简单曲线的极坐标方程公开课.ppt

（１）圆心在极点，半径为r １ 圆心在极点，半径为 ρ＝r
（2）中心在Ｃ（ ）中心在Ｃ（
ρ ，θ
0
０
），半径为ｒ。 ），半径为
ρ2+
ρ0 -2 ρ ρ0 cos( θ- θ０)=
2
2 r
直线的极坐标方程： 四 直线的极坐标方程：
思考： 思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与 轴垂直的直线方程为 x=3 且与x轴垂直的直线方程为 过点 且与 且与y轴垂直的直线方程为 过点(2,3)且与 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
练习1求过点 练习 求过点A (a,π/2)(a>0)，且平行于 求过点 ， 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系， 为直线L上除点 设点 M ( ρ ,θ ) 为直线 上除点 A外的任意一点，连接OM 外的任意一点，连接 外的任意一点 在 Rt ∆MOA 中有 IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ρ sin θ ＝a ∠ 可以验证，点A的坐标也满足上式。 可以验证， 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
即
ρ a o = sin(π − α ) sin(α − θ )
ρ θ ﹚ ﹚α
A
x
化简得
ρ sin(α − θ ) = a sin α
显然A点也满足上方程 显然 点也满足上方程
过点P且 例3：设点 的极坐标为( ρ1 ,θ1 )，直线 l 过点 且 ：设点P的极坐标为 α 求直线 的极坐标方程。 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 如图， 为直线上除点P外 解：如图，设点 M ( ρ , θ )为直线上除点 外 的任意一点，连接OM，则 OM = ρ , ∠xOM = θ 的任意一点，连接 ， 由点P的极坐标知 由点 的极坐标知 O P = ρ 1 ∠ x O P = θ 1 设直线L与极轴交于点 与极轴交于点A。 设直线 与极轴交于点 。则在∆MOP 中 ∠OMP = α − θ , ∠OPM = π − (α − θ1 ) M ρ 由正弦定理得 OM = OP ρ1 P sin ∠OPM sin ∠OMP ρ1 ρ = α 即 ﹚θ1 ﹚ sin[π − (α − θ1 )] sin(α − θ ) o x A ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) 显然点P的坐标也是上式的解 的坐标也是上式的解。 显然点 的坐标也是上式的解。
A o
ρ ﹚θ
M x
课堂练习2 设点A的极坐标为 课堂练习 设点 的极坐标为 ( a , 0)，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为α ,求直线l 的极坐标方程。 且与极轴所成的角为 求直线 的极坐标方程。 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 上异于A点的任意一点 连接OM， 点的任意一点， 为直线 l上异于 点的任意一点，连接 ， 在 ∆MOA中，由正弦定理 得 M
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
练习1 练习1
求下列圆的极坐标方程 （１）中心在极点，半径为２；
ρ＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
ρ＝2acos θ （３）中心在（ａ，π／2），半径为ａ； ρ＝2asin θ （４）中心在Ｃ（ρ0，θ０），半径为ｒ。 2+ ρ 2 -2 ρ ρ cos( θ- θ )= r2 ρ 0 0 ０
例1： ： ⑴求过极点，倾斜角为 求过极点，
π
4
的射线的极坐标方程。 的射线的极坐标方程。 M
π
θ =
π
4
o
﹚
4
x
(ρ ≥ 0)
5π 的射线的极坐标方程。 （2）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 ）求过极点， 4
5 θ = π ( ρ ≥ 0) 4 π 的直线的极坐标方程。 （3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 ）求过极点， 4 5 ( ρ ≥ 0 ) 和 θ = π ( ρ ≥ 0) θ = 4 4
π
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来， 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
ρ≥0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以 为了弥补这个不足， 取全体实数。 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为
曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(ρ,θ)=0有如下关系 （１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(ρ,θ)=0 ； （２）以方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0 。
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 适当的极坐标系） ①建系 （适当的极坐标系） 为要求方程的曲线上任意一点） ②设点 （设M（ ρ，θ)为要求方程的曲线上任意一点） （ 为要求方程的曲线上任意一点 ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于 的等式） 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式 的等式） 列等式（ ④将等式坐标化 此方程f(ρ,θ)=0即为曲线的方程） 即为曲线的方程） ⑤化简 （此方程 即为曲线的方程
o
﹚θ A
3、过某个定点平行于极轴 、 o x ρ sin θ ＝a 4、过某个定点 ( ρ1 , θ1 ) ，且与极轴成的角度 且与极轴成的角度a 、 M ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) ρ
o P α ﹚ ﹚ x A
θ1
ρ ﹚θ
ρ1
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程
2概念的意义：借助直角坐标系，把曲线和 借助直角坐标系，
方程联系起来，把曲线用一个二元方程表示， 方程联系起来，把曲线用一个二元方程表示， 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性 即几何问题代数化， 质，即几何问题代数化，这就是坐标法的思 想。
3求曲线的方程的步骤：曲线的方程是曲
线上所有点的坐标都满足的一个关系式。 线上所有点的坐标都满足的一个关系式。 可按以下步骤： 设点， 可按以下步骤：①建系 ②设点，设M（x,y) （ 为要求方程的曲线上任意一点③列等式， 为要求方程的曲线上任意一点③列等式，根 据条件或几何性质列关于M的等式 的等式。 据条件或几何性质列关于 的等式。 ④将等 此方程即得曲线的方程。 式坐标化， 式坐标化，⑤化简 此方程即得曲线的方程。
ρ
OM cos ∠MOA = OA
即
o
﹚θ A x
ρ cos θ = a
可以验证， 的坐标也满足上式。 可以验证，点A的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 、据题意画出草图； 2、设点 M ( ρ , θ ) 是直线上任意一点； 是直线上任意一点； 、 3、连接MO； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 ρ ,θ 的方 、 程， 并化简； 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。 、检验并确认所得的方程即为所求。
练习2
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 为圆心， 为 以极坐标系中的点 为圆心 半径的圆的方程是
π π A.ρ = 2 cos θ − B .ρ = 2 sin θ − 4 4 C .ρ = 2 cos(θ − 1) D.ρ = 2 sin(θ − 1)
三 .圆的极坐标方程 圆的极坐标方程
复习引入： 一 复习引入：
1.建立极坐标系的四要素是哪些？ 建立极坐标系的四要素是哪些？ 建立极坐标系的四要素是哪些
2.平面内点的极坐标如何表示？ 平面内点的极坐标如何表示？ 平面内点的极坐直角坐标系中，如果某曲线上的点与一 个二元方程的实数解建立如下的关系： 个二元方程的实数解建立如下的关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解。 ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解。 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 那么，这条曲线叫做方程的曲线， 那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方 程叫做曲线的方程。 程叫做曲线的方程。
练习3 练习 求过点P(4,π/3)且与极轴夹角为π/6的直线 l 的 求过点 且与极轴夹角为 的直线 方程。 方程。
ρ sin(θ − ) = 2
6
π
直线的几种极坐标方程 1、过极点 、
l
θ = θ 0( ρ ∈ R )
﹚θ o
ρ
M A M x
2、过某个定点垂直于极轴 、
ρ cos θ = a
θ=
π
4
( ρ ∈ R)
或
5 θ = π ( ρ ∈ R) 4
例2、求过点 、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 ， 的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 的极坐标方程。（学生们先自己尝试做 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 如图，建立极坐标系， M 为直线L上除点 外的任意一点， 上除点A外的任意一点 为直线 上除点 外的任意一点， 连接OM 在 Rt ∆MOA 中有 连接
二 新课讲解：
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件？
M (ρ,θ) A
O
C(a,0)
x
思路分析
1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来ρ、θ 即明确长度ρ与角度θ是哪一 边，哪一个角 2、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角 形 3、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 4、列式时要充分利用已知条件：圆心与半径