优佳学案2018高考数学文(云南)二轮复习课件：3.6.1 导数与函数的单调性、极值、最值

1 2
������3
+
������2
ex
=
1 2
������3
+
5 2
������2
+
2������
ex
=12x(x+1)(x+4)ex.
令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;
当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;
3.6.1 导数与函数的单调性、 极值、最值
8
考向一 考向二 考向三 考向四
讨论、判断、证明单调性或求单调区间 例1已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-43 处取得极值. (1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
解:(1)对 f(x)求导得 f'(x)=3ax2+2x,
6
6.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略 (1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x) 在[c,d]上的最大值. (2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x) 在[c,d]上的最小值. (3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x) 在[c,d]上的最小值. (4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x) 在[c,d]上的最大值. (5)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x) 在[c,d]上的值域交集非空. (6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在 [c,d]上的值域. (7)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在 [c,d]上的值域.
因为 f(x)在 x=-43处取得极值,所以 f'
-
4 3
=0,
即
3a·196+2·-
4 3
=
16������ 3
−
83=0,解得
a=12.
9
考向一 考向二 考向三 考向四
(2)由(1)得 g(x)=
1 2
������3
+
������2
ex,
故 g'(x)=
3 2
������2
+
2������
ex+
区 极间 值进 或而 最(2求 值01函;4三数卷是的Ⅰ利,文 21) 用 取导 值数 范探 围(2求 和01参 有5 数 限卷的 制Ⅰ,文 14) 条 是件 利的 用参 导(2数 数01范 解5 围 决卷不;Ⅱ四,文 16)
等 零式 点问 、题 方(2及 程01函 根6 数 的卷的 问甲,文 20) 题 零;点五个是数已(2求0知1参6函数卷数的丙的,文 21)x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函
3
1.导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数f'(x0)是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率k,即k=f'(x0). 2.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f'(x)>0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f'(x)<0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若f'(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是常数函数. 3.函数的导数与单调性的等价关系 若函数f(x)在(a,b)内可导,且f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不 恒等于0,则f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数;f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上 为减函数.
5
5.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的问题转化为证明 f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数, 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子,根据“相同结构”构造 辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主 元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x)); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,则可将所证明不等式进 行放缩,再重新构造函数.
(2012 卷, 文 21) (2013 卷
Ⅰ,文 20)
(2013 卷
Ⅱ,文 21)
(2014 卷
Ⅱ,文 21)
(2015 卷
Ⅰ,文 21)
(2015 卷
Ⅱ,文 21)
(2016 卷 乙,文 21)
复习策略
抓住考查的主要题 目类型进行训练,重 点有三个类型的题 目,一是讨论、判断、 证明函数的单调性, 二是求函数的单调
3.6 函数与导数的应用
2
命题规律
试题统计
从近五年的高考试题来看,高 考对函数与导数的考查作为 压轴题,难度较大,在考查函 数与导数的基础时,注重考查 函数与方程、化归与转化、 分类与整合等数学思想方法, 还综合考查运算求解能力、 推理论证能力、抽象概括能 力等.考查的角度也在不断的 变化,逐步扩展,从直接利用 导数符号的正负讨论函数的 单调区间,或利用函数单调性 求函数的极值、最值问题,转 变成利用求导的方法证明不 等式;探求参数的取值范围; 讨论函数的零点个数等
4
4.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值; 若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有 最大值和最小值且最值在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函 数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大 值,f(b)为函数的最小值.