2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章3第1课时探索三角形全等的条件(一)

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2020-2021学年七年级数学北师大版下册综合练习——第4章三角形【含答案】

第4章三角形一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形2．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（）A．100°B．120°C．130°D．140°3．如图，点A，D在线段BC的同一侧，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，已知∠1＝∠2，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．AB＝DC4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，75．如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（）A．9厘米B．4厘米C．3厘米D．2厘米6．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④8．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（）A．60°B．100°C．120°D．130°9．如图将一副三角板拼成如图所示的图形（∠D＝30°，∠ABC＝90°，∠DCE＝90°，∠A＝45°），BC交DE于点F，则∠DFC的度数是（）A．75°B．105°C．135°D．125°10．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（）A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EG＝CE11．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF二、填空题12．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是．13．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为平方单位．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，△ABC是三角形．15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．16．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为1、3，则正方形的边长为．17．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加根木条才能固定．18．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝．19．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∠A＝60°，则∠E＝．20．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是．三、解答题21．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．22．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：△ACE≌△DBF．（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．25．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．27．如图所示，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的式子表示PC的长度是；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？答案一、选择题1．D2．B3．D4．C5．D6．A7．D8．C9．B10．B11．B二、填空题12．三角形的稳定性．13．．14．直角．15．35．16．．17．3．18．80°．19．30°．20．ASA．三、解答题21．解：如图所示：．22．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴在△ABD中，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．答：∠C的度数是40°．23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．24．（1）证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝BD．在△ABC和△EDF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）；（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，∴∠ACE＝∠DBF．∵BF⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠HBC＝∠HCB＝45°．25．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，∴∠BEA＝∠DEA，∴∠BEC＝∠DEC，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，∴∠BED＝2×70.5°＝141°．26．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．27．解：（1）PC＝3﹣t．（2）△CPQ≌△BDP，理由如下：∵P、Q的运动速度相等，∴1秒后，CQ＝BP＝1，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，∵D为AB的中点，∴BD＝，∴CP＝BD，在△CPQ和△BDP中，，∴△CPQ≌△BDP（SAS）．（3）解：由（1）知，PC＝3﹣t，BP＝t，CQ＝at，BD＝2，∵∠C＝∠B∵△BPD与△CQP全等，①当△CPQ≌△BDP时，BP＝CQ，t＝at，∵t≠0，∴a＝1与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去．②当△CPQ≌△BPD时，BP＝CP，CQ＝BD，∴t＝3﹣t，at＝2，t＝a＝．即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP全等．。

第4章三角形证明题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解-2020-2021学年北师大版七下数学

《三角形证明》题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解【知识梳理】第一步：应用情景----看题目所求的结论分析①直接证两个三角形全等②证两个角相等（或求角度，证该角与已知角相等）③证两条边相等（或求角度，证该角与已知角相等）④证边或角的倍分关系⑤证边或角的和差关系第二步：明确需证全等的两个三角形（针对以上五种情形）1.挑选方法①直接确定②直接找两个角所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三个角与其中未换的那个角所在三角形全等；③直接找两条边所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三条边与其中未换的那条边所在三角形全等；④先利用已知条件，把边或角的倍分关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；⑤先“截长补短”，把把边或角的和差关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；2.挑选技巧①所挑选的两个三角形，从图形视觉上应完全相同；②所挑选的两个三角形，离已知条件的图形位置最近；第三步：寻找全等条件，确定全等方法①先看字母找条件，再看图形证条件；②看图时，学会拉近已知条件与未知条件的图形位置；③学会利用已证明结论的作已知条件----“解题思路的延续性”；附：熟悉三角形全等中四个典型：“典型模型、典型图形、典型题型、典型经验”，快速确定思路方向和解题方法；【范例详解】例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，求证： DO＝EO。

【思路分析】要求DO=EO，首选三角形全等，找DO、EO所在的三角形△DOB与△EOC，再确定这两个三角形全等条件。

不难找到以下的全等条件：已知条件BO=CO；对顶角∠DOB=∠EOC，还缺一个全等条件，由于OD=OE是题目最终要证的结论，所以不可能运用SAS证明这两个三角形全等，即意味着所缺的那个全等条件应该是一组角相等，而且一定与未用过的已知条件：AB=AC有关。

北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形课件(共65张PPT)

1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形锐角三角形:三个角都是锐角的三角形钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共边是AC.
1 认识三角形
知识点二三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直直角三角形
线)的交
点位置钝角三角形
交点在三角形内交点在直角顶点处交点在三角形外
三条中线交于三角形内一点(这一点称为三角形的重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段的位置
锐角三角形直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全在三角形内
三角形内一条,三角形外两条

七年级数学下册第4章三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版

例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B

4.3探索三角形全等的条件(3)全等三角形的判定——SAS-2024学年北师大版数学七年级下册

所以△AEB≌△ADC(SAS).
所以∠B=∠C.
4.如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点
在同一直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;
②∠ACE+∠DBC=90°;
③BD⊥CE;
④∠BAE+∠DAC=180°.
①③④
其中正确的是____________.(把正确结论的序号填在横线上)
解:在△ABC与△DCB中,
= ,
∠ = ∠,
= ,
所以△ABC≌△DCB(SAS).
3.如图,已知线段BE,CD交于点O,点D在线段AB上,点E在线段
AC上,AB=AC,AD=AE.试说明∠B=∠C.
解:在△AEB和△ADC中,
= ,
∠ = ∠ ,
= ,
△AOD≌△COB.
= ,
解:在△AOD和△COB中, ∠ = ∠,
= ,
所以△AOD≌△COB(SAS).
如图,BA=BE,BC=BD,∠ABD=∠EBC.试说明△ABC≌
△EBD.
解:因为∠ABD=∠EBC,
所以∠ABD-∠CBD=∠EBC-∠CBD.
所以∠ABC=∠EBD.
是由它抽象出的几何图形,点B,C,E在同一条直线上,连接DC.请
找出图②中的全等三角形,并说明理由.(不再添加其他线段,不再
标注或使用其他字母)
△ABE≌△ACD
解:你找到的全等三角形是:_________________.
解:因为△ABC和△DAE是等腰直角三角形,
所以AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°.
第四章
三角形

2020-2021学年北师大版七年级数学下册 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，连接AD后，当AD＝____，AB＝____，BD＝____时，可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.连接BC后，当AB＝____，BC＝____，AC＝____时，可用“SSS”推得△ABC≌△DCB.2．在△ABC与△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝____．3．(1)如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是____．(2)如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的____．4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C 作射线OC.由该做法得△MOC≌△NOC的依据是____．二、选择题5．如图，下列四个选项中所指两个三角形全等，其中正确的是( ),①) ,②) ,③) ,④)A．①②B．①④C．②④D．③④6．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是( )A．AC＝DB B．AC＝BC C．BE＝CE D．AE＝DE7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.由作法可得：△ABC≌△CDA的根据是( )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，已知AB＝AC.BD＝DC，那么下列结论中不正确的是( )A．△ABD≌△ACD B．∠ADB＝90°C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC9．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是( ) A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OC D．∠C＝∠D三、解答题10．如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN，试说明：AM∥CN.11．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥BF.B组(中档题)一、填空题12．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x＝____．13．如图，五边形ABCDE中有等边三角形ACD，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE 的度数为____．二、解答题14．(1)如图，AD＝BC，AB＝DC.求证：∠A＋∠D＝180°.(2)如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB的中点，说出∠C＝∠D的理由．C组(综合题)15．(1)如图，AB＝AE，BC＝ED，CF＝FD，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.(2)如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC，请说明∠A＝∠C.参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，连接AD后，当AD＝DA，AB＝DC，BD＝CA时，可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.连接BC后，当AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB时，可用“SSS”推得△ABC≌△DCB.2．在△ABC与△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝76°．3．(1)如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是127°．(2)如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的稳定性．4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C 作射线OC.由该做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS．二、选择题5．如图，下列四个选项中所指两个三角形全等，其中正确的是(C),①) ,②) ,③) ,④)A．①②B．①④C．②④D．③④6．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是(A)A．AC＝DB B．AC＝BC C．BE＝CE D．AE＝DE7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.由作法可得：△ABC≌△CDA的根据是(D)A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，已知AB＝AC.BD＝DC，那么下列结论中不正确的是(C)A．△ABD≌△ACD B．∠ADB＝90°C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC9．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是(C) A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OC D．∠C＝∠D三、解答题10．如图，点A ，C ，B ，D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，试说明：AM ∥CN.解：∵AC ＝BD ， ∴AB ＝CD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，∴△ABM ≌△CDN(SSS)． ∴∠A ＝∠NCD.∴AM ∥CN(同位角相等，两直线平行)．11．如图，点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF.求证：AE ∥BF.证明：∵AD ＝BC ，∴AC ＝BD. 在△ACE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AE ＝BF ，CE ＝DF.∴△ACE ≌△BDF(SSS)， ∴∠A ＝∠B ， ∴AE ∥BF.B 组(中档题)一、填空题12．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这两个三角形全等，则x ＝3．13．如图，五边形ABCDE 中有等边三角形ACD ，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，则∠BAE 的度数为125°．二、解答题14．(1)如图，AD ＝BC ，AB ＝DC.求证：∠A ＋∠D ＝180°.证明：连接AC.∵AD ＝CB ，AB ＝CD ，AC ＝CA ， ∴△ABC ≌△DCA. ∴∠BAC ＝∠ACD. ∴AB ∥CD.∴∠BAD ＋∠D ＝180°.(2)如图，已知AD ＝BC ，OD ＝OC ，O 为AB 的中点，说出∠C ＝∠D 的理由．解：∵O 为AB 中点， ∴OA ＝OB.在△BOC 和△AOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，OC ＝OD ，OB ＝OA ，∴∠C ＝∠D.C 组(综合题)15．(1)如图，AB ＝AE ，BC ＝ED ，CF ＝FD ，AC ＝AD.求证：∠BAF ＝∠EAF.证明：在△ACF 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，CF ＝DF ，AF ＝AF ，△ACF ≌△ADF(SSS)． ∴∠CAF ＝∠DAF.在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，BC ＝ED ，AC ＝AD ，∴△ABC ≌△AED(SSS)．∴∠CAB ＝∠DAE.∴∠BAF ＝∠EAF.(2)如图，已知线段AB ，CD 相交于点O ，AD ，CB 的延长线交于点E ，OA ＝OC ，EA ＝EC ，请说明∠A ＝∠C.解：连接OE. 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧QA ＝OC ，EA ＝EC ，OE ＝OE ，∴∠A＝∠C.。

北师大版七年级数学下册4.3.2 探索三角形全等的条件

.
如图,∠A＝∠D,要使△ABC≌△DBC,还需要补充一个条件:
利用“角边角“判定两三角形全等：
所以△BEC≌△CDA(AAS).
解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.
因为CF⊥AD，BE⊥AE，
所以∠CFD＝∠BED＝90°.
BED＝CFD，

)
在△BDE和△CDF中，因为
BDE＝CDF，
利用“角角边“判定两三角形全等：
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.
在△BAC和△EAD中，因为
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
所以CE＝AD＝5 cm,BE＝CD,
所以△BDE≌△CDF(AAS)．
利用“角边角“判定两三角形全等：
两角及其夹边
分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”
或“ASA”).
几何语言:
在△ABC与△A'B'C'中,
∠＝∠',
＝'',所以△ABC≌ △A'B'C' (
∠＝∠',
ASA
).
1.〈厦门〉已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝
∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
试说明：△ABC≌△DEF.
在探索三角形全等条件及其应用过程中,能够进行有条理地思考并进行简单地推理.
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
)
∠ACB＝∠F
B.
所以△BEC≌△CDA(AAS).
的判定方法看缺什么条件，再去说明什么条件，简言

北师大版数学七年级下册：4.3 探索三角形全等的条件——“角边角”“角角边”判定教学设计

第四章三角形“角边角”“角角边”判定----4.3 探索三角形全等的条件（2）一、教学目标：1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.使学生理解并掌握全等三角形的“角边角”“角角边”判定定理的条件；3.培养学生有条理的思考并进行简单的推理，继续渗透分类思想和转化思想的应用。

二、教学重、难点：教学重点：掌握全等三角形的“角边角”“角角边”判定定理，能应用其来判定两个三角形是否全等。

教学难点：使学生能够有条理的思考和理解简单的推理过程。

三、课时设计：1课时四、教学策略：1.采用交互式一体机辅助教学，既能激发学生求知的兴趣，又能增加课堂教学的知识容量和时效性；2.采用启发式—合作探究的方式展开教学，有利于突出学生的主体地位， “以人为本”，实现让每个学生都享有优质的教育。

五、课前准备：教师：教学设计、课件等；学生：一副三角尺、铅笔、直尺等。

六、教学过程：1.引入美（情境导入）⑴ 学生展示锚图，分享探索三角形全等的条件的收获。

⑵ 问题情境：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中的理由吗?设计意图：从生活实际出发，以故事的形式自然引入课题，既能引起学生对本节课学习的重视，又能激发学生求知的强烈欲望。

AB2.寻找美（师生合作）师：如果给出三个条件画三角形，共有几种可能性？生：4种可能性。

分别是：⑴三边（SSS）;⑵三角（不一定全等）两角及夹边⑶两角及一边两角及其中一角的对边⑷两边及一角设计意图：通过复习，帮助学生用分类思想构建知识框架，为课堂教学的顺利进行做好铺垫。

3.冶炼美(自主-合作式探究)【做一做】（探究一）（1）已知：三角形的两个内角分别是600和300,它们所夹的边为3cm。

问：你能画出这个三角形吗?你画的三角形与同桌画的一定全等吗?学生活动：画图---对比。

北师大版七年级数学下册教学课件4.3探索三角形全等的条件——角边角和角角边

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
仿例2.已知：如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ＝NQ. 求证：HN＝PM.
解：∵MQ和NR是高, ∴∠MRN＝∠MQP＝90°. ∴∠PMQ＋∠P＝∠P＋∠PNR, ∴∠PMQ＝∠PNR. ∵MQ＝NQ, ∴△MQP≌△NQH. ∴HN＝PM.
练习
活动2 合作探究1 范例1.如图,AD∥BC, BE∥DF, AE＝CF,试说明：△ADF≌△CBF.
证明：∵AD∥BC, BE∥DF, ∴∠A＝∠C,∠DFE＝∠BEC. ∵AE＝CF, ∴AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE.
∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中,∵AF＝CE，
∠DFA＝∠BEC，
阅读教材P100—101,完成下列问题：
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
③∠FAN＝∠EAM；
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）
练习
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形
是否全等，并说明理由.
A
不全等，因为BC虽然是公共边，但
不是对应边.
C B
D
练习
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 △ABC≌△DEF （写出一个即可）.
AB=DE可以吗？×
AB∥DE
∠B=∠E （ASA）
掌解握：三因解角为形△：全AB等因C条≌△为件A“′△BA′CSA′A，”B“ACAS”≌,并能△应A用′它B们′C来′判，定两个三角形是否全等.

【北师大版】七年级下册数学第四章+三角形第3节《探索三角形全等的条件》第三课时参考教案

【北师⼤版】七年级下册数学第四章+三⾓形第3节《探索三⾓形全等的条件》第三课时参考教案§3.3.3 探索三⾓形全等的条件教学⽬标（⼀）教学知识点三⾓形全等的条件：边⾓边.（⼆）能⼒训练要求1.经历探索三⾓形全等条件的过程，体会利⽤操作、归纳获得数学结论的过程.2.掌握三⾓形全等的“边⾓边”条件.3.在探索三⾓形全等条件及其运⽤的过程中，能够进⾏有条理的思考并进⾏简单的推理.（三）情感与价值观要求通过画图、思考、探索来激发学⽣学习的积极主动性，并使学⽣获得⼀些研究问题的经验和⽅法，发展实践能⼒与创新精神.教学重点三⾓形全等的条件：边⾓边.教学难点三⾓形全等的条件的探索.教学⽅法引导发现法.教具准备投影⽚三张第⼀张：做⼀做（记作投影⽚§ 3.3.3 A ）第⼆张：全等条件（记作投影⽚§ 3. 3.3 B ）第三张：做⼀做（记作投影⽚§ 3.3.3 C ）教学过程I.巧设现实情景，引⼊新课［师］在前两节课的讨论中，我们知道：只给出⼀个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三⾓形⼀定全等. 给出三个条件时，有四种可能出现的情况，想⼀想，是哪四种呢？［⽣］三条边、三个⾓、两⾓⼀边、两边⼀⾓.［师］对，在这四种情况中，我们已经研究了三种：三条边，三个⾓，两⾓⼀边. 由讨［⽣］三条边对应相等的两个三⾓形全等；两⾓⼀边，即两⾓及其夹边或两⾓及⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等?三个⾓对应相等的两个三⾓形不全等?［师］很好，那第四种情况怎么样呢？即给出三⾓形的两边及⼀⾓时，所得到的三⾓形都全等吗？这节课我们继续来探索三⾓形全等的条件n.讲授新课［师］⼤家想⼀想：如果已知⼀个三⾓形的两边及⼀⾓，那么有⼏种可能情况呢？［⽣］有两种：两边及这两边的夹⾓，两边及⼀边的对⾓［师］好，那在每种情况下得到的三⾓形全等吗？我们逐⼀来研究?先看第⼀种情况下，两个三⾓形是否全等?（出⽰投影⽚§333 A ）做⼀做如果“两边及⼀⾓”条件中的⾓是两边的夹⾓?如：三⾓形的两条边分别为 2.5 cm 3.5 cm.它们的夹⾓为40°,你能画出这个三⾓形吗？你画出的三⾓形与同伴画的⼀定全等吗？［师］⼤家利⽤直尺、三⾓尺和量⾓器来画满⾜以上条件的三⾓形，然后与同伴画的来⽐较⼀下?［⽣甲］我画的三⾓形如下，与同伴画的全等2. 5 cm图［⽣⼄］⽼师，由此能不能得到这样的结论：如果已知三⾓形的两边及其夹⾓，那么所得的三⾓形都全等?［师］这位同学提的问题很好，那我们来改变上述条件中的⾓度和边长，⼤家分组讨论,3. 5 cm看是否有⼄同学说的结论？［⽣丙］我们组在已知了三⾓形的两边及两边的夹⾓后，画得所有三⾓形都全等［⽣丁］我们组也是?［师］由此我们得到了三⾓形全等的条件（出⽰投影⽚§333 B ）两边和它们的夹⾓对应相等的两个三⾓形全等?简称“边⾓边”或“ SAS如图，在△ ABCFH A DEF中.AB DEB E △ABC^A DEFBC EF接下来我们研究第⼆种情况：（出⽰投影⽚§ 3.3.3 C ）做⼀做如果“两边及⼀⾓”条件中的⾓是其中⼀边的对⾓.如：两条边分别为2.5 cm 3.5 cm.长度为2.5 cm的边所对的⾓为40°,所画的三⾓形与同伴画的全等吗？［⽣甲］我按上述条件画的三⾓形与同伴画的三⾓形全等.如图.图［⽣⼄］我按上述条件画的三⾓形不唯⼀，有两个不同的三⾓形满⾜上述条件：如图.图由图可知：这两个三⾓形不全等?［⽣丙］⽼师，由此能不能说：两边及其中⼀边的对⾓对应相等，两个三⾓形不⼀定全等?［师］对，如果说⼀个命题错误，只需举出⼀个反例即可?如⼄同学画的图形就是⼀个反例，它说明两边及其中⼀边的对⾓对应相等的两个三⾓形不全等?所以丙同学得出的结论是正确的?因此可知：“两边及⼀⾓”中的两种情况中只有⼀种能判定三⾓形全等? 即:两边及其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等?下⾯我们通过做练习来熟悉掌握三⾓形全等的条件川?课堂练习（⼀）课本随堂练习1.分别找出各题中的全等三⾓形，并说明理由答案：图（1）中的两个三⾓形全等? 即:△ABC2A EFD因为根据“ SAS可得?AB EF即：A EAC DE△ABC^A EFD图(2)中的△ ADC2A CBA根据“ SAS可得出结论.即:AD BCDAC BCA △ADC^A CBAAC AC图2.⼩明做了⼀个如图所⽰的风筝，其中/ EDH=Z FDH ED=FD将上述条件标注在图中,⼩明不⽤测量就能知道EH=FH吗？与同伴进⾏交流.答:能.因为根据“ SAS可以得到⼛DEH^A DFH由“全等三⾓形的对应边相等”可得: EH=FH(⼆)看书，然后⼩结.IV.课时⼩结这节课我们重点探索了三⾓形全等的条件：“边⾓边”.⾄此我们已有五种判定三⾓形全等的条件.(1)全等三⾓形的定义(2)边边边(3)⾓边⾓(4)⾓⾓边(5)边⾓边.推证两个三⾓形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的条件，这样有利于探索并获得解题途径.V .课后作业（⼀）课本习题 3.8 1 、2、3（⼆） 1.预习内容：2.预习提纲利⽤尺规作⼀个三⾓形与已知三⾓形全等?.活动与探索已知：如图，AC BD EA EB分别平分/ CAB和/ DBACD过点E,则AB与AGBD相等吗？图请说明理由?［过程］让学⽣懂得：两条线段的和与⼀条线段相等时，可在长线段上截取两条中的⼀条线段?然后说明剩余的线段与另⼀条线段相等?或把⼀三⾓形移到另⼀位置?使两线段补成⼀条线段，再让它与长线段相等［结果］相等?证法⼀：在AB上截取AFAC,连接EF,如图（1）.AC AF1 2AE AEAAC'E^AAFE— *Z5=ZC^AC//BD—ZC+ZD^1SO7Z5-Z6 = 1SO&—ZS—Z bjZ3 = Z4BE- BF J—AEFB^AEDB—FB= BD IAC=AFJ-*AC+Brj= AR证法⼆：如图(2),延长BE与AC的延长线相交于点F, AC# Bl)—ZZ1-Z2AF- AF―A ―*(AF= A T1Eb'— HE ]ZF=Z^ —△EFg△耐D—>Z5=Z6 ⼃CF= BD -AR= AC+ nn.板书设计§ 333 探索三⾓形全等的条件?⼀、做⼀做⼆、三⾓形全等的条件：两边和它们的夹⾓对应相等的两个三⾓形全等?简写成“边⾓边”或“ SAS三、做⼀做四、课堂练习五、课时⼩结六、课后作业。

探索三角形全等的条件(第2课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)

角形（ B ）
A．一定不全等
B．一定全等
C．不一定全等
D．以上都不对
随堂训练
3.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
AB=DE可以吗？×
B
A
AB∥DE
∠B=∠E （ASA）
C
F
或∠A=∠D （AAS）
D
E
随堂训练
4. 已知△ABC中，BE AD于E，CF AD于F ,
形全等. （简写成“角角边”或“AAS”）
C
几何语言：
在△和△中，
∠ = ∠，
ቐ∠ = ∠ ，
= ,
∴ △ ≌△ （AAS）.
A
B
F
D
E
知识讲授
例4 已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.
A
求证：AB=AD.
12
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
D
被撕坏了，如图，你能制作一张与本来
同样大小的新教具吗？
能
你能说明其中的理由吗?
C
E
B
新课导入
想一想：
探究三角形全等的条件：有三个条件对应相等时
三个角对应相等；不能
三条边对应相等； SSS
两个角和一条边对应相等
?
知识讲授
探究：
两个角和一条边对应相等时，两三角形是否全等？
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么这两个角与这条边的位
∴ AB=CD , BC=AD,（全等三角形对应边相等）
2
4
3
∴ ∠1＝∠2 ,
C
1
A
B

第四章第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。

数学北师大版七年级下册探索三角形的全等

“ASA”，”SAS”。
探究1：如图1所示AB=AC,要⊿ADC≌⊿AEB，需要添加的条件不能是（）
A
A，∠B=∠C
B， AD=AE C，∠ADC=∠AEB D E
D， DC=BE
B
图1
C
要点解析：
若添加∠B=∠C,可与∠A=∠A，AB=AC；构成“ASA”能判定 ⊿ADC≌⊿AEB 若添加 AD=AE,可与∠A=∠A，AB=AC；构成“SAS” ”能判定 ⊿ADC≌⊿AEB 若添加∠ADC=∠AEB,与∠A=∠A，AB=AC；构成“AAS”能判定 ⊿ADC≌⊿AEB
相等说明全等。
2、判定三角形全等的方法仅有四种：“SSS”，”AAS”， “ASA”，”SAS”，注意“SSA”不能判定两个三角形全等。 3、选择那种方法判定，要根据已知条件合理选择，当有边相等时，选择“SSS”或“SAS”,当有两角相等时，选择“AAS”,”ASA”。
北师大版七年级下册第四章4.3
东镇春元中学李海燕
知识点回顾：
四种方法 SSS ASA
｝（已知两角及一边则可）
AAS
SAS（两边及夹角）
考点分析：
1、三角形的全等的四个判定方法的灵活应用是中考的必考内容，各种题型都有，形式不一，难度适中。 2、在判定三角形全等时，常存在以下三种错误：利用两边及一边所对的角对应相等说明全等；利用三个内角对应相等说明全等；利用部分当整体说明全等。 3、判定三角形全等的方法仅有四种：“SSS”，”AAS”，
若添加 DC=BE，可与∠A=∠A，AB=AC；构成“SSA”不能判定全等，不是四种判定方法之一。
A
D
E
B
C
探究2：若已知两边及其一边所对的角相等判定是否能全等?作图看看究竟。 F C

北师大版七年级数学下册课件：4.3第1课时利用“边边边”判定三角形全等

30°
50°
6cm 4cm
6cm 4cm
有两个条件相等不能保证三
角形相等
议一议如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？
给出三个条件 ①三个角：
300 300
60o
60o
1.三个角 2.三条边 3.两边一角 4.两角一边
②三条边：
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,
范围
有两个条件相等不能保证三角形相等
（3）连接线段A'B',A'C'.
AB =AC (已知） AD =AD （公共边）
A,C两点之间
摆齐
只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
BD =CD （已证） AB=AB(
)，
三边对应相等的两个三角形全等．
依据
AD =AD （公共边） ∴ BD =DC．
三角形全等的判定
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
本节我们就来讨论这个问题.
获取新知知识点一：“边边边”判定三角形全等 1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
只有一个条件相等不能保证三角形
相等
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
③两边：
30°
30°
30°
②两内角：
30° 50°
三边对应相等的两个三角形全等．
使A B = AB ,B C =BC, A C =AC.把画好的△A B C 如两果个给三出角三形个全条等件的′ 画判三定′ 角方形法，1：你能说出有′哪几′种可能的情况吗？ ′

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【例4】如图4-3-8，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B， AE=BF．试说明：△ADF≌△BCE．解：因为AE=BF，所以AE+EF=BF+EF.所以 AF=BE.在△ADF与△BCE中，
所以△ADF≌△BCE（SAS）.
4. 如图4-3-9，AC与BD相交于点O，AO=DO，BO=CO， ∠1=∠2.试说明：△ABC≌△DCB.
B. 如果两个三角形的_______两__边__和__它__们__的__夹__角_______对应相等，那么这两个三角形全等，简写成“边角边”或 “_____S_A_S_____”.
2. 如图4-3-2，已知AC和BD相交于点O，且BO=DO，AO=CO，下列判断正确的是（ D ） A．只能证明△AOB≌△COD B．只能证明△AOD≌△COB C．只能证明△AOB≌△COB D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶
点C作射线OC．由此作法便可图4-3-5得△MOC≌△NOC，其依据
Hale Waihona Puke 是（ A ）A． SSS
B． SAS
C． ASA
D． AAS
2. “三角形具有稳定性”这个事实说明了( D )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
思路点拨：边边边(SSS)既是掌握判定两个三角形全等的一般方法，也是三角形具有稳定性的原因.
5．如图4-3-14，AB=AC，AE=AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是（ C ） A． ∠B=∠C B． ∠D=∠E C． ∠BAC=∠EAD D． ∠B=∠E
【B组】 6．如图4-3-15，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF ，需要添加的一个条件为BC_=_E_F_（__答__案__不__唯__一__）_____.（只添加一个条件即可）
3．如图4-3-12，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（A ） A． AB=CD B． EC=BF C． ∠A=∠D D． AB=BC
4．如图4-3-13，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ B ） A． CB=CD B． ∠BCA=∠DCA C． ∠BAC=∠DAC D． AC平分∠DAB
1. 如图4-3-4，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，试说明 △ABC≌△DCB的理由.
解：在△ABC和△DCB中，AB=DC, BC=CB, AC=DB，所以△ABC≌△DCB(SSS).
【例2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图
4-3-5，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移
课堂讲练
知识点1：三角形全等的条件——“边边边”(SSS)及其应用【例1】如图4-3-3，已知OA=OB，AC=BC，那么∠AOC=∠BOC，说明你的理由.图4-3-3解：在△AOC和△BOC中，OA=_____O_B______ ，AC=___B_C________，OC=___O_C________，所以_△__A_O_C_______≌ ___△__B_O_C_____(SSS).所以∠AOC=∠BOC (______全__等__三__角__形__的__对__应__角__相__等_____).
【C组】 8. 如图4-3-17,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF. 试说明:BF=DE.
解：在△ABC和△CDA中, 所以△ABC≌△CDA(SSS). 所以∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). 在△BCF和△DAE中,
所以△BCF≌△DAE(SAS). 所以BF=DE(全等三角形的对应边相等).
解：因为BO=CO，AO=DO, 所以CO+OA=BO+OD，即AC=BD. 在△ABC和△DCB中， AC=DB,∠2=∠1,CB=BC, 所以△ABC≌△DCB(SAS).
思路点拨：注意边角边(SAS)中的角是两边的夹角.
分层训练
【A组】 1. 如图4-3-10，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是 ( A)
第四章三角形
3 探索三角形全等的条件第1课时探索三角形全等的条件（一）
目录
01 名师导学 02 课堂讲练 03 分层训练
名师导学
A. 三边分别相等的两个三角形____全__等______，简写为 “____边__边__边____”或“_____S_S_S_____”. 1. 如图4-3-1，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可判定 ( B)
7. 如图4-3-16，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE， AC=AD，连接BD，CE，试说明△ABD≌△AEC．解：因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE. 所以∠EAC=∠DAB．在△ABD和△AEC中,
所以△ABD≌△AEC（SAS）．
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
2．如图4-3-11，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用 “SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下列4个条件：①AE=FB ；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（A ） A． ①或② B． ②或③ C． ①或③ D． ①或④
谢谢
知识点2：三角形全等的条件——“边角边”(SAS)及其应用
【例3】如图4-3-6,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且 ∠BAC=90°,∠DAE=90°,点B,C,D在同一条直线上.试说明:BD=CE.
解：因为△ABC和△ADE都是等腰三角形,所以AD=AE, AB=AC.因为∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB= 90°+∠CAD,所以∠DAB=∠EAC. 在△ADB和△AEC中,AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,所以△ADB≌△AEC(SAS).所以BD=CE.
3. 如图4-3-7，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.试说明：BC=DE. 解：因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， AB=AD，∠BAC=∠DAE， AC=AE，所以△ABC≌△ADE（SAS）. 所以BC=DE.

2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章3第1课时 探索三角形全等的条件(一)