「精品」全国版高考数学一轮复习第9章统计统计案例第3讲变量相关关系与统计案例学案

第3讲 变量相关关系与统计案例板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．考点2 回归方程与回归分析 1．线性相关关系与回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，x ＝1n(x 1＋…＋x n )，y ＝1n(y 1＋…＋y n )，a ^＝y －b ^x ，(x ，y )称为样本点的中心．(3)相关系数r＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2∑i＝1n(y i－y)2，当r>0时，两变量正相关，当r<0时，两变量负相关，当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越强，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越弱．考点3 独立性检验1．独立性检验的有关概念(1)分类变量可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．(2)2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2利用随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．步骤如下：(1)计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：00认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．[必会结论]1．相关关系与函数关系的异同共同点：二者都是指两个变量间的关系；不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．从散点图看相关性正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内；负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内．3．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( ) (3)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( )(4)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．下面是一个2×2列联表其中a ，b A ．94 72 B ．52 50 C ．52 74 D ．74 52 答案 C解析 由a ＋21＝73，得a ＝52，a ＋22＝b ，得b ＝74.故选C.3．[课本改编]四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D解析 正相关指的是y 随x 的增大而增大．负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09 kgB ．70.12 kgC ．70.55 kgD ．71.05 kg 答案 B解析 x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x ，y )，∴将点(170,69)代入回归直线方程得y ^＝0.56x －26.2，代入x ＝172 cm ，则其体重为70.12 kg. 5．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得K 2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．答案 有关解析 K 2>10.828就有99.9%的理由认为两个量是有关的．板块二 典例探究·考向突破 考向线性回归分析例 1 [2018·金华模拟]某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ＝b x ＋a ；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)根据表中2至5月份的数据， 计算得x －＝11，y －＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498， 则b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x －y －∑5i ＝2x 2i －4x －2＝1092－4×11×24498－4×112＝187， a ^＝y －－b ^x －＝24－187×11＝－307.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ^＝187×10－307＝1507，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2；当x ＝6时，y ^＝187×6－307＝787，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2.故所得的回归直线方程是理想的． 触类旁通(1)正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．【变式训练1】 PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)若周六同一时间段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少？( 参考公式：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2，a ^＝y －b ^x ；参考数据：∑5i ＝1x i ＝540，∑5i ＝1y i ＝420 ) 解 (1)由条件可知，x ＝15∑5i ＝1x i ＝5405＝108，y ＝15∑5i ＝1y i＝4205＝84， ∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，∑5i ＝1(x i －x )2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200. b ^＝∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )∑5i ＝1 (x i －x )2＝144200＝0.72，a ^＝y －b ^x ＝84－0.72×108＝6.24，故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.72x ＋6.24.(2)当x ＝200时，y ^＝0.72×200＋6.24＝150.24，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．考向两个变量的相关性命题角度1 相关关系的判断例 2 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3 答案 A解析 易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r 2<r 4<0<r 3<r 1.命题角度2 相关系数的意义例 3 [2017·全国卷Ⅰ]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x )2＝116(∑i ＝116x 2i －16x 2)≈0.212, ∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ⅱ)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x)2∑i ＝1n(y i －y －)2.0.008≈0.09.解 (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116(x i －x －)2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． (2)(ⅰ)由于x －＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 115(16×9.97－9.22)＝10.02， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为1(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，15这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.考向独立性检验例 4 [2017·全国卷Ⅱ]海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．触类旁通利用统计量K 2进行独立性检验的步骤(1)根据数据列出2×2列联表； (2)根据公式计算K 2找观测值k ；(3)比较观测值k 与临界值表中相应的检验水平，作出统计推断．【变式训练2】 某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为180＝12.(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：∴K 2＝105×75×90×90＝7≈5.1429>5.024.∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为科类的选择与性别有关．核心规律1.求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b ^，常数项为a ^，这与一次函数的习惯表示不同．)2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法，主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．3.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和生活实际．满分策略1.相关关系与函数关系的区别相关关系与函数关系不同，函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S 与边长x 之间的关系S ＝x 2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列10———线性回归中的函数思想[2015·全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w －＝8∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u －)(v i －v －)∑ni ＝1(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －. 解题视点 求解第(1)问时，利用散点图结合学过的函数图象直接判断即可．求解第(2)问时，根据题目提供的数据及公式求出相关量，就可写出回归方程．求解第(3)问中的第一小问时，把x ＝49直接代入回归方程求解出y 的预报值，再代入年利润z 与x ，y 的关系式求解即可；求解第二小问时，把y 与x 的关系式代入年利润z 与x ，y 的关系式，将z 转化为关于x 的二次函数求最值即可．解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于 d ^＝∑8i ＝1 (w i －w －)(y i －y －)∑8i ＝1 (w i －w －)2＝108.81.6＝68， c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．答题启示 利用回归方程可以进行预测和估计总体，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制、依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据.解决此类问题的步骤为：(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图；(2)按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程；(3)利用回归方程进行分析，分析中注意函数思想的应用.跟踪训练某品牌2017款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S 店分别进行了两天试销售，得到如下数据：(1)分别以五家4S 店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?附：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)五家4S 店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)，∴x －＝18.3＋18.5＋18.7＋18.4＋18.65＝18.5，y －＝83＋80＋74＋80＋785＝79，∴b ^＝－0.2×4＋0×1＋0.2×(－5)＋(－0.1)×1＋0.1×(－1)0.04＋0＋0.04＋0.01＋0.01＝－20.1＝－20.∴a ^＝y －－b ^x －＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449， ∴y ^＝－20x ＋449.(2)设该款汽车的单价应为x 万元， 则利润f (x )＝(x －12)(－20x ＋449) ＝－20x 2＋689x －5388，f ′(x )＝－40x ＋689，令－40x ＋689＝0，解得x ≈17.2，故当x ≈17.2时，f (x )取得最大值．∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·湖北模拟]已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关答案 C解析 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．2．[2018·桂林模拟]根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0答案 B解析 由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b <0，a >0.3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量K 2的观测值k ≈4.892，参照附表，得到的正确结论是( )A ．有B ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析 因为K 2的观测值k ≈4.892>3.841，所以有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．4．[2018·洛阳模拟]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴、y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系较弱，无研究价值 答案 B解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，综上可知应选B.5．某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B 解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x ，y )，所以42＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1.故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.所以当x ＝6时，y ^＝6×9.4＋9.1＝65.5.6．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．答案 95%解析 由题意知，k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为5.024>4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．7．[2018·沧州七校联考]某单位为了制定节能减排的计划，随机统计了某4天的用电量y (单位：度)与当天气温x (单位：℃)，并制作了对照表(如表所示)．由表中数据，得线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，当某天的气温为－5 ℃时，预测当天的用电量约为________度．答案 70解析 气温的平均值x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，用电量的平均值y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，因为回归直线必经过点(x －，y －)，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋a ^，解得a ^＝60，故回归方程为y ^＝－2x ＋60.当x ＝－5时，y ^＝(－2)×(－5)＋60＝70，所以当某天的气温为－5 ℃时，预测当天的用电量约为70度．8．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝5x －5；④y ＝32x .则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．答案 ③解析 由题意知x －＝4，y －＝6，∴b ^＝∑5i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑5i ＝1(x i －x －)2＝85，∴a ^＝y －－b ^x －＝－25，∴y ^＝85x －25，∴填③. 9．由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25.(1)求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．解 (1)∵∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25，∴x ＝15∑i ＝15x i ＝4，y ＝15∑i ＝15y i ＝5，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112－5×4×590－5×42＝1.2， a ^＝y －b ^x ＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为y ^＝1.2x ＋0.2.(2)①由(1)知b ^＝1.2>0，∴变量x 与y 之间是正相关．②由(1)知，当x ＝8时，y ^＝9.8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元． 10．[2018·聊城模拟]在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. (2)2×2列联表如下：因为K 2＝40×160×50×150＝6≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．[B 级 知能提升]1．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6.则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为7，则下列说法正确的是( )参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附表：A B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A ，B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确．3．[2018·赣州模拟]在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i ＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，则实数b 的值为________．答案 57解析 令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t ＝∑6i ＝1x 2i 6＝72，y＝∑6i ＝1y i 6＝136，代入y ＝bt －13，得136＝b ×72－13，解得b ＝57.4．某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表：合作学习法”有关；(2)为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样的方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽出3名交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)K 2＝60×160×110×110＝6≈9.167<10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关． (2)设从“翻转班”中抽取x 人，从“对照班”中抽取y 人，由分层抽样的定义可知660＝x 40＝y20，解得x ＝4，y ＝2.在这6名学生中，设“对照班”的2名学生分别为A 1，A 2，“翻转班”的4名学生分别为B 1，B 2，B 3，B 4.则所有的抽样情况如下，{A 1，A 2，B 1}，{A 1，A 2，B 2}，{A 1，A 2，B 3}，{A 1，A 2，B 4}， {A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}，{A 1，B 1，B 4}，{A 1，B 2，B 3}， {A 1，B 2，B 4}，{A 1，B 3，B 4}，{A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}， {A 2，B 1，B 4}，{A 2，B 2，B 3}，{A 2，B 2，B 4}，{A 2，B 3，B 4}， {B 1，B 2，B 3}，{B 1，B 2，B 4}，{B 1，B 3，B 4}，{B 2，B 3，B 4}， 共20种．其中至少有一名“对照班”学生的情况有16种．记事件A 为至少抽到一名“对照班”学生交流学习方法，则P (A )＝1620＝45＝0.8.5．[2018·太原模拟]假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如以下的统计数据：已知∑5i ＝1x 2i ＝90，∑i ＝1y 2i ＝140.8，∑i ＝1x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4. (1)求x －，y －；(2)对x ，y 进行线性相关性检验；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程； (4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.(2)因为∑5i ＝1x i y i －5x －y －＝112.3－5×4×5＝12.3， ∑5i ＝1x 2i －5x －2＝90－5×16＝10， ∑5i ＝1y 2i －5y －2＝140.8－125＝15.8， 所以r ＝12.310×15.8＝12.3158≈0.987.因为0.987>0.75，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系．(3)因为b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝12.310＝1.23，a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08，所以所求的回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(4)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．。