陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三下学期3月质量检测数学(文)试题(word无答案)
陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学(文)试题(精品解析)
陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：解法一：由题意得，故选A.解法二：设，则，由复数相等得，解得，因此，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.2.已知全集，，则集合( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合并集的定义求出，再由补集的定义求得，从而可得结果．【详解】，，或故，所以，故，故选D．【点睛】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，属于基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.在等差数列中，前项和为，，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由根据等差数列的前项和公式得到，代入即可求出结果．【详解】设首项为，公差为，，，即，则，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则( )A. 0B. 1C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为是周期为3的周期函数，所以故选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念.5.命题p：若，，则，命题q：若，，则在命题且或非非q中，真命题是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：命题中，，则指数函数单调递增，。
为假。
命题中，，则幂函数单调递减，则。
为真。
详解：命题中，，则指数函数单调递增，。
为假。
命题中，，则幂函数单调递减，则。
为真。
非为真，②或为真。
点睛：（1）指数函数的单调性，只与有关，，单调递减；单调递增。
幂函数的单调性与有关，，单调递减；，单调递增。
（2）关于复合命题的真假性，利用真值表即可判断。
6.如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，该程序框图所表示的算法功能为：，故选D.考点：程序框图.7.下列说法正确的是（）A. 存在，使得B. 函数的最小正周期为C. 函数的一个对称中心为D. 角的终边经过点，则角是第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据，判断；根据函数的最小正周期为判断；根据函数的对称中心为判断；根据，判断．【详解】在中，，所以，，，不存在，使得，故错误；在中，函数的最小正周期为，故错误；在中，由，，得，，函数的对称中心为，，故错误；在中，，，角的终边经过点，则角是第三象限角，正确．故选D．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性、周期性、特称命题的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，14【答案】B【解析】试题分析：设公差为d，由=8，且成等比数列，可得64=（8-2d）（8+4d）=64+16d-8d2，即，0=16d-8d2，又公差不为0，解得d=2此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是13，平均数是13考点：等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数9.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为长宽高为的长方体中的三棱锥，结合三棱锥的几何特征可知，取的中点，则球心位置为的中点，半径为：，此三棱锥的外接球的体积为 .本题选择C选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．10.若满足，且的最小值为，则的值为（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数，从而可得结果.【详解】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=A. B. 8 C. D. 16【答案】B【解析】设A（-2，t），∴，∴∴812.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出在的值域与在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式组，从而可求出的取值范围．【详解】，当时，，当时，，由，．故又因为，且，．故．因为对于任意，总存在，使得成立，所以在的值域是在的值域的子集，所以须满足，，的取值范围是，故选C．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词的应用，以及函数值域的求解方法，属于中档题．求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，；②换元法：常用代数或三角代换法；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，若，则代数式的值是______．【答案】5【解析】依题意得意得.14.若直线和直线垂直，则____．【答案】0或【解析】【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．【详解】若，解得或．经过验证只有时，两条直线相互垂直．若，因为直线和直线垂直，则，解得（验证分母不等于）综上可得或0,故答案为0或．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15.已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数的值为______．【答案】16【解析】【分析】由已知中数列的通项公式，根据对数的运算性质，可以求出前项和的表达式，解对数不等式可得的值.【详解】 ,,若，则 ,即 ,则使成立的最小自然数的值为16，故答案为16.【点睛】本题考查的知识点是数列求和，对数的运算性质，对数不等式的解法，其中根据对数的运算性质求出的表达式是解答的关键．16.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是______．【答案】.【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．【详解】∵函数以5为周期，∴，又∵函数是奇函数，∴，因此，解得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题）17.在中，角的对边分别是，已知．Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求边的值．【答案】(I)；(II)或【解析】【分析】Ⅰ由利用正弦定理得，从而，由此能求出的值；Ⅱ求出，由利用降幂公式以及两角和的正弦公式可得从而可得，或 ,进而可得角的值，再利用正弦定理可得结果．【详解】Ⅰ由已知及正弦定理得，即，又，所以有，即而，所以．Ⅱ由及，得，因此．由条件得，即，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在中，，解得；若，在中，，解得．因此或．【点睛】本题考查角的正弦定理、降幂公式的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：Ⅰ请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；Ⅱ求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．【答案】(I)见解析；(II).【解析】【分析】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量和方差，再求出乙种棉花的平均亩产量和方差，则方差较小的亩产量稳定；Ⅱ利用列举法，从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有10种，而满足条件的选法有3种，由此利用古典概型概率公式求得所求事件的概率.【详解】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：，方差为．乙种棉花的平均亩产量为：，方差为．因为，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定Ⅱ从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有，，，，，，，，，共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为，，共3种．所以故两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为．【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，以及茎叶图的应用，属于基础题．利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使．Ⅰ证明平面PAE；Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；(2)利用题意求得体积的函数，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，故，而，所以平面． （Ⅱ）解：∵，，∴平面，即为四棱锥的高.由高线及得，∴，由题意知，∴，∴．而，∴（），所以当时，．20.已知圆的方程为，点是圆上任意一动点，过点作轴的垂线，垂足为，且，动点的轨迹为轨迹与轴、轴的正半轴分别交于点和点；直线与直线相交于点，与轨迹相交于两点．Ⅰ求轨迹的方程；Ⅱ求四边形面积的最大值．【答案】(I)；(II) .【解析】【分析】（I）设，利用向量的运算可得，再把代入圆的方程可求得轨迹方程；（II）设，，直线与椭圆方程联立，可求得值，可得的长，利用点到直线的距离公式可得到的距离，四边形面积为，利用基本不等式可求四边形面积的最大值．【详解】（I），设，则在上，所以，即；（II）设，，直线与椭圆方程联立可得解得，可得到的距离分别为，四边形面积为．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，考查基本不等式求最值，是中档题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.设函数Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围．【答案】(I)的单调递增区间为；(II) .【解析】【分析】Ⅰ求出，对再求导，可得函数增区间与减区间，的最小值为，从而可得的单调递增区间为；Ⅱ根据的单调性求出在的值域，问题转化为在上至少有两个不同的正根，令，两次求导，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】Ⅰ令g(x)= ,，令，解得：，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为．所以，所以的单调递增区间为 .Ⅱ由Ⅰ得在区间递增，在上的值域是所以．则在上至少有两个不同的正根，，令求导，得，令则．所以在递增，．当时，G(x)，当时，G(x)所以在上递减，在上递增，故．【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，且取相同的长度单位曲线：，和：为参数)．写出的直角坐标方程和的普通方程；已知点，为上的动点，求中点到曲线距离的最小值．【答案】(I)曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为；(II) .【解析】【分析】根据，，可得的直角坐标方程，利用进行代换可得的普通方程；设出点的坐标，根据中点坐标公式求出，利用点到直线的距离，由辅助角公式化简，结合三角函数的有界性可得中点到曲线距离的最小值．【详解】曲线：，根据，，曲线：，曲线：消去参数，即，，曲线：，故得曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为．设曲线上的点，则PQ中点为，M到直线的距离为，当时，d的最小值为．【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题属于基础题. 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线极坐标方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知不等式，其中当时，求不等式的解集；若不等式的解集不是空集，求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】不等式可化为，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；等价于,利用，即可求的取值范围．【详解】当时，不等式可化为，时，恒成立；时，不成立；时，2，可得，综上可得解集为 .，等价于,因为不等式的解集不是空集，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与性质，属于中档题．绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020年陕西省西安市高新一中高考(文科)数学(3月份)模拟试卷 含解析
2020年高考数学（3月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3B．4C．5D．62．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i3．已知a＝log38，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．执行如图的框图，当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为（）A．45B．35C．147D．755．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n6．《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简得勾2+股2＝弦2．若图中勾股形的勾股比为1：，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（）A．2B．4C．6D．87．函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．8．命题p：x，y∈R，x2+y2＜2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|＜2，则p是q的什么条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．必要充分条件D．非充分非必要条件9．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，则△ABC的周长为（）A．8B．12C．15D．10．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）图象的一个对称中心为（，0），其相邻一条对称轴方程为x＝，该对称轴处所对应的函数值为﹣1，为了得到g （x）＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．已知正方体．ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段CB1上，且B1P＝2PC，平面α经过点A，P，C1，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面α截得的截面面积为（）A．B．C．5D．12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．二、填空题（共4小题）13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8＝6，则S9＝．14．求经过椭圆的左右焦点F1，F2和上顶点B2的圆的标准方程15．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则•的最小值为．16．已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题）17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a6＝11，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且CG ＝2BF＝2ED＝2．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）若∠DAB＝，求三棱锥D﹣AEF的体积．19．风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d的大小分为四个等级（如表）．d（mm）d＜2121≤d＜2424≤d＜27d≥27级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33]），统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：d（mm）[18，21）[21，24）[24，27）[27，30）[30，33]频数1m29n7用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个．（1）求m、n的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A：以60元/千克收购；方案B：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．20．已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y2＝4x．（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝lnx+x2+ax（a∈R），g（x）＝e x+x2﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）定义：对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．如果函数F（x）＝f（x）﹣g（x）存在不动点，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选-一题作答.女做，则按所做的第一个题目计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线1的距离的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤x+2；（2）若g（x）＝|3x﹣2m|+|3x﹣1|，对∀x1∈R，∃x2∈R，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z（A∩B）．解：；∴；∴Z（A∩B）＝5．故选：C．2．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解：∵（1+2i）z＝4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．3．已知a＝log38，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log33＜log38＜log39，∴1＜a＜2，∵21.1＞21＝2，∴b＞2，∵0＜0.83.1＜0.80＝1，∴0＜c＜1，∴c＜a＜b，故选：D．4．执行如图的框图，当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为（）A．45B．35C．147D．75【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，计算并输出y的值，即可求出答案．解：模拟执行程序框图，可得x＝3满足条件x＜6，x＝5，满足条件x＜6，x＝7不满足条件x＜6，y＝72﹣5＝44输出y的值为44．模拟执行程序框图，可得x＝6不满足条件x＜6，y＝62﹣5＝31输出y的值为31．则44+31＝75，故选：D．5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；又m∥α，所以n⊥m，A正确；对于B，由m∥α，且α∥β，得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；对于C，由n⊥β，且α⊥β时，得出n∥α或n⊂α，所以C错误；对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．故选：A．6．《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简得勾2+股2＝弦2．若图中勾股形的勾股比为1：，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（）A．2B．4C．6D．8【分析】设勾为a，则股为a，弦为a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以100得答案．解：设勾为a，则股为a，∴弦为a，则图中大四边形的面积为3a2，小四边形的面积为＝（﹣1）2a2＝（3﹣2）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为＝1﹣≈0.06．∴落在黄色图形内的图钉数大约为100×0.06＝6．故选：C．7．函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用f（1）＜0，以及函数的极限思想进行排除即可．解：f（1）＝sin1+1﹣2＝sin1﹣1＜0，排除，B，C，当x→0时，→1，则f（x）→1+0＝1，排除A，故选：D．8．命题p：x，y∈R，x2+y2＜2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|＜2，则p是q的什么条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．必要充分条件D．非充分非必要条件【分析】作出不等式对应的图象，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解：如图示：，命题“x2+y2＜2”对应的图象为半径为的圆及其内部，命题“|x|+|y|＜2”对应的图象为正方形及其内部，则命题“x2+y2＜2”是命题“|x|+|y|＜2”的充分不必要条件，故选：A．9．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，则△ABC的周长为（）A．8B．12C．15D．【分析】由已知结合三角形的面积公式可求ab，然后结合余弦定理可求a+b，进而可求周长．解：由题意可得，S△ABC＝＝＝，所以ab＝15，由余弦定理可得，cos＝﹣＝＝，整理可得，a+b＝8，故周长a+b+c＝15．故选：C．10．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）图象的一个对称中心为（，0），其相邻一条对称轴方程为x＝，该对称轴处所对应的函数值为﹣1，为了得到g （x）＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．解：根据已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象过点（，0），（，﹣1），可得A＝1，•＝﹣，解得：ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝π，可得：φ＝，可得函数解析式为：f（x）＝sin（2x+）．故把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x++）＝cos2x的图象，故选：B．11．已知正方体．ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段CB1上，且B1P＝2PC，平面α经过点A，P，C1，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面α截得的截面面积为（）A．B．C．5D．【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状求解．解：连接AP、AC1，连接C1P并延长交BC于E点，取A1D1中点为F，连接AF、C1F．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得正方体BCC1B1为正方体，∴EC∥B1C1，则∠ECP＝∠C1B1P，∠CEP＝∠B1C1P，∴△CPE∽△B1PC1，∴＝2，即E为BC中点，故BE＝CE＝1，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∴，又∠C1CB＝90°，∴＝，又F为A1D1中点，同理易得AF＝，∴四边形AEC1F为菱形，故AF∥C1E，则AP⊂平面AEC1F，AC1⊂平面AEC1F，∴平面AEC1F经过点A、P、C1，即平面AEC1F为正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面α所截得的截面，在菱形AEC1F中连接EF，则EF与AC1必相交，交点为O，由于EF，AC1为菱形AEC1F的对角线，∴．，∴，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得，∴AO＝，又EF⊥AC1，故∠AOF＝90°，∴，∴，∴，即正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面α所截得的截面面积为．故选：B．12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果．解：由题意可得：x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2，，∴，据此可得函数在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：在（0，a）上恒成立，据此可得：0＜x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8＝6，则S9＝27．【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．解：由等差数列的性质可得，a2+a8＝a1+a9＝6，则S9＝＝27．故答案为：27．14．求经过椭圆的左右焦点F1，F2和上顶点B2的圆的标准方程x2+y2＝1【分析】根据条件可得三点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），B2（0，1），运用待定系数法即可求出圆的方程．解：根据椭圆方程可得F1（﹣1，0），F2（1，0），B2（0，1），设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，将上述三点代入可得，解得，故该圆的标准方程为x2+y2＝1，故答案为：x2+y2＝1．15．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则•的最小值为1．【分析】由AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，可设A（1+cosθ，sinθ），B（1﹣cosθ，﹣sinθ）．点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，可设P（x，x+1）．利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解：由AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，可设A（1+cosθ，sinθ），B（1﹣cosθ，﹣sinθ）．∵点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，可设P（x，x+1），则•＝（1+cosθ﹣x，sinθ﹣x﹣1）•（1﹣cosθ﹣x，﹣sinθ﹣x﹣1）＝（1﹣x）2﹣cos2θ+（1+x）2﹣sin2θ＝2x2+1≥1．∴•的最小值为1，此时P（0，1）．故答案为：1．16．已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为．【分析】求出以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝2a，，且m2+n2＝|AB|2＝4c2，联立三式，即可求解双曲线的离心率．解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝2a．△ABF的面积，且m2+n2＝|AB|2＝4c2，联立三式：，得，故．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a6＝11，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；（2）把数列{a n}的通项公式代入，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）∵a6＝11，∴a1+5d＝11，①∵a2，a5，a14成等比数列，∴，化简得d＝2a1，②由①②可得，a1＝1，d＝2．∴数列的通项公式是a n＝2n﹣1；（2）由（1）得＝，∴S n＝＝．18．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且CG ＝2BF＝2ED＝2．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）若∠DAB＝，求三棱锥D﹣AEF的体积．【分析】（1）由ABCD是菱形，得AD∥BC，得到AD∥平面BCF．再由已知可得DE ∥BF，得到DE∥平面BCF．由面面平行的判定可得平面ADE∥平面BCF，则AE∥平面BCF；（2）由（1）知，DE∥BF，得到BF∥平面ADE，则F与B到平面ADE的距离相等，再由V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝V B﹣ADE＝V E﹣ABD求解三棱锥D﹣AEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD∥平面BCF．∵BF，DE都垂直于平面ABCD，∴DE∥BF，∵DE⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．又AD∩DE＝D，∴平面ADE∥平面BCF，则AE∥平面BCF；（2）解：由（1）知，DE∥BF，∴BF∥平面ADE，则F与B到平面ADE的距离相等．∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝V B﹣ADE＝V E﹣ABD＝＝．19．风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d的大小分为四个等级（如表）．d（mm）d＜2121≤d＜2424≤d＜27d≥27级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33]），统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：d（mm）[18，21）[21，24）[24，27）[27，30）[30，33]频数1m29n7用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个．（1）求m、n的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A：以60元/千克收购；方案B：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．【分析】（1）由频数分布表列出方程组，能求出m，n．（2）按方案A收购，农场收益为500×60＝30000（元），500千克龙眼干约有×100＝100000个，其中，特级品有100000×＝58000个，一级品有100000×＝29000个，二级品有100000×＝12000个，三级品有100000×＝1000个，按方案B收购，求出农场收益为34400（元），从而方案B农场的收益更高．解：（1）由题意得：，解得m＝12，n＝51．（2）按方案A收购，农场收益为：500×60＝30000（元），按方案B收购，以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．500千克龙眼干约有：×100＝100000（个），其中，特级品有100000×＝58000个，一级品有100000×＝29000个，二级品有100000×＝12000个，三级品有100000×＝1000个，∴按方案B收购，农场收益为：580×40+290×30+120×20+10×10＝34400（元）．20．已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y2＝4x．（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）要使∠OPQ最大时，则过P的直线与抛物线相切，设过P的切线方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线方程；（2）假设存在，由点M到直线AP、BP的距离相等可得M在∠APB的角平分线上，所以∠APM＝∠BPM，即k AP+k BP＝0，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求k AP+k BP的表达式，使其值为0，可得t（n﹣4）＝0恒成立，与t值无关时，n＝4，即求出定点M的坐标．解：（1）当过P点与抛物线相切时，即Q为切点时，∠OPQ最大，显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x＝my﹣4，联立切线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4my+16＝0，则△＝16m2﹣4×16＝0，解得：m＝±2，所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x＝±2y﹣4，即x+2y+4＝0，或x﹣2y+4＝0；（2）假设存在这样的M满足条件，设M（n，0），因为点M到直线AP、BP的距离相等，所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM＝∠BPM，所以k AP+k BP＝0，设过M的直线方程为：x＝ty+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4n＝0，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4n，k AP+k BP＝+＝＝＝＝0，所以2ty1y2+（n+4）（y1+y2）＝0，即2t•（﹣4n）+（n+4）•4t＝0，整理可得t（n﹣4）＝0，所以不论t为何值，n＝4时都符合条件，所以x轴上存在M（4，0）使得点M到直线AP、BP的距离相等．21．已知函数f（x）＝lnx+x2+ax（a∈R），g（x）＝e x+x2﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）定义：对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．如果函数F（x）＝f（x）﹣g（x）存在不动点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出导函数f'（x），在对△分情况讨论，分别得到函数f（x）的单调性即可；（2）由F（x）存在不动点得方程F（x）＝x有实数根，即有解，令，利用导数得到，h（x）≥h（1）＝e+1，所以当a≥e+1时，F（x）有不动点，从而得到a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，对于函数y＝x2+ax+1≥0，①当△＝a2﹣4≤0时，即﹣2≤a≤2时，x2+ax+1≥0在x＞0恒成立．∴在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）为增函数；②当△＞0，即a＜﹣2或a＞2时，当a＜﹣2时，由f'（x）＞0，得或，，∴f（x）在为增函数，减函数，为增函数，当a＞2时，由在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）为增函数，综上，当a＜﹣2时，f（x）在为增函数，减函数，为增函数；当a≥﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数．（2），∵F（x）存在不动点，∴方程F（x）＝x有实数根，即有解，令，，令h'（x）＝0，得x＝1，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）＝e+1，当a≥e+1时，F（x）有不动点，∴a的范围为[e+1，+∞）．请考生在第22、23两题中任选-一题作答.女做，则按所做的第一个题目计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线1的距离的最大值与最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出最大值和最小值．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+y2＝1（1≥y≥0）．直线l的极坐标方程为，整理得：，转换为直角坐标方程为：．（2）由（1）得：直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1（1≥y≥0）．该图形为以（1，0）为圆心1为半径的上半圆．所以圆心（1，0）到直线的距离d＝，所以圆上到直线l的．圆上到直线l的．如图所示：[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤x+2；（2）若g（x）＝|3x﹣2m|+|3x﹣1|，对∀x1∈R，∃x2∈R，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为|2m﹣1|≤，解出即可．解：（1）不等式等价于或或，解得：x∈∅或0≤x≤或＜x≤1，故不等式的解集是{x|0≤x≤1}；（2）由f（x）＝知，当x＝时，f（x）min＝f（）＝，g（x）≥|（3x﹣2m）﹣（3x﹣1）|＝|2m﹣1|，当且仅当（3x﹣2m）（3x﹣1）≤0时取“＝”，故|2m﹣1|≤，解得：﹣≤m≤，故实数m的范围是[﹣，]．。
陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学(文)试卷(含解析)
西安市2019届高三年级第三次质量检测文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数的值域可知：，求解一元二次不等式可知：，结合交集的定义有：，表示为区间形式即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转能力和计算求解能力.2.为虚数单位，在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数，化成的形式，对应的点为，则答案易得.【详解】,对应的点的坐标是，在第四象限．故应选D．【点睛】本题考查的复数的运算和几何意义，是基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，由诱导公式即可求解.【详解】因为，则．故应选C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，合理地进行角的变换的解题关键.4.已知向量，，若与垂直，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得数量积为，利用坐标运算列出方程，即可解得的值.【详解】因为与垂直，所以，解得．故应选B．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.5.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.在中，角，，的对边分别为，，，若的面积和周长分别为和，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和周长公式得出的关系式，再利用角和余弦公式得到关于的方程，可解得的值.【详解】由题意可得，，∴，∴.∵，∴．由余弦定理可得，，解得．故应选A．【点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按程序框图的顺序得出循环结构中每次的赋值，可发现的值呈现周期性变化，再结合循环条件可得输出的值.【详解】当时，，时，，当时，，所以的值呈现周期性变化，周期为.当时，的值与时的值相等，即.当时，不成立，输出．故应选D．【点睛】本题考查程序框图的输出结果.8.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，则答案易得.【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种株，则有，解得．故应选D．【点睛】本题考查几何概型，考查面积概型，属于基础题.9.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，，的中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面垂直于平面，，所以平面，所以.设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故应选B．【点睛】本题考查异面直线所成的角.10.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得直线的方程，求出点的方程，从而可表示出三角形的面积，解出即可.【详解】过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线的交点为，所以.因为三角形的面积为，所以，解得.故应选B．【点睛】本题考查抛物线的方程和焦点等基本问题.12.若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题。
2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ，进而求得A B 的子集个数. 【详解】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2．已知复数i 2i z -=（其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．1+2iC ．-1-2iD ．-1+2i 【答案】A【解析】复数()22i 212i i i z i i--===+ z 的共轭复数是12i -.故选A.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25【答案】C【解析】先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果.【详解】因为向量()1,0i =，向量()1,1f =，所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C.【点睛】 本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【答案】D【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A 错．平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错A 样本方差2S =4，标准差S=2，B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ） A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【解析】根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案.【详解】 11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=, 所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选：C【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型.6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数()cos x f x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】()cos sin x x e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π． 故选：B ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.8．函数()24412f x x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题先借用函数的奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可.【详解】解：函数()24412f x x x-+=是偶函数，排除选项B 、C ； 当2x =时，()150223f =-<，对应点在第四象限，排除A ． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.9．已知直线,m n ，平面,αβ，给出下列命题：①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥②若//,//m n αβ，且//m n ，则//a β ③若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥④若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//a β 其中正确的命题是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 【答案】A【解析】根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。
2019届陕西省高三第三次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
【答案】D
【解析】求出 到平面 的距离为 ， 为截面圆的直径, ，由勾股定理可得：
求出 ，即可求出球的表面积。
【详解】
根据题意, 为截面圆的直径,
设球心到平面 的距离为 ,球的半径为 。
平面 平面 ，
到平面 的距离为
由勾股定理可得
球的表面积为
故选D。
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的求法，考查数学转化思想方法，正确的找到外接球的半径是关键。
【点睛】
本题主要考查了正方体的结构特征，以及侧面展开的应用，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理完成侧面展开是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10．函数 的图象大致是
【答案】B
【解析】略
11．已知抛物线 交双曲线 的渐近线于 ， 两点（异于坐标原点 ），若双曲线的离心率为 ， 的面积为32，则抛物线的焦点为（）
1428
20.5
其中 ， .
（1）请绘出 关于 的散点图，并根据散点图判断 与 哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量 关于温度 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立 关于 的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
在 中， ，
∴三棱锥 的体积：
．
【点睛】
线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.
陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文
陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文本卷须知1.本试题卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，考试时间150分钟。
2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定位置上。
3.选择题的每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。
超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
第一卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，那么()UC A B =〔〕A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2.复数i i +1在复平面中所对应的点到原点的距离为〔〕A 、21B 、1C 、22D 、23.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为〔〕B.2114.一个几何体的三视图及尺寸如下图，那么该几何体的体积为〔〕 A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.如图为函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像，那么函数解析式为〔〕142214A.3sin(2)6y x π=+ B.3sin(2)6y x π=- C.3sin(2)3y x π=+ D.3sin(2)3y x π=-6.从某商场十一月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录〔单位：万元〕，用茎叶图表示如图，那么由此可能该商场十一月份销售总额约为〔〕 A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，那么()f x 在[]0,2010上零点值的个数为〔〕A.1004B.1005C.2017D.20178.执行如下图的算法程序，那么输出结果为〔〕 A.15B.42C.120D.1806 9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，那么21321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A.32B.23C.61-D.6-10.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，那么21,l l 的交点的纵坐标为〔〕A.1-B.4-C.14-D.116-第二卷【二】填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.实数y x ,满足220101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么z y x =-的最小值为、12.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，N M ,分别是AB CD ,的中点，设,AB a AD b ==.假设,MN ma nb =+那么=mn _________.13.在半径为3米的圆形屋顶下装一盏灯，这盏灯距周围墙壁的距离都不小于1米的概率为_________.14.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，那么k 的取值范围是__________.15、〔考生注意：只能从A ，B ，C 中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，假设多做，那么按所做的第一题评阅给分.〕 A.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 通过圆心交⊙O 于,C D 两点，假设2,4,5PA AB PO ===，那么⊙O 的半径长为________.B.选修4-4：坐标系与参数方程参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t tt e e y e e x 中当t 为参数时，化为一般方程为_______________. C.选修4-5：不等式选讲不等式a x x ≤+--12关于任意R x ∈恒成立，那么实数a 的集合为____________.【三】解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕16.〔本小题总分值12分〕某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为012345,,,,,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从0A 站点上车,且他们中的每个人在站点(1,2,3,4,5)i A i =下车是等可能的.(Ⅰ)求甲在2A 站点下车的概率；〔Ⅱ〕甲,乙两人不在同一站点下车的概率.17.〔本小题总分值12分〕如图，在某港口A 处获悉，NMDCBA其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，如今救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令马上从C 处沿直线前往B 处营救渔船.(Ⅰ)求接到救援命令时救援船据渔船的距离；〔Ⅱ〕试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔72149cos 0=〕.18.〔本小题总分值12分〕等腰A B C ∆的底边66=AB ，高3=CD ，点E 是线段BD 上异于点D B ,的动点.点F 在BC 边上，且AB EF ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使AE PE ⊥. (Ⅰ)证明⊥EF 平面PAE ；〔Ⅱ〕记x BE =，)(x V 表示四棱锥ACFE P -的体积,求)(x V 的表达式. 19.〔本小题总分值12分〕函数32()93()f x x px qx p q x R =+++++∈的图像关于原点对称，其中,p q 是常实数。
陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文
陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文本卷须知1.本试题卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，考试时间150分钟。
2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定位置上。
3.选择题的每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。
超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
第一卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，那么()UC A B =〔〕A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2.复数i i +1在复平面中所对应的点到原点的距离为〔〕A 、21B 、1C 、22D 、23.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为〔〕B.2114.一个几何体的三视图及尺寸如下图，那么该几何体的体积为〔〕 A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.如图为函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像，那么函数解析式为〔〕142214A.3sin(2)6y x π=+ B.3sin(2)6y x π=- C.3sin(2)3y x π=+ D.3sin(2)3y x π=-6.从某商场十一月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录〔单位：万元〕，用茎叶图表示如图，那么由此可能该商场十一月份销售总额约为〔〕 A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，那么()f x 在[]0,2010上零点值的个数为〔〕A.1004B.1005C.2017D.20178.执行如下图的算法程序，那么输出结果为〔〕 A.15B.42C.120D.1806 9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，那么21321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A.32B.23C.61-D.6-10.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，那么21,l l 的交点的纵坐标为〔〕A.1-B.4-C.14-D.116-第二卷【二】填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.实数y x ,满足220101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么z y x =-的最小值为、12.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，N M ,分别是AB CD ,的中点，设,AB a AD b ==.假设,MN ma nb =+那么=mn _________.13.在半径为3米的圆形屋顶下装一盏灯，这盏灯距周围墙壁的距离都不小于1米的概率为_________.14.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，那么k 的取值范围是__________.15、〔考生注意：只能从A ，B ，C 中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，假设多做，那么按所做的第一题评阅给分.〕 A.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 通过圆心交⊙O 于,C D 两点，假设2,4,5PA AB PO ===，那么⊙O 的半径长为________.B.选修4-4：坐标系与参数方程参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t tt e e y e e x 中当t 为参数时，化为一般方程为_______________. C.选修4-5：不等式选讲不等式a x x ≤+--12关于任意R x ∈恒成立，那么实数a 的集合为____________.【三】解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕16.〔本小题总分值12分〕某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为012345,,,,,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从0A 站点上车,且他们中的每个人在站点(1,2,3,4,5)i A i =下车是等可能的.(Ⅰ)求甲在2A 站点下车的概率；〔Ⅱ〕甲,乙两人不在同一站点下车的概率.17.〔本小题总分值12分〕如图，在某港口A 处获悉，NMDCBA其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，如今救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令马上从C 处沿直线前往B 处营救渔船.(Ⅰ)求接到救援命令时救援船据渔船的距离；〔Ⅱ〕试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔72149cos 0=〕.18.〔本小题总分值12分〕等腰A B C ∆的底边66=AB ，高3=CD ，点E 是线段BD 上异于点D B ,的动点.点F 在BC 边上，且AB EF ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使AE PE ⊥. (Ⅰ)证明⊥EF 平面PAE ；〔Ⅱ〕记x BE =，)(x V 表示四棱锥ACFE P -的体积,求)(x V 的表达式. 19.〔本小题总分值12分〕函数32()93()f x x px qx p q x R =+++++∈的图像关于原点对称，其中,p q 是常实数。
陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科
1)，代入函数解析式即可．
2
本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．
5.
命题
p：若1
<
������
<
������，0
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������
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1，则
1
������������
<
1
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，命题
q：若1
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0，则������������
<
������������ .在命题①������且
=
3 2
������，即可求出答案．
本题考查了等差数列的前 n 项和公式，属于基础题．
4. 设������(������)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当������ ∈ [−2,1)时，������(������) = ���4������,���02−<2,−���2���≤<������≤10 ，则������(52) = ( )
=
3
+
1
=
4，������
=
3 4
+
1 4×5
=
45，������
=
4
<
5，
第五次运行：������
=
4
+
1
=
5，������
=
4 5
+
1 5×6
=
56，������
=
5，
结束运行，输出������ = 5．
6
故选：D．
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出������ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 的值．
西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(文)试题(解析版)
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，，，，则A.2， B. 6， C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为浅色条框），设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，则（）A. B.C. D.。
陕西省西安市数学高三下学期文数3月联考试卷
陕西省西安市数学高三下学期文数3月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·瓦房店月考) 设，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·中山月考) 若将负数表示为是虚数单位）的形式，则等于（）A . 0B . 1C . -1D . 23. （2分）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·淮北模拟) 国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）A . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5. （2分） (2018高一上·安吉期中) 已知f（x）= ，则f[f（-3）]的值为（）A . 3B . 2C .D .6. （2分）函数的图象可由函数的图象（）A . 向左平移个单位长度而得到B . 向右平移个单位长度而得到C . 向左平移个单位长度而得到D . 向右平移个单位长度而得到7. （2分）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得=，则的最小值为（）A .B .C .D . 不存在8. （2分）下列不等式成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）设等比数列的公比，前n项和为，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·故城期中) 一只袋内装有m个白球，n﹣m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取了ξ个白球，下列概率等于的是（）A . P（ξ=3）B . P（ξ≥2）C . P（ξ≤3）D . P（ξ=2）11. （2分）(2020·山西模拟) 在高为的正三棱柱中，的边长为2，为棱的中点，若一只蚂蚁从点沿表面爬向点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A . 3B .C .D . 212. （2分）(2017·榆林模拟) 若双曲线的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B . [2，+∞）C .D . （1，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·河北模拟) 已知，，如果与的夹角为直角，则________．14. （1分）(2017·大庆模拟) 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为________．15. （1分） (2019高二下·温州月考) 长方体中，，，则异面直线与所成角的大小是________；与平面所成角的大小是________．16. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数解，则实数的取值范围为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·西安月考) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.（1）求C；（2）若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.18. （10分）在yOz平面上，有一点M到三个已知点A（3，l，2），B（4，﹣2，﹣2），C（0，5，1）的距离相等，求M的坐标．19. （10分）如图，已知是半圆的直径，，是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率．20. （10分）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当|PQ|=2时，求直线l的方程21. （10分）已知函数f(x)＝aln x－bx2 ， a，b∈R.（1）若f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，求a，b的值；（2）在(1)的条件下，求f(x)在上的最大值；（3）若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范围．22. （10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．写出⊙C的直角坐标方程；23. （10分） (2018高三上·重庆月考) 已知函数．（1）解不等式；（2）已知，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高三(下)第五次模拟数学试卷(文科)
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高三（下）第五次模拟数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分．1. 已知向量a →=(1, 2)，a →⊥b →，则b →可以为（ ） A.(1, 2) B.(1, −2) C.(2, 1) D.(2, −1)【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设b →=(m, n)，运用向量垂直的条件：数量积为0，可得m +2n ＝0，代入选项即可得到所求． 【解答】 设b →=(m, n)， 由a →=(1, 2)，a →⊥b →， 可得a →⋅b →=0，即有m +2n ＝0，对照选项，可得选项D ，代入可得 2+2×(−1)＝0．2. 已知集合A ＝{0, a, 1}，B ＝{x|0<x ≤1}，若A ∩B 中有两个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 1] B.(0, 1) C.(−∞, 0]∪(1, +∞) D.(−∞, 0)∪[1, +∞)【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】根据A ∩B 有两个元素即可得出a ∈B ，且a ≠1，从而得出a 的取值范围． 【解答】∵ A ∩B 有两个元素； ∴ a ∈B ，且a ≠1； ∴ 0<a <1；∴ 实数a 的取值范围是(0, 1)．3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；N i =203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．4. 在等差数列{a n}中，a3+a6＝a4+5，且a2不大于1，则a8的取值范围是（）A.(−∞, 9]B.[9, +∞)C.(−∞, 9)D.(9, +∞)【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的性质得a3+a6＝a4+a5，从而a5＝5，又a2≤1，进而d≥43，由此能求出a8的取值范围．【解答】∵在等差数列{a n}中，a3+a6＝a4+5，且a2不大于1，又a3+a6＝a4+a5，∴a5＝5，又a2≤1，∴5−3d≤1，∴d≥43，∴a8＝a5+3d≥5+4＝9．∴a8的取值范围是[9, +∞)．5. 一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）A.223B.233C.6D.7【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体−2V棱锥侧=2×2×2−2×13×12×1×1×1=233．6. 近几年，我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益．某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A.46.5，48，60B.47，48，60C.46.5，48，55D.46.5，51，60【答案】A【考点】茎叶图【解析】利用茎叶图、中位数、众数、极差的定义直接求解．【解答】由茎叶图得：该样本的中位数为：46+472=46.5，众数为：48，极差为：72−12＝60．7. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=()A.3√1010B.−√1010C.√1010D.−3√1010【答案】B【考点】 余弦定理 【解析】作出图形，再根据余弦定理即可求得答案． 【解答】解：如图所示，设△ABC 中角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC 于D ，令∠DAC =θ.∵ 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高AD =ℎ=13BC =13a ，∴ BD =AD =13a ，CD =23a . 在Rt △ADC 中，cos θ=AD AC=a 3√(13a)2+(2a 3)2=√55，故sin θ=2√55， ∴ cos A =cos (π4+θ)=cos π4cos θ−sin π4sin θ=√22×√55−√22×2√55=−√1010． 故选B ． 8.已知函数f(x)={(3−a)x −3,x ≤7a x−6，x >7，若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N ﹡)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A.[94, 3)B.(94, 3)C.(2, 3)D.(1, 3)【答案】 C【考点】已知函数的单调性求参数问题 数列的函数特性 【解析】根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得{3−a >0a >1(3−a)×7−3<a 8−6；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n =f(n)={(3−a)n −3,n ≤7a n−6，n >7；要使数列{a n }是递增数列，必有{3−a >0a >1(3−a)×7−3<a 8−6；解可得，2<a <3； 故选C ．9. 设复数z＝(x−1)+yi（x，y∈R，i为虚数单位），若|z|≤1，则y≥√3x的概率为（）A.1 6+√34πB.56+√34πC.56−√34πD.16−√34π【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【解答】∵复数z＝(x−1)+yi(x, y∈R)且|z|≤1，∴|z|=√(x−1)2+y2≤1，即(x−1)2+y2≤1，∴点(x, y)在(1, 0)为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥√3x表示直线y=√3x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P=16×π×12−12×1×1×sin60π×12=16−√34π；10. 将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π2个单位长度得函数g(x)的图象，再把g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数ℎ(x)图象．则ℎ(π2−x)()A.是偶函数且在[0, π]单调递增B.是偶函数且在[0, π]单调递减C.是奇函数且在[−π2, π2]单调递增 D.是奇函数且在[−π2, π2]单调递减【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数平移变换关系求出函数ℎ(x)的解析式，结合函数的奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π2个单位长度得函数g(x)的图象，即y＝sin2(x−π2)＝sin(2x−π)，再把g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数ℎ(x)图象，即ℎ(x)＝sin(x−π)＝−sin x，则ℎ(π2−x)＝−sin(π2−x)＝−cos x为偶函数，则函数在[0, π]单调递增，11. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A.18B.24C.36D.48【答案】C【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】首先设抛物线的解析式y2＝2px(p>0)，写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|＝2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】设抛物线的解析式为y2＝2px(p>0)，则焦点为F(p2, 0)，对称轴为x轴，准线为x=−p2∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|＝2p＝12∴p＝6又∵点P在准线上∴DP＝(p2+|−p2|)＝p＝6∴S△ABP=12(DP⋅AB)=12×6×12＝3612. 已知f(x)={x2019,x≤ax2018,x>a，若存在实数m，使函数y＝f(x)−m有两个零点，则a 的取值范围（）A.(1, +∞)B.(−∞, 0)∪(1, +∞)C.(0, 1)∪(1, +∞)D.(−∞, 0)【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】在同一坐标系内作出函数y＝x2019与y＝x2018的图象，然后对a分类分析得答案．【解答】在同一坐标系内作出函数y＝x2019与y＝x2018的图象如图：若a>1，则a2019>a2018，在函数f(x)={x2019,x≤ax2018,x>a的图象中，存在实数m 使得a 2019>a 2018＝m ，即函数y ＝f(x)−m 有两个零点；若0≤a ≤1，函数f(x)={x 2019,x ≤ax 2018,x >a 是单调函数，函数y ＝f(x)−m 不存在两个零点；若a <0，在(a, 0)上，函数f(x)={x 2019,x ≤ax 2018,x >a 的图象取y ＝x 2018的图象，函数y ＝f(x)−m 有两个零点．∴ 使函数y ＝f(x)−m 有两个零点，则a 的取值范围是(−∞, 0)∪(1, +∞)． 二、填空题：每小题5分，共4小题，共20分．若sin (π6−α)=13，则cos (2π3+2α)的值为________． 【答案】−79【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 二倍角的三角函数 【解析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2cos 2(π3+α)−1，再利用诱导公式化为2sin 2(π6−α)−1，将条件代入运算求得结果． 【解答】 ∵ cos (2π3+2α)=cos 2(π3+α)＝2cos 2(π3+α)−1＝2sin 2(π6−α)−1＝2×19−1=−79，若圆锥的底面半径为1，体积为√33π，则圆锥的母线与底面所成的角等于________． 【答案】 π3【考点】直线与平面所成的角 【解析】由题意可知圆锥的轴截面是等腰三角形，由圆锥的体积，求出圆锥的高，即可求出则圆锥的母线与底面所成的角． 【解答】 由V =13πR 2ℎ=√33π，可得圆锥高ℎ=√3，圆锥的轴截面是等腰三角形，等腰三角形的底为2R ＝2， 则圆锥的母线与底面所成的角等于θ，tan θ=√31=√3．∴ θ=π3，设函数f(x)={−x −2,x ≤−1e x ,x >−1 ，D 是由x 轴和曲线y ＝f(x)及该曲线在x ＝0处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x −2y 在D 上的最大值为________． 【答案】−12【考点】 定积分微积分基本定理 【解析】先求出函数f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝x +1，画出封闭区域D ，再利用线性规划的知识可知，当z ＝x −2y 经过直线y ＝−x −2和直线y ＝x +1的交点时，z 取得最大值． 【解答】当x >−1时，y ＝e x ，所以y ′＝e x ，当x ＝0时，y ′＝1，y ＝1，所以曲线在x ＝0处的切线方程为y ＝x +1， 所以封闭区域D 是由x 轴、直线y ＝−x −2和直线y ＝x +1围成， 联立{y =−x −2y =x +1 ，解得{x =−32y =−12，两直线的交点为(−32,−12)． 当z ＝x −2y 经过点(−32,−12)时，z 取得最大值，为−32−2×(−12)=−12已知平面向量α→，β→(α→≠0→, α→≠β→)满足|β→|＝1，且α→与β→−α→的夹角为120∘，则|α→|的最大值是________． 【答案】2√33【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】设AB →=α→，AC →=β→，则BC →=β→−α→，由已知α→与β→−α→的夹角为120∘可得∠ABC ＝60∘，运用正弦定理结合正弦函数的值域，从而可求|α→|的取值范围． 【解答】∴ ∠ABC ＝60∘，0∘<C <120∘ 又由|AC →|＝|β→|＝1， 由正弦定理|α→|sin C =|β→|sin 60得： |α→|=2√33sin C ≤2√33． ∴ |α→|的最大值为2√33故答案为：2√33．三、解答题：每小题12分，共5小题，共60分．已知正项等比数列{a n }满足2a 1+3a 2＝33，a 2a 1＝a 3，数列{b n }满足b n ＝log 3a n+1，n ∈N +．（1）求{a n }、{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【答案】设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 1+3a 2＝33，a 2a 1＝a 3得：{a 1+3a 1q =33a 1q ⋅a 1=a 1q 2 ，解得{a 1=3q =3 ，∴ a n =3n (n ∈N +)，∴ b n =log 33n+1=n +1，(n ∈N +)； 由（1）可知c n =(n +1)3n ，∴ T n ＝2×31+3×32+4×33+……+(n +1)×3n ①， ∴ 3T n ＝2×32+3×33+4×34+……+(n +1)×3n+1②，①-②得：−2T n ＝2×31+32+33+34+……+3n −(n +1)×3n+1=32−(12+n)×3n+1，∴ T n =−34+(14+12n)×3n+1．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由题意可得：{a 1+3a 1q =33a 1q ⋅a 1=a 1q 2 ，解得{a 1=3q =3，从而求出a n ，b n ； （2）由（1）可知c n =(n +1)3n ，利用错位相减法即可求出T n ； 【解答】设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 1+3a 2＝33，a 2a 1＝a 3得：{a 1+3a 1q =33a 1q ⋅a 1=a 1q 2 ，解得{a 1=3q =3 ， ∴ a n =3n (n ∈N +)，∴ b n =log 33n+1=n +1，(n ∈N +)； 由（1）可知c n =(n +1)3n ，∴ T n ＝2×31+3×32+4×33+……+(n +1)×3n ①， ∴ 3T n ＝2×32+3×33+4×34+……+(n +1)×3n+1②，①-②得：−2T n ＝2×31+32+33+34+……+3n −(n +1)×3n+1=32−(12+n)×3n+1，∴T n=−34+(14+12n)×3n+1．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20, 30),[30, 40),…[80, 90]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40, 50)内的人数；(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1−(0.04+0.02)×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40, 50)内的频率为：1−(0.04+0.02+0.02+0.01)×10−0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40, 50)内的人数为400×0.05＝20人，(Ⅲ)样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3:2．【考点】频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)根据频率＝组距×高，可得分数小于70的概率为：1−(0.04+0.02)×10；(Ⅱ)先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40, 50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40, 50)内的人数；(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．【解答】（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1−(0.04+0.02)×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40, 50)内的频率为：1−(0.04+0.02+0.02+0.01)×10−0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40, 50)内的人数为400×0.05＝20人，(Ⅲ)样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3:2．如图1所示，已知四边形ABCD满足AD // BC，BA＝AD＝DC=12BC＝1，E是BC的中点．将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，F为CD的中点，如图2所示．（1）求证：EF⊥平面AB1E；（2）求AE到平面CB1D的距离．【答案】证明：在原四边形ABCD中，由BA＝AD＝DC=12BC＝1，可得∠ABE＝60∘，得到△ABE，△DCE为等边三角形，则图2中△B1AE，△DCE为等边三角形．∵F为CD的中点，∴EF⊥CD，而AE // CD，得EF⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD，且平面B1AE∩平面AECD＝AE，∴EF⊥平面AB1E；由AE // CD，AE⊄平面CB1D，CD⊂CB1D，得AE // 平面B1DC．∴AE到平面CB1D的距离等于点E到平面CB1D的距离，设为ℎ．取AE中点O，连接B1O，则B1O⊥AE，可得B1O⊥平面AECD．由△B1AE是边长为1的等边三角形，可得B1O=√32．S△DEC=12×1×1×√32=√34，由已知求解三角形可得：OD2=1+14−2×1×12×12=34，则B1D=√34+34=√62，OC2=1+14−2×1×12×(−12)=74，则B1C=√74+34=√102，又CD＝1，∴CD2+B1D2=B1C2，即CD⊥B1D．∴S△B1DC =12×1×√62=√64．由V B1−DEC =V E−B1CD，得13×S DEC×B1O=13×S△B1DC×ℎ，则ℎ=√34×√32√64=√64．∴AE到平面CB1D的距离为√64．【考点】直线与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）由已知可得△B1AE，△DCE为等边三角形，由F为CD的中点，得EF⊥CD，可得EF⊥AE，结合平面B1AE⊥平面AECD，由面面垂直的性质得EF⊥平面AB1E；（2）由椭圆，AE到平面CB1D的距离等于点E到平面CB1D的距离，设为ℎ，然后利用等体积法求AE到平面CB1D的距离．【解答】证明：在原四边形ABCD中，由BA＝AD＝DC=12BC＝1，可得∠ABE＝60∘，得到△ABE，△DCE为等边三角形，则图2中△B1AE，△DCE为等边三角形．∵F为CD的中点，∴EF⊥CD，而AE // CD，得EF⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD，且平面B1AE∩平面AECD＝AE，∴EF⊥平面AB1E；由AE // CD，AE⊄平面CB1D，CD⊂CB1D，得AE // 平面B1DC．∴AE到平面CB1D的距离等于点E到平面CB1D的距离，设为ℎ．取AE中点O，连接B1O，则B1O⊥AE，可得B1O⊥平面AECD．由△B1AE是边长为1的等边三角形，可得B1O=√32．S△DEC=12×1×1×√32=√34，由已知求解三角形可得：OD2=1+14−2×1×12×12=34，则B1D=√34+34=√62，OC2=1+14−2×1×12×(−12)=74，则B1C=√74+34=√102，又CD＝1，∴CD2+B1D2=B1C2，即CD⊥B1D．∴S△B1DC =12×1×√62=√64．由V B1−DEC =V E−B1CD，得13×S DEC×B1O=13×S△B1DC×ℎ，则ℎ=√34×√32√64=√64．∴AE到平面CB1D的距离为√64．已知函数f(x)＝e x(x−ae x)．（1）当a＝0时，求f(x)的极值；（2）若f(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围；【答案】当a＝0时，f(x)＝xe x，f′(x)＝(x+1)e x，令f′(x)>0，可得x>−1，故f(x)在上单调递增，同理可得f(x)在(−∞, −1)上单调递减，………故f(x)在x＝−1处有极小值f(−1)=−1e；………依题意可得，f′(x)＝(x+1−2ae x)e x＝0有两个不同的实根．设g(x)＝x+1−2ae x，则g(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，g′(x)＝1−2ae x，若a≤0，则g′(x)≥1，此时g(x)为增函数，故g(x)＝0至多有1个实根，不符合要求；………若a>0，则当x<ln12a 时，g′(x)>0，当x>ln12a时，g′(x)<0，故此时g(x)在(−∞,ln12a )上单调递增，在(ln12a,+∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(ln12a )=ln12a−1+1=ln12a，………又当x→−∞时，g(x)→−∞，当x→+∞时，g(x)→−∞，故要使g(x)＝0有两个实根，则g(ln12a )=ln12a>0，得0<a<12．（或作图象知要使g(x)＝0有两个实根，则g(ln12a )=ln12a>0）………设g(x)＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，当x<x1时，g(x)<0，此时f′(x)<0；当x1<x<x2时，g(x)>0，此时f′(x)>0；当x>x2时，g(x)<0，此时f′(x)<0．故x1为f(x)的极小值点，x2为f(x)的极大值点，0<a<12符合要求．…综上所述：a的取值范围为0<a<12．（分离变量的方法也可以）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】当a＝0时，f(x)＝xe x，f′(x)＝(x+1)e x，令f′(x)>0，可得x>−1，故f(x)在上单调递增，同理可得f(x)在(−∞, −1)上单调递减，………故f(x)在x＝−1处有极小值f(−1)=−1e；………依题意可得，f′(x)＝(x+1−2ae x)e x＝0有两个不同的实根．设g(x)＝x+1−2ae x，则g(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，g′(x)＝1−2ae x，若a≤0，则g′(x)≥1，此时g(x)为增函数，故g(x)＝0至多有1个实根，不符合要求；………若a>0，则当x<ln12a 时，g′(x)>0，当x>ln12a时，g′(x)<0，故此时g(x)在(−∞,ln12a )上单调递增，在(ln12a,+∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(ln12a )=ln12a−1+1=ln12a，………又当x→−∞时，g(x)→−∞，当x→+∞时，g(x)→−∞，故要使g(x)＝0有两个实根，则g(ln12a )=ln12a>0，得0<a<12．（或作图象知要使g(x)＝0有两个实根，则g(ln12a )=ln12a>0）………设g(x)＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，当x<x1时，g(x)<0，此时f′(x)<0；当x1<x<x2时，g(x)>0，此时f′(x)>0；当x>x2时，g(x)<0，此时f′(x)<0．故x1为f(x)的极小值点，x2为f(x)的极大值点，0<a<12符合要求．…综上所述：a的取值范围为0<a<12．（分离变量的方法也可以）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为T(0, 1)，右焦点为F，连结TF并延长与椭圆Γ交于点S，且|SF|=17|TF|．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线x＝1与x轴交于点M，过点M的直线AB与Γ交于A、B两点，点P为直线x＝1上任意一点，设直线AB与直线x＝4交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为k1，k2，k0，则是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk0恒成立？若是，请求出λ的值；若不是，请说明理由．【答案】由题意可知，b＝1，∴椭圆方程为：x 2a2+y2=1，右焦点F(c, 0)，设点S(x0, y0)，∵ |SF|=17|TF|，∴ TF →=7FS →，∴ (c, −1)＝7(x 0−c, y 0)， ∴ {c =7(x 0−c)−1=7y 0 ，解得：{x 0=8c7y 0=−17， ∴ S(8c 7,−17)，代入椭圆方程x 2a 2+y 2=1得，4c 2＝3a 2，又a 2＝c 2+1，解得：a 2＝4，c 2＝3，∴ 椭圆Γ的方程为：x 24+y 2=1；因为直线x ＝1与x 轴交于点M ，所以M(1, 0)，设点P(1, t)，因为过点M 的直线AB 与直线x ＝4有交点，所以直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为：y ＝k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消去y 得，(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4＝0，∴ x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1，因为直线AB 与直线x ＝4交于点N ， 联立方程{y =k(x −1)x =4 可得N(4, 3k)，所以k 1=y 1−t x 1−1=k(x 1−1)−t x 1−1=k −tx 1−1，k 2＝k −tx 2−1，k 0=3k−t 4−1=k −t3，所以k 1+k 2＝2k −t(1x 1−1+1x 2−1)＝2k −t[x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1]＝2k −t(8k 24k 2+1−24k 2−44k 2+1−8k 24k 2+1+1)＝2k −2t 3=2k 0，所以存在实数λ，使得k 1+k 2＝λk 0恒成立，λ的值为2．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）由题意可知，b ＝1，椭圆方程为：x 2a 2+y 2=1，右焦点F(c, 0)，设点S(x 0, y 0)，由|SF|=17|TF|可得TF →=7FS →，所以(c, −1)＝7(x 0−c, y 0)，所以S(8c 7,−17)，代入椭圆方程x 2a 2+y 2=1结合a 2＝c 2+1，即可求出a ，c 的值，从而得到椭圆Γ的方程；（2）因为直线x ＝1与x 轴交于点M ，所以M(1, 0)，设点P(1, t)，因为过点M 的直线AB 与直线x ＝4有交点，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y ＝k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理得到x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1，联立直线AB 与直线x ＝4可得N(4, 3k)，利用斜率公式可得k 1+k 2＝2k 0，所以存在实数λ，使得k 1+k 2＝λk 0恒成立，λ的值为2． 【解答】由题意可知，b ＝1，∴ 椭圆方程为：x 2a 2+y 2=1，右焦点F(c, 0)，设点S(x 0, y 0)，∵ |SF|=17|TF|，∴ TF →=7FS →，∴ (c, −1)＝7(x 0−c, y 0)， ∴ {c =7(x 0−c)−1=7y 0 ，解得：{x 0=8c7y 0=−17 ， ∴ S(8c 7,−17)，代入椭圆方程x 2a +y 2=1得，4c 2＝3a 2，又a 2＝c 2+1，解得：a 2＝4，c 2＝3，∴ 椭圆Γ的方程为：x 24+y 2=1；因为直线x ＝1与x 轴交于点M ，所以M(1, 0)，设点P(1, t)，因为过点M 的直线AB 与直线x ＝4有交点，所以直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为：y ＝k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1 ，消去y 得，(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4＝0，∴ x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1，因为直线AB 与直线x ＝4交于点N ， 联立方程{y =k(x −1)x =4 可得N(4, 3k)，所以k 1=y 1−tx 1−1=k(x 1−1)−t x 1−1=k −tx 1−1，k 2＝k −tx 2−1，k 0=3k−t 4−1=k −t3，所以k 1+k 2＝2k −t(1x1−1+1x2−1)＝2k −t[x 1+x 2−2x1x 2−(x 1+x 2)+1]＝2k −t(8k 24k 2+1−24k 2−44k 2+1−8k 24k 2+1+1)＝2k −2t 3=2k 0，所以存在实数λ，使得k 1+k 2＝λk 0恒成立，λ的值为2．四、选考题：共10分，请在22、23题中任选一个题目作答，若多做，则按第一个题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2cos αy =√3sin α （α为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的取值范围． 【答案】已知直线l 的参数方程为{x =−8+ty =t 2（t 为参数），转换为直角坐标方程为x −2y +8＝0．进一步转换为极坐标方程为ρcos θ−2ρsin θ+8＝0．曲线C 的参数方程为{x =2cos αy =√3sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1．设曲线C 上的点P(2cos θ,√3sin θ)到直线x −2y +8＝0的距离d =√3sin √1+22=|4cos (θ+π3)+8|√5，当cos (θ+π3)＝1时，d max =√5=12√55． 当cos (θ+π3)＝−1时，d min =√5=4√55． 故点P 到直线l 的距离的取值范围为4√55≤d ≤12√55． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】已知直线l 的参数方程为{x =−8+ty =t 2 （t 为参数），转换为直角坐标方程为x −2y +8＝0．进一步转换为极坐标方程为ρcos θ−2ρsin θ+8＝0．曲线C 的参数方程为{x =2cos αy =√3sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1．设曲线C 上的点P(2cos θ,√3sin θ)到直线x −2y +8＝0的距离d =√3sin 2=|4cos (θ+π3)+8|√5，当cos (θ+π3)＝1时，d max =√5=12√55． 当cos (θ+π3)＝−1时，d min =√5=4√55． 故点P 到直线l 的距离的取值范围为4√55≤d ≤12√55． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +1|−2|x −a|，a >0． (1)当a =1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =1时，不等式f(x)>1， 即|x +1|−2|x −1|>1， 即{x <−1,−x −1−2(1−x)>1,①或{−1≤x<1,x+1−2(1−x)>1,②或{x≥1,x+1−2(x−1)>1,③．解①求得x∈⌀，解②求得23<x<1，解③求得1≤x<2．综上可得，原不等式的解集为(23, 2)．(2)函数f(x)=|x+1|−2|x−a|={x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(2a−13, 0)，B(2a+1, 0)，故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a, a+1)，如图，由△ABC的面积大于6，可得12[2a+1−2a−13]⋅(a+1)>6，求得a>2．故要求的a的范围为(2, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）化简函数f(x)的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：(1)当a=1时，不等式f(x)>1，即|x+1|−2|x−1|>1，即{x<−1,−x−1−2(1−x)>1,①或{−1≤x<1,x+1−2(1−x)>1,②或{x≥1,x+1−2(x−1)>1,③．解①求得x∈⌀，解②求得23<x<1，解③求得1≤x<2．综上可得，原不等式的解集为(23, 2)．(2)函数f(x)=|x+1|−2|x−a|={x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(2a−13, 0)，B(2a+1, 0)，故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a, a+1)，如图，由△ABC的面积大于6，可得12[2a+1−2a−13]⋅(a+1)>6，求得a>2．故要求的a的范围为(2, +∞)．。
陕西省西安地区八校2019届高三3月联考数学(文)试题(解析版)
又 ， 平面PBD， 平面PBD，
平面PBD，
又 平面PBC，
平面 平面PBD；
解： ，且 平面PAB， 平面PAB，则 平面PAB，
在 中，由 ，可得D到PA的距离为 ，即D到平面PAB的距离为 ．
又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为 ．
在 中，由 ， ，且F为PA的中点，
12.已知双曲线 的右焦点为 ，若C的左支上存在点M，使得直线 是线段 的垂直平分线，则C的离心率为
A. B.2C. D.5
【答案】C
【解析】 解： ，直线 是线段 的垂直平分线，
可得 到渐近线的距离为 ，
即有 ，
OP为 的中位线，可得 ，
，可得 ，
即为 ，即 ，
可得 ．
故选：C．
求得 到渐近线的距离为b，OP为 的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．
即： ，
由于： ，
解得： ．
由于 ，
所以： ，
整理得： ，
所以： ．
【解析】 直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
利用 的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由圆C： ，得： ，
圆心坐标 ，半径 ．
等边 的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，
的最大值为直径 ，
又 为等边三角形，
的最大值也为 ．
故选：C．
化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径 等边 的一边AB为圆C的一条弦，可得 的最大值为直径，即可得出结论．
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陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三下学期3月质量检测数
学(文)试题
一、单选题
(★) 1 . 表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（）
A．B．C．D．
(★) 2 . 已知复数满足，则的共轭复数是（）
A．B．C．D．
(★) 3 . 已知则（）
A．B．C．D．
(★) 4 . 执行如图所示的程序框图，则当输入的分别为3和6时，输出的值的和为（）
A．45B．35C．147D．75
(★) 5 . 已知两条直线，，两个平面，，，，则下列正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
(★) 6 . 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股
形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成
朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得
勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据：，）
A．2B．4C．6D．8
(★★) 7 . 函数的大致图象为（）
A．B．
C．D．
(★) 8 . 命题：，，命题：，，则是的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．必要充分条件D．既不充分也不必要条件
(★★) 9 . 已知中，角所对的边分别为，若的面积为，则的周长为（）
A．8B．12C．15D．
(★★) 10 . 若函数
（其中 ， 图象的一个对称中心为
， ，其相邻一条对称轴方程为 ，该对称轴处所对应的函数值为
，为了得到
的
图象，则只要将
的图象( )
A ．向右平移个单位长度
B ．向左平移
个单位长度
C ．向左平移个单位长度
D ．向右平移
个单位长度
(★★) 11 . 已知正方体
的棱长为2，点 在线段
上，且
，平面
经过点
，则正方体
被平面 截得的截面面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★★) 12 . 若对于任意的 ，都有 ，则 的最大值为（）
A ．
B ．
C ．1
D ．
二、填空题
(★) 13 . 记等差数列 的前 项和为
，若
，则 ______.
(★★) 14 . 求经过椭圆 的左右焦点
、
和上顶点
的圆的标准方程______.
(★★) 15 . 已知
是圆
的直径，点 为直线
上任意一点，则
的最小值是______.
(★) 16 . 已知直线 与双曲线
交于 A ， B 两点，以 AB 为直
径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若
的面积为
，则双曲线的离心率为
________.
三、解答题
(★★) 17 . 已知等差数列
的公差
，若
，且
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式； （2）设
，求数列
的前 n 项和
.
(★★) 18 . 如图，四边形 是边长为2的菱形，
，
，
都垂直于平面
，
且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若
，求三棱锥
的体积.
(★★) 19 . 凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年.龙眼干的级别按直径 的大小分为四个等级（如下表）.
级别 三级品 二级品 一级品 特级品
某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间 ），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
频数1297
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个. （1）求、的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案：以60元/千克收购；方案：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋. 用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
(★★★★) 20 . 已知点、点及抛物线.
（1）若直线过点及抛物线上一点，当最大时求直线的方程；
（2）轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点，且点到
直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
(★★★★) 21 . 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.
(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐
标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
(★★) 23 . 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．。