【全国百强校】河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2016-2017年河北省衡水市深州中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年河北省衡水市深州中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，函数f（x）＝的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，2]2．（5分）已知且，则sin（等于（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（1，4）上单调递减的为（）A．y＝3x4﹣2x B．y＝3|x|C．y＝e x﹣e﹣x D．4．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝（）A．13B．C．37D．5．（5分）某公司为对本公司的160名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为1，2，3，…，159，160，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）A．141B．142C．149D．1506．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．37．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣88．（5分）已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．9．（5分）如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．直线x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin2x 11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，在[0，上随机取一个数a，则f（a）＞0的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数f（x）＝3x+9x，则f（log32）＝．14．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若＝+，则||＝．15．（5分）一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A＝4，AB＝AC＝2，BC＝6，P A⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的周期，并写出其单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值与最小值．18．（12分）2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数；（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．20．（12分）已知向量＝，＝，且（1）求及||（2）若f（x）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2＝b2+3ac （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝2，且sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．2016-2017学年河北省衡水市深州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，函数f（x）＝的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，2]【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：B＝{x|x≤2}⇒A∩B＝（0，+∞）∩（﹣∞，2]＝（0，2]，故选：D．2．（5分）已知且，则sin（等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵且，∴sinα＝＝，∴sin（＝sinα+cosα＝×（﹣）＝﹣．故选：B．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（1，4）上单调递减的为（）A．y＝3x4﹣2x B．y＝3|x|C．y＝e x﹣e﹣x D．【考点】2K：命题的真假判断与应用；3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：y＝3x4﹣2x为非奇非偶函数，排除A；y＝3|x|是偶函数但在（1，4）上单调递增，排除B，y＝e x﹣e﹣x为奇函数，排除C，，是偶函数，又在（1，4）上单调递减，正确；故选：D．4．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝（）A．13B．C．37D．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝＝＝故选：B．5．（5分）某公司为对本公司的160名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为1，2，3，…，159，160，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）A．141B．142C．149D．150【考点】B4：系统抽样方法．【解答】解：根据系统抽样原理，抽取数据的间距为21﹣5＝16，共有＝10组，最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是9×16+5＝149．故选：C．6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3【考点】J7：圆的切线方程．【解答】解：切线长的最小值是当直线y＝x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d＝，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：C．7．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣8【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i＝0，x＝1，y＝1，不满足条件i＞3，y＝2，x＝﹣1，i＝1，不满足条件i＞3，y＝1，x＝﹣2，i＝2，不满足条件i＞3，y＝﹣1，x＝﹣1，i＝3，不满足条件i＞3，y＝﹣2，x＝1，i＝4，满足条件i＞3，退出循环，输出x+y的值为﹣1．故选：B．8．（5分）已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα＝cosα+sinα＝sin（α+）＝，∴sin（α+）＝，则sin（α+）＝﹣sin（α+）＝﹣，故选：B．9．（5分）如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为边长为1的正方形的四棱锥，高为1，所以它的体积，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．直线x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin2x 【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，图象的一条对称轴方程为x＝＝，一个对称中心为为（，0），∴＝＝，∴T＝，∴ω＝2，代入（，2）可得2＝2sin（2×+φ），∵|φ|＜π，∴φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得g（x）＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin2x，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，在[0，上随机取一个数a，则f（a）＞0的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【解答】解：由f（x）＝2sin（2x）﹣1，且f（a）＞0，得2sin（2a）﹣1＞0，即sin（2a），∵x∈[0，，∴x∈（，]，则在[0，上随机取一个数a，使f（a）＞0的概率是．故选：A．12．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数f（x）＝3x+9x，则f（log32）＝6．【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+9x，∴f（log32）＝＝2+＝2+4＝6．故答案为：6．14．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若＝+，则||＝1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵，且，的夹角为，∴．则||＝||＝＝．故答案为：1．15．（5分）一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，基本事件总数n＝4×4＝16，方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），共3个，∴方程为“漂亮方程”的概率p＝．故答案为：．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A＝4，AB＝AC＝2，BC＝6，P A⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【解答】解：设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，∵底面△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝6，∴cos∠BAC＝＝﹣∴sin∠BAC＝∴由正弦定理，得：2r＝＝4，解得r＝2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理得R2＝d2+（2）2＝（2）2+（4﹣d）2，∴d＝2，R＝4，∴此三棱锥的外接球的半径为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的周期，并写出其单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值与最小值．【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【解答】解：（1）函数．化简可得：＝＝＝，即函数的周期T＝．由2kπ+得k∴f（x）的单调递减区间为．﹣（2）当x时，2x+，∴≤sin（2x+）≤1．故f（x）取得最大值；f（x）取得最小值．18．（12分）2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数；（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）由频率分上方图得：这40名学生中数学成绩不低于120分的学生所占频率为：（0.025+0.010）×10＝0.35，∴这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数为40×0.35＝14人﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为m1＝0.005×10×40＝2（人），成绩在[90，100）的人数为m2＝0.010×10×40＝4（人），设成绩在[80，90）的学生记为a，b，成绩在[90，100）的学生记为c，d，e，f．则从成绩在[80，100）内的学生中任取2人组成的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（d，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）其中成绩在[80，90）的学生至少有一人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共9种．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴成绩在[80，90）的学生至少有一人的概率为p＝＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．【考点】LS：直线与平面平行；L Y：平面与平面垂直．【解答】证明：（1）记A1B∩AB1＝O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．20．（12分）已知向量＝，＝，且（1）求及||（2）若f（x）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HW：三角函数的最值．【解答】解：（1）由题意可得＝cos cos﹣sin sin＝cos2x，∵＝（cos+cos，sin﹣sin），∴||＝＝＝＝2|cos x|，由且，可得||＝2cos x．（2）若f（x）＝﹣2λ||＝cos2x﹣4λcos x＝2cos2x﹣4λcos x﹣1＝2（cos x﹣λ）2﹣1﹣2λ2的最小值为，∵，∴cos x∈[0，1]，①当0≤λ≤1时，则当cos x＝λ时，函数f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2＝﹣，求得λ＝．②当λ＞1 时，当cos x＝1时，函数f（x）取得最小值为1﹣4λ＝﹣，解得λ＝（舍去），综上可得λ＝．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2＝b2+3ac （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝2，且sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（Ⅰ）把（a+c）2＝b2+3ac整理得，a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理有cos B＝＝＝，∵B为三角形内角，∴B＝；（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C＝π，即B＝π﹣（A+C），∴sin B＝sin（A+C），由已知sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A可得：sin（A+C）+sin（C﹣A）＝4sin A cos A，∴sin A cos C+cos A sin C+sin C cos A﹣cos C sin A＝4sin A cos A，整理得：cos A sin C＝2sin A cos A，若cos A＝0，则A＝，于是由b＝2，可得c＝＝，此时△ABC的面积为S＝bc＝；若cos A≠0，则sin C＝2sin A，由正弦定理可知，c＝2a，代入a2+c2﹣b2＝ac整理可得：3a2＝4，解得：a＝，进而c＝，此时△ABC的面积S＝ac sin B＝，∴综上所述，△ABC的面积为．22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3＝0知（x+1）2+（y﹣2）2＝2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则＝，所以k＝2±，即切线方程为y＝（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则＝，所以a＝﹣1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0．综上知，切线方程为y＝（2±）x或x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3＝0时，即直线PO的方程为2x+y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．。
优质：河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题(解析版)
1．B 【解析】过()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的斜率2222232322321m m m mk m m m m m ----==+-+++-， ∵直线l 倾斜角为45∘，∴2232121m mm m --=+-，解得m =−1或m =−2，当m =−1时，A ，B 重合，舍去， ∴m =−2．故选：B ．4．A 【解析】由等差数列的性质可得11212121a a d +--=，即11a =，又()()231615a a a -=+，则2456d d =+，解之得32,4d d ==-（设去），所以(){}11n n a --的前21项和为 ()()()21132432120110221S a a a a a a a =+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯=，应选答案A ．5．C 【解析】由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a ，则直三棱柱的体积=12×a ×a ×a =12a 3 鳖臑的体积=13×12×a ×a ×a =16a 3，阳马的体积=12a 3−16a 3=13a 3， ∴阳马与鳖臑的体积之比为2:1，故选C ．6．B 【解析】圆心()1,6C 不在直线1y x =+上． 由圆的性质，两条切线1l 、2l 关于直线CP 对称，又由已知，两条切线1l 、2l 关于直线l ： 1y x =+对称，所以， CP l ⊥，由点到直线距离可得=2CP ，故选B ．7．A 【解析】函数()f x x α=的图象过点(4，2)，可得42α=，解得12α=，()12f x x =，则()()11n a f n f n ===++．则2017120181S =-++-=-，故选A ．8．A 【解析】由图中数据可得： 1S 22π=⨯⨯=圆锥侧，S 212ππ=⨯⨯=圆柱侧 ，S底面=π×12=π．所以几何体的表面积为(S 3π=+表面积．故答案为： (3π+．故选A ．9．D 【解析】由题意可知曲线1C ： 2220x y x +-=表示一个圆，化为标准方程得：(x −1)2+y 2=1， 所以圆心坐标为(1，0)，半径r =1；2C ： 20mx xy mx -+=表示两条直线y =0和y −mx −m =0， 由直线y −mx −m =0可知：此直线过定点(−1，0)，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y −mx −m =0与圆相切时，圆心到直线的距离1dr ===，化简得： 21,3m m ==．则直线y −mx −m=0与圆相交时，m ∈⎛⎫⎛⋃ ⎪⎪ ⎝⎭⎝，故选：D ． 故选：B ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ． 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．12．C 【解析】①因为点AC 平面11BB C C ，所以直线AC 与直线1C E 是异面直线；②111A EA E AB ⊥时，直线1A E ⊥平面1111,AB C A E AC ∴⊥，错误；③球心O 是直线11,AC AC 的交点，底面1OAA 面积不变，直线1BB 平面1AAO ，所以点E 到底面距离不变，体积为定值；④将距形11AA B B 和距形11BB C C 展开到一个面内，当点E 为1AC 与1BB 交点时， 1AE EC +取得最小值C ． 13．【解析】两条直线平行即斜率相等，所以，即，直线化简为，所以距离，故答案为点睛：已知直线和直线平行，则有且，切记不要了遗忘了这个条件；两条平形直线的距离公式为，在利用公式时注意先将两条直线、的系数化成相同．14【解析】由题得：设AC 与BD 交于点O ，连接1B O ，则1B OC α∠=，又可知11B O B C ===，所以190B OC α︒∠==，过点O 做OH 垂直BC 交BC 于H ，连接 1B H ，所以1OB H β∠=，所以()1cos sin OH OB αββ-====点睛：根据题意先分析线线角通过计算求出90α︒=，然后根据线面角得定义作出β然后根据直接三角形求出sin β，要注意多分析题目条件16．4,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】∵数列{}n a 满足： 11a =， 12n n n a a a +=+（*n N ∈）， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴数列{11n a +}是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n na +=， ∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-⋅+=-⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列， ∴b n +1>b n ，∴(n −2λ)⋅2n >(n −1−2λ)⋅2n −1， 解得λ<1， 但是当n =1时， b 2>b 1，∵132b λ=-，∴(1−2λ)⋅2>32-λ， 解得λ<45， 故选：A ．点睛：数列单调性的研究一般有两个方法：定义法和函数法．定义法即为利用定义得出相邻两项的不等关系，化简为恒成立问题求参；函数法即为利用数列为函数上离散的点，借助函数的单调性研究数列即可，但是需注意数列的不连续性与函数有所区别． 17．【解析】试题解析：（1）因为AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为3-，又因为()1,1T -在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320x y ++=． （2）由360{320x y x y --=++=解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ，所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心， 又AM ==从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=．【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 18．【解析】试题分析：（1）求出两圆圆心和半径，两圆外切，圆心距等于两半径和，由此解得4m =；（2）点A 坐标为()2,0，点B 坐标为()0,2，设P 点坐标为()00,x y ，由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，由此得到四边形面积的表达式，化简得4S =．由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 四边形ABNM 的面积00002211222222x y S AN BM y x ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()2000000000042242242211222222y x y x x y y x y x ------=⋅⋅=⋅----， 有P 点在圆1C 上，有22004x y +=， ∴四边形ABNM 的面积()()()0000004422422x y x y S y x --+==--，即四边形ABNM 的面积为定值4．【方法点晴】设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >)．(1)两圆相离：无公共点； d R r >+，方程组无解．(2)两圆外切：有一个公共点； d R r =+，方程组有一组不同的解．(3)两圆相交：有两个公共点； R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解．(4)两圆内切：有一公共点； d R r =-，方程组有一组不同的解．(5)两圆内含：无公共点； 0d R r ≤<-，方程组无解．特别地，0d =时，为两个同心圆．19．【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，通过证明线面垂直即可，根据{CD ADPAD ABCD ⊥⊥面面 CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，结合题目条件即可得AP ⊥平面PCD ，（2）由（1）AB ⊥面PAD ，所以AB 为几何体高，所以1132B PAD V AB PA PD -=⋅⋅ 113AB =⇒=，然后建立空间直接坐标系，写出两个 平面得法向量，利用向量夹角公式求解即可（2）{ABCD PCD CDBA PCD⋂=平面平面平面 BA CD ⇒，由（1）知AB ⊥面PAD1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅ 113AB =⇒=， 取AD 中点O ， PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ， PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =．()1,1,1PB =-， ()2,1,1PC =--．0{0n PB n PC ⋅=⋅= 0{20x y z x y z +-=⇒--=，取2x =， ()2,1,3n =． cos ,m n 〈〉=14m n m n ⋅=，故所求二面角的余弦值为．20．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用1n n n a S S -=-即可求得121n n a a -=+，从而可以得到()1121n n a a -+=+即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）利用等比数列通项公式可得11222n n n a -+=⨯=进而得n a ； （Ⅲ）由11111112121n n n n n n b a a a +++=+=---，利用裂项相消求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ），知当2n ≥时， ()1121n n a a -+=+， 又因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．所以11222n n n a -+=⨯=， ∴21n n a =-（*n N ∈）．（Ⅲ）由（Ⅱ），知111111n n n n n n n a b a a a a a ++++=+= ()()122121n n n +=-- 1112121n n +=---， 则2233411111111111121212121212121212121n n n n n T -+=-+-+-+⋯+-+----------- 11121n +=--（*n N ∈）．21．【解析】试题解析:（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ， 故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥， 1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得()0,0,0A ，()C ，()1C ， ()0,0,1B ， ()12,0,1B ，()2D ，所以()12,0,0BB =，()BD =，即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =． 设BP BC λ=， []0,1λ∈，则(),1P λ-，()1DP λ=---． 若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则cos ,24n DP n DP n DP⋅===⋅[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．22．【解析】 试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项1a 和公比q 表示出已知条件并解出，可得通项公式； （Ⅱ）由n nn b a =，因此用错位相减法可求得其前n 项和n S ，对不等式()112n n n n S a ++>-按n 的奇偶分类，可求得参数a 的取值范围．（Ⅱ）解： 12n n n b += ∴23411232222n n n S +=++++ 12n S = 34121212222n n n n ++-++++ ∴2341211111222222n n n n S ++=+++- ∴12311111+22222n n n n S +=++-=1111122211222n n n n n +++-+-=- ∴()1112n n a -⋅<-对任意正整数n 恒成立，设()112n f n =-，易知()f n 单调递增． n 为奇数时， ()f n 的最小值为12，∴12a -<得12a >-， n 为偶数时， ()f n 的最小值为34，∴34a <， 综上， 1324a -<<，即实数a 的取值范围是13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学(文)试题版答案
2016～2017学年度第二学期高三年级二调考试一、选择题ABCCD ADDCB CD二、填空题5 2- 4 191622=+y x . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 解：（1）当日需求量n ≥20时，利润y=1000；当日需求量n ＜20时，利润y=50n ﹣20（20﹣n ）=70n ﹣400；（4分） ∴利润y 关于当天需求量n 的函数解析式y=（n ∈N *）（2）（i ）这100天的日利润的平均数为=937；（9分）（ii ）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19个，故当天的利润不少于900元的概率为P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）19. （本题满分12分）（1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE BB ⊥，因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥，因为,AB AC OB OC ==，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又2211,5AO AB BO AA =-==，得2155AO AE AA ==．．．．．．．．5分 （2）由已知可得11ABB A Y 的高2212262()55h =+=，11BCC B Y 的高222215h =+=⇒2S =⨯侧()265454565⨯+⨯=+．．．．．．．12分 20. （Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分 21.若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0，3a -）单调递减，在（3a -，1）单调递增，故当x =3a-时，()f x 取的最小值，最小值为()3a f -=21334aa -+. ①若()3af -＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点. ②若()3af -=0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点； ③若()3af -＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分故)max3+12+4t t-=.。
优质：河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题(考试版)
绝密★启用前2016-2017学年度河北省衡水中学高一下学期期末理科试题考试范围：必修2、必修5；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，梯度设置合理．试题常规，无偏难、怪题目出现，符合高考大纲命题要求，充分体现通性通法在试卷中的运用，其中直线与圆的考查有第1，2，3，6，13，15，17，18，立体几何注重考查基础，如第5，8，12等，同时解答题为常规证明题，突出考查基础证明能力及计算能力，数列考查题目难度中等，本卷适合高一必修2，必修5复习使用． 一、选择题1．若过不重合的()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的倾斜角为45︒，则m 的取值为（ ）A ． 1-B ． 2-C ． 1-或2-D ． 1或2-2．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A -与点()1,2,3B ---关于（ ）对称 A ． 原点 B ． x 轴 C ． y 轴 D ． z 轴 3．方程()2240x x y +-=与()222240x x y ++-=表示的曲线是（ ）A ． 都表示一条直线和一个圆B ． 都表示两个点C ． 前者是两个点，后者是一直线和一个圆D ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点4．在公差大于0的等差数列{}n a 中， 71321a a -=，且1a ， 31a -， 65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为（ ）A ． 21B ． 21-C ． 441D ． 441-5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体；第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱；第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（ ）A ． 1:2B ． 1:1C ． 2:1D ． 3:1 6．过直线1y x =+上的点P 作圆C ： ()()22162x y -+-=的两条切线1l ， 2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则PC =（ ）A ． 1B ．C ．1 D ． 27．已知函数()f x x α=的图象过点()4,2，令()()11n a f n f n =++（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ）A．1- B ．1+ C ．1+D ．1-8．如图，直角梯形ABCD 中， AD DC ⊥， //AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）A ．3π+ B ．3π+ C ． 6π+ D ． 6π9．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ： 20mx xy mx -+=有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎛⎝ B ． ,⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎪⎝⎭C ． ()(),00,-∞⋃+∞D ． ⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 10．三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1161n n n n a S nS S +++=-+， 1a m =，现有如下说法：①25a =；②当n 为奇数时， 33n a n m =+-；③224232n a a a n n ++⋯+=+． 则上述说法正确的个数为（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 12．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =， 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB上的一个动点．有下列判断：①直线AC 与直线1C E是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ；③三棱锥1E AAO -的体积为定值；④1AE EC +的最小值为 其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 二、填空题 13．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为______．14．如图所示，在正方体1AC 中， 2AB =， 1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-=__________．15．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ， B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D 两点，若AB =则CD =__________． 16．已知数列{}n a 满足11a =， 12nn n a a a +=+（*n N ∈），若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭（*n N ∈），132b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是____．三、解答题17．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ， AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在的直线上．（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程； （Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程．18．若圆1C ：22x y m +=与圆2C ： 2268160x y x y +--+=外切． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ， P 为第三象限内一点，且点P 在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中， //BA 平面PCD ，平面PAD ⊥平面ABCDCD AD ⊥， APD ∆为等腰直角三角形，PA PD ===． （Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n n S na +=（*n N ∈）． （Ⅰ）若数列{}n a t +是等比数列，求t 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21．如图，由三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中， 1CC ⊥平面ABC ， 90BAC ∠=︒，112AB BC BB ===，1C D CD ==，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为棱1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由． 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1320a a +=， 28a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =， n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n ，不等式()112nn n n S a ++>-⋅恒成立，求实数a 的取值范围．。
2016-2017年河北省衡水市冀州中学高一(下)期末数学试卷(文科)(a卷)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a7+a9＝16，则a8的值是（）A．16B．8C．7D．42．（5分）已知sin（+a）＝，则cos2a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝an2+4n+a﹣4（a∈R），则实数a的值为（）A．0B．2C．3D．44．（5分）已知向量＝（﹣2，0），＝（1，1），则下列结论正确的是（）A．•＝2B．∥C．||＝||D．⊥（+）5．（5分）为了得到函数y＝sin x+cos x的图象，可以将函数y＝sin x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6．（5分）非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．60°B．90°C．120°D．135°7．（5分）过点P（1，1）（且倾斜角为45°的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2所截的弦长是（）A．B．C．D．8．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a4＝8，则公比q等于（）A．2B．﹣2C．D．﹣9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么角A：B：C的比值为（）A．1：1：3B．1：2：3C．1：3：2D．1：4：110．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．16D．811．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数12．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝（1﹣λ），则•的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，]二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2＝ab，则∠C＝．14．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）的值是．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若S10＝10，S30＝60，则S40＝．16．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知向量＝（2，﹣），＝（sinθ，1），且θ∈（0，），若⊥（1）求θ的值；（2）求cos（+）的值．18．（12分）等差数列{a n}满足a3＝10，a5＝4．数列的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S10．（3）求前n项和S n的最大值．19．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值及所对应的x值．20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝1，AD＝2，AA1＝．（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；（2）试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a7+a9＝16，则a8的值是（）A．16B．8C．7D．4【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：由等差数列的性质可知，a7+a9＝2a8＝16∴a8＝8故选：B．2．（5分）已知sin（+a）＝，则cos2a的值为（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．【解答】解：sin（+a）＝cosα＝，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣1＝﹣．故选：D．3．（5分）已知等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝an2+4n+a﹣4（a∈R），则实数a的值为（）A．0B．2C．3D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：∵等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，则S n＝an2+4n+a﹣4⇔S n＝an2+4n，因此必有a﹣4＝0．解得a＝4．故选：D．4．（5分）已知向量＝（﹣2，0），＝（1，1），则下列结论正确的是（）A．•＝2B．∥C．||＝||D．⊥（+）【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：根据题意，向量＝（﹣2，0），＝（1，1），依次分析选项：对于A、•＝（﹣2）×1+0×1＝﹣2，故A错误；对于B、＝（﹣2，0），＝（1，1），与不共线，故B错误；对于C、＝（﹣2，0），则||＝2，＝（1，1），||＝，||≠||，故C错误；对于D、＝（﹣2，0），＝（1，1），+＝（﹣1，1），•（+）＝0，故⊥（+），D正确；故选：D．5．（5分）为了得到函数y＝sin x+cos x的图象，可以将函数y＝sin x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵y＝sin x+cos x＝sin（x+），∴将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，即可得到函数y＝sin x+cos x＝sin（x+）的图象．故选：D．6．（5分）非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．60°B．90°C．120°D．135°【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵⊥，∴（）＝0，即+＝0，∴＝﹣4．∴cos＜＞＝＝＝﹣．∴＜＞＝120°．故选：C．7．（5分）过点P（1，1）（且倾斜角为45°的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2所截的弦长是（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：过点P（1，1）且倾斜角为45°的直线方程为：y﹣1＝x﹣1，即y＝x，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2的圆心C（2，1），半径r＝，圆心C（2，1）到直线y＝x的距离d＝＝，∴弦长为：2＝2＝．故选：C．8．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a4＝8，则公比q等于（）A．2B．﹣2C．D．﹣【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：q3＝＝8，解得q＝2．故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么角A：B：C的比值为（）A．1：1：3B．1：2：3C．1：3：2D．1：4：1【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，可得：B＝60°，C＝180°﹣A ﹣B＝90°，∴A：B：C＝30°：60°：90°＝1：2：3．故选：B．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．16D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由已知得到几何体的平放的三棱柱，其中底面为直角三角形，底面的直角边分别为2，4 的直角三角形，高为2，如图所以体积为＝8；故选：D．11．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数【考点】2K：命题的真假判断与应用；HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：由对称轴x＝kπ+k∈Z，A不正确，（，0）代入函数表达式对B选项检验知命题错；C平移后解析式为f（x）＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos2x，故其为偶函数，命题正确；D．由于x∈[0，]时2x+∈[，]，此时函数在区间内不单调，不正确．故选：C．12．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝（1﹣λ），则•的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，]【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，∵AB＝2，AD＝DC＝1，∴A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），∵＝λ，＝（1﹣λ），∴．∴•＝（）•（）＝（）•（）＝＝+＝＝2λ+﹣2λ2＝﹣λ2+3λ．∵0≤λ≤1，∴•＝﹣λ2+3λ∈[0，2]．故选：B．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2＝ab，则∠C＝．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝．故答案为：14．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）的值是．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：因为tan（α+β）＝，，所以tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝．故答案为：．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若S10＝10，S30＝60，则S40＝100．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：由S10＝10，S30＝60，可得：10a1+d＝10，30a1+d＝60，解得：a1＝，d＝．则S40＝+＝100．故答案为：100．16．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+…+2+1＝．当n＝1时，上式也成立，∴a n＝．∴＝2．∴数列{}的前n项的和S n＝＝＝．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知向量＝（2，﹣），＝（sinθ，1），且θ∈（0，），若⊥（1）求θ的值；（2）求cos（+）的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：（1）向量＝（2，﹣），＝（sinθ，1），∵⊥∴2sinθ﹣＝0，即：sinθ＝∵θ∈（0，）∴θ＝．（2）cos（+）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝．18．（12分）等差数列{a n}满足a3＝10，a5＝4．数列的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S10．（3）求前n项和S n的最大值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【解答】解：（1）由a3＝10，a5＝4．可得a1+2d＝10，a1+4d＝4．解得d＝﹣3，a1＝16．∴a n＝16﹣3（n﹣1）＝﹣3n+19．（2）S10＝＝25．（3）令a n＝﹣3n+19≥0，解得n＝6+．∴前n项和S n的最大值＝S6＝＝51．19．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值及所对应的x值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【解答】解：函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x．化简可得：f（x）＝（cos2x﹣sin2x﹣（cos2x）＝cos2x﹣sin2x＝2cos （2x+）∴函数f（x）的最小正周期T＝．令2x+＝kπ（k∈Z）可得：x＝∴函数f（x）的对称轴：x＝（k∈Z）（2）∵x∈[0，]上，∴2x+∈[，]当2x+＝π时，函数f（x）取得最小值为：2cosπ＝﹣2，此时：x＝．∴函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣2，所对应的x值为．20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝1，AD＝2，AA1＝．（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；（2）试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【解答】解：（1）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB＝BC＝1，以及AD＝2，AA 1＝．可得：CE＝1，且AC＝CD＝，，AC⊥CD．又由题意知CC1⊥面ABCD，从而AC⊥CC1，而CC1∩CD＝C，故AC⊥C1D．因CD＝CC1，及已知可得CDD1C1是正方形，从而C1D⊥CD1．因C1D⊥CD1，C1D⊥AC，且AC∩CD1＝C，所以C1D⊥面ACD1．（2）因三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的，故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可，而CE⊥AD，且由AA1⊥面ABCD可得CE⊥AA1，又因为AD∩AA1＝A，所以有CE⊥平面ADD1A1，即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高．故＝＝．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．【考点】%H：三角形的面积公式；J1：圆的标准方程．【解答】解：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2＝t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y＝0．当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t，0）；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝OA•OB＝|2t|•||＝4为定值．（2）解∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，K MN＝﹣2，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5．由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴所求的圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．。
数学---河北省衡水市安平中学2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(文)(解析版)
河北省衡水市安平中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（文）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．（5分）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，则•=（）A．B．﹣C．3 D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cos B=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．D【解析】A. 6，6，6，6，6常数列，公差为0；B. ﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C. 5，8，11，14公差为3；D. 数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选D．2．B【解析】∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选B．3．A【解析】在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选A．4．C【解析】等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选C．5．A【解析】∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选A．6．B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选B．7．C【解析】由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选C.8．B【解析】∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cos B=，∴由余弦定理得：cos B=====，即ac=2，则•=﹣ca cos B=﹣．故选B．9．A【解析】在△P AB，∠P AB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PB sin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A.10．B【解析】∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选B．11．A【解析】△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sin B，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cos C==，∴角C的大小为30°，故选A．12．B【解析】∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cos A==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得=== =．故选B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．120°【解析】根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为120°．14．2【解析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为2.15．15【解析】正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为15．16．【解析】由cos A=，cos C=，可得sin A===，sin C===，sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cos A+cos C的最大值为1．18．解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．解：（1）∵△ABC中，cos B=，∴sin B=，∵，∴AB==5；（2）cos A=﹣cos（C+B）=sin B sin C﹣cos B cos C=﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A=，∴cos（A﹣）=cos A+sin A=．21．解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。
2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一(下)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【解答】解：由题意，m+2n=8，2m+n=10，两式作和得：3m+3n=18，即m+n=6，∴m和n的等差中项是3．故选：B．3．（5分）在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60°B．120°C．30°D．150°【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选：A．6．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．7．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C．8．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．9．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选：A．10．（5分）数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小为30°，故选：A．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为120°．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，7，8，且7所对的角为α，∴cosα==，∴α=60°，则该三角形最大角与最小角之和为120°．故答案为：120°14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017=2．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，=a n，数列的周期为3．∴a n+3∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=15．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cosA+cosC 的最大值为1．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，【解答】解：（1）由a n+1两式相减得：a n=2a n，+1∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．（12分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）（Ⅱ）根据余弦定理，得（8分）=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．（10分）又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．（12分）。
河北衡水中学16-17学年高一下期末考试试题--数学文
20.如图（1）所示，已知四边形 是由直角 和直角梯形 拼接而成的，其中 ，且点 为线段 的中点， ， ，现将 沿 进行翻折，使得平面 平面 ，得到的图形如图（2）所示，连接 ，点 、 分别在线段 、 上．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若三棱锥 的体积是四棱锥 体积的 ，求点 到平面 的距离．
17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 及前 项和 ；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
18.如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为 的中点， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ．
19.已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
2016—2017学年度下学期高一年级期末考试文数试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若点 在直线： 上，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2.圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交B．相外切C．相离D．相内切
因为 平面 ，所以 .
（Ⅱ）设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，且 ，
所 ，
即 ，故点 到平面 的距离为 .
21.解：（Ⅰ）因为直线 与圆 相交所得弦长等于 ，
所以圆心 到直线 的距离 .
显然过点 且与 轴垂直的直线 符合要求．
当直线 与 轴不垂直时，
设直线的方程为 ，即 ，
由 ，解得 ．
所以直线 的方程是 或 ．
21.已知圆 ： ，直线 ： ，圆 与 轴相交于点 、 （如图），点 是圆 内一点，点 为圆 上任一点（异于点 、 ），直线 与 相交于点 ．
河北省衡水市2016_2017学年高一数学下学期期末试卷理(含解析)
2016-2017学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．） 1．下列数列中不是等差数列的为（ ） A ．6，6，6，6，6B ．﹣2，﹣1，0，1，2C ．5，8，11，14D ．0，1，3，6，10．2．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（ ） A ．2B ．3C ．6D ．93．在△ABC 中内角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =+﹣，则角A=（ ） A ．60° B ．120°C ．30°D ．150°4．已知等差数列{}21022n a a d S ===中，，，则 （ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．805．{}34253128n a q a a a a S +===已知是等比数列，其中＜，且，﹣，则 （ ） A ．12 B ．16 C ．18 D ．246．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ）A ．180B ．200C ．128D ．162 7．定义为n 个正数12n p p p ⋯，，， 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为，n b 又 =，则+++…+=（ ）A ．B ．C ．D ．8．23ABC b ac a c cosB =+== 在中，，且， ，则•=（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣39．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）海里．A ．10B ．20C ．10D ．2010．数列{a n }满足，则n a =（ ）A ．B ．C ．D ．11．在△ABC 中，若sin （A+B ﹣C ）=sin （A ﹣B+C ），则△ABC 必是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形12．△ABC 外接圆半径为R ，且222R sin A sin C （﹣） =（a ﹣b ）sinB ，则角C=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ．14．若数列{}n a 满足，则2017a = ．15．已知正项等比数列{}11*n n a a n S n N =∈中，，其前项和为（），且，则4S = ．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A 、B 、C 的对边，且满足2222a b accosB bc =+（﹣） （1）求A;（2）D 为边BC 上一点，CD=3BD ，∠DAC=90°，求tanB ．18．{}23n n n n a n S S a n n N +=∈已知数列的前项和为，且﹣（）．（1）求123a a a ，， 的值；（2）是否存在常数{}n a λλ+，使得 为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式n a ， 若不存在，请说明理由．19．已知数列{}11n n n n a n S a S +=+的前项和为，且 对一切正整数n 恒成立． （1）试求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n 为何值时，数列 的前n 项和T n 取得最大值．20．在△ABC 中，AC=6，cosB=，C=． （1）求AB 的长；（2）求cos （A ﹣）的值．21．{}{}n n a b 已知是等差数列，是等比数列 ，且231114439b b a b a b ====，，，． （1）{}n a 求的通项公式； （2）{}n n n n c a b c n =+设，求数列的前项和 ．22．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin ．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 若b+c=2，求a 的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【考点】83：等差数列．【分析】根据等差数列的定义，对所给的各个数列进行判断，从而得出结论．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．3．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】推导出a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，由等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选：A．6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．7．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到S n=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{a n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a n}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．9．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．20【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故选：A．10．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】HX：解三角形．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C12．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】HR：余弦定理．【分析】先根据正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小为30°，故选A．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．14．若数列{a n}满足，则a2017= 2 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= 15 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．【考点】HX：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2﹣b2）=2accosB+bc （1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）将2（a2﹣b2）=2accosB+bc化解结合余弦定理可得答案．（2）因为∠DAC=，所以AD=CD•sinC，∠DAB=．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）由题意2accosB=a2+c2﹣b2，∴2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．整理得a2=b2+c2+bc，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：bc=﹣2bccosA∴cosA=﹣，∵0＜A＜π∴A=．（Ⅱ）∵∠DAC=，∴AD=CD•sinC，∠DAB=．在△ABD中，有，又∵CD=3BD，∴3sinC=2sinB，由C=﹣B，得cosB﹣sinB=2sinB，整理得：tanB=．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．【考点】8D：等比关系的确定；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）分别令n=1，2，3，依次计算a1，a2，a3的值；（2）假设存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），从而可求得λ，根据等比数列的通项公式得出a n+λ，从而得出a n．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，当n=2时，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21．（2）假设{a n+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．∴{a n+3}的首项为a1+3=6，公比为=2．∴a n+3=6×2n﹣1，∴a n=6×2n﹣1﹣3．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值．（Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求范围0＜b＜2，进而可求a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。
河北省衡水市高一数学下学期期末试卷(a卷)理(含解析)
2016-2017学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．173．在△ABC中，如果，B=30°，b=2，则△ABC的面积为（）A．4 B．1 C．D．24．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．36 B．40 C．42 D．456．a，b为正实数，若函数f（x）=ax3+bx+ab﹣1是奇函数，则f（2）的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最近距离等于1，则半径r的值为（）A．4 B．5 C．6 D．98．函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．3+2B．3+2C．7 D．119．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣10．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．111．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接答在答题纸上．13．已知关于x的不等式的解集是．则a= ．14．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是．15．实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最小值为．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+2n（n≥2），则a n= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．18．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+2kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=m有解，求m的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}【考点】1E：交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故选：D．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．3．在△ABC中，如果，B=30°，b=2，则△ABC的面积为（）A．4 B．1 C．D．2【考点】HP：正弦定理．【分析】在△ABC中，由正弦定理得到a=c，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180°，即可求出A角的大小，再由△ABC的面积为，运算求得结果．【解答】解：在△ABC中，由，可得a=c，又∵B=30°，由余弦定理，可得：cosB=cos30°===，解得c=2．故△ABC是等腰三角形，C=B=30°，A=120°．故△ABC的面积为=，故选C．4．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【考点】96：平行向量与共线向量；95：单位向量．【分析】由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．5．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．36 B．40 C．42 D．45【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10，则S9===45．故选：D．6．a，b为正实数，若函数f（x）=ax3+bx+ab﹣1是奇函数，则f（2）的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质和定义来建立等式，化简后根据条件用a表示b，代入解析式后求出f（2），再根据基本不等式求出最小值．【解答】解：因为f（x）=ax3+bx+ab﹣1是奇函数，所以，即，由a，b为正实数，所以b=＞0，所以f（x）=ax3+x，则f（2）=8a+≥2 =8（当且仅当8a=，即a=时取等号），故选：C．7．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最近距离等于1，则半径r的值为（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】由题意可得，圆心（3，﹣5）到直线的距离等于r+1，利用点到直线的距离公式求得r的值．【解答】解：由题意可得，圆心（3，﹣5）到直线的距离等于r+1，即|=r+1，求得 r=4，故选：A．8．函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．3+2B．3+2C．7 D．11【考点】4H：对数的运算性质．【分析】函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣1，﹣1），可得m+n=1．于是+=（m+n）=3++，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣1，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，∴﹣m﹣n+1=0，即m+n=1．则+=（m+n）=3++≥3+2=3+2，当且仅当n=m=2﹣时取等号．故选：A．9．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．10．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：根据三视图中正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，∴棱锥的高为1，底面直角梯形的底边长分别为1、2，高为1，∴底面面积为=，∴几何体的体积V=××1=．故选A．11．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【考点】85：等差数列的前n项和；8B：数列的应用．【分析】由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．【解答】解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接答在答题纸上．13．已知关于x的不等式的解集是．则a= 2 ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】把a=0代入不等式中得到解集不是原题的解集，故a不为0，所以把不等式转化为a（x+1）（x﹣）大于0，根据已知解集的特点即可求出a的值．【解答】解：由不等式判断可得a≠0，所以原不等式等价于，由解集特点可得a＞0且，则a=2．故答案为：214．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．15．实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最小值为﹣．【考点】7F：基本不等式．【分析】由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+，即可得出．【解答】解：由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+，解得：x+y≥﹣，当且仅当x=y=﹣时取等号．故答案为：﹣．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+2n（n≥2），则a n= （2n﹣1）•2n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2a n﹣1+2n（n≥2），可得﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n=2a n﹣1+2n（n≥2），∴﹣=1，可得数列是等差数列，公差为1，首项为．∴==，解得a n=（2n﹣1）•2n﹣1．n=1时也成立．∴a n=（2n﹣1）•2n﹣1．故答案为：（2n﹣1）•2n﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则函数的周期T=；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．18．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，由a1•a2=3，a2•a3=15．解得a1=1，d=2，即可得a n=2n ﹣1．（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=2n•22n﹣4=n•4n，利用错位相减法求和即可【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，因为a1•a2=3，a2•a3=15．解得a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=2n•22n﹣4=n•4n，T n=1•41+2•42+3•43+…+n•4n．4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，两式相减，得﹣3T n=41+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，所以T n=．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1．又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C，又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1；（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1，∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．∵△OPB1～△ACB1，∴，∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，∴=．在Rt△POB中，sin∠OPB=，∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为．20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为，由此解得m=4．（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心 C（1，2），半径r=1，由此利用圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离，能求出c的范围．【解答】解：（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心 C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为：…由于，则，有，∴，解得m=4．…（2）假设存在直线l ：x ﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l 的距离为，…由于圆心 C （1，2），半径r=1，则圆心C （1，2）到直线l ：x ﹣2y+c=0的距离为：，…解得．…21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值． 【考点】HR ：余弦定理．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc﹣c 2，又b 2﹣a 2=c 2．∴ bc ﹣c 2=c 2．∴ b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+2kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=m有解，求m的取值范围．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；4H：对数的运算性质．【分析】（1）利用函数是偶函数，利用定义推出方程求解即可．（2）通过方程有解，求出函数的最值，即可推出m的范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由函数f（x）是偶函数可知，f（﹣x）=f（x），∴log4（4x+1）+2kx=log4（4﹣x+1）﹣2kx，即log4=﹣4kx，∴log44x=﹣4kx，∴x=﹣4kx，即（1+4k）x=0，对一切x∈R恒成立，∴k=﹣．…（2）由m=f（x）=log4（4x+1）﹣x=log4=log4（2x+），∵2x＞0，∴2x+≥2，∴m≥log42=．故要使方程f（x）=m有解，m的取值范围为[，+∞）．…。
河北省衡水市17学年高一数学下学期期末试卷文(含解析)
2016-2017学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．若数列{a n}满足，则a2017= ．15．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= ．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值．18．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【考点】83：等差数列．【分析】根据等差数列的定义，对所给的各个数列进行判断，从而得出结论．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．3．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】推导出a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，由等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．故选：A．6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．7．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到S n=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{a n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a n}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．9．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】要求树的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A10．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．11．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】HR：余弦定理．【分析】先根据正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小为30°，故选A．12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．14．若数列{a n}满足，则a2017= 2 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= 15 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HX：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由余弦定理求出cosB=，由此能求出∠B的值．（2）推导出，从而==，由此能求出cosA+cosC 的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，∴，∴===，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cosA+cosC 的最大值为1．18．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值．（Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求范围0＜b＜2，进而可求a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．。
2016-2017年河北省衡水市安平中学高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6B．﹣2，﹣1，0，1，2C．5，8，11，14D．0，1，3，6，102．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2B．3C．6D．93．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，则角A ＝（）A．60°B．120°C．30°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2＝2，d＝2，则S10＝（）A．200B．100C．90D．805．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4＝2，a2a5＝﹣8，则S3＝（）A．12B．16C．18D．246．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180B．200C．128D．1627．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n＝，则+++…+＝（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，b2＝ac，且a+c＝3，cos B＝，则•＝（）A．B．﹣C．3D．﹣39．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n＝，则a n＝（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，则角C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2＝0，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为．14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017＝．15．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4＝．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1＝1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．（12分）在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝2，求a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．（5分）下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6B．﹣2，﹣1，0，1，2C．5，8，11，14D．0，1，3，6，10【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2B．3C．6D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：由题意，m+2n＝8，2m+n＝10，两式作和得：3m+3n＝18，即m+n＝6，∴m和n的等差中项是3．故选：B．3．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，则角A ＝（）A．60°B．120°C．30°D．150°【考点】HR：余弦定理．【解答】解：在△ABC中，∵a2＝b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0°，180°），∴A＝60°．故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2＝2，d＝2，则S10＝（）A．200B．100C．90D．80【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2＝2，d＝2，a1+d＝2，解得a1＝0，则S10＝10a1+×10×9d＝0+45×2＝90．故选：C．5．（5分）已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4＝2，a2a5＝﹣8，则S3＝（）A．12B．16C．18D．24【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4＝2，a2a5＝﹣8，∴a3a4＝a2a5＝﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3＝4，a4＝﹣2，∴，解得，∴S3＝＝＝12．故选：A．6．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180B．200C．128D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2．则此数列第20项＝2×102＝200．故选：B．7．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n＝，则+++…+＝（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：由已知定义，得到＝，∴a1+a2+…+a n＝n（2n+1）＝S n，即S n＝2n2+n．当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1．当n＝1时也成立，∴a n＝4n﹣1；∵b n＝＝n，∴＝＝﹣，∴+++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∴+++…+＝，故选：C．8．（5分）在△ABC中，b2＝ac，且a+c＝3，cos B＝，则•＝（）A．B．﹣C．3D．﹣3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【解答】解：∵在△ABC中，b2＝ac，且a+c＝3，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝＝＝，即ac ＝2，则•＝﹣ca cos B＝﹣．故选：B．9．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形．【解答】解：在△P AB，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝由正弦定理得：，∴PB＝＝30（+），∴树的高度为PB sin45°＝30（+）×＝（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选：A．10．（5分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n＝，则a n＝（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1＝，∴3n﹣1a n＝，可得a n＝．n＝1时，a1＝，上式也成立．则a n＝．故选：B．11．（5分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，则角C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】HR：余弦定理．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，根据正弦定理得a2﹣c2＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，∴cos C＝＝，∴角C的大小为30°，故选：A．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2＝0，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2＝0，∴cos A＝＝﹣，∴A＝120°．由正弦定理可得＝＝＝＝．故选：B．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为120°．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，7，8，且7所对的角为α，∴cosα＝＝，∴α＝60°，则该三角形最大角与最小角之和为120°．故答案为：120°14．（5分）若数列{a n}满足，则a2017＝2．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：数列{a n}满足a1＝2，a n＝1﹣，可得a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2a5＝1﹣＝，…，∴a n+3＝a n，数列的周期为3．∴a2017＝a672×3+1＝a1＝2．故答案为：215．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4＝15．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1＝1，且，∴1﹣＝，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∴S4＝＝15，故答案为：15．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝．【考点】HU：解三角形．【解答】解：由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝＝＝，sin C＝＝＝，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，由正弦定理可得b＝＝＝．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．∴，∴由余弦定理得：，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C＝π，，∴，∴＝＝＝，∵，∴，∴，∴最大值为1，∴cos A+cos C的最大值为1．18．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1＝1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）由a n+1＝1+S n得：当n≥2时，a n＝1+S n﹣1，两式相减得：a n+1＝2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2＝2a1，又∵a2＝1+S1＝1+a1，解得：a1＝1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n＝9时，数列的前n项和T n取最大值．20．（12分）在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理；HU：解三角形．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，b n＝b2q n﹣2＝3•3n﹣2＝3n﹣1；即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，则d＝＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）＝n•2n+＝n2+．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝2，求a的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）（Ⅱ）根据余弦定理，得（8分）＝b2+c2+bc＝b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）＝b2﹣2b+4＝（b﹣1）2+3．（10分）又由b+c＝2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值范围是．（12分）。
(全优试卷)版河北省高一下学期期末考试文数试题Word版含答案
2016—2017学年度下学期高一年级期末考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒2.圆222690x y x y ++++=与圆226210x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切3.在数列{}n a 中，112a =，111n na a +=-，则10a =（ ）A ．2B ．3C ．1-D ．124.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，对于下列两个命题： ①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥． 其中判断正确的是（ ） A ．①②都是假命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①②都是真命题5.一个等比数列的前n 项和为45，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．65B ．73C ．85D ．1086.在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 7.《算法统宗》是我国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三生九，上梢三节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升．要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出这根八节竹筒的容积为（ ） A ．9.0升B ．9.1升C ．9.2升D ．9.3升8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3616π+B ．3612π+C ．4016π+D ．4012π+9.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.已知圆C ：22(1)32x y ++=，直线l 与一、三象限的角平分线垂直，且圆C 上恰有三个点到直线l的距离为，则直线l 的方程为（ ） A ．5y x =-- B ．3y x =-+ C ．5y x =--或3y x =-+ D ．不能确定11.在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ） A ．4(1)m q +元B ．5(1)m q +元C ．4(1)(1)m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元D ．5(1)(1)m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元12.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，()2f x <对任意的x ，y R ∈，()()()2f x f y f x y +=++成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且1()()3nn n a f a f a +=+，*n N ∈，则2017a 的值为（ ）A ．2B ．20166231⨯- C ．20162231⨯- D ．20152231⨯-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列{}n b 是等比数列，且9b 是1和3的等差中项，则216b b = ． 14.过点(4,)A a 和(5,)B b 的直线与y x m =+平行，则||AB 的值为 ． 15.将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的体积为 ．16.若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +-<-<-<<-<……，则称数列{}n a 为“差递增”数列．若数列{}n a 是“差递增”数列，且其通项n a 与其前n 项和n S 满足312n n S a λ=+-（*n N ∈），则λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，515S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （Ⅱ）记1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面ABCD ⊥平面SAB ．19.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足24(1)n n S a =+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12nn n a b -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：6n T <． 20.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒，且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，AB SD =，现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，得到的图形如图（2）所示，连接SC ，点E 、F 分别在线段SB 、SC 上．（Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B ACE -的体积是四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离．21.已知圆O ：229x y +=，直线1l ：6x =，圆O 与x 轴相交于点A 、B （如图），点(1,2)P -是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A 、B ），直线AQ 与1l 相交于点C ．（Ⅰ）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （Ⅱ）设直线BQ 、BC 的斜率分别为BQ k 、BC k ，求证：BQ BC k k ⋅为定值．22.已知数列{}n a 满足12nn n a a ++=，且11a =，123n n n b a =-⨯．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立，求实数t 的取值范围．2016—2017学年度下学期高一年级期末考试文数试卷答案一、选择题1-5:CCDBA 6-10:CCDBC 11、12：DC 二、填空题13.416.(1,)-+∞ 三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 由题意得112,51015,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩所以n a n =（*n N ∈），22n n nS +=（*n N ∈）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)n n b S n n ==+112()1n n =-+． 则12311111112(1)223341n n T b b b b n n =++++=-+-+-++-+……122(1)11nn n =-=++． 18.解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点F ，则F 为AC 的中点，连接EF . 因为E 为SA 的中点，F 为AC 的中点， 所以//EF SC ．又EF ⊂平面BDE ，SC ⊄平面BDE ， 所以//SC 平面BDE ．（Ⅱ）因为2SB =，3BC =，SC =所以222SB BC SC +=，即BC SB ⊥． 又四边形ABCD 为矩形， 所以BC AB ⊥． 因为ABSB B =，AB ⊂平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ． 又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面SAB .19.解：（Ⅰ）当1n =时，2114(1)S a =+，即11a =. 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 又24(1)n n S a =+，两式相减，得11()(2)0n n n n a a a a --+--=． 因为0n a >，所以12n n a a --=．所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-（*n N ∈）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1212n n n b --=， 则0121135212222n n n T --=++++…，①121113232122222n n n n n T ---=++++...，② ①-②，得01211122221222222n n n n T --=++++- (21121)11222n nn --=++++-…111212321312212n n n n n ---+=+-=--． 所以123662n n n T -+=-<．20.解：（Ⅰ）因为平面SAB ⊥平面ABCD ， 又SA AB ⊥，所以SA ⊥平面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ， 所以SA BD ⊥．在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=， 又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒， 即AC BD ⊥， 又ACSA A =，所以BD ⊥平面SAC ．因为AF ⊂平面SAC ，所以BD AF ⊥. （Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ， 因为B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，所1151153221122132ABCD S ABCD E ABCABC S SA V V S h h --∆⋅⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⨯梯形， 即12h =，故点E 到平面ABCD 的距离为12.21.解：（Ⅰ）因为直线2l 与圆O相交所得弦长等于 所以圆心(0,0)O 到直线2l的距离1d ==. 显然过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-符合要求． 当直线2l 与x 轴不垂直时，设直线2l 的方程为2(1)y k x -=+，即20kx y k -++=，由1d ==，解得34k =-．所以直线2l 的方程是1x =-或3450x y +-=． （Ⅱ）设点C 的坐标为(6,)h ， 则3BC h k =，9AC hk =． 因为BQ AC ⊥， 所以9BQ k h=-，即3BQ BC k k ⋅=-， 所以BQ BC k k ⋅为定值3-．22.解：（Ⅰ）因为12nn n a a ++=，11a =，123n n n b a =-⨯，所以11112(2)33n n n n a a ++-⨯=--⨯， 所以111231123n n nn a a ++-⨯=--⨯， 又121033a -=≠，所以数列{}n b 是首项为13，公比为1-的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即12(1)3nn n a ⎡⎤=--⎣⎦， 则123n nS a a a a =++++…{}1231231(2222)(1)(1)(1)(1)3n n⎡⎤=++++--+-+-++-⎣⎦…… 1(1)12(12)3121(1)nn ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎢⎥=----⎢⎥⎣⎦11(1)12232n n +⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦．又11112(1)2(1)9n n n n n n a a +++⎡⎤⎡⎤=--⨯--⎣⎦⎣⎦2112(2)19n n+⎡⎤=---⎣⎦， 要使10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立，即2111(1)12(2)1220932n n nn t ++⎡⎤--⎡⎤------>⎢⎥⎣⎦⎣⎦（*）对任意的*n N ∈都成立．①当n 为正奇数时，由（*）得，2111(221)(21)093n n n t +++--->， 即111(21)(21)(21)093n n n t++-+-->， 因为1210n +->，所以1(21)3nt <+对任意的正奇数n 都成立， 当且仅当1n =时，1(21)3n +有最小值1，所以1t <．②当n 为正偶数时，由（*）得，2111(221)(22)093n n n t++---->， 即112(21)(21)(21)093n n n t++--->， 因为210n ->，所以11(21)6n t +<+对任意的正偶数n 都成立． 当且仅当2n =时，11(21)6n ++有最小值32，所以32t <．综上所述，存在实数t ，使得10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立， 故实数t 的取值范围是(,1)-∞．。
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2016—2017学年度下学期高一年级期末考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若点在直线：上，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，直线方程为：，据此可得，直线的倾斜角为.本题选择C选项.2. 圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 相外切C. 相离D. 相内切【答案】C【解析】由题设，，而，则两圆相离，应选答案C。
3. 在数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：a2=1−2=−1,a3=1+1=2,a4=1−，…，各项值成周期为3重复出现∴a n+3=a n.则a10=a3×3+1=a1=.本题选择D选项.4. 设，是两个不同的平面，是一条直线，对于下列两个命题：①若，，则；②若，，则．其中判断正确的是（）A. ①②都是假命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是真命题【答案】B【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以①正确；若，，则与不一定垂直，所以②错误.故选择B.5. 一个等比数列的前项和为45，前项和为60，则前项和为（）A. B. C. D.【答案】A学,科,网...【解析】由等比数列的性质得：S n,S2n−S n,S3n−S2n成等比数列，∵等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，∴45,60−45,S3n−60成等比数列，∴(60−15)2=45(S3n−60)，解得S3n=65.本题选择A选项.6. 在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取BC中点O,连结AO、SO,∵在正三棱锥S−ABC中，SB=SC，AB=AC，∴SO⊥BC，AO⊥BC，∵SO∩AO=O，∴BC⊥平面SOA，∵SA⊂平面SAO，∴BC⊥SA，∴异面直线SA与BC所成角的大小为.本题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7. 《算法统宗》是我国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三生九，上梢三节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升．要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出这根八节竹筒的容积为（）A.升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】C【解析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,设相差的同一数量为d升,下端第一节盛米a1升，由题意得，学,科,网...解得a1=1.306，d=−0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2(升).本题选择C选项.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积.本题选择D选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．9. 若等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为变量，得，，则，所以最小，故,故选B.10. 已知圆：，直线与一、三象限的角平分线垂直，且圆上恰有三个点到直线的距离为，则直线的方程为（）A. B. C. 或 D. 不能确定【答案】C【解析】过圆心C且与直线平行的直线方程为，该直线与圆的交点坐标为，有题可得，所求直线的斜率为，且交点到直线的距离为，据此可得直线方程为或.本题选择C选项.11. 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入元的一年定期储蓄，若年利率为保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】D12. 已知函数的定义域为，当时，对任意的，，成立，若数列满足，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得：，令可得：，则：，据此可得：函数是单调奇函数，有函数的单调性可得：，整理可得：，即数列是首项为1，公比为3的等比数列，则：，据此可得：的值为 .本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列是等比数列，且是1和3的等差中项，则__________．【答案】4【解析】由题意可得：，则：.14. 过点和的直线与平行，则的值为__________．【答案】【解析】由题意可得：，由两点之间距离公式可得：.15. 将底边长为2的等腰直角三角形沿高线折起，使，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的体积为__________．【答案】【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，球心O位于上下底面中心的连线上，设球心坐标为点O，由题意可得：，解得：，则球O的体积为：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16. 若数列满足，则称数列为“差递增”数列．若数列是“差递增”数列，且其通项与其前项和满足（），则的取值范围是__________．【答案】【解析】递推公式中，令可得：，且由递推公式有：，两式做差可得：，据此可得：，学,科,网...由题意可得：，即：，整理可得：，即的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（），（）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)利用题意求得数列的首项和公差整理可得（），（）．(2)将数列的通项公式裂项后可得．试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得解得所以（），（）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．则．18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为的中点，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行，根据判断定理，可知平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，所有连接交于点，连接，中，根据中位线的性质，；（Ⅱ）要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据所给的条件，可证明，即平面.试题解析：（Ⅰ）连接交于，则为中点，连接，∵为的中点，为中点，∴，又面，面，∴平面．（Ⅱ）∵，，，学,科,网...∴，∴，又四边形为矩形，∴，又、在平面内且相交，∴平面，又平面，∴平面平面．19. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：．【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(1)由递推关系可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，（）．(2)错位相减求得数列的前n项和．试题解析：（Ⅰ）当时，，即.当时，，又，两式相减，得．因为，所以．所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即（）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，①，②①②，得．所以．点睛：(1)一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．学,科,网...20. 如图（1）所示，已知四边形是由直角和直角梯形拼接而成的，其中，且点为线段的中点，，，现将沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示，连接，点、分别在线段、上．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面，则.(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，又，所以平面．又平面，所以．在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即，又，所以平面．因为平面，所以.（Ⅱ）设点到平面的距离为，因为，且，所，即，故点到平面的距离为.21. 已知圆：，直线：，圆与轴相交于点、（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点、），直线与相交于点．（Ⅰ）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）见解析．学,科,网...【解析】试题分析：（1）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，由解得，又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求，故满足题意的直线应为两条；（2）方法1：联立得点，问题得证；方法2：设点的坐标为，分，，两组情况讨论得证；方法3：设点的坐标为, 则，则由三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点，表示出，可证为定值试题解析：（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离设直线的方程为，即由解得又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求所以直线的方程是或（2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为由解得从而得点所以方法2：设点的坐标为，若，则所以当时，同理可得所以为定值方法3：设点的坐标为, 则则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点点睛：本题考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．22. 已知数列满足，且，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设是数列的前项和，若对任意的都成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值，计算首项为即可证得数列为等比数列；学,科,网...(2)原问题转化为对任意的都成立，分类讨论可得：实数的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）因为，，，所以，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，则．又，要使对任意的都成立，即（*）对任意的都成立．①当为正奇数时，由（*）得，，即，因为，所以对任意的正奇数都成立，当且仅当时，有最小值1，所以．②当为正偶数时，由（*）得，，即，因为，所以对任意的正偶数都成立．当且仅当时，有最小值，所以．综上所述，存在实数，使得对任意的都成立，故实数的取值范围是．。