第9章 第三节 一元线性回归
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《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
第9章-方差分析与线性回归
2
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.
第9章一元线性回归解读
– 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数， 简称为相关系数，记为 r
也称为Pearson相关系数 (Pearson’s correlation coefficient)
2. 样本相关系数的计算公式
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
相关系数的性质
• 性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
2020-11-17
散点图
(销售收入和广告费用的散点图)
2020-11-17
9.1 变量间的关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
相关系数
(correlation coefficient)
1. 度量变量之间线性关系强度的一个统计量
– 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
相关系数，记为
变量之间的关系？
2020-11-17
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？
函数有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
•
的相关系数相等，即rxy= ryx
• 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的
也称为Pearson相关系数 (Pearson’s correlation coefficient)
2. 样本相关系数的计算公式
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
相关系数的性质
• 性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
2020-11-17
散点图
(销售收入和广告费用的散点图)
2020-11-17
9.1 变量间的关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
相关系数
(correlation coefficient)
1. 度量变量之间线性关系强度的一个统计量
– 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
相关系数，记为
变量之间的关系？
2020-11-17
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？
函数有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
•
的相关系数相等，即rxy= ryx
• 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的
第三节 一元线性回归模型的统计检验
ˆ ˆ ˆ y i = Yi − Y = (Yi − Yi ) + (Yi − Y ) = ei + y i
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好 拟合最好。 拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。 “离差”
类似, 对多元线性回归方程 : ˆ ˆ ˆ yi = β 0 + β1 ⋅ x1i + L β k ⋅ xki ˆ
F检验与R检验结果一致(P44图2-7):
n − k −1 TSS = F= RSS RSS k (n − k − 1) TSS R n − k − 1 R2 = ⋅ k 1 − R2 kF 2 R = (n − k − 1) + kF
因此,实际应用可选择其一。
ESS
ESS
多元线性回归模型的显著性检验(F检验 多元线性回归模型的显著性检验 检验 模型的显著性检验 检验)
ˆ ) 2 + ∑ (Y − Y ) 2 = RSS + ESS ˆ 所以有： TSS = ∑ (Yi − Yi i
注意： 注意：一个有趣的现象
(Y − Y ) = (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) (Y − Y ) ≠ (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y − Yˆ ) + ∑ (Yˆ − Y )
总离差平方和分解公式 总离差平方和分解公式: TSS=ESS+RSS 公式 其中: 其中
则
TSS = Σ(Yi − Y ) 2 ˆ ˆ = Σ((Yi − Yi ) + (Yi − Y )) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ = Σ(Yi − Yi ) 2 + 2Σ(Yi − Yi )(Yi − Y ) + Σ(Yi − Y ) 2
第三节 一元线性回
• （1）提出假设： H 0 : β1 = 0; H1 : β1 ≠ 0 • （2）确定显著性水平 α 。 • 根据自由度和给定的显著性水平，查t分布表的理 论临界值 tα / 2 (n − 2) 。 • （3）计算回归系数的t值。 • （4）决策。 • t ˆ > tα / 2 (n − 2) 则拒绝 H 0 ，接受 H1，
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
第三章一元线性回归分析
第三章 一元线性回归一元线性回归分析的对象是两个变量的单向因果关系，模型的核心是两变量线性函数，分析方法是回归分析。
一元线性回归是经典计量经济分析的基础。
第一节一元线性回归模型一、变量间的统计关系社会经济现象之间的相互联系和制约是社会经济的普遍规律。
在一定的条件下，一些因素推动或制约另外一些与之联系的因素发生变化。
这种状况表明在经济现象的内部和外部联系中存在着一定的因果关系，人们往往利用这种因果关系来制定有关的经济政策，以指导、控制社会经济活动的发展。
而认识和掌握客观经济规律就要探求经济现象间经济变量的变化规律。
互有联系的经济变量之间的紧密程度各不相同，一种极端的情况是一个变量能完全决 定另一个变量的变化。
比如：工业企业的原材料消耗金额用y 表示，生产量用1x 表示，单位产量消耗用2x 表示，原材料价格用3x 表示，则有：123y x x x =。
这里，y 与123,,x x x ，是一种确定的函数关系。
然而，现实世界中，还有不少情况是两个变量之间有着密切的联系，但它们并没有密切到由一个可以完全确定另一个的程度。
例如：某种高档费品的销售量与城镇居民的收入；粮食产量与施肥量之间的关系；储蓄额与居民的收入密切相关。
从图示上可以大致看出这两种关系的区别：一种是对应点完全落到一条函数曲线上；另一种是并不完全落在曲线上，而有的点在曲线上，有的点在曲线的两边。
对于后者这种不能用精确的函数关系来描述的关系正是计量经济学研究的重要内容。
二、一元线性回归模型 1.模型的建立一个例子，见教材66页：总体回归模型：01i i i Y X ββε=++ 理解：（1）误差的随机性使得Y 和X 之间呈现一种随机的因果关系；（2）Y i 的取值由两部分组成，一类是系统内影响，一类是系统外影响。
样本回归直线：01i i Y X ββ=+样本回归模型：01i i i Y X e ββ=++2.模型的假设（1） 误差项i ε的数学期望无论I 取什么值都是零。
第09章 线性回归模型的异方差问题
2
ˆ y = a + bx
∑
ˆ ) 2 = m in (y − y
2
ˆ 由∑ ( y − y ) = min ，有 ∑ ( y − a − bx ) = min, 分别对函数中 a、 b求偏导数，并令其为零 ，有 2∑ ( y − a − bx )(− 1) = 0 2∑ ( y − a − bx )(− x ) = 0
14
(0.0019)
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－方程回归结果图
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－残差与观察值（销售额）关系图
16
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。 尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 u 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。 问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
7
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定3 给定X，扰动误差项u的数学期望或均值为0， 即E（u|X）＝ 0。 Y
＋u ＋u －u －u －u
＋u
E(Y|X)=α+β*X
0
X
8
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
ˆ y = a + bx
∑
ˆ ) 2 = m in (y − y
2
ˆ 由∑ ( y − y ) = min ，有 ∑ ( y − a − bx ) = min, 分别对函数中 a、 b求偏导数，并令其为零 ，有 2∑ ( y − a − bx )(− 1) = 0 2∑ ( y − a − bx )(− x ) = 0
14
(0.0019)
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9.2 异方差的性质－方程回归结果图
15
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9.2 异方差的性质－残差与观察值（销售额）关系图
16
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9.2 异方差的性质
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。 尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 u 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。 问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
7
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一元线性回归分析－回归的假定条件
假定3 给定X，扰动误差项u的数学期望或均值为0， 即E（u|X）＝ 0。 Y
＋u ＋u －u －u －u
＋u
E(Y|X)=α+β*X
0
X
8
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一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
一元线性回归法linlm
b
x y xy x2 x2
101.8389 ,
a y bx -28.6883
y
[ yi (a bxi )]2 n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
y'=a+bxi-Cu·σy
y"=a+bxi+Cu·σy
令Y lห้องสมุดไป่ตู้ y, X x，A lna, B b
则方程可化为：Y A BX
可求得，BA
A B
A B
Alna,Bba b
eA eAA B B
线性方程 y a bx
a y bx
xy x y
,
b
x2 x2
a b. x2
b
n(
x
1 2
x
2
)
.
y
r
xy x y
n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Cu 2.10 2.13 2.15 2.17 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28
n 23 24 25 30 40 50 75 100 200 Cu 2.30 2.31 2.33 2.39 2.49 2.58 2.71 2.81 3.02
最终得到最佳的拟合直线方程(也称回归方程):
y a bx
• 需要考虑的两个问题
* 经验公式是否合适——相关系数 * 测量列是否存在粗差——肖维涅舍弃判据
附：相关系数表和肖维涅系数表
注意
*相关系数 r
1.只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有
意义。
2.为了检验拟合的直线有无意义，引入一个叫相关系 数r来判别，r的定义为:
课件 一元线性回归
y=7.743x+8.371
求回归直线方程的步骤：
⑴计算平均数 x 与 y ； ⑶计算 ；
2
⑵计算xi与yi的积，求 x
⑷将结果代入公式求 a；
i
yi
xi
⑸用 b y a x 求 b ； ⑹写出回归方程 ．
教材 P 198 A 组
最佳直线的方程即为
这条直线就称作为
回归直线
以直线表示的相关关系就叫做
一元线性关系
一般地，寻求数学公式表达，我们总结出一个普遍适用的式子
回归直线方程 y a bx 其中a、b是待定系数 ˆ
b
n
xi yi nx y , xi nx
2 2
i 1
n
i ⑵在直角坐标系内作出图象．
⑶观察图象中的点有什么特点？
70 60 50 40 30 20 10 0 -5 0
热茶销售量/杯
y=bx+a
5
10
15
20
25 30 最低气温/℃
W(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2 + (10b+a-38)2+ (4b+a-50)2+(- b+a-64)2
x y 2 25
设对变量 x，y 有如下观察数据：
4 40 5 48 6 50 7 60 8 75
试写出y对x的回归直线方程
解： x（平均）=16/3 y(平均)=149/3 x(平均)*y（平均）=2384/9 x i y i(总和)=1770 x i2（总和）=194 n=6
得 b=7.743
第九章SPSS回归分析
第3步：启动分析过程。点击【分析】【 回归】【线性】菜单命令，打开如图所示 的对话框。
第4步：设置分析变量。设置因变量：在左边变量 列表中选“成就动机分数”，选入到“因变量”框 中。设置自变量：在左边变量列表中选“智商分数 ”变量，选入“自变量”框中。如果是多元线性回 归，则可以选择多个自变量。
第八个表：残差统计
第九个：标准化残差的概率图
[分析]：由此图可知，所有的点都比较靠近对角线 ，结合前面第八个表中的标准化残差为0.892，小 于2，因此可以认为残差是正态的。
由于自我效能感、服从领导满意度、同事人际敏感 、工作技能水平、个人信心指数这几个变量的回归 系数所对应的sig值不显著，在回归分析中需要删 除这几个变量，然后再建立回归方程。因此在SPSS 中接着再次进行回归分析。
分析：此例属于一元线性回归，一般先做两个变量 之间的散点图进行简单地观测。若散点图的趋势大 概呈线性关系，可以建立线性方程；若不呈线性分 布，可建立其它方程模型，并比较R2来确定选择其 中一种最佳方程式。
一元线性回归方程的原假设为：所建立的回归方程 无效，回归方程中来自总体自变量的系数为0。
第9步：重复前面SPSS的操作步骤，从第2步至第6 步。在第3步将自我效能感、服从领导满意度、同 事人际敏感、工作技能水平、个人信心指数这几个 变量从自变量移出，由于SPSS软件中还保存了刚才 第4、5、6步的操作内容，此时只需要再点击【确 定】按钮，输出分析结果。其中模型摘要、回归方 程、回归系数表如下：
第4步：设置分析参数。单击【统计】按钮，打开“ 线性回归：统计”对话框，可以选择输出的统计量 如图所示。
在“回归系数”栏，选择“估算值”。
在对话框的右边，有五个复选框：
（1）“模型拟合”是系统默认项，输出复相关系数 R、R2及R2修正值，估计值的标准误，方差分析表。 （2）“R方变化量”:增加进入或剔除一个自变量时 ， R2的变化。
计量经济学课件一元线性回归
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS） 给出的判断标准是：二者之差的平方和
ˆ ˆ X )) 2 ˆ ) (Y ( Q (Yi Y i i 0 1 i
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
ˆ Y 顺便指出 ，记 y ˆi Y i
则有
ˆ ˆ X ) ( ˆ ˆ X e) ˆi ( y 0 1 i 0 1 ˆ (X X ) 1 e 1 i n i
可得
ˆx ˆi y 1 i
（**）
（**）式也称为样本回归函数的离差形式。
注意：
在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值 的离差。
易知 故
x k x
i
i
2 i
0
k X
i
i
1
ˆ k i i 1 1
ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
同样地，容易得出
ˆ ) E ( w ) E( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
1 (2 ) n
n 2
1 2
一元线性回归模型(计量经济学)
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
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1478 40
ˆ ˆ , a y b x 11 . 3
30
1052
220
276590
7790
例
某医院用光电比色计检 下
验尿汞，得尿汞含量
尿汞含量 X i 消光系数 Y i 2 64 4 138
( mg / l )
6 205 8 285 10 360
与消光数读数的结果如
已知它们之间服从线性
.
4 . 对选定的模型进行显著
性检验。
三、一元线性回归
y a bx e 研究一元回归模型： 2 e ~ N (0, ) 取样本 ( x i , y i )( i 1 , 2 , , n ), 显然有 y a bx e , i i i
由于 e i 相互独立且与同 e 同分布， 则
x 6 , y 210 . 4 , S xx 220 1 5 30
2
4 16 36 64 100
4696 19044 42025 81225 129600
220 180 40
S xy
S xy S xx
5
x i y i 5 x y 1478
i1
ˆ b
16 100 225 441 841 1296 2601 4624
234
10144
811 . 3
24583 . 6
a 67 . 5077 , b 0 . 870 . 6
xi 0 4 10 15 21 29 36 51 68
xi 0
2
yi
66 . 7 71 . 0 76 . 3 80 . 6 85 . 7 92 . 9 99 . 4 113 . 6 125 . 1
xi yi
0 284 763 1209 1799 . 7 2649 . 1 3578 . 4 5793 . 6 8506 . 8
9
模型 E (Y i ) a bX i，求 a 和 b 的最小二乘估计。
2
(y
i1
9
i
a bx i )
2 ( y i a bx i ) 0
i 1 9
2 ( y i a bx i ) x i 0
i 1
9 9 9a b x i yi i 1 i 1 9 9 9 2 a xi b xi xi yi i 1 i 1 i 1
30
1052
220
276590
7790
5 a 30 b 1052 30 a 220 b 7790
ˆ ˆ b 36 . 95 , a 11 . 3
练习题 在考虑硝酸钠的可溶性 程度时，对一列不同的 温度（ C ）观察
0
它在 100 ml 的水中溶解的硝酸钠的
ˆ ˆ a y b x 67 . 3 0 . 48303 145 2 . 73935
得回归直线方程：
ˆ ˆ ˆ y a b x 2 . 73935 0 . 48303 x
例 2 .某医院用光电比色计检 与消光数读数的结果如
尿汞含量 X i 消光系数 Y i
2 i 1 n
ˆ ˆ a , b 就是 a , b
2 ˆ ˆ ( y i a bx i ) 是Q(a , b )的最小 i 1
n
ˆ y
ˆ ˆ a bx
最小二乘法
求 Q (a , b )
二、求回归的一般步骤
1 .求取试验数据 - - 样本观察值
( x x n , y n ),
2 .选择回归模型 具体做法： - - 指选取怎样的函数来描 述 ( x ), 这不是纯数学的问题。
将样本观测值在直角坐 标系中标出， 个点的图形叫做“散点 n 图”， 由它的分布情况粗略选 ( x )的类型。 定
ˆ 数对 ( x i , y i )( x i , y i ) 就是直线上的点与散点
记 Q (a , b )
, 可能重叠或不重叠
e
i 1
n
2 i
(y
i1
n
i
a bx i )
2
求 Q ( a , b )的最小值所得到的
ˆ ˆ 这里Q(a , b )的含义 : ˆ ( yi yi )
温度 X i 硝酸钠重量 Yi 0 66 . 7 4 71 . 0 10 76 . 3 15
重量（ g ），得观察结果如下：
21 85 . 7 29 92 . 9 36 99 . 4 51 113 . 6 68 125 . 1
80 . 6
已知它们之间服从线性
Q (a , b )
Q a Q b
2
n
xi
n
2
i1
1 n xi , n i1
2
S xy
(x
i1
n
x )( y i y )
i1
n 1 n x i y i x i y i n i1 i1
ˆ b
ˆ ˆ a,b
n
ˆ ˆ ˆ 回归方程为 y a bx
ˆ b
(x
i1 n
n
i
x )( y i y ) ( xi x )
2
S xy S xx
ˆ a
这里 S xx
n
1
yi
i1
n
ˆ b
n
ˆ xi y bx
i1
i 1
(x
i1 i
n
i
x)
第九章第三节 一元线性回归
一、回归分析的基本思
在现实生活中，变量之 另一种是非确定关系， 的关系，仿照函数关系 分析就是研究变量间相
相关关系中的变量一般 一定的概率分布。因此 件期望
想
间的关系可分为两种类 型：一种为确定关系即 关系；农作物的单位产 ，在统计学上称为相关 。
量 x 的每一个确定值 , 因变量 y有 y 得条
如散点图有明显的线性 趋势，则可假定 和x之间服从线性关系 y
y ( x ) e a bx e
通常认为
3 .对参数作估计
a, b是待估计参数， 是随机误差，表示一切 e 随机因素对 影响的总和， y
e ~ N (0, )
2
2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ , 即对 a , b , 作估计量 a , b , , 称 y a b x 为经验回归方程
2 ( y i a bx i ) 0
i 1 5
5
4 16 36 64 100
4696 19044 42025 81225 129600
2 ( y i a bx i ) x i 0
i 1
5 5 5a b x i yi i 1 i 1 5 5 5 2 a xi b xi xi yi i 1 i 1 i 1
验尿汞，得尿汞含量
( mg / l )
下
2 64 4 138 6 205 8 285 10 360
已知它们之间服从线性
模型 E (Y i ) a bX i，求 a 和 b 的最小二乘估计。
2
解一：
x 2 4 6 8 10
y 64 138 205 285 360
x
y
2
xy 128 552 1230 2280 3600
yi ~ N (1 bxi , )
2
2
E ( y
) E ( a bx i ) E ( e ) a bx i 0 , D ( y i ) 0 D ( e ) i
1.用最小二乘法求 b的估计 a,
ˆ ˆ ˆ 设直线 y a b x 表示拟合的直线，由样 ˆ 本 ( x i , y i )，每个 x i , 就有一个 y i
函数关系， 量与施肥量 关系，回归
如人的身高体重之间的 ，也称自变量与因变量 关关系的一种统计方法
是随机变量，对于自变
，如果 y 的期望存在，则显然是
x 的函数，统计上称
E( y | x) (x)
。回归函数描述了应变 量 y 的平均值 ( x )
为 y 对 x 的回归函数，简称回归 与自变量 x 之间的相关关系
9 9 9a b x i yi 9 a b 234 811 . 3 i 1 i 1 9 9 9 a 234 b 10144 24583 . 6 2 a xi b xi xi yi i 1 i 1 i 1
例如 , 假设 y 表示某农作物的单位产 可理解为相当大的面积
量 , x 表示单位施肥量
, 则 ( x )的含义
上每单位施肥量为
x 时的平均单位产量。
由于y的分布未知，故回归函 ( x )无法求的，只好利用实 数 验数据对 ( x ) 进行估计，统计上称估 ( x )的问题为求 对x的回归问题。 计 y
(x
i1 n
n
i
x )( y i y ) ( xi x )
2
S xy S xx
ˆ ˆ a y bx
i 1
例 P 248 例 2
x 145 , y 67 . 3 , S xx 8250 , S xy 3985
ˆ b S xy S xx 3985 8250 0 . 48303
求 Q ( a , b )的驻点 :