高三数学微专题--数列与不等式
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)数列与不等式结合的问题在数学中，数列和不等式是常见的概念。
数列是按照一定规律排列的数的序列，而不等式是数与数之间的大小关系。
本文将探讨数列与不等式结合的问题，并给出相关解析。
一、等差数列与不等式等差数列是一种数列，其中相邻项之间的差值都相同。
一般表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
在等差数列中，不等式也起到重要作用。
在等差数列an = a1 + (n-1)d中，假设首项为a1，公差为d，项数为n，若满足a1 < an，即首项小于末项，那么根据等差数列的性质可知，d > 0。
反之，若a1 > an，则d < 0。
二、等比数列与不等式等比数列是一种数列，其中相邻项之间的比值都相同。
一般表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
在等比数列中，不等式也有其独特的应用。
在等比数列an = a1 * r^(n-1)中，假设首项为a1，公比为r，项数为n，若满足a1 < an，则根据等比数列的性质可知，r > 1。
反之，若a1 > an，则r < 1。
三、综合运用数列和不等式在实际问题中，数列和不等式可以结合起来，解决更为复杂的数学难题。
下面以一个具体的例子来说明。
【例】已知数列an满足an = 2^n - 1，求n满足不等式an > 1000。
解析：首先，根据已知条件an = 2^n - 1，我们可列出部分项如下：a1 = 2^1 - 1 = 1a2 = 2^2 - 1 = 3a3 = 2^3 - 1 = 7a4 = 2^4 - 1 = 15...我们发现随着n的增大，an的值呈指数增长。
接下来，我们需要找到满足an > 1000的n。
我们尝试逐项计算，直至找到满足条件的n。
当n = 1时，a1 = 1，不满足条件；当n = 2时，a2 = 3，不满足条件；当n = 3时，a3 = 7，不满足条件；当n = 4时，a4 = 15，不满足条件；...随着n的增大，我们发现在n = 10时，a10 = 1023，刚好满足条件an > 1000。
高三数学复习专题四数列与不等式
高三数学专题四 （数列与不等式）第一讲 递推公式与通项公式数列是高中数学很重要的内容之一，是高考的热点和重点。
数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。
类型1（已归纳常见题型） （1）1()n n a a f n +=+； （2）1()n n a a f n +=⋅； （3）1n n a pa q +=+； （4）1n n n a pa r q +=+⋅；（5）1n n n a pa r p +=+⋅; （6）1()()r n n a q p a q ++=⋅+； （7）21(1)n n n a a ua u λλ++=++=类型2：1()()()nn n f n a ag n a n n +=+这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型（3）例1．已知数列{n a }满足132a =，且113(2)21n nn na a n a n --=+-≥，求数列{n a }的通项公式.【解析】由已知，得112133n n n a n na --=+， 即1112(2)33n n n n n a a --=⋅+≥.设111()(2)3n n n n n a a λλ--+=+≥， 则1112(2)33n n n n n a a λ--=⋅-≥， ∴1λ=-，∴{1n n a -}是首项为13-，公比为13的等比数列， ∴1111()33n n n a --=-⋅. 解得11()3nnn a =-.类型3：周期型这种类型与函数的周期性相类似，应推导对任意*n N ∈有*()n k n a a k N +=∈，则k 为数列的周期.例2．已知数列{n a }满足10a =，*1)n an N +∈，则20a ＝（ ）A ．0B ．CD【解析】选B. ∵10a =，2a ==3a 40a ，……至此可知：数列{n a }的各项的值依次为0，，0，0，……周而复始.∵2036÷=余2 ∴202a a ==类型4：1n n n pa q ara s++=+这种类型一般通过构造方程，利用“不动点”知识处理. 例3．已知数列{n a }满足17a =-，1261n n n a aa ++=+，求数列{na }的通项公式.【解析】设方程261x x x +=+，则2603x x x --=⇒=或2x =-∴1133n n n a aa ++-+-=， 14821n n n a a a +++=+ 两式相除，得：11331()242n n n n a a a a ++--=-++令32n n n a b a -=+，则114n n b b +=-，111322a b a -==+ ∴11112()4n n n b b q x --==-∴1111114()33143(4)42()124(4)212()4n n n n n n n n a a a -----⨯-+-+⨯-=⨯-⇒==+---⨯- 类型5：1n n a a pn q ++=+或1n n n a a p q +=⋅这种类型一般可转化为{21n a -}与{2n a }是等差或等比数列求解. 例4．（1）在数列{n a }中，11a =，16n n a n a +=-，求n a ; （2）在数列{n a }中，11a =，13n n n a a +=，求n a .【解析】（1）∵16n n a a n ++=，∴126(1)n n a a n +++=+， 两式相减，得26n n a a +-=.∴{21n a -}与{2n a }均为公差为6的等差数列，易求得 {323 1 n n n a n n -=- （为奇数）（为偶数）（2）类似（1）的方法易求 12233 n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩ （为奇数）（为偶数）.类型6：归纳猜想法例5．设数列{n a }的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1,2,3,n =⋅⋅⋅.（1）求1a ，2a ； （2）求{n a }的通项公式.【解析】（1）当1n =时，2110x a x a --=有一根为1111S a -=-，于是21111(1)(1)0a a a a ----=.解得112a =.当2n =时，2220x a x a --=有一根为22112S a -=-，于是2222211()()022a a a a ----=，解得216a =.（2）由题设2(1)(1)0n n n n S a S a ----=， 即2210n n n n S S a S -+-=.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入上式得：1210n n n S S S --+= （*）由（1）知1112S a ==. 212112263S a a =+=+=.由（*）可得334S =.由此猜想1nn S n =+，1,2,3,n =⋅⋅⋅.下面用数学归纳法证明这个结论. ①1n =时已知结论成立.②假设n k =时结论成立，即1k k S k =+.当1n k =+时，则（*）得112k kSS +=-.即112k k S k ++=+. 故1n k =+时结论也成立.综上，由①、②可知1n n S n =+对所有正整数n 都成立.于是当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++.又当1n =时，111212a ==⨯，所以{n a }的通项*1()(1)na n N n n =∈+. 练习：1．已知数列{n a }中，114a =，1332n n a a +=+，则使20n n a a +<成立的n 是（ D ）A ．21或22B ．22或23C ．22D ．212．若数列{n a }中，13a =，且对任意的正整数m 、n 者有m n m n a a a +=，则n a 等于（ C ）A ．13n - B ．123n -⨯ C ．3nD ．33．给定正整数n （2n ≥）按下图方式构成三角 形数表：第一行依次写上数1，2，3，……，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少1个数）， 依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数，例如 n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2009时最后一行的 数是（ C ）A ．251×22009B ．251×22008C ．2010×22007D ．2009×22007 4．数列{n a }满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧<⎪=⎨⎪-<⎩ ≤ ≤若167a =，则20a 的值是 . 575．设数列{n a }的前n 项和14122,1,2,3,333n n nS a n +=-⨯+=⋅⋅⋅.求数列{n a }的通项公式. （42n n n a =-） 6．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且f 12=；定义数列{n a }满足：125a a ==，11()()1(2,)n n n f a a f a n n N +--=+∈≥，若{1n n a a λ++}为等比数列.（1）求λ的所有值及{n a }的通项公式； （2）当k 为奇数时，求证：111143k k k a a +++<； （3）求证：1211112n a a a ++⋅⋅⋅+<.（23,λλ==-或 3(2)n n n a =--）第二讲 数列的通项与前n 项和（教师用）例1．设正项等比数列{n a }的首项112a =，前n 项和为n S ，且10103020102(21)0S S S -++=.（1）求{n a }的通项；（2）求{n nS }的前n 项和T en .【解析】（1）由10103020102(21)0S S S -++=，得10302020102()S S S S -=-，即102122301112202()a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，得10101112201112202()q a a a a a a ⋅++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+， 因为0n a >，所以101021q =，解得12q =， 因而111(1,2,)2n n n a a q n -===⋅⋅⋅.（2）因为{n a }是首项112a =，公比12q =的等比数列，故11(1)12211212n n nS -==--，2n n n nS n =-. 则数列{n nS }的前n 项和212(12)()222nn n T n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ①2311121(12)()222222n n n T n nn +-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++ ②11248 6420 28 368 12 16 203 5 7 9 11 12 3456①－②得：1111(1)1111(1)22(12)()12222224212n n n n n n T n n n n n ++-+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=-+-，. 即1(1)12222n n n n n nT -+=++- 例2．已知数列{n a }满足：11a =，22a =，22[3(1)]2[(1)1]n n n n a a +=+----，*n N ∈. （1）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列{n a }的通项公式；（2）设212n n n b a a -=⋅，求数列{n b }的前n 项和n S .【思路点拔】（1）先令1,2,3,4n =，再讨论n 的奇偶.（2）用错位相减法. 【解析】（1）33a =，44a =，55a =，68a =， 当n 为奇数时，2224n n a a +=+， ∴22n n a a +=+，∴1a ，3a ，5a ，7a ，…是公差为2的等差数列， ∴n a n =. 当n 为偶数时，224n n a a +=，∴22n a a +=，∴2a ，4a ，6a ，8a ，…是公比为2的等比数列，∴122222n nn a a -=⋅=.∴数列{n a }的通项公式为2,2,n nn n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数. （2）212(21)2n n n n b a a n -=⋅=-⋅，∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， 两式相减，得：2312222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⋅3112(12)2(21)212n n n -+-=+---=1(32)26n n +-⋅-，∴1(23)26n n S n +=-⋅+.例3．数列{n a }满足11a =且11816250(1)n n n n a a a a n ++-++=≥，记1(1)12nn b n a =-≥.（1）求1b 、2b 、3b 、4b 的值；（2）求数列{n b }的通项公式及数列{n n a b }的前n 项和S n【解析】方法一：（1）由112nn b a =-，得：112nn a b =+，代入递推关系式11816250n n n n a a a a ++-++=，整理得114630n n n n b b b b ++-+=，即1423n n b b +=-，由11a =，得12b =，所以283b =，34b =，4203b =.（2）由1423n n b b +=-，1442()33n n b b +-=-， 142033b -=≠，所以{43n b -}是首项为23，公比2q =的等比数列，故41233n n b -=⋅，即142(1)33n nb n =⋅+≥.由112nn b a =-， 得112n n na b b =+，故1122121(12)1513()(251)21233n n n n n n S a b a b a b b b b n n n -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=+=+--.方法二：∵125816n n n a aa +--=- 设方程：25816x x x --=-，则21814502x x x -+=⇒=或54x =∴16312816n n n a a a +-+-=-，1121554816n n n a a a +-+-=-， 两式相除得111112255244n n n n a a a a ++--=⋅--令：1254n n n a c a -=-，则：112n n c c +=，11112254a c a -==--∴1211()2n n n c c q --=⋅=-.∴1211252()52244n n n nn n a a a ---+=-⇒=+- ∴124132n nn b a +==- ∴12b =，283b =，34b =，4203b =， 1253n n n a b -+=∴1112215251(122)333nn n n n n n S a b a b a b -+-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=例4．已知各项均为正数的数列{n a }满足：13a =，且11122n nn n n n a a a a a a +++-=-，*n N ∈. (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设22212n nS a a a =++⋅⋅⋅+，22212111n nT a a a =++⋅⋅⋅+，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使n n S T +为整数. 【解析】(1)条件化为11112()n n n n aa a a ++-=-，因此{1n na a -}为一个等比数列，其公比为2，首项为11183a a -=.所以21*1822()33n n nn a n N a +--=⋅=∈.因0n a >由，由①解出11(23n n a +=(2)由(1)有2221212111()()()2n n nn S T a a a n a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-+34522222*222264()()()()2(41)2()333327n n n n n N +=+++⋅⋅⋅++=-+∈， 为使64(41)227n n nS T n +=-+为整数，当且仅当4127n-为整数.当n =1，2时，显然n n S T +不为整数，当3n ≥时，∵12233341(13)1333(3)n n n n n n n n C C C C --=+-=⋅+⋅++⋅⋅⋅+.∴只需12233312792n n C C n n ⋅+⋅-=⋅为整数，∵31n -与3互质，∴n 为9的整数倍.当n=9时, 311392n n -⋅=为整数,故n 的最小正整数为9.练习：1．数列{n a }是公差不为零的等差数列，并且5a ，8a ，13a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b 等于( D ) A ．155()3n -⋅B ．135()5n -⋅C ．133()5n -⋅D ．153()3n -⋅2．数列{}n a 的前n 项和1n n S q =-(q ＞0且q 是常数)，某同学研究此数列后，得出如下三个结论：①{}n a 的通项公式是1(1)n n a q q -=-⋅；②{}n a 是等比数列； ③当q ≠1时，221n n n S S S ++⋅<.其中正确结论的个数是( C ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，如［0.32］=0，［5.68］=5.若n 为正整数，[]3nn a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则32n S += . 3(1)2n n +4．某资料室在计算机使用中，如下表所示， 编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为 ；编码100共出现 次. 222n n -+；65．对正整数n ，设抛物线22(21)y n x =+，过(2,0)P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，则数列{}2(1)n n OA OB n ⋅+的前n 项和为(1)n n -+6．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有121212224n nn S S S S a a a ++⋅⋅⋅+=+++成立.(1)求证：2*11()42n n nS a a n N =+∈；(2)求数列{}n S 的通项公式；(3)记数列1{}nS 的前n 项和为n T ，求证1n T <. ((1))n S n n =+ 7．已知数列{n a }的通项公式为{65()4()n nn n a n -= 为奇数 为偶数，求数列{n a }的前n 项的和S n . 【解析】当n 为偶数2(*)k k N ∈时，有21321242()()k k k S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+16(161)(6(1))15kk k k -=+-+216(161)6515k k k -=-+，将2n k =代入，得23516(41)2215n n n n S =-+-，当n 为奇数*21()k k N -∈时，有222212216(161)1616654651515k k k k k k S S a k k k k ---=-=-+-=-+ 将12n k +=代入得2132416215n n n n S -+--=+.1 1 1 1 1 1 … 123456 … 1 3 57 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … …………………。
高三数列不等式知识点总结
高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。
在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。
下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。
一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。
2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。
学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。
二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。
2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。
3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。
4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。
5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。
三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。
2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。
例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。
3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。
综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。
学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。
高三第二轮复习：数列与不等式(学生版)
高三第二轮复习：数列（四）---不等式与数列及放缩法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩奇巧裂项积累:例如：1、求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n2、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .3：已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:.1,)1(2≥-+=n a S nn n(1)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a )1(32是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对任意的整数m >4,有.8711154<+++m a a a4、已知曲线C ：)(21:,1*-∈+==N n x y C x y n n ，从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，在从点n P 作y 轴的垂线，交C 与点),(111+++n n n y x Q ，设n n n x x a x -==+11,1，1+-=n n n y y b 。
（1）求21,Q Q 的坐标； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n n b a ⋅的前n 项和为n S ，求证：31<n S ；5、3512111222<+++n ；6、求1421342124211422222-⨯++-⨯+-⨯+-⨯n 的值。
练习.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn（5）求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n（6）.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .一、迭代放缩 例1. 已知1,1411=++=+x x x xn n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑1122|2| 解析:通过迭代的方法得到1212-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论例2 设n nn S 2!sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1n解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(|||21kn n n n kn k n n n S S++++++++++=-kn n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤212121|2)sin(||2)!2sin(||2)!1sin(|2121n k n k n21)211(21)212121(212<-⋅=+++=又n C C C n n n n n n>+++=+= 10)11(2所以nS Sn n kn 121||<<-+【2015奉贤一模】例3：对于正项数列{}n a ，若1n na q a +≥对一切*n N ∈恒成立，则11n n a a q -≥⋅对*n N ∈也恒成立是真命题．（1）若11a =，0n a >，且113(,1)3n n a c c c a +≥≠≠，求证：数列{}n a 前n 项和1(3)13n n c S c-≥-；（2）若14x =，*2,)n x n n N =≥∈，求证：11223()3()33n n n x ---≤≤+．（2009年陕西理科高考压轴题）已知数列{}n x 满足， *1111,21n nx x n N x ∈+＋’＝＝. ()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤。
高三数学复习口诀：不等式和数列知识点总结
高三数学复习口诀：不等式和数列知识点总结
眼过千遍不如手写一遍，为了帮助在校高中生，特别整理了高三数学复习口诀：不等式和数列一文，详情如下：
高三数学复习口诀：不等式和数列
《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图建模构造法。
《数列》
等差等比两数列，通项公式N项和。
两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。
数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。
归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。
还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
高三数学复习口诀：不等式和数列由为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
高考数学总复习考点知识专题讲解35---数列与不等式
[题型专练]
1．(2019·湖南湘潭一模)已知数列{an}满足Sn＝2an－1(n ∈N*)，{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝a1n－bnb2n＋1(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴
f(x)在x＝1处取到极小值，且f(1)＝2a－12.
②当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增，
所以f(x)没有极大值也没有极小值． ③当a>1时，令f′(x)>0，则x>a或0<x<1； 令f′(x)<0，则1<x<a. 所以f(x)在(0,1)，(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单 调递减，
[规范解答]
(1)由f(x)＝(x2－2ax)lnx＋2ax－
1 2
x2，可得
f′(x)＝(2x－2a)lnx(x>0)．
①当0<a<1时，令f′(x)>0，则x>1或0<x<a；令
f′(x)<0，则a<x<1.
所以f(x)在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单
调递减，
所以f(x)在x＝a处取到极大值，且f(a)＝－a2lna＋32a2，
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
3．数列{an}满足an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1.
(1)证明：数列a1n是等差数列；
(2)求数列
1 an
的前n项和Sn，并证明
1 S1
＋
1 S2
＋…＋
高三数列不等式知识点归纳
高三数列不等式知识点归纳一、引言高中数学中的数列不等式是一个重要的知识点，它涉及到数列和不等式两个概念的结合与运用。
通过学习数列不等式，不仅可以加深对数列和不等式的理解，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将对高三数列不等式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、数列不等式的基本概念数列不等式是指数列中的元素之间存在着不等关系的数学命题。
在数列不等式的求解过程中，我们需要运用数列的性质和不等式的性质，以及数学推理的方法。
通常，我们需要通过数列的通项公式求解数列不等式，以便得到数值解。
三、数列不等式的求解方法1. 改变不等式符号当我们求解数列不等式时，有时需改变不等式的方向，例如将不等式由大于等于改为小于等于。
这是因为不等式符号的改变会对不等式的求解产生一定的影响，我们需要根据具体情况进行判断。
2. 利用数列的性质在求解数列不等式时，我们可以运用数列的性质来简化问题。
例如，对于递增数列，我们可以通过数列元素的比较关系来简化不等式的求解过程。
3. 运用数学推理数列不等式的求解过程中，我们需要灵活运用数学推理方法，例如化简、分析、换元等。
通过合理地运用数学推理，我们可以将原复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而得到更方便求解的结果。
四、数列不等式的应用数列不等式的应用范围很广，涉及到很多实际问题和数学证明。
在高中数学中，我们通常会遇到一些典型的数列不等式应用题。
例如，通过推导数列不等式，可以证明某一数列的性质；通过求解数列不等式，可以确定数列的最值、推断数列的收敛性等。
五、数列不等式的扩展除了常见的数列不等式之外，还存在着许多有趣的数列不等式扩展问题。
例如，广义费马不等式、柯西不等式等。
这些扩展问题可以进一步拓展我们的思维，加深对不等式的理解。
六、数列不等式的实践意义与应用前景数列不等式作为数学知识的重要组成部分，具有广泛的实践意义和应用前景。
在实际问题中，我们可以通过研究数列不等式来解决一些实际生活中的优化问题、极值问题等。
各个击破·高中数学：数列与不等式
各个击破·高中数学：数列与不等式高中数学中最基础的概念之一便是数列与不等式。
它们包括许多数学概念，像是数列的基本性质、等差数列、等比数列、递推数列、函数及其概念、不等式及其性质等等。
若掌握此一数学概念便得以更容易地理解及解决后续的数学问题。
一、数列的基本性质所谓数列就是按某个规律排列起来的数，称为有限数列。
它的基本定义为：若有一组数{a1,a2,a3,…,an}，其中a1,a2,a3,…,an一对一对应的，且 n 个数满足某种统一的规律，则称它们构成一个数列，记作：{a1,a2,a3,…,an}（n∈N）；这里n∈N表示n是一个自然数，也即n为正整数。
数列中的每一项可以表示为：an=f（n），其中f（n）是一种规律，也就是说各项a1,a2,a3,…,an的值是由以f（n）这一函数来决定的。
如：数列{1，3，5，7，9，…}，其中每一项a1，a2，a3，…与给定的n值有一一对应关系，且每一项满足f（n）=2n-1这一规律。
二、等差数列等差数列，又称等比数列，是一种特殊的数列，其满足一定的等差规律。
因此，设有等差数列{a1，a2，a3，…，an}，有a1，a2，a3，…，an两两相邻的差都是常数d，即a2-a1=a3-a2=…=dn-1-dn-2=d，此时称这个数列为等差数列，记作：{a1，a1+d，a1+2d，…，an}（n ∈N）。
在等差数列中，一组数的和可以用一个简便的公式来计算。
若设n个连续数之和为S，则S=n*an-（n-1）*d，其中d为等差数列中任意两个连续数之差，an为最后一项数值。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项之比是一个常数，叫做公比。
设有等比数列{a1，a2，a3，…，an}，满足公比q（q≠0），即a2/a1=a3/a2=…=q，则称这一数列为等比数列，记作：{a1，a1*q，a1*q^2，…，an}（n∈N）。
等比数列的求和公式为如下：若设等比数列的首项为a1，公比为q，有n项，则等比数列的和为：Sn= a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）。
高中数学专题——数列不等式专题
专题五 数列不等式专题【命题趋向】在历年高考中，往往把数列当作重要的内容来考查．在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中，关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”；在考查数列的综合问题时，对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想．在考查相关知识内容的基础上，高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上．使用选择题、填空题形式考查数列的试题，往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列知识，而是与其他内容相结合，体现对解决综合问题的考查力度．数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求，对合理区分出较高能力的考生起到重要作用．在高考试卷中一般有一个小题有针对性地考查数列的知识和方法，有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综合考查考查．由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法，分式不等式、带绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式等内容，高考对不等式的考查主要体现在其和其他知识的交汇考查上，重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结合，不等式与线性规划．高考试卷中一般有1-2个小题考查基本不等式的运用、简单的线性规划，在解答题中与其他知识交汇考查．【考点透析】数列的主要考点有：数列的概念及其表示，等差数列、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式，数列的简单应用等．不等式的主要考点有：不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单的线性规划，基本不等式及其应用．【例题解析】题型1 数列的一般问题例1．(2009江苏泰州期末6)若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=L ，，，，则数列{}n na 中数值最小的项是第项．分析：根据数列中n a 与n S 的关系求出n a 后解决． 解析：当1n =时，119a S ==-；当2n ≥时，22110(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-．可以统一为211n a n =-，故2211n na n n =-，该关于n 的二次函数的对称轴是114n =，考虑到n 为正整数，且对称轴离3n =较近，故数列{}n na 中数值最小的项是第3项．答案3．点评：数列问题中其通项公式、前n 项和公式都是关于正整数n 的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题．数列的一般问题中通项n a 与前n 项和n S 的关系是重点，要注意把1n =和2n ≥分开讨论，再看能不能统一．例2．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第13题）数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556L ， 若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ．分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的两项，分母为4的三项等，故这个数列的和可以分段求解．解析：112S =，31123232S +=+=，63123324S ++=+=，101234355S +++=+=，161234515562S ++++=+=，下面的和为12345637+++++=，这样2321102S =>，而221512345151515510272722S ++++=+=+<+=，故57k a =．答案57． 点评：本题中数列的前()12n n -的和是可以求出来的，但本题的目的不是这个．本题主要的考查目的就是观察、归纳和运算求解，在其中找到一项恰好满足某个限制条件，是一个设计很优秀的题目．题型2 等差数列与等比数列的基本问题例3（2008高考四川理16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________．分析：根据已知的不等关系，可以建立关于1,a d 的不等式组，通过这个不等式组探究解决的方法．解析：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4510,15S S ≥≤，∴4151434102545152S a d S a d ⨯⎧=+≥⎪⎪⎨⨯⎪=+≤⎪⎩ ， 即1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ ，∴()4141153533322323d d a a d d a a d a d d d -+⎧=+≥+≥⎪⎨⎪=+=++≤+⎩， ∴45332da d +≤≤+，5362d d +≤+， 1d ≤，∴43314a d ≤+≤+= 故4a 的最大值为4．点评：本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的灵活运用，解题的关键是基本量思想，即在不等式组1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩中，通过不等式建立起4a 的关于d 的不等关系，再通过这个不等关系求出d 的范围使问题获得解决的． 例4．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第4题）已知在等差数列{}n a 中,,4,1201-==d a 若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为 A ．60B ．62C ．70D ．72分析：根据n a 和n S 的关系，1(2)0n n n S a n S -≤≥⇔≤，根据求和公式列出不等式解决．解析：根据分析()()()211211204212612402n n n S n n n ---=-⨯-⨯=-+-≤，即263620n n -+≥，即()()1620n n --≥，即62n ≥．答案B ．点评：本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇，体现了在知识网络的交汇处设计试题的原则．题型3 等差数列、等比数列综合题 例5．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第16题）已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设*1423log ()n n b a n +=∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅．（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和n S ．分析：（1）直接计算：（2）根据等比数列的性质数列}{n b 为等差数列，这样数列}{n c 就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，用“错位相减法”解决．【解析】（1）由题意知，*1()()4n n a n =∈N ，又143log 2n n b a =-，故 *32()n b n n =-∈N ．（2）由（1）知，*1(),32()4n n n a b n n ==-∈N ，*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴．,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-Λ于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ，两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S Λ.)41()23(211+⨯+-=n n *2321()()334nn n S n +∴=-⨯∈N ．点评：“错位相减法”是最重要的数列求和方法之一，要熟练掌握．例6（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第20题）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (1) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)在(1)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a L L ，，，12(3)k n n n <<<<<L L 成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(3) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t +=∈N 成立，试求a 、b 的值．分析：（1）根据基本量方法，列出方程求出,a b 的值；（2）就是在一个等差数列中挑出 一个等比数列的子数列，根据数列中的项既是等差数列中的项又是等比数列中的项列方程解决；（3）根据给出的不等式和*,a b ∈N 的条件采用不等式限制的方法确定,a b 应满足的条件，根据这些条件探究问题的答案． 解析：（1）由1122,a b a b ==得：a ba b ab=⎧⎨+=⎩，解得：0a b ==或2a b ==，*,a b ∈N Q ， 2a b ∴==，从而2,2n n n a n b ==(2)由(1)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a L L ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ，又2k n k a n =，故1223k k n +=⋅，13k k n +∴=(Ⅲ) 由11223a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b -<， 而*,,a b a b∈<N ，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----， 2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =．又2(1)m a b m =+-Q ，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t --+=+ ①若1210n m --+=，则2t =-∉N ，不合题意； ②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12．点评：本题的难点在第三问，解答这个问题的基本思想是根据不等关系确定相等关系，即从不等式入手，根据,a b 为正整数且a b <首先确定了a 的值（这是解答这个题目的关键），然后采取分离的方法把b 用正整数,m n 和自然数t 表达出来，再结合问题的要求确定问题的答案． 题型3 递推数列例7．（2008高考陕西文20）已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）求数列{}nna 的前n 项和n S ． 分析：（1）根据递推式和等比数列的定义；（2）结合通项的具体特点和数列求和的常用方法，采用适当的方法解决． 解析：（1）Q 121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅，∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=，∴数列1{1}n a -是以为12首项，12为公比的等比数列．（2）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+． 设23123222n T =+++…2n n+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n+-++，② 由①-②得2111222n T =++ (111)11(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)2n n n ++=．∴数列{}n na 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==．点评：本题主要考查等比数列的概念和“错位相减”求和法．解题的关键是求出数列{}n a 的通项公式，由于有第一问为引导，这个问题对大多数考生困难不大．本题容易把1a 看成数列1{1}na -的首项求错数列{}n a 的通项公式，“错位相减”求和时“漏项”或“添项”，计算出错等． 题型4 数列的应用 例8．（北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．分析：通过简单计算就知道1255k k T T --⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个项组成一个周期为5的数列，数列{}n x 和{}n y 也是有规律的，归纳的方法解决．．解析：(1,2) (3, 402) T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)．一一带入计算得：数列{}n x 为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列{}n y 为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4……．因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)．点评：对于新定义型的试题，首先要把握好新定义的含义，这是解决问题的前提，把新定义弄清楚了，问题就是常规的了，在递推数列问题中，往往数列的前几项能给我带来归纳问题一般结论的启示，所以在解答这类问题时，要小心计算数列的前面几项，千万不要出错，不然数列的一般规律就被个别的错误数字所掩盖了． 题型5 数列与其他知识的交汇性的综合性解答题1．数列与不等式的交汇例9．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第20题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差10,1d a ≠=，且127,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的前n 项和公式n S ； （2）设221nn S b n =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：11642918(1)(9)nn n n b T b n n b -+-+>>+．分析：（1）利用基本量方法，通过方程求出等差数列{}n a 的公差；（2）数列{}n b 满足221nn S b n =-，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{}n b 极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．解析：（1）127,,a a a Q 成等比数列，2217a a a ∴=⋅，即2111()(6)a d a a d +=+又11,0,4a d d =≠∴=， 21(1)2(1)2.2n n n S na d n n n n n -∴=+=+-=-（2） 22(21)22121n n S n n b n n n -===--Q ． {}n b ∴是首项为2，公差为2的等差数列， 2(22)2n n n T n n +∴==+．2129182218(1)18n n T b n n n -∴-+=+--+222216362(816)42(4)44n n n n n =-+=-++=-+≥（当且仅当4n =时取“=”）．①21646426464644.9(9)(9)2(1)10961010n n b n n n b n n n n n n+⨯===≤=++⨯-+++++当且仅当9n n-即3n =时取“=”． ②又①②中等号不可能同时取到，11642918(1).(9)nn n n b T b n n b -+∴-+>>+点评：本题以等差数列与等比数列的基础知识入手设计，除了考查数列的基础知识外，重在考查对不等式的理解深度、证明不等式的基本方法，解题的不同思维走向决定了解题的“简繁”程度，如本题要是选择证明226421636109nn n n n -+≥++，不进行仔细分析，走证明()()222163610964n n n n n -+++≥的路子，问题虽然也能解决，但复杂程度可想而知．2．数列与函数、不等式的交汇 例10．（广东省潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第题）已知1122(,),(,)A x y B x y 是21()log 21x f x x =+-的图象上任意两点，设点1(,)2M b ， 且1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，若11()n n i i S f n -==∑，其中n *∈N ，且2n ≥．（1）求b 的值； （2）求n S ； （3）数列{}n a 中123a =，当2n ≥时，11(1)(1)n n n a S S +=++，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，求λ的取值范围使1(1)n n T S λ+<+对一切n *∈N 都成立．分析：（1）向量试说明M 是AB 的中点，根据中点坐标公式求解b 的值；（2）根据经验和第一问的结果，这是一个倒序相加求和的问题；（3）解析：（1）由 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，得点1(,)2M b 是AB 的中点，则1211()22x x +=， 故121x x =-，211x x =-， 所以12122212()()111(log log )222121f x f x x x b x x +==+++--121222*********(1log log )(1log )(10)2222x x x x x x x x =++=+⋅=+= （2）由（1）知当121x x +=时，1212()()1f x f x y y +=+=．又11121()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==+++∑L ， ∴121()()()n n n S f f f n n n--=+++L ，∴1122112[()()][()()][()()]n n n n S f f f f f f n n n n n n---=++++++L11111n n -=+++=-L 14243个12n n S -∴=（n N *∈，且2n ≥）． （3）()()14114112121122n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++++⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故当2n ≥时211111143344512n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 211424233222n n n n ⎛⎫=+-=-= ⎪+++⎝⎭，故由1(1)n n T S λ+<+得2222n n n λ+<+， 即()242nn λ>+，只要2max 4(2)n n λ⎡⎤>⎢⎥+⎣⎦，244414(2)824n n n n=≤=+++， 故当2n ≥时，12λ>； 当1n =是123T =，2312S +=，由2332λ<⨯得49λ>，而4192<． 故当12λ>时可以对一切n *∈N 不等式1(1)n n T S λ+<+都成立． 点评：数列是以正整数为自变量的函数，从函数入手设计数列试题是自然的．本题从函数图象的对称性出发构造了一个函数值的数列，再从这些已经解决的问题入手构造了一个裂项求和问题和一个不等式恒成立问题，试题设计逐步深入．解答数列求和时要注意起首项是不是可以融入整体，实际上本题得到的n T 对1n =也成立． 3．数列与导数、不等式的交汇例11（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题）已知函数()()ln 1f x x x =+-，数列{}n a 满足：()11111,ln 2ln 2n n n n n a a a a f a a +++=+=+． （1）求证：()ln 1x x +≤； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证不等式：()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+L ．分析：（1）构造函数、利用函数的单调性证明；（2）根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决；（3）根据（1）（2）的结果分析探究．解析：（1）()()ln 1f x x x =+-， ()1'111xf x x x=-=-++，当10x -<<时，()'0f x >，即()y f x =是单调递增函数；当0x >时，()'0f x <，即()y f x =是单调递减函数．所以()'00f =，即0x =是极大值点，也是最大值点()()()()ln 100ln 1f x x x f x x =+-≤=⇒+≤，当0x =时取到等号． （2）由()111ln 2ln n n n n n a a a f a a ++++=+得1121n n n a a a ++=+，112n na a +=-， 1111122n n n n a a a a +--=-=--，111111n n a a +=---， 即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，首项为1121a =--，公差为1-， ∴1111n n nn a a n =--⇒=-+． （3）1211111111211n a a a n +++=-+-++-+++L L 111231n n ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭L又∵0x >时，有()ln 1x x >+，令101x n =>+，则112ln 1ln 111n n n n +⎛⎫>+= ⎪+++⎝⎭∴11134512ln ln ln ln ln 2312341n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫-+++<-+++++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L L()3422lnln ln 2ln 22312n n n n n n n ++⎛⎫=-⨯⨯⨯=-=+-+ ⎪+⎝⎭L ∴()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+L ．点评：本题第一问的不等式及其类似的不等式是一类很重要的不等式，在各地的高考试题中已经出现过多次，对其在解决数列问题中的应用要多加体会和总结；第二问中的递推数列是形如()101nn n a a m ma +=≠+之类的递推数列的一个深化；第三问中的问题实际上就是和式111123n++++L 的估计问题，这也是一个经常用来命题试题的地方．题型6 不等关系与不等式、基本不等式及其应用 例12．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第3题）下列不等式不一定成立的是A ．),(,222R b a ab b a ∈≥+B ．),(,232R b a a a ∈>+C ．)0(,2|1|>>+x xxD ．),(,2222R b a b a b a ∈+≤+分析：根据基本不等式和不等式证明的基本方法逐个作出判断．解析：根据重要不等式A 中不等式成立；由于()2232120a a a +-=-+>，B 中的不等式恒成立；根据22222224222a b a b ab a ba b a b ++++++⎛⎫=≤⇒≤≤ ⎪⎝⎭，选项D 中的不等式恒成立；只有选项C 中的不等式当1x =时不成立．答案C ． 点评：注意12x x+≥．例13．（2008高考江苏卷11） 设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．分析：根据所给定等式可以把“三元”问题转化为“二元”问题，根据基本不等式解决．解析： 32x z y +=，故()223393344242x z y x z xz xz z x +==++≥=，当且仅当3x z =时取等号．答案3．点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的y ，通过对目标式的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的情景．题型7 一元二次不等式例14（2008年海南宁夏卷理6）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 A ．110,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 120,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 310,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 320,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭分析：三个不等式都能成立的x 第值必须同时满足三个不等式，三个不等式结构形式完全一样，解出一个后，其余的类比．解析： 2(1)1i a x -<即2220i i a x a x -<，即()20i i a x a x -<，由于0i a >，这个不等式可以化为20ix x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即20i x a <<，若对每个2i a 应最小，即i a 应最大，也即是120x a <<．答案A ． 点评：本题考查一元二次不等式的解法．本质上是一个不等式组()()()212223111111a x a x a x ⎧-<⎪⎪-<⎨⎪-<⎪⎩的解集．题型8 简单的线性规划例15．(2008高考山东卷理12)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)xy a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是 A ．[13]，B ．[210]，C ．[29]，D ．[109]，分析：画出不等式组所表示的平面区域后，根据函数图象与性质作出定量的解答． 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标是()()()3,8,2,10,1,9，结合图形检验可知当[]2,9a ∈时，符合题目要求．答案C ．点评：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、指数函数的图象等基础知识，数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，是一道在知识网络的交汇处设计的能力型试题．解题的关键是利用数形结合的思想，通过对指数函数图象的变化趋势找到a 的取值范围． 例16．（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第17题）在直角坐标系中，若不等式组02(1)1y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤--⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是 ．分析：区域边界两“静”一“动”，画出区域数形结合解决．解析：(),1-∞- 对于如图所示，对于直线(1)1y k x =--过点为()1,1-的直线当过原点为界和垂直时的范围内可构成三角形区域，因此k 的取值范围是(),1-∞-．点评：本题看似简单，实际上在考试中真正做对并不容易，两条定直线构成一个角形区域，但那条动直线当斜率为正和为负时，是很容易弄错的．【专题训练与高考预测】一、选择题1．在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期． 已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x x N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2009项的和2009S 为（ ）A ．669B ．670C ．1339D ．13402．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()(),01,-∞+∞U C ．[)3,+∞ D ．(][),13,-∞-+∞U3．数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122009111m a a a =+++L 的整数部分是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 4．使不等式230x x -<成立的必要不充分条件是（ ）A ．03x <<B ．04x <<C ．02x <<D ．0x <或3x > 5．已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有（ ）A ．0<mB ．10<<mC ．21<<mD ．2>m6．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ , 则对任意正整数,()m n m n > , 都成立的是（ ）A ．||2n m m na a ⋅-< B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->二、填空题7．已知数列{n a }、{n b }都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则2517228101216a a a ab b b b +++=+++ ．8．已知点(,)P a b 与点()1,0Q 在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法 （1）0132>+-b a （2）0≠a 时，ab有最小值，无最大值 （3）,M R +∃∈M >恒成立（4）且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b的取值范围为12(,)(,)33-∞-+∞U 其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）9．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．三、解答题10．已知数列(){}f n 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．（1）求数列(){}f n 通项公式；（2）若()11a f =，()()1*n n a f a n +=∈N ，求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和n T ．11．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成等比数列． （1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式； （3）求数列}{nn cn ca ⋅-的前n 项之和n T ． 12．数列{}n a 中，212,a t a t ==（0t >且1t ≠）．x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记12(1)n nb a =-，当2t =时，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使2008n S >的n 的最小值；（3）当2t =时，是否存在指数函数()g x ，使得对于任意的正整数n 有∑=+<++kk k k a a k g 1131)1)(1()(成立？若存在，求出满足条件的一个()g x ；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．解析：D 由已知311x a a =-=-，4112x a a a =--=-，由于周期为3，故121a -=，故1a =，这个数列是1,1,0,1,1,0,L，由于200966932=⨯+，故20096692111340S =⨯++=2．解析：D ∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞U 故选D ．3．解析：B 由已知可得11()(1)(1)n n n n n a a a a a ++-=--，故有111111n n n a a a +=---，故2009121m a =--，又()211n n n a a a +-=-，故1n na a +>，又223371224a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，2377211124416a ⎛⎫=-+=+> ⎪⎝⎭，故当3n ≥时2n a >，故200911a ->，20091011a <<-，故200911221m a <=-<-，故12200911112m a a a <=+++<L 的整数部分是1． 4．解析：B 由230x x -<，解得03x <<，要找的是03x <<的必要不充分条件． 5．解析：D 由0x y a <<<，得20xy a <<，又10<<a ，故2log log log log 2a a a a m x y xy a =+=>=．6．解析： C12sin(1)sin(2)sin ||||222n m n n mn n ma a ++++-=++⋅⋅⋅+12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+ 1112111111122||||||12222212n m n n m n m ++++-<++⋅⋅⋅+==--12n < ． 故应选C ．7．解析：531251722121111121222281012161211111212222221553122255a a a a a a a a a a S b b b b b b b b b b T ++++++======++++++． 8．解析：（3）（4） 点在直线两侧，则()()2312130102310a b a b -+⨯⨯-⨯+<⇒-+<．故（1）不正确；点P 所在的区域如图中的阴影部分，显然当点P 在y 轴两侧靠近y 轴时，ba可以无限大，也可以无限小，故（2）不正确；根据几何意义，对区域内的任意一点，都有2213a b +≥，故只要0,13M ⎛∈ ⎪⎝⎭即可，故（3）正确；如图根据几何意义，PA 的斜率大于直线2310x y -+=的斜率，小于AB 的斜率，点101130,,3013AB B k -⎛⎫==- ⎪-⎝⎭，故（4）正确．9．解析：1 如图，区域的三个顶点时,,A B C ，逐个代入检验知2z x y =+最小值是1．10．解析：（1）2n ≥时，1()21n n f n S S n -=-=+．1n =时，1(1)3f S ==，适合上式，∴1()21n n f n S S n -=-=+()*n ∈N ．（2）()113a f ==，()121*n n a a n +=+∈N ． 即112(1)n n a a ++=+．∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列．1111(1)22n n n a a -++=+⋅=，∴121n n a +=-()*n ∈N ．2312(222)24n n n T n n ++=+++-=--L ．11．解析： （1）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =． ∵0c ≠，∴2c =． （2）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，L L 1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，，． 当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=L ，，． （3）令nnn n n cn c a b )21)(1(-=⋅-=--- 1分 n n b b b b T Λ+++=321n n )21)(1()21(3)21(2)21(0432-++++=Λ……①143)21)(1()21)(2()21(2)21(021+-+-++++=n n n n n T Λ……② ①-②得：n n n n T 21)21(11---=-．12．解析：（1）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f ，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥，∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列， 2112121321()(1),(1),(1),(1)n n n n n n n a a t t t t t a a t t a a t t a a t t -+--∴-=-=-⋅∴-=--=-⋅-=-L L以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)n n a t n =≥，当1n =时，上式也成立，∴n n a t =（2）当2t =时，12(21)1222n n n n b --==- 2112112)2121211(212---=++++-=∴-n n n n n S Λ .21222)211(22n n n n ⋅+-=--= 由2008n S >，得1222()20082n n -+>，1()10052n n +>， 当1004n ≤时1()10052n n +<，当1005n ≥时1()15002n n +>， 因此n 的最小值为1005． （3）∵11111111()(1)(1)(21)(21)22121k k k k k k k a a +++==-++++++ 令()2k g k =，则有：11()11(1)(1)2121k k k k g k a a ++=-++++ 则11111()11(()(1)(1)2121nn k k k k k k g k a a ++==+=-++++∑∑ 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++…11113213n +=-<+，即存在函数()2x g x =满足条件．。
高三数列与不等式知识点
高三数列与不等式知识点在高中数学中，数列和不等式是数学学科中非常重要的知识点。
它们在解题过程中经常出现，具有广泛的应用价值。
本文将详细介绍高三数列与不等式的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、数列数列是按照一定顺序排序的一组数。
我们常见的数列包括等差数列、等比数列和递推数列等。
接下来将依次介绍这些数列的特点和求解方法。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。
对于等差数列，我们常常需要求其前n项和Sn。
求解方法有两种常见的方式：一种是利用求和公式，如果数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，则等差数列前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ + an) * n / 2另一种是利用递推关系式，通过依次累加求得：S₁ = a₁S₂ = a₁ + a₂S₃ = a₁ + a₂ + a₃...Sn = a₁ + a₂ + ... + an2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n - 1)等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)需要注意的是，当公比q为1时，等比数列将退化为等差数列。
3. 递推数列递推数列是一种通过前一项或前几项直接得到下一项的数列。
递推数列无法使用通项公式表示，但可以根据题目给出的递推关系式逐步求解。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推关系式为：Fn = Fn−1 + Fn−2其中，F₁ = 1，F₂ = 1为斐波那契数列的前两项。
二、不等式不等式是数学中用于表示数之间大小关系的一种符号组合。
常见的不等式包括一元一次不等式、二次不等式和绝对值不等式等。
下面将分别介绍这些不等式的解集表示法和求解方法。
数列与不等式
②
①×② 得
Tn2 (t1tn2 ) (t2tn1) (tn1t2 ) (tn2t1) ，
100n2 102(n2)
故 Tn 10n2 ，
所以 an lg Tn n 2, n 1.
第（Ⅱ）问：设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
an
n
4
2
-
n 1 =
4
1 4
，故数列 an 是等差数列
．
第（Ⅲ）问：令 bn
4 4an
1
,
Tn
b12 + b22 +…+ bn2 ,
Sn
32
16 , n
试比较Tn 与 S n 的大小．
解：（Ⅲ） bn
4 4an 1
4. n
故 Tn
b12
+
b22
+…+
bn2
=16（1+
1 22
+1 32
+…+ 1 n2
一、核心考点分析 二、典型问题精讲 三、本讲总结提升
一、核心考点分析
数列与不等式是高中数学的重要 内容之一，也是历年高考必考的重点 内容之一．核心考点是：数列通项与
前 n 项和的关系，等差数列和等比数
列的定义，等差数列和等比数列的通
项公式及前 n 项和的公式，不等式的
性质和证明，不等式的求解和应用．
例 2 等比数列 an 中， a1, a2 , a3 分别是下表第一、
二、三行中的某一个数，且 a1, a2 , a3 中的任何两个数不
在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行
3
数列与不等式
数列与不等式数列和不等式是数学中的两个重要概念，它们在不同的数学领域中都有广泛的应用。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而不等式则描述了两个数或者多个数之间的大小关系。
本文将介绍数列和不等式的基本定义和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的定义和性质数列就是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
一般来说，数列可以表示为$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$，其中$a_n$表示数列的第$n$个数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
如果数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
等差数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$2. 前$n$项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$3. 任意三项的中项：$a_n = \frac{a_k + a_m}{2}$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。
等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
如果数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 \cdotr^{(n-1)}$。
等比数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$2. 前$n$项和公式（当$r \neq 1$）：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$3. 任意三项的中项：$a_n^2 = a_k \cdot a_m$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。
二、不等式的定义和性质不等式是描述数之间大小关系的数学表达式。
一般来说，不等式可以表示为$x>y$、$x \geq y$、$x<y$、$x \leq y$、$x \neq y$等形式，其中$x$和$y$为实数。
数列不等式知识点
数列不等式知识点在数学中，不等式是一种比较数值大小关系的表示方法。
而数列不等式则是指涉及数列的不等式问题。
1. 数列的定义数列是由按照一定规律排列的一系列数所组成的集合。
数列通常用{a₀, a₁, a₂, a₃, ...}来表示，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ...是数列的项。
数列可以是有穷的，也可以是无穷的。
2. 数列不等式的基本概念数列不等式是指涉及数列的不等式问题。
其基本概念包括以下几点：- 第n项：数列中的第n个数，记作aₙ。
- 通项公式：数列中第n项的计算公式，记作aₙ = f(n)。
- 收敛：数列的项随着n的增大逐渐趋近于一个确定的数，称为收敛数列。
- 发散：数列的项没有趋近于一个确定的数，称为发散数列。
3. 数列不等式的解法解数列不等式的关键是找到数列的通项公式。
根据不等式的性质，我们可以采用以下几种方法求解数列不等式：- 猜想法：根据数列的观察和猜想，推导出数列的通项公式，然后通过数学推导求解不等式。
- 数学归纳法：通过数学归纳法证明数列不等式的正确性。
- 数列性质法：利用数列的性质和特点，推导出数列的通项公式，并进一步求解不等式。
4. 数列不等式的常见形式数列不等式有多种常见形式，包括以下几个方面：- 随机数列不等式：数列的项之间没有明确的规律，需要通过观察和推导来解决。
- 递推数列不等式：数列的项之间存在递推关系，可以通过递推公式和递推关系求解。
- 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和，可用于解决一些特殊的数列不等式问题。
5. 数列不等式的应用数列不等式在数学中有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：- 研究数列的收敛性和发散性。
- 证明数列的性质和特征。
- 解决数学中的一些优化问题，如求最大值、最小值等。
- 解决一些实际问题，如经济学中的消费模型、物理学中的运动模型等。
总之，数列不等式是数学中一个重要的研究方向，通过解决数列不等式可以培养我们的思维能力和数学分析能力。
数列与不等式的联系
数列与不等式的联系介绍：数列是数学中常见的一种序列。
它由一系列按特定规律排列的数字组成。
而不等式则是数学中用于比较大小关系的式子。
虽然数列和不等式在形式上看起来截然不同，但它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨数列与不等式之间的联系和应用。
一、数列与不等式的定义和特性1. 数列的定义：数列是按照规律排列的一组数字，通过一个公式或者递推关系来确定。
2. 不等式的定义：不等式是比较两个数的大小关系的数学式子，包括大于、大于等于、小于、小于等于等情况。
3. 数列的性质：数列可以有有限个或者无限个数，可以是递增的、递减的、定值的等情况。
4. 不等式的性质：不等式可以进行加减乘除运算，也可以进行取反或者平方等操作。
二、数列与不等式的联系1. 数列与不等式的关系：数列中的每个项都可以用不等式来表示。
例如，数列的第n项可以表示为an，而不等式可以表示为an > b，其中b为某个常数。
2. 数列的性质与不等式的性质：数列的性质可以通过不等式来描述。
例如，数列是递增的，意味着数列项之间的差值大于零，可以表示为an+1 - an > 0的不等式。
3. 不等式在数列求解中的应用：不等式可以用来求解数列的范围、极值等问题。
例如，通过解不等式an > 0，可以确定数列的正数项范围。
4. 数列在不等式求解中的应用：数列可以用来构造不等式，并通过解不等式来求解问题。
例如，通过构造数列an=n，可以解不等式n > 0，从而确定n为正数。
三、数列与不等式的实际应用1. 数列在金融领域的应用：金融领域中常常涉及到利率、贷款等问题。
利用数列可以模拟计算利率的变化和未来的贷款金额变化，而不等式可以应用于分析利率与还款能力之间的关系。
2. 不等式在几何学中的应用：几何学中常常涉及到图形的大小关系。
不等式可以用来表示两个图形的面积或者周长的大小关系，同时可通过解不等式来求解图形的范围。
3. 数列与不等式在经济学中的应用：经济学中涉及到供求关系、市场变动等问题，数列可以用来模拟这些变化趋势。
高三数学复习专题四数列与不等式
高三数学专题四（数列与不等式）第一讲递推公式与通项公式数列是高中数学很重要的内容之一，是高考的热点和重点。
数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推公式的 通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。
类型 1 （已归纳常见题型）(1) a 1.=a n ■ f (n)；(2) a n 1 =a n f (n) ； (3)a1 — pa n q ；(4)a n 1 = pa n • r q n ;(5)a n 1. =pa “ r p n ； (6)(a n 1 ■ q^ p (a n q)r ；(7) a n 2 = ' a n 1uanG u =1)类型 2 : af(n)ang(n)a nn(n)这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型（ 3）3nan丄（n > 2），求数列｛ a n ｝的通项公式.2a n 1亠n【解析】由已知，得丄=_? n -1a n 3n 3na n 丄至此可知：数列｛a n ｝的各项的值依次为0，- 3， ■■ 3，0，_ 3， ■. 3，0,……周而复始例1 •已知数列｛a n ｝满足a =?，且a12 '[n 口 2(n > 2). a n 1 3 n , . 1 n —1 m 设 a n 一3(訂」(n ‘2)，n _1 a n口 _±(n > 2)，3-1，二｛丄_门是首项为_!，公比为1的等比数列, a n3 3解得a n类型3:周期型这种类型与函数的周期性相类似，应推导对任意 n • N *有a n k =a n （k ・N *）例2•已知数列｛ a n ｝满足a ’=0，a（3（n 詁），则a 20 =（）n朽a n 北则k 为数列的周期c . 3【解析】选B.• a 1 二 0，口3 =0，1 1 n 1 -3 々■.这种类型一般通过构造方程，利用“不动点”知识处理.例3 •已知数列｛ a n ｝满足a’ =£，an *=2a n 46，求数列｛ a n ｝的通项公式.n 1a n 比【解析】设方程x -2x 6，则X 2 -x -6 =0= x =3或X - _2 x 比两式相除，得：务1 -3 a n 十 +24 a n +220 -：-3 =6 余 2类型4:an 1pa n q ra n sa n 1由（1 ）知S ’ =a 」.S 2=创a J 丄二2.由（*）可得s 3仝.由此猜想S n =丄，n =1,2,3, ■■-22 634 n -1下面用数学归纳法证明这个结论 ①n =1时已知结论成立.②假设n=k 时结论成立，即 S1 _ .即s .故n =k 出时结论也成立.kSk1_k 2又当n=1时，目丿二丄，所以｛a n ｝的通项a =一1一（n 乏N *）.2 1汇2 nn （n+1）•- a nX ，则 b n A —S n ，b,注a n2 4a 1 2 =2二 b n =Eq n 丄=2x(_：)n1 41314 U-)n13=2 (-；)口 Vn— 1-2 ( -^)4 3 (/)n 丄-(/严牙类型 5: a n -.-a n 1 =pn .q 或； 这种类型一般可转化为｛ a 2n J 与｛ a 2n ｝是等差或等比数列求解. a n a n 1 = p例 4. (1)在数列｛a n ｝中，q =1，a n1 =6n_a n ，求乱; v=3n ，求 a n .（2）在数列｛a n ｝中，耳=1 ,a n a n【解析】(1)v a n 亠a 1 =6n ，二 O n 1 ' a n 2 =6(n T)，两式相减，得 a, [n二｛ a 2n 1｝与｛ a 2n ｝均为公差为6的等差数列，易求得_pn —2a"3n_12_an=6 .(n 为奇数) (n 为偶数)（2）类似（1）的方法易求 a =』3nn —n32（n 为奇数） （n 为偶数）类型6:归纳猜想法例5•设数列｛务｝的前n 项和为S n ，且方程 （2 ）求｛a n ｝的通项公式.2Xa nx- a n=0 有一根为 & —1， n =1,2,3, (1)求 ^ ,爲；【解析】（1）当n=1时, x 2 —qx —a_, =0有一根为 S = =d —1，于是佝一1)2 —a^a t —1) —% =0.解得 a1 =丄2当n =2时, x 2（2）由题设①-1）2 -a当n > 2时，a n =£ 一S n 丄，代入上式得:-a 2X 一日2 =0有一根为S -12（日2 —1 ）「日2（日2 J ）「日2 =0，解得日2 =-2 2 6(*)当n =k 出时，则（*）得S k + = 2 -S综上，由①、②可S 二丄对所有正整数n 都成立.于是当n > 2时, nn 力a n-Snn -1 _ 1 n n(n •1)练习：1 •已知数列｛ a n｝中，a1 =4，3a n =3a“ 1- "2，则使a“a n2 ：：：0成立的n 是（D ）A. 21 或22B. 22 或23C. 22 D . 21学习必备64362已知f （x ）是定义在（0,；）上的增函数，对任意的X, y 有f （xy^f （x ） - f （y ）且f （ 6） -I ；定义数列 ｛ a n ｝满足：a 1 =a 2 =5， f （a n 讥一a n ） =f （a n 』1（n > 2,n ^N ），若｛ a n n a n ｝为等比数列.（1 ）求，的 所有值及｛耳｝的通项公式；（2）当k 为奇数时，求证：丄食;（3）求证：丄.丄.....丄a k ak -13 a 1 a2-3n _ (一 2J )I 丄 2n22 •若数列｛ a n ｝中，a 1 =3，且对任意的正整数m 、n 者有二 a m a n，则a n 等于A . 3n "B . 2 3n 13 •给定正整数n （ n >2）按下图方式构成三角 形数表：第一行依次写上数1, 2, 3, ......... , n ,在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两 个数之和，得到上面一行的数（比下一行少1个数）， 依次类推，最后一行（第 n 行）只有一个数，例如 n = 6时数表如图所示，则当n = 2009时最后一行的 数是（C ） A . 251 X 22009251 X 220083n204812112 28162011 56C . 2010 X 22007 2009 X 22007数列｛ a n ｝满足2anan丰=< an—11(0 < an ::-)若 1(-< a n :：：1) 2耳，则a 20的值是7设数列｛ a n ｝的前n 项和S n=^a ―1 X2n +£,n =1,2,3,，■”求数列｛ a n ｝的通项公式.(a “3 n 3 3=4 -2n )1 1<a n 2学习必备64362n 项和T en . 得 21°(S 30 -S 20) =S20 -^0 , ''+日20 , 得 2 q (日11 +日12 * …+日20 )=日11 *日12 + …*320 ,町-、) 1_ n =2^ 卍=_丄，nS n =n -12nT n =(1 2 亠亠n)-(--)牛扣2 — n ）甘寺一牙^弄例1 •设正项等比数列第二讲｝的首项a数列的通项与前n 项和（教师用）n项和为 S n ，且 210S 30 —(210 V)S 20 £10 =0.因为a n 0,所以210q 10 "，解得q 冷，因而"2 彳(n =1,2, ■■). （1）求｛a n ｝的通项;(2)求｛n &｝的前 （2）因为｛ a n ｝是首项a,4，公比qW 的等比数列，故S 则数列｛ nS, ｝31故a山乜心匚⑴b 「b)"1—2①—②得： T L =](1 • 2 .….n) _(]-丄学…2 2 2 2n1na 2， a 4， a 6， a 8，…是公比为2的等比数列，二a n =a 2 27- =2^ .n,n 为奇数，:• n.2jn 为偶数(2) b n =a 2n 丄 a 2n =(2 n —1) 2 ， /• S n =1 2 322 5 23…丁(2n _1) 2n ，2( =1 22 - 323 - 5 24 ………(2n _1) 2n 1两式相减，得： -S n =2 2 22 2 2^亠2 2n _(2n _1) 2n 1=2H 1 -2_(2n -1)2n 1=(3 -2n) 2n 1 —6，二 S n1-2⑵由*1必「3，氛一4二迪£，心寸0，由-1bn丁a n •21 1n n(n -1)2(^2n)刃 4~2即T_n(n⑴.1. n2 1 n_ 2 2^1刃 _2例 2 •已知数列｛a n ｝满足：a 1 =1，a 2 =2，2a . 2=[3 - (_1)n ]a^2[(-1)^1]，n ・ N *.a 6的值及数列｛ a n ｝的通项公式；(2 )设b n =a 2n【思路点拔】(1)先令n =1,2,3,4，再讨论n 的奇偶.(2)用错位相减法. 【解析】(1)(1)求 a 3，1 a2n，求数列｛ b n ｝的前n 项和S n .当 n 为奇数时，2a n*=2a n +4，二 a n* =a n +2， 二a.!， a 3， a 5， a 7，…是公差为 2 的等差数列， 二a n =n. 当n 为偶数时，2a n 2 =4a n ，二 耳2 =2a ，已3 二3， a 4 —4，已5 二5，已6 二8 ， 二数列｛a n ｝的通项公式为a ann -1=(2n —3) 26.例 3 •数列｛a n ｝满足 a, =1 且 8a n4a n _16a n ++2a n +5=0(n > 1)，记-——(n > 1). (° 求 b 1、b 2、 2、b 4的值;(2)求数列｛ b n ｝的通项公式及数列｛ a n b n ｝的前n 项和S【解析】方法一：(1 )由d _1 ，得：a 二丄 1，代入递推关系式b n=1n 一b n 2 a n -2a nb n 8a n i a n -16a n 彳• 2a n • 5 =0，整理得一4bb i =2，所以b 2 =8， b 3 =4， b 4320 3所以｛ b _4｝是首项为2，公比q =2的等比数列，故 n 3一 b n4J -2n ，3 3即 b n_1 _3例4 •已知各项均为正数的数列｛a n ｝满足：耳=3，且2an 1 _an =a n a n ’，n^N *. (1)求数列｛ a n ｝的通项公2an —a n +式;⑵设S n -a -a f亠a 2，T n =4，A•…丄，求S nT n ，并确定最小正整数n ，使S n T n 为整数.a 1 a 22 •数列｛a n ｝的前n 项和S n =q n -1(q >0且q 是常数)，某同学研究此数列后，得出如下三个结论：①方法二：’ a n “詐 设方程：x — _8x _16 三—，则 8x 2_14x 5 =0二 x =丄或 x 2 1 -6a n +3 an 1十 2 8a n -J6an 1 ■十41把久15， 两式相除得ai 1 一㊁8a n _16_1"21 二 5 a n41a ___ 令: cn _2 ，则: Cn5a n1 Cn -1Cn21 a1-2--------- -25 日1 ----1 an '2 5 a n ——4n 2 —ann2 +4, 8 . . , 20 b 2 ， G=4， b t332n -+5 a n bi3'S n 曲 g =1(1 2 2"丄) 5n 2n 5n -1 r --- = --------------- 3 32a n 1 - a n【解析】(1)条件化为a 1 _J n + a.所以a n -丄2 a n 3 —=2( a n1an・；2丄(n 三，因此｛a _丄｝为一个等比数列，其公比为2,首项为na n⑵由(1)有S n T n =佝一丄)2 G —丄)2… 何一I)2 2nai a 23i〈2)+,..,毛 2)(4 -n)in2N ：*，为使=61(4n _1) 2n 为整数，当且仅当 J 为整数. 当n =1，2时，显然S n +T ：不为整数，1 2 2 当 n > 3时，：4n -1 =(1，3)n -1 二C ： 3 9： 32 '33(C"'-彳弋；).：只需 Cn 3 Cn 3 丿 31 一1 为整数, n nnn 9 227V 3n _1与3互质，二n 为9的整数倍.当n=9时，n9T _13为整数，故n 的最小正整数为2 -9.练习：1•数列｛ a n ｝是公差不为零的等差数列，并且 a 13是等比数列｛b n ｝的相邻三项，若b 2 =5，则 b n 等于(D ) A . 5 (5)n 丄C .3 n _L 3 c )n53n学习必备2 2153 .对于实数x ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如】0.32] =0, [5.68] =5.若n 为正整数,列｛a n ｝的前n 项和，则s 3n 2= .引5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 1724 •某资料室在计算机使用中，如下表所示， 编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中，主对角线上数列1，2, 5，10，17,…的通项公式为 __________;编码100共出现 __________ 次.n 2-2n 2; 65.对正整数n ，设抛物线y 2 =2(2n +1)x ，过P(2n,0)任作直线I 交抛物线于 A n ， &两点，则数列｛OAl O B n ｝的前n 项和为n‘ 2(n +1)'-n(n T)n 都有 S + S2+ 亠 S n =丄S 成立.a 1 - 2 a 2 ： 2 a n ^2 4(1)求证：S JafSg N *)；⑵求数列｛S n ｝的通项公式;4 2证T n <1. (S n =n(n ・ 1)) 9.已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n =常-5 (瞬数 )，求数列｛ a n ｝的前n 项的和S n . 【解析】当n 为偶数2k(k 邛*)时，有S 2k =佝■日3亠亠a 2k 丄)■ (a ? ■日4亠Pk), .1 6 (1k A 1) 2 , 1 6(1 k A 1) =(k • & ( - 1) )6k —5k •15 152将k 』代入，得S ^3n _ _5n 芒n ，n 2 215当 n 为奇数 2k -1(k • N *)时，有瓦丄^S^「a2k=6k 2-5kJ6169 _42k =6k 2 -5k16 161715将k 工1代入得Sn 二3n2 +n —2丄军丄―16.11 1 1 1 1 123456 1 3 57 9 11 1 4 7 10 13 16 1 5 9 13 17 21 1611162126{a n }的通 (C )6.设各项均为正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S,，对于任意的正整数(3)记数列｛丄｝的前S 1n 项和为T n ，求项公式是a n =(q -1) q n1:②｛a n｝是等比数列；③当1时，S n S n 2 ：：：S；1.其中正确结论的个数是学习必备2215。
高考数学总复习------ 数列与不等式-推荐下载
1 2
或d
0
（舍去），所以数列 {an } 的前
n
例 2．等比数列an的前 n 项和为 sn ，且 4 a1 ，2 a2 ， a3 成等差数列．若 a1 =1，则
s4 =（ ）
（A）7
（B）8
（3）15
解析：4 a1 ，2 a2 ， a3 成等差数列， 4a1 a3 4a2 ，即 4a1 a1q2 4a1q ，
q2 4q 4 0 ，q 2, S4 15 ，因此选 C．
项和 Sn
点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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1 n2
5 3
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
（2 1 2n 1
1) 2n 1
4
课堂小结： 1、数列的单调性（最值）
(1)图像法 (2)做差法 2、数列不等式的证明
(1)寻求通项 (2)放缩法
1、已知数列an中, a1
1，其的前n项和为Sn，且满足an
2Sn2 (n 2Sn 1
2)
(1)求证：数列
cn
n 1 n
bn 1 n 1
bn
n
累乘得：
b1 1 b2 1 bn 1 2 3 n 1 n 1
b1
b2
bn
12
n
总结：
形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作
一个数列的积，先利用bn
f
f (n) (n 1)
求bn，再进一步
探究。
同理：形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作 一个数列的和，先利用bn f (n) f (n 1)求bn，再进一步探究。
r 1
a1 b r也适合上式
r 1
题型二：数列不等式的证明
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
证明：对任意的n N*,不等式 b1 1 b2 1 bn 1
b1
b2
bn
由(1)可知：b 2时：an 2n1
bn 1 2n 1
n 1 bn
2n
证明：对任意的n N *,不等式 b1 1 b2 1 bn 1 n 1
解(1)方法一 Sn bn r
解(1)方b1法二b2
a1
bn
b
r, a2
b2
b, a3
b3
b2
Sn1 bn1 r(n 2)
an为等比数列
an bn bn1(n 2)
a22 a1 a3
an 为等比数列
高三数学微专题
数列与不等式
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1、(1)已知数列an为递增数列且an n2 n 1，则的范围 3
方法一：
an1 an n 12 n 1 1 n2 n 1 2n 1 0恒成立
分参求最值：2n 1 恒成立
2n 1 3 min
3，即 3 方法二： 函数角度，二次函数的对称轴为n
1 Sn
为等差数列
(2)证明：当n
2时，S1
1 2
S2
1 3
n2
2
2n
n2
2n 2
1
1 2
Sn1
探究：用放缩法证明下列不等式
(1)证明：1 1 1 1 2
12 22 32
n2
11
11
n2
n(n 1)
n 1
n
(2)证明：112
1 22
1 32
1 n2
7 4
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(3)证明：112
1 22
1 32
bn 2n
解(2)设Tn
n 1则 Tn Tn1
令cn
n 1 (n 2) n
c1 T1 2也适合上式
n 1 (n 2) n
由(1)可知：b 2时：an 2n1 bn 2n
bn 1 n 1 2n 1 n 1 2n 1 2 n 1 n
bn
n 2n
n
2n
4n2 4n 1 4n2 4n 0 2n
但一定要注意定义域的特殊性。 2、做差，通过研究an an1 的正负，来判断最值。
题型二：数列不等式的证明
例1、等比数列an的前n项和为Sn ,已知对任意的n N *,点n, Sn 均在
函数y bx r(b 0且b 1,b、r均为常数)的图像上
(1)求r的值 r 1
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的
前n项和为Sn , 且bn log2 an (1)求bn , Sn an 22n1 bn 2n 1
Sn n2
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
a2 a1 10, a3 a2 40
例2、已知数列an 满足an
(n
2)
7 8
n，则an的最大项为
76 85
an1
an
(n
3)(7)n1 8
(n
2)
7 8
n
7 8
n
5 8
n
n 5时：an1 an即a6 a5
n 4时：an1 an ,即a5 a4 a3 a2 a1
n 6时：an1 an ,即a6 a7 a8 a9
前n项和为Sn , 且bn log2 an
(1)求bn , Sn
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
1 2
Sn1
n
12
2
法二：放缩法
cncn1
n(n 1)
n2 n
n2 n 1 n 1
4
2
c1c2 c2c3 cncn1
3 2
5 2
2n 1 2
巩固训练：
4 已知数列an 满足an
n(n
4)
2 3
n
，则an最大时n
an1
an
2 3
n
10 3
n2
n 3时：an1 an ,即a4 a3 a2 a1 n 4时：an1 an ,即a4 a5 a6 a
总结： 数列的单调性（最值）问题解决方案常用两种方法： 1、转化为研究常见函数的单调性问题，
2
3 ,即 3
22
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1(2)已知数列an为递减数列且an
n 2 n
, 则的范围
1
2
an
2 2 n
1
2
2
0
题型一：数列的单调性（最值）问题
(3)已知数列an满足an
n2
n
90
，当an取最大值时n
9或10
an
n
1 90
n
9 90 10
a9 a10
a3 a2 a2 a1
4
q, a1
2
cn n, cncn1 n n 1
解(2)
1 2
Sn1
n
12
2
设Tn
1 2
(n
1) 2
则dn
Tn
Tn1
2n 1(n 2
2)
d1 T1 2不适合上式
2
dn
2n
1
2
(n 1) (n 2)
cn
bn 1 2
n
当n 1时：c1c2 2 d1 2成立
当n 2时：cncn1 dn
n(n 1) 2n 1 2
n2 n n2 n 1 0 4
2n 1 cncn1 2
累加得：c1c2 c2c3 cncn1
2
5 2
7 2
2n 1 2Βιβλιοθήκη (n 1)2 21 2
S
n1
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的