ⊥BD ，EF ⊥BP ，∴EF ⊥平面PBD .(3)解：设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AP →＝(－1,0，3)，AD →＝(－2,23，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝－x ＋3z ＝0，n 1·AD →＝－2x ＋23y ＝0，令x ＝3，所以n 1＝(3，1,1)， 平面P AB 的法向量n 2＝(0,1,0)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝15， ∴二面角D －P A －B的余弦值为55.考纲要求理解直线的方向向量与平面向量的法向量．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．补充说明1．用向量解决立体几何问题基本思考方向(1)求两点间距离或某一线段长度，用向量的模解决；(2)解决线线平行、面面平行、线面垂直、共线问题，一般考虑共线向量定理； (3)解决线线垂直、面面垂直、线面平行，可考虑转化为向量的数量积为零． (4)解决线面平行、面面平行可以考虑平面向量基本定理．2．证明线面平行和垂直问题，可以用综合几何方法，也可以用向量几何方法．用向量法的关键在于选取基向量或建立坐标系，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量平行与垂直的条件，通过向量运算解决．备选习题1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4. (1)求证CH ∥平面F A 1B . (2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1.[解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)证明：∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→)， ∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →∥平面F A 1B ，∵HC ⊄平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .(2)证明：平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)，设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，∴⎩⎨⎧ －2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0. 令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B.(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)． 2．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ；(2)直线MN ⊥直线AB .[证明] 证法1：(1)连接CM ，∵ABCD 为矩形，R 、M 分别为AB 、CD 的中点，∴MA 綊CR ，∴AMCR 为平行四边形，∴CM ∥AR ，又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ，∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD 的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a 2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM →＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a 2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →， ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2λ＋a 2μ＝a 2，bμ＝b ，－cλ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝0，μ＝1.∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ， ∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC . (2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →＝(a,0,0)， ∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .3.(2013·辽宁六校联考)在三棱锥P－ABC中，△P AC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB＝2，O是AB的中点．(1)在棱P A上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面P AB⊥平面ABC.[解析]解法一：(1)当M为棱P A的中点时，OM∥平面PBC.证明如下：∵M，O分别为P A，AB的中点，∴OM∥PB.又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，∴OM∥平面PBC.(2)连接OC，OP.∵AC＝CB＝2，O为AB的中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1.同理，PO⊥AB，PO＝1.又PC＝2，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC.∵AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC.解法二：设P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则由条件知|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·c ＝b ·c ＝1， 在△P AB 中，P A ＝PB ＝2，AB ＝2，∴P A ⊥PB ，∴a ·b ＝0.(1)设PM →＝λa ，则OM →＝PM →－PO →＝λa －12(a ＋b )＝(λ－12)a －12b ， ∵OM ∥平面PBC ，∴存在实数s ，k ，使OM →＝s b ＋k c ，∴s b ＋k c ＝(λ－12)a －12b ， 由平面向量基本定理知，λ＝12，s ＝－12，k ＝0， ∴M 为P A 的中点．(2)PO →＝12(a ＋b )， ∵PO →·AC →＝12(a ＋b )·(c －a ) ＝12(a ·c ＋b ·c －|a |2－a ·b )＝0， PO →·AB →＝12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0， ∴PO →⊥AC →，PO →⊥AB →， ∴PO →是平面ABC 的法向量，又PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABC .。
高三数学一轮复习优质学案：第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.()(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直.答案 C3.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .答案 C4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.AM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直. 答案 垂直5.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ＝(2，2，4)，若a ＝(1，1，2)，则直线l 与平面α的位置关系为________；若a ＝(－1，－1，1)，则直线l 与平面α的位置关系为________.解析 当a ＝(1，1，2)时，a ＝12n ，则l ⊥α；当a ＝(－1，－1，1)时，a ·n ＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l ∥α或l ⊂α.答案 l ⊥α l ∥α或l ⊂α考点一 利用空间向量证明平行问题『例1』 如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD .证明 法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O －xyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0，0). 因为AQ→＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0). ∵CF→＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0，∴OF→＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.『训练1』 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0). 法一 ∴EF→＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB→＝(2，0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄面EFG ，∴PB ∥平面EFG .法二 PB→＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG→＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE→与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 考点二 利用空间向量证明垂直问题『例2』 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明： (1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3).∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB . ∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 『训练2』 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →. 令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底， 则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ， m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证. 法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三 利用空间向量解决探索性问题『例3』 (2017·合肥调研)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3). 由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .规律方法 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.『训练3』 在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点. (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由.(1)证明 由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直.如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).∵EF→·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD . (2)解 假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，故存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点.『思想方法』1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.『易错防范』1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.。
高考数学总复习 第8篇 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直限时训练 理
第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直分层A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )． A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )．A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析 若l ∥α，则a·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0.答案 D3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4)解析 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.答案 D4．(2012·全国卷)已知正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )． A ．2 B. 3C. 2D ．1解析 连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.答案 －2或2556．在四面体PABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a .答案33a 三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四棱锥SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．(1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图． 设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS →是平面PAC 的一个法向量，且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS → ＝⎝⎛⎭⎪⎫－22a ，22a －t ，62at ， 而BE →·DS →＝0⇔t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)，A (2，2，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF .同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .分层B 级 创新能力提升1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )． A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －＋5y ＋6＝0，x －＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.答案 B2．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为 ( )．A.216a B.66a C.156a D.153a解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a .答案 A3．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析 以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.答案 14．(2013·淮南模拟)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有____________个．解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.答案 25．在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由 FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即G 点为AD 的中点．6.(2012·湖南卷)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥PABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)证明 易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)由题设和(1)知，CD →·PA →分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈PA →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·PB →|PA →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，PA →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )， 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2.解得h ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥PABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.。
高中数学《向量法证明平行与垂直》
( 法一）证明：设正方体棱长为以1D，A，DC,DD1
为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2 , 1)
则Ｄ１Ｆ DA 0，Ｄ１Ｆ DE 0
A
1
则Ｄ１Ｆ DA，Ｄ１Ｆ DE．
线面平行：（1）l ∥ a u a u 0 ；
(2)l∥ , AB a∥AB a AB
a
l
u
A
B
面面平行： / / u / /v u v
u
v
探究（二）、垂直关系： 线线垂直：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，则
l m a bab 0
l
a
b
m
法向设量直分线 别为l 的u方，向向量分别为 a ，平面 的
高中数学 向量法证明平行与垂直
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
➳平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.平面与平面平行的判定
➳判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行．
线面垂直 ：（1）l ⊥ a ∥ u a k u ；（2）l源自a ABa
AB
0
l
a AC a AC 0
a
u
C A
B
面面垂直 ： u v u v 0
v
u
（经典例题）例1： 四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC 的中点， 求证：PA//平面EDB.
高考数学总复习第8篇第7讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直限时训练理
第7讲立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直分层A级基础达标演练时间：30分钟满分：55分一、选择题每小题5分，共20分1．若直线1，2的方向向量分别为a＝2,4，－4，b＝－6,9,6，则．A．1∥2B．1⊥2C．1与2相交但不垂直D．以上均不正确答案 B2．若直线的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使∥α的是．A．a＝1,0,0，n＝－2,0,0B．a＝1,3,5，n＝1,0,1C．a＝0,2,1，n＝－1,0，－1D．a＝1，－1,3，n＝0,3,1解析若∥α，则a·n＝·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D 选项中a·n＝－3＋3＝0答案 D3．平面α经过三点A－1,0,1，B1,1,2，C2，－1,0，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是．B．6，－2，－2C．4,2,2 D．－1,1,4解析设平面α的法向量为n，则n⊥错误!1C错误!是线段EF的中点．求证：1AM∥平面BDE；2AM⊥平面BDF证明1建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE则N错误!，E0,0,1，A错误!，错误!，0，M错误!∴错误!不共线．∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE2由1知错误!⊥DF同理AM⊥BF又DF∩BF＝F，∴AM⊥级创新能力提升1．已知错误!1C在AC1上且错误!错误!，，，∵点M在AC1上且错误!错误!，∴|错误!1C1A1C1C1C，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与ON上，∴Q＋Q＝3，∴＋＝1，即点P坐标满足＋＝1∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ答案 25．在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．1求证：EF⊥CD；2在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．1证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D0,0,0、Aa,0,0、Ba，a,0、C0，a,0、E错误!、P0,0，a、F错误!错误!＝错误!，错误!＝0，a,0．∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!，即EF⊥CD2解设G,0，，则错误!＝错误!，若使GF⊥平面PCB，则由错误!·错误!＝错误!·a,0,0＝a错误!＝0，得＝错误!；由错误!·错误!＝错误!·0，－a，a＝错误!2＋a错误!＝0，得＝0∴G点坐标为错误!，即G点为AD的中点．62022·湖南卷如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．1证明：CD⊥平面PAE；2若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD 的体积．解如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A0,0,0，B4,0,0，C4，3,0，D0,5,0，E2,4,0，P0,0，h．1证明易知错误!＝－4,2,0，错误!＝2,4,0，错误!＝0,0，h．因为错误!·错误!＝－8＋8＋0＝0，错误!·错误!＝0，所以CD⊥AE，CD⊥，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE2由题设和1知，错误!·错误!分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|co〈错误!，错误!〉|＝|co 〈错误!，错误!〉|，即错误!＝错误!由1知，错误!＝－4,2,0，错误!＝0,0，－h，又错误!＝4,0，－h，故错误!＝错误!解得h＝错误!又梯形ABCD的面积为S＝错误!×5＋3×4＝16，所以四棱锥PABCD的体积为V＝错误!×S×PA＝错误!×16×错误!＝错误!。
向量方法(一)证明平行与垂直
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )(4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( )2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α相交4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 D.⎝⎛⎭⎫33，33，－335.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0例题精讲考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】如图，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点.(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F－AE－B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值.考点三利用空间向量解决探索性问题【例3】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.规律方法向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.【训练3】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.[思想方法]1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.[易错防范]1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.课后巩固1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A.2B.－4C.4D.－22.若AB→＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点.求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .。
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识精讲一．直线的方向向量与直线的向量方程1．点的位置向量在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．2．直线的方向向量空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量．3．直线的向量方程直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式②，如果在上取，则上式可以化为③；①②③都叫做空间直线的向量参数方程．二．平面的法向量1．平面法向量的定义已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．2．平面法向量的性质（1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．三．用向量方法证明空间中的平行关系1．线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即．2．线面平行（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明；（2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．3．面面平行（1）若能求出平面的法向量，要证明，只需要证明即可．（2）由面面平行的判定定理：要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得．三点剖析一．方法点拨1．在平面内，直线的向量方程可类比点斜式方程，直线的方向向量、斜率都是刻画直线方向的量，只是从不同角度引入，它们有一定的关系：斜率为的直线，其方向向量为，反之，方向向量为的直线不一定存在斜率；在空间中，用方向向量刻画直线较为方便．2．空间中建系描述选取三条两两相交的直线的交点作为原点，以哪三条直线为轴，建立空间直角坐标系．例如：正方体中，建系的描述为：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．3．用空间向量证明平行关系需要注意的问题（1）用空间向量的方法证明立体几何中的平行问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理．（2）用向量方法证明平行问题的步骤①建立空间图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；②通过向量运算研究平行问题；③根据运算结果解释相关问题．4．平面法向量的求法（1）建立适当的坐标系；（2）设出平面法向量为；（3）找出（求出）平面内的两个共线的向量的坐标；（4）根据法向量的定义建立关于的方程组；（5）解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．有时候，题目中的线面垂直条件比较明显，可以将垂线的方向向量作为平面的法向量来解决问题．题模精讲题模一直线的方向向量与直线的向量方程例1.1、已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A、x=6，y=15B、x=3，y=C、x=3，y=15D、x=6，y=例1.2、从点沿向量的方向取线段长，则B点的坐标为( )A、B、C、D、题模二平面的法向量例2.1、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式．例2.2、（1）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________；则__________．（2）若的方向向量为，平面的法向量为，若，则__________；若，则__________．题模三利用向量方法证明线面平行关系例3.1、已知正方形和正方形相交于分别在上，且，求证平面．例3.2、在正方体中，的中点，求证：．题模四利用向量方法证明线线与面面的平行关系例4.1、在正方体中，分别是的中点．证明:．例4.2、如右图所示，在平行六面体中，分别是的中点．求证:平面∥平面．．随堂练习随练1.1、已知，，则直线的模为的方向向量是________________．随练1.2、已知点若点为直线上任意一点，则直线的向量参数方程为______________，当时，点的坐标为______________．随练1.3、已知，且均与平面平行，直线的方向向量，则（）随练1.4、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确随练1.5、已知平面经过三点，试求平面的一个法向量．随练1.6、在正方体中，分别是的中点，求证:．随练1.7、已知正方体的棱长为2，分别是的中点，求证：(1)；(2)．利用向量证明空间中的垂直关系知识精讲一．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线的方向向量分别是，两个平面的法向量分别是，则有下表与与与二．用向量方法证明空间中的垂直关系1．线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需要证明，即．2．线面垂直（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明．（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3．面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直，线线垂直；（2）证明两个平面的法向量互相垂直．一、方法点拨1．平面法向量可以不唯一，只要是垂直于平面的直线，其方向向量都可以当作法向量进行运算．2．平面中的平行、垂直关系的向量论证，注意复习线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现了向量的工具性功能．题模精讲题模一利用向量方法证明线线垂直例1.1、设的方向向量，的方向向量，若，则( )A、1B、2C、D、3例1.2、在正三棱柱中，．求证：．题模二利用向量方法证明线面垂直若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )A、B、C、D、斜交例2.2、在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得．题模三利用向量方法证明面面垂直例3.1、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确例3.2、在长方体中，，分别是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．随堂练习随练2.1、如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点．求证：随练2.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小．随练2.3、在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，分别为上的点，且（1）求证：平面；（2）求证：的公垂线段．自我总结课后作业作业1、已知，把按向量平移后所得的向量是( )A、B、C、D、作业2、正四面体的高的中点为，则平面的一个法向量可以是________，平面的一个法向量可以是________．作业3、若直线是两条异面直线，它们的方向向量分别是，则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．作业4、是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点，求证:．作业5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角C1-AB-C的余弦值．作业6、已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）求：（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量分别与向量，垂直，且||=，求向量的坐标．作业7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．作业8、在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，的中点，在线段，使？若存在，求出；若不存在，请说明理由．作业9、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BA D=∠FAB=90°，BC AD，BE AF，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．。
届高考数学一轮复习讲义立体几何中的向量方法Ⅰ证明平行与垂直
届高考数学一轮复习讲义立体几何中的向量方法Ⅰ证明平行与垂直向量方法是解决平行与垂直关系问题的一种常用方法。
在届高考数学一轮复习中，立体几何中的向量方法Ⅰ主要围绕平面中向量的运算和性质展开，通过向量的加减法、数量积、向量积等运算，来验证平行关系和垂直关系。
一、平行关系的向量验证如果两条直线平行，那么它们的方向向量也是平行的。
因此，我们可以通过直线上的两个向量的比较来判断直线是否平行。
具体的步骤如下：1.设有两条直线l1和l2，分别表示为：l1：A1+t1*B1l2：A2+t2*B2其中A1、B1、A2、B2为已知向量。
2.使用向量的坐标表示，将l1和l2中的向量分解为坐标向量，得到：l1：(x1,y1,z1)+t1*(a1,b1,c1)l2：(x2,y2,z2)+t2*(a2,b2,c2)其中x1、y1、z1、x2、y2、z2、a1、b1、c1、a2、b2、c2为已知数。
3.由于l1和l2平行，所以它们的方向向量a1、b1、c1和a2、b2、c2成比例。
即有：a1/a2=b1/b2=c1/c2=k其中k为非零实数。
4.通过比较系数等，求解k的值。
如果k的值存在且不为零，那么说明l1和l2平行；否则，l1和l2不平行。
示例：设有直线l1：r1=(1,2,3)+t(2,3,-1)和直线l2：r2=(4,5,6)+t(-1,-6,4)。
求证l1、l2平行。
解：将l1和l2化为坐标表示：l1：(x1,y1,z1)+t1*(a1,b1,c1)l2：(x2,y2,z2)+t2*(a2,b2,c2)得：l1：(1,2,3)+t1*(2,3,-1)l2：(4,5,6)+t2*(-1,-6,4)。
比较方向向量的系数：2/(-1)=3/(-6)=(-1)/4=k。
令2/(-1)=3/(-6)=(-1)/4=k，解得k=-2因此，由于k存在且不为零，故l1和l2平行。
二、垂直关系的向量验证两条直线垂直可以理解为它们的方向向量的数量积为零。
用向量方法证明平行与垂直随堂练习(含答案)
用向量方法证明平行与垂直基础巩固强化1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面CC 1D 1D 的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AA 1→＋12AB →.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3，－1)[答案] B[解析] 欲使l ∥α，应有n ⊥a ，∴n ·a ＝0，故选B.3．二面角α－l －β等于60°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长等于( ) A.3a B.5a C ．2aD ．a[答案] C[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于60°，∴AC →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝a ，|BD →|＝2a ， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝4a 2，∴|CD →|＝2a .4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(4,5，x )，若a 、b 、c 三向量共面，则|c |＝( )A ．5B ．6 C.66 D.41 [答案] C[解析] ∵a 、b 、c 三向量共面，∴存在实数λ、μ，使c ＝λa ＋μb ，∴(4，－5，x )＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x .∴x ＝5，∴|c |＝42＋52＋52＝66.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2C.14a 2D.34a 2[答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.94[答案] D[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ，∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12BC →＋BD →|2＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94. 7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB → 2＋BD →2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A－BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.8．(2011·金华模拟)已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为________． [答案] (103，－1，73)[解析] ∵C 为线段AB 上一点，∴存在实数λ>0，使AC →＝λAB →，又AB →＝(－2，－6，－2)，∴AC →＝(－2λ，－6λ，－2λ)，∵|AC →||AB →|＝13，∴λ＝13，∴AC →＝(－23，－2，－23)， ∴C (103，－1，73)．9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°.∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD .又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB .∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点，∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0，∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →⊥平面ACD 1，∴B 1D ⊥平面ACD 1.(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→，∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→(其中O 为AC 中点)证明．13．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．[解析](1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴AD 、DC 、PD 两两垂直，如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、P (0,0，a )、F (a 2，a 2，a 2).EF →＝(－a 2，0，a 2)，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)设G (x,0，z )，则FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为(a 2，0,0)，即G 点为AD 的中点．14．(2011·海口调研)在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面P AD ；(2)求证：EF ∥平面P AB ；(3)求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值．[解析] 解法一：(1)∵E 是AD 中点，连接PE ，∴AB ＝2，AE ＝1.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.∴AE 2＋BE 2＝1＋3＝4＝AB 2，∴BE ⊥AE .又平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∴BE ⊥平面P AD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，∵AE 綊12BC ，又∵HF 是△PBC 的中位线，∴HF 綊12BC ，∴AE 綊HF ，∴四边形AHFE 是平行四边形，∴EF ∥AH ，又EF ⊄平面P AB ，AH ⊂平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(3)由(1)知，BC ⊥BE ，PE ⊥BC ，又PE ，BE 是平面PBE 内两相交直线，∴BC ⊥平面PBE ，又由(2)知，HF ∥BC ，∴HF ⊥平面PBE ，∴∠FEH 是直线EF 与平面PBE 所成的角，易知BE ＝PE ＝3，在Rt △PEB 中，EH ＝62，∴tan ∠FEH ＝162＝63，∴cos ∠FEH ＝155. 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155.解法二：容易证明EP ，EA ，EB 两两垂直，建立空间直角坐标系E －xyz 如图．易求BE ＝PE ＝3，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，因为F 是PC 的中点，则F (－1，32，32)．(1)∵EB →·EA →＝0·1＋3·0＝0·0＝0，∴EB →⊥EA →，即EB ⊥EA ，∵EB →·EP →＝0·0＋3·0＋0·3＝0，∴EB →⊥EP →，即EB ⊥EP ，∵EA ，EP 是平面P AD 内的两相交直线，∴EB ⊥平面P AD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，则H (0，32，32)，∵EF →＝(－1，32，32)，AH →＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)，∴EF →∥AH →，∵又EF ⊄平面P AB ，AH ⊂平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(3)∵y 轴⊂平面PBE ，z 轴⊂平面PBE ，∴平面PBE 的法向量为n ＝(1,0,0)，∵EF →＝(－1，32，32)，设直线EF 与平面PBE 所成角为θ，∴sin θ＝|EF →·n ||EF →||n |＝105，∴cos θ＝155， 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155.15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝BC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·NC →＝0，n ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0.即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2.1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH ∥平面F A 1B .(2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1.[解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→)，∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →∥平面F A 1B ，∵HC ⊄平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .(2)平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)，设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0. 令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)．2．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ；(2)直线MN ⊥直线AB .[解析] 证法1：(1)连接CM ，∵四边形ABCD 为矩形，CR ＝RD ，BM ＝MA ，∴CM ∥AR ，又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ，∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a 2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM→＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a 2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，⎩⎨⎧ a 2λ＋a 2μ＝a 2bμ＝b －cλ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝1，∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ， ∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →＝(a,0,0)，∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .3．(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．[分析] 因为AC ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故以A 为原点建立空间直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 、P 的坐标．(1)运用PC →·AD →＝0证明PC ⊥AD ；(2)先求两平面APC 与平面DPC 的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量BE →与CD →的夹角，利用向量夹角公式列等式．[解析] 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (－12，12，0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0. 不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝(12，－12，h )，由于CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD→|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以，310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010， 即AE ＝1010.。
2016高三数学总复习9-7用向量方法证明平行与垂直(理) 74张(人教A版)
→ → → → 所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， → → → → PB PA· PB CD· 即 ＝ . → → → → |PB| |PA|· |PB| |CD|· → → 由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)， → 又PB＝(4,0，－h)，
用向量证明线面垂直
[例 2]
如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：
(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：∵AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间 直角坐标系， 设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
∴AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系 A－xyz， 则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 D(0,2,0)、 P(0,0,2)、 E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0 ，－1,0)，FG＝(1,1，－1)， → → → 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
(3)证明平面 α 与 β 垂直时，取 α、β 的法向量 n1、n2，证 明 n1 · n2＝0.或取一个平面 α 的法向量 n， 在另一个平面 β 内取 基向量{e1，e2}，证明 n＝λe1＋μe2. (4)证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向 量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐标表示)．
分析：欲证线面平行，可考虑找出平面 EFG 的一个法向 → → 量 n，证明PB· n＝0，也可以考虑将PB用平面 EFG 内两不共 线向量线性表示，由于四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，PA⊥AD，故可建立空间直角坐标系，用向量的 坐标运算证明．
[+高+中数学]利用向量方法证明平行和垂直课件+高三数学一轮专题复习
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应用1：利用向量法证明平行问题
例1：如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA， PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
证明 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形， 且 PA＝AD，所以 AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系 A-xyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
[训练 1] 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°.点 D，E， N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
求证：MN∥平面 BDE；
证明 如图，以 A 为原点，分别以A→B ，A→C ，A→P 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0)，
(1)求证：E F ⊥CD； (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF⊥平面 PCB？若存在，求出点 G 坐 标；若不存在，试说明理由．
(1)证明 由题意知，DA，DC，DP 两两垂直．如图所示，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
解 在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点)，使 B1F∥平面 A1BE，证明如下： 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长 为 1，
[训练 3] 在四棱锥 P -ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， PD＝DC，E，F 分别是 AB，PB 的中点．
高三空间向量专题(一)平行垂直应用
一：合理选择坐标系并写出所有点的坐标 1、（2013浙江理）如图，在四面体A−BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD=2，BD=22．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC ．问：我在建系过程中，是如何选择坐标系的，先建立的是 轴然后如何选择另外的坐标轴的 2、（2012浙江理）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面是 边长为32的菱形，︒=∠120BAD ，且⊥PA 平面ABCD ，26PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．问：我在建系过程中，是如何选择坐标系的，先建立的是 轴然后如何选择另外的坐标轴的 3、（2011浙江理）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2 问：我在建系过程中，是如何选择坐标系的，先建立的是 轴然后如何选择另外的坐标轴的 4、（2010浙江理）如图， 在矩形ABCD 中，点E,F 分别在线段AB,AD 上，432====FD AF EB AE .沿直线EF将AEF ∆ 翻折成EF A '∆，使平面EF A '⊥面BEF. 问：我在建系过程中，是如何选择坐标系的，先建立的是 轴然后如何选择另外的坐标轴的ABCDPQM（第1题图）-中，平面ABC⊥平面5、（2014浙江理）如图，在四棱锥A BCDEAC=.==,1AB CDCDE BEDBCDE,90∠=∠=︒，2DE BE==,2二：用向量法证明平行与垂直(1)第1题中证明：PQ∥平面BCD.自我体验：第2题中证明：MN∥平面ABCD；(2)第3题中证明：AP⊥BC；(3)第5题中证明：DE⊥平面ACD；A1 DCB AB1D1C1OE练习1：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC 与BD 交于点O ，E 为棱DD1的中点。
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9-7用向量方法证明平行与垂直(理)基础巩固强化1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34 [答案] C[解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12AD →. ∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．(2012·银川质检)若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确[答案] B[解析] ∵a ·b ＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0， ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 [答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.4．已知二面角α－l －β的大小为60°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )A.14B.13 C ．2 2 D ．2 5[答案] C[解析] 由条件知|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CD →|＝3，AB →⊥BC →，BC →⊥CD →，〈AB →，CD →〉＝120°，AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →＝4＋1＋9＋2×2×3×cos120°＝8，∴|AD →|＝2 2.5．平面α经过三点A (－1,0,1)、B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2) D ．(－1,1,4)[答案] D[解析] 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.8．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB →2＋BD →2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A －BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.9．(2012·厦门质检)已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________．[答案]65[解析] |a |＝22＋(－1)2＋22＝3， |b |＝22＋22＋12＝3，a ·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝49，sin〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝65.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ， ∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°. ∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°， 易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD . 又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面P AC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB .∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1. 将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点， ∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．求证：CE ⊥A ′D .[证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝CD →－CA ′→＝12(CA →＋CB →)－(CA →＋CC ′→)＝－12CA →＋12CB →－CC ′→＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0， ∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →⊥平面ACD 1， ∴B 1D ⊥平面ACD 1.(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→，∴BO 1→∥平面ACD 1. 又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→(其中O 为AC 中点)证明．13.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点，证明FG ∥平面BOE ； (2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . [证明] (1)如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，由条件知，OA ＝OC ＝8，PO ＝6，OB ＝8，则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)， 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．要使FM ⊥平面BOE ，只需FM →∥n ， 因此x 0＝4，y 0＝－94， 即点M 的坐标是(4，－94，0)．在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .14．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH ∥平面F A 1B . (2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1. [解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)证明：∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→)，∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →∥平面F A 1B ， ∵HC ⊄平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .(2)证明：平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)， 设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0.令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B.(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)．15．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ； (2)直线MN ⊥直线AB .[证明] 证法1：(1)连接CM ，∵ABCD 为矩形，R 、M 分别为AB 、CD 的中点，∴MA 綊CR ，∴AMCR 为平行四边形，∴CM ∥AR ，又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ， ∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD 的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM→＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，⎩⎨⎧a 2λ＋a 2μ＝a 2，bμ＝b ，－cλ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0，μ＝1.∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ， ∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC . (2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →＝(a,0,0)， ∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB.1．(2011·绍兴月考)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明](1)如图，EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理知：E 、F 、G 、H 四点共面． (2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 且E 、H 、B 、D 四点不共线，∴EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH . 2.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)． 设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，则m ＝(－1,0,1)． ∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .[证明] ∵AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C (12，32，0)，E (14，34，12)．设D (0，y,0)，∵AC ⊥CD ，∴AC →·CD →＝0，∴y ＝233，∴D (0，233，0)，∴CD →＝(－12，36，0)． 又AE →＝(14，34，12)，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0×12＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)方法1：∵P (0,0,1)，∴PD →＝(0，233，－1)． ∴AE →·PD →＝14×0＋34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，∴PD ⊥AE . ∵AE →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0， ∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE .方法2：设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AB →＝(1,0,0)，AE →＝(14，34，12)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－ 3. ∵PD →＝(0，233，－1)，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .。