高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理题型整理素材北师大版必修2
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
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预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理一课件北师大版必修2
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
•学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重 点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、 平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理 及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难 点)．
• 知识点一 点、线、面之间的位置关系 • 一些文字语言与数学符号的对应关系：
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
异面直线 不同在 任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线
• 【预习评价】
• (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？
• 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α.
• (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪 些位置关系？
• 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或 不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面 外．
•∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平 面β内．
•∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
• 方向2 点共线问题
• 【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 • 中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
• DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q， • 求证：D、A、Q三点共线．
•解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1， BB1，DD1. •答案 C
考查 方向
题型三 平面性质的应用
• 方向1 共面问题
• 【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
•
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
• l2、l3在同一平面内．
• 证明 方法一 (纳入平面法)
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理题型整理素材北师大版必修2
空间图形的基本关系与公理题型整理1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有________．31111111面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是 ( ) A ．A 、M 、O 三点共线 B ．A 、M 、O 、A 1不共面 C ．A 、M 、C 、O 不共面 D ．B 、B 1、O 、M 共面4．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB 、BC 、AD 、DC 分别与平面α相交于点E 、G 、H 、F .求证：E 、F 、G 、H 四点共线(在同一条直线上)．5.l 1、l 2121212的位置关系是( )A ．异面或平行B ．相交C ．异面D ．相交或异面 6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE⊥平面PAD . 其中正确的序号有________．5.在四棱台111111 )A ．相交直线B ．平行直线C. 不垂直的异面直线 D ．互相垂直的异面直线6．正方体AC 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是 ( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直7．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．8.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．参考答案1．(2009·湖南高考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：C2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④31111111面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ( )A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1CÔ平面ACC1A1，∵M在A1C上，∴M在平面ACC1A1内，又M在平面AB1D1内，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB β，∴E在α内，E在β内，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．5.l1、l2121212( )A．异面或平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面答案：D6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的序号有________．解析：①∵E 、F 分别是PA 、PD 的中点，∴EF ∥AD . 又∵AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∴BE 与CF 共面，故①不正确．②∵BE 是平面APD 的斜线，AF 是平面APD 内与BE 不相交的直线， ∴BE 与AF 不共面，故②正确．③由①知EF ∥BC ，∴EF ∥平面PBC .故③正确． ④条件不足，无法判断两平面垂直． 答案：②③5.在四棱台111111 )A ．相交直线B ．平行直线C. 不垂直的异面直线 D ．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD 1与BB 1所在直线是相交的． 答案：A6．(2010·辽宁模拟)正方体AC 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是 ( )A ．相交B ．异面C ．平行 D．垂直解析：如图所示，直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF Ô平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A7．(2010·淮南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________． 解析：取A 1C 1的中点D 1，连结B 1D 1， 由于D 是AC 的中点，∴B 1D 1∥BD ，∴∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角． 连结AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ， ∴AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . ∴cos∠AB 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a22×3a ×32a＝12， ∴∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°8.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小． 解：连结B 1G ，EG ，由于E、G 分别是DD 1和CC 1的中点， ∴EG 綊C 1D 1，而C 1D 1綊A 1B 1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝5，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.9.(理)(文11111P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 ( )解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C9．(文)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长．解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q，连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，∴OQ是α与β的交线．故直线OPQ即为所求作的直线．(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，又∵△OPN∽△QPA，ON=12BC=12AQ.∴PN∶PA=1∶2.AP=23AN解Rt△APQ可得PQ．10．(理)(2010·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．解：(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，∴AF AEEFcos∠AEF14=，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14．(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA=1，VA-EBC=VE-ABC=13×(12。
高中数学 第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修2
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上, 如图所示.
K12课件
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如果两个不重合的 公 平面有一个公共点, 理 那么它们有且只有 3 一条过该点的公共
直线
公 理
平行于同一条直线 的两条直线平行
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给定点 P 以及平面 α,β, 若点 P∈α,且 P∈β,则 存在直线 l,使得 α∩β=l,且 P∈l
已知直线 a,b,c,且 a∥ b,b∥c⇒a∥c
K12பைடு நூலகம்件
K12课件
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做一做 3 如图所示,点 A 在平面 α 内,点 B 也在平面 α 内,点 C 在直 线 AB 上.
(1)用符号语言表示上述位置关系; (2)判定点 C 与平面 α 的关系. 分析:点 C 与平面 α 的位置关系,可以是点在平面外,也可以是点 在平面内,由公理 2 可知 AB 在平面内,而点 C 在直线 AB 上,所以点 C 在平面 α 内.
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K12课件
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K12课件
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做一做2 下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.三角形一定是平面图形 D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 解析:本题考查平面的基本知识.A选项,当三点共线时有无数多个 平面.B选项,四边形有空间四边形与平面四边形之分.C选项,三角形 的三个顶点不共线,根据公理1可知此三个顶点确定一个平面.D选 项,若具有这个条件,则α与β重合.故选C. 答案:C
面
但有公共点,我们称平面 α
相交 与平面 β 是相交平面
符号语 言 α∥β
α∩β=l
K12课件
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5.空间两条直线的位置关系
位置关 系
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．三点确定一个平面吗？ 提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当
法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∴B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 又∵Q∈直线 BC， ∴Q∈平面 APR.又 Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R 三点共线． 平面 APR.
证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平
则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定 共面．
1．下列图形中不一定是平面图形的是( A．三角形 B．菱形
)
C．梯形
D．四边相等的四边形
解析：四边相等不具有共面的条件，这样的四 庆 高 考 )设 四面 体 的六 条棱 的 长分 别 为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取值范围是 A．(0， 2) C．(1， 2) ( ) B．(0， 3) D．(1， 3)
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1， 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝ ，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2
高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合， 所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平 面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能 有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因 为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．
北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第2课时空间图形的公理4及等角定理课件
证明：在△OAB 中，∵OOAA1＝OOBB1，∴A1B1∥AB. 同理可证 A1C1∥AC，B1C1∥BC. ∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.∴△A1B1C1 ∽△ABC.
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理学案北师大版必修212153159
第课时空间图形基本关系的认识与公理～
[核心必知]
．空间图形的基本位置关系
点错误!
．空间图形的条公理
表
[问题思考]
．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．
．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？
提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．
讲一讲
．如图所示，已知一直线分别与两平行直线，相交．求证：，，三线共面．
[尝试解答] 证明：∵∥，∴直线与确定一个平面α.
如图，令∩＝，∩＝，
∴∈α，∈α，∴α.
即α，∴，，三线共面．
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
练一练
．已知∥∥，∩＝，∩＝，∩＝，
求证：直线，，和共面．
证明：∵∥，∴直线与确定一个平面，设为α，如图．
∵∩＝，∩＝，
∴∈，∈，则∈α，∈α.
而∈，∈，
∴由公理可知：α.
∵∥，∴直线与确定一个平面，设为β，。
高中数学第一章立体几何初步1.4北师大版必修0
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．答案： B2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．答案： B3．如图，α∩β＝l，aα，bβ，且a，b为异面直线，则以下结论正确的是( ) A．a，b都与l平行B．a，b中至多有一条与l平行C．a，b都与l相交D．a，b中至多有一条与l相交解析：如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．答案： B4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN ＜12(AC ＋BD )解析： 如图，取BC 的中点H ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC ＋BD ) .答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线． (1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析： (1)因为B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同．(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．答案： (1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 16．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为________．解析： 在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝23，∴GF ∥BD ，FG BD ＝23.∴FG ＝4 cm.在△ABD 中，∵点E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ＝12BD ＝3(cm)．设EH ，FG 间的距离为d cm.则12×(4＋3)×d ＝28，∴d ＝8. 答案： 8 cm三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： (1)∠ABC ＝∠A 1B 1C 1； (2)∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .证明： (1)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由长方体的性质可得：A 1B 1∥AB ，BC ∥B 1C 1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC ＝∠A 1B 1C 1.(2)如上图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 由长方体的性质可得：D 1C 1綊AB ， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．∴AD 1∥BC 1且A 1D 1∥B 1C 1，并且方向相同， ∴∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中∠ACB ＝90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点．若BC ＝CA ＝CC 1＝2，求异面直线BD 1与AF 1所成的角．解析： 取BC 中点G ，连接F 1G ，AG ，D 1F 1，则D 1F 1∥B 1C 1且D 1F 1＝12B 1C 1， 又∵B 1C 1綊BC ，G 为BC 的中点．∴D1F1綊BG，∴四边形D1F1GB是平行四边形，∴BD1∥F1G，∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角．在Rt△ACG中，AG＝AC2＋CG2＝22＋12＝ 5.同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝ 5.又BD1＝GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G＝60°，∴异面直线BD1与AF1所成的角是60°.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明：(1)在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴E、F、G、H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.。
高中数学1.4空间图形的基本关系与公理第6课时空间图形的基本关系与公理1作业课件北师大版必修2
又P∈BD，而BD⊂α，故P∈α. 又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈(α∩β)．同理可证 得Q∈(α∩β)，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α 的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是 所求的交点．
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．下列图形中不一定是平面图形的是( D )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
2．异面直线是指( D ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 3．在空间中，可以确定一个平面的条件是( D ) A．两两相交的三条直线 B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交 C．三个点 D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
A．l α C．l∩α＝M
B．l α D．l∩α＝N
解析：由M∈a，N∈b，a α，b α知M∈α，N∈α，由公理2 知l α.故选A.
6．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中 (B )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三 点都不共线，故排除A，C；存在直线l与直线外一点A在同一平面 内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．文字语言叙述“平面内有一条直线a，则这条直线上一点
A必在这个平面α内”用符号表述是______aA_∈_α_a__⇒_A__∈__α___.
精选高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理123高效
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法正确的是( )A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A；四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C.答案： C2．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案： A3．两个不重合的平面可把空间分成( )A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分；当两个平面相交时把空间分成4部分．答案： C4．有下列说法：①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中，正确的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错；平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果三个平面把空间分成六部分，那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分，那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案：三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c 有怎样的位置关系？并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1)(2)(3)．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三条直线AA1，BB1，CC1两两相交，求证：三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面α，β，γ，AA1与BB1的交点为P，因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β，BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β.又α∩β＝CC1，所以P∈CC1，所以三条直线AA1，BB1，CC1交于一点P.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解析：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且ABα，lα，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB平面ABC，lβ，∴P∈平面ABC，P∈β，∴点P是平面ABC与β的一个公共点．又点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点．∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，∵PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．。
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空间图形的基本关系与公理题型整理1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有________．31111111面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是 ( ) A ．A 、M 、O 三点共线 B ．A 、M 、O 、A 1不共面 C ．A 、M 、C 、O 不共面 D ．B 、B 1、O 、M 共面4．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB 、BC 、AD 、DC 分别与平面α相交于点E 、G 、H 、F .求证：E 、F 、G 、H 四点共线(在同一条直线上)．5.l 1、l 2121212的位置关系是( )A ．异面或平行B ．相交C ．异面D ．相交或异面 6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE⊥平面PAD . 其中正确的序号有________．5.在四棱台111111 )A ．相交直线B ．平行直线C. 不垂直的异面直线 D ．互相垂直的异面直线6．正方体AC 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是 ( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直7．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．8.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．参考答案1．(2009·湖南高考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：C2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④31111111面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ( )A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1CÔ平面ACC1A1，∵M在A1C上，∴M在平面ACC1A1内，又M在平面AB1D1内，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G 、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E在α内，E在β内，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．5.l1、l2121212( )A．异面或平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面答案：D6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的序号有________．解析：①∵E 、F 分别是PA 、PD 的中点，∴EF ∥AD . 又∵AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∴BE 与CF 共面，故①不正确．②∵BE 是平面APD 的斜线，AF 是平面APD 内与BE 不相交的直线， ∴BE 与AF 不共面，故②正确．③由①知EF ∥BC ，∴EF ∥平面PBC .故③正确． ④条件不足，无法判断两平面垂直． 答案：②③5.在四棱台111111 )A ．相交直线B ．平行直线C. 不垂直的异面直线 D ．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD 1与BB 1所在直线是相交的． 答案：A6．(2010·辽宁模拟)正方体AC 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是 ( )A ．相交B ．异面C ．平行 D．垂直解析：如图所示，直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF Ô平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A7．(2010·淮南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________． 解析：取A 1C 1的中点D 1，连结B 1D 1， 由于D 是AC 的中点，∴B 1D 1∥BD ，∴∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角． 连结AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ， ∴AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . ∴cos∠AB 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a22×3a ×32a＝12， ∴∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°8.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小． 解：连结B 1G ，EG ，由于E、G 分别是DD 1和CC 1的中点， ∴EG 綊C 1D 1，而C 1D 1綊A 1B 1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝5，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.9.(理)(文11111P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 ( )解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C9．(文)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长．解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q，连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，∴OQ是α与β的交线．故直线OPQ即为所求作的直线．(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，又∵△OPN∽△QPA，ON=12BC=12AQ.∴PN∶PA=1∶2.AP=23AN解Rt△APQ可得PQ．10．(理)(2010·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．解：(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，∴AF AEEFcos∠AEF14=，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14．(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA=1，VA-EBC=VE-ABC=13×(12。