【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套练习：第2章 第11讲

第二章 第11讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2019·鸡西模拟]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A. (－∞，2)B. (0,3)C. (1,4)D. (2，＋∞)答案：D解析：由题意知，f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由f ′(x )>0得x >2.故选D.2. [2019·陕西高考]设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A. x ＝12为f (x )的极大值点 B. x ＝12为f (x )的极小值点 C. x ＝2为f (x )的极大值点D. x ＝2为f (x )的极小值点答案：D解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，∵x >0， ∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．3. [2019·金版原创]若a >1，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( ) A. 3B. 2C. 1D. 0 答案：C解析：f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >1可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，所以f (x )在(0,2)内只有一个零点．故选C. 4. [2019·济南名校模考]设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A. a <－1B. a >－1C. a <－1eD. a >－1e 答案：A解析：由题知y ′＝e x ＋a ＝0有大于0的实根，即x ＝ln(－a )>0⇒－a >1⇒a <－1.5. 已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. f (b )>f (c )>f (d )B. f (b )>f (a )>f (e )C. f (c )>f (b )>f (a )D. f (c )>f (e )>f (d )答案：C解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.6. [2019·石家庄质检]设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. 1<a ≤2B. a ≥4C. a ≤2D. 0<a ≤3答案：A解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数，∴a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.二、填空题7. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)答案：②③解析：由导函数图象可知f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1，2]上递增，在[2,4]上递减，x ＝－1为极小值点，x ＝3不是极值点，故②③正确．8. [2019·天津模拟]函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案：a >2或a <－1解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值又有极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.9. [2019·无锡模拟]已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．答案：b <－1或b >3解析：y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立， ∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.三、解答题10. [2019·温州质检]设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 ↗ ↘ ↗所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a的取值范围为{a |0<a ≤1}．11. [2019·宁波模拟]已知函数f (x )＝ln x ＋a x－1(a ∈R)． (1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0，e]上有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )在x ＝1处取得极大值，f (x )极大值＝f (1)＝0.(2)仿(1)可得f (x )在x ＝e 1－a 处取得极大值，f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a －1－1. (ⅰ)当e 1－a <e ，即a >0时，仿(1)知f (x )在(0，e 1－a )上是增函数，在(e 1－a ，e]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (e 1－a )＝e a －1－1.又当x ＝e －a 时，f (x )＝－1，∴f (x )的图象在区间(0，e]上有零点，等价于e a －1－1≥0， 解得a ≥1，又a >0，∴a ≥1.(ⅱ)当e 1－a ≥e ，即a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，又当x ＝e －a 时，f (x )＝－1，∴①当e －a ≤e ，即a ≥－1时，f (x )在(0，e]上的最大值为f (e)＝1＋a －e e， ∴原问题等价于1＋a －e e≥0，解得a ≥e －1. 又∵a ≤0，∴此时无解．②当e －a >e ，即a <－1时，f (x )在(0，e]上的最大值为f (e)＝1＋a －e e<f (e －a )＝－1， ∴此时无解．综合(ⅰ)(ⅱ)得a ≥1.12. [2019·琼海模拟]已知函数f (x )＝e x ＋ax －1(a ∈R ，且a 为常数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝e x＋a，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，f(x)在(－∞，ln(－a))上是单调减函数．综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；a<0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即e x＋ax≥e－x－ax恒成立，即e x－e－x＋2ax≥0恒成立，令h(x)＝e x－e－x＋2ax，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立，又h′(x)＝e x＋e－x＋2a，且h′(x)≥2e x·e－x＋2a＝2＋2a，x＝0时等号成立．①当a≥－1时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．②当a<－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋a2－1)，当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，故h(x)在该区间为减函数，所以，x∈(0，x1)时，h(x)<h(0)＝0，∴a<－1时不符合题意．综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．。