高三数学微专题--数列与不等式

a3 a2 a2 a1
4
q, a1
2
cn n, cncn1 n n 1
解(2)
1 2
Sn1
n
12
2
设Tn
1 2
(n
1) 2
则dn
Tn
Tn1
2n 1(n 2
2)
d1 T1 2不适合上式
2
dn
2n
1
2
(n 1) (n 2)
cn
bn 1 2
n
当n 1时：c1c2 2 d1 2成立
bn 2n
解(2)设Tn
n 1则 Tn Tn1
令cn
n 1 (n 2) n
c1 T1 2也适合上式
n 1 (n 2) n
由(1)可知：b 2时：an 2n1 bn 2n
bn 1 n 1 2n 1 n 1 2n 1 2 n 1 n
bn
n 2n
n
2n
4n2 4n 1 4n2 4n 0 2n
例2、已知数列an 满足an
(n
2)
7 8
n，则an的最大项为
76 85
an1
an
(n
3)(7)n1 8
(n
2)
7 8
n
7 8
n
5 8
n
n 5时：an1 an即a6 a5
n 4时：an1 an ,即a5 a4 a3 a2 a1
n 6时：an1 an ,即a6 a7 a8 a9
当n 2时：cncn1 dn
n(n 1) 2n 1 2
n2 n n2 n 1 0 4
2n 1 cncn1 2
累加得：c1c2 c2c3 cncn1
2
5 2
7 2
2n 1 2
(n 1)2 2
1 2
S
n1
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的
前n项和为Sn , 且bn log2 an (1)求bn , Sn an 22n1 bn 2n 1
Sn n2
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
a2 a1 10, a3 a2 40
cn
n 1 n
bn 1 n 1
bn
n
累乘得：
b1 1 b2 1 bn 1 2 3 n 1 n 1
b1
b2
bn
12
n
总结：
形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作
一个数列的积，先利用bn
f
f (n) (n 1)
求bn，再进一步
探究。
同理：形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作 一个数列的和，先利用bn f (n) f (n 1)求bn，再进一步探究。
高三数学微专题
数列与不等式
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1、(1)已知数列an为递增数列且an n2 n 1，则的范围 3
方法一：
an1 an n 12 n 1 1 n2 n 1 2n 1 0恒成立
分参求最值：2n 1 恒成立
2n 1 3 min
3，即 3 方法二： 函数角度，二次函数的对称轴为n
证明：对任意的n N *,不等式 b1 1 b2 1 bn 1 n 1
解(1)方法一 Sn bn r
解(1)方b1法二b2
a1
bn
b
r, a2
b2
b, a3
b3
b2
Sn1 bn1 r(n 2)
an为等比数列
an bn bn1(n 2)
a22 a1 a3
an 为等比数列
r 1
a1 b r也适合上式
r 1
题型二：数列不等式的证明
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
证明：对任意的n N*,不等式 b1 1 b2 1 bn 1
b1
b2
bn
由(1)可知：b 2时：an 2n1
bn 1 2n 1
n 1 bn
2n
1 n2
5 3
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
（2 1 2n 1
1) 2n 1
4
课堂小结： 1、数列的单调性（最值）
(1)图像法 (2)做差法 2、数列不等式的证明
(1)寻求通项 (2)放缩法
1、已知数列an中, a1
1，其的前n项和为Sn，且满足an
2Sn2 (n 2Sn 1
2)
(1)求证：数列
2
3 ,即 3
22
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1(2)已知数列an为递减数列且an
n 2 n
, 则的范围
1
2
an
2 2 n
1
2
2
0
题型一：数列的单调性（最值）问题
(3)已知数列an满足an
n2
n
Hale Waihona Puke Baidu90
，当an取最大值时n
9或10
an
n
1 90
n
9 90 10
a9 a10
前n项和为Sn , 且bn log2 an
(1)求bn , Sn
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
1 2
Sn1
n
12
2
法二：放缩法
cncn1
n(n 1)
n2 n
n2 n 1 n 1
4
2
c1c2 c2c3 cncn1
3 2
5 2
2n 1 2
1 Sn
为等差数列
(2)证明：当n
2时，S1
1 2
S2
1 3
巩固训练：
4 已知数列an 满足an
n(n
4)
2 3
n
，则an最大时n
an1
an
2 3
n
10 3
n2
n 3时：an1 an ,即a4 a3 a2 a1 n 4时：an1 an ,即a4 a5 a6 a
总结： 数列的单调性（最值）问题解决方案常用两种方法： 1、转化为研究常见函数的单调性问题，
但一定要注意定义域的特殊性。 2、做差，通过研究an an1 的正负，来判断最值。
题型二：数列不等式的证明
例1、等比数列an的前n项和为Sn ,已知对任意的n N *,点n, Sn 均在
函数y bx r(b 0且b 1,b、r均为常数)的图像上
(1)求r的值 r 1
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
n2
2
2n
n2
2n 2
1
1 2
Sn1
探究：用放缩法证明下列不等式
(1)证明：1 1 1 1 2
12 22 32
n2
11
11
n2
n(n 1)
n 1
n
(2)证明：112
1 22
1 32
1 n2
7 4
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(3)证明：112
1 22
1 32