4-6三角函数的图象和性质
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
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正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
数学必修4——三角函数的图像与性质
数学必修4——三⾓函数的图像与性质数学必修4——三⾓函数的图像与性质⼀. 教学内容：三⾓函数的图像与性质⼆. 教学⽬标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三⾓函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是，3. 函数最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。
4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进⾏图象变换。
利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
5. 对称轴与对称中⼼：的对称轴为，对称中⼼为；的对称轴为，对称中⼼为；对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（）A. B. C. D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。
大纲版数学理科高考总复习4-6三角函数的性质
• 题型三 三角函数的单调性 • 典例3 求函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x
• (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0， 可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间
为原函数的减区间，减区间为原函数 的增区间．
变式 3 求函数 y＝12sin(π4－23x)的单调递增区间． 解析：原函数变形为 y＝－12sin(23x－π4)，令 u＝23x－π4， 则只需求 y＝sinu 的单调递减区间即可． y＝sinu 在 2kπ＋π2≤u＝23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)上，即 3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π(k∈Z)上单调递减， 故原函数的递增区间为[3kπ＋98π，3kπ＋218π](k∈Z)．
0<x≤4， 得kπ≤x<kπ＋π2k∈Z. ∴函数定义域是{x|0<x<π2或 π≤x≤4}．
• 【方法技巧】 (1)与三角函数有关的 函数的定义域
• ①与三角函数有关的函数的定义域仍 然是使函数解析式有意义的自变量的 取值范围．
• ②求此类函数的定义域最终归结为用 三角函数线或三角函数的图象解三角 不等式．
【错因分析】 第(1)题是复合函数，其内层函数 是单调递减的，故复合后，外层函数的单调递减区间 是整个函数的单调递增区间，外层函数的单调递增区 间是整个函数的单调递减区间，由于受思维定式影响， 本题容易出现仍然按照函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单
调区间的判断方法进行，如认为当 x 满足 2kπ－π2≤π4－
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
第二节三角函数的图像、性质及其变换
（4）等价转化，数形结合等数学思想方法.
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点
评
高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在 复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识， 以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、
几何、向量的综合联系．复习的重点是正、余弦函数的图 象变换及其应用，掌握它们的性质，其中单调性又是本节
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由“参”定“形”，由“形”定 “参”
题解 ①由于函数
y f ( x) 的周期为 ，故函数的两个
相邻的零点相距的半个周期，即使由 f ( x1 ) f ( x2 ) 0，
x x 得 1 2 是 的整数倍，故①为假命题。 2
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由“参”定“形”，由“形”定 “参”
一次函数或二次函数在闭区间 t [1,1] 上的最值问 题，或引入辅助角 ，或采用“不等式”法，或“数形 结合”等基本类型处理．
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点
评
4．对函数 y＝Asin(ωx＋)＋k (A＞0, ω＞0, ≠0, k≠0)，
其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要熟练
掌握，不能单从形式上简单判断．
5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器，要熟练掌握．
最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌 握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．
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点
评
6．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断
奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的
平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解 题，根据图象求解析式.
三角函数的图像和性质PPT课件
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
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二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)
三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。
2. 明确一般三角函数化简求值的思路。
第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件
【解析】 (1)∵f(x)＝sin2x＋ 31－2sin24x ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin2x＋π3 ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sin2x＋π3＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sin2x＋π3＝1 时，f(x)取得最大值 2.
二、根据句意，用括号内所给词的适当形式填空。 6. We are looking for the best singers and the most exciting
__m_a_g_i_c_ia_n_s___(magic) for the school show.
7. Who played the piano the best or sang the most _b_e_a_u_ti_f_u_ll_y_ (beautiful)?
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件 微能力认证作业
第六节 三角函数的性质
• 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
•
函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx
＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间都可通
【解析】 (1)由 f(x)＝0，得 a＝sin2x－sinx＝(sinx－12)2－14.∵sinx∈[－1,1]， ∴－14≤(sin－12)2－14≤2，∴a∈[－14，2]． (2)∵1≤－sin2x＋sinx＋a≤147恒成立，
∴a≤sin2x－sinx＋147 恒成立． a≥sin2x－sinx＋1
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
三角函数的图象与性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
D．函数 的一个单调递减区间为
7．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递减D．若 ，则 的值为
8．已知函数 的部分图象如图所示，下列结论正确的有（）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 为函数 的一条对称轴
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故 ＝4π，解得ω＝ .所以f(x)＝2sin .
把点 代入可得2sin ＝2，即sin ＝1，所以φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .所以f(x)＝2sin .
5.已知函数 ( )的部分图象如图所示，若 ，则 的最小值为。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
解得 .
8.函数 的最小正周期为。
【答案】
【解析】因为 ，所以最小正周期为 .
高中数学三角函数图像和性质
三角函数的图象和性质
知识点
一.正弦函数：
1.正弦函数的图象:
2.
定义域为
；值域为•
(1)
当且仅当
时，取得最大值1；
⑵
当且仅当
时，取得最小值1
3.单调性：
在闭区间上都是增函数，其值从1增大到1；
在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1.
4.奇偶性：.
5.周期性：最小正周期是，周期是
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
r
rK，
(1)将正切函数y tanx在区间(亍'上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函y tanx,(x R, x-k , k Z)的图象，我们把它叫做正切曲线.正切曲线是由被互相平行的直线x
(k Z)所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线x=(k Z)叫做正切曲线各支的
⑵结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
题型一 正弦，余弦函数的图象和性质
【例1】求函数y=g+sinx的定义域
函数y=2sin(4x+^)的对称轴方程为
3
【过关练习】
1•求函数y 3sin x2的值域以及取得最值时x的值
2.判断函数y=xsin( x)的奇偶性
3.求函数y1sinx的单调区间
二.余弦函数：
1.余弦函数的Βιβλιοθήκη 象:2.定义域为值域为
(1)当且仅当
时，取得最大值1；
(2)当且仅当
时，取得最小值1.
3.单调性：
在闭区间
上都是增函数，其值从
1增加到1；
在闭区间
上都是减函数，其值从
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x图 象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性 递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性 对称中心：(,0)()2k k Z π∈（含原点）最小正周期 π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩 方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作 横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位结果 )sin(ϕω+=x y操作 纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y注意：x 要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
三角函数的图像与性质(学生版)
一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
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时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值． 分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
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题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
3
3
变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
2
3
（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波 动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月 份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪 几个月能盈利？
2
2
图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图
三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
2
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysix n ()co x, sT2 ,A正确;
4
4
所以定义域为 { x|2 k x5 2 k ,k Z }.
44
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.
质
y=cos x
定义域
R
R
y=tan x
{x| xk,
2
(k∈Z)
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴: xk 对称轴:xk 对称中心:
(k Z)
2
；
对称中心:
(kZ) ；对称中
心:
(k ,0) 2
( k ,0) 2
(k Z)
(k,0)k(Z)
4 的不等式确定
2k x 2k 3 (k Z),
24
2
即 2k 3 x 2k 7 (k Z),
4
4
2k x 2k (k Z),
2
4
2
即 2k x 2k 3 (k Z).
三角函数图象
三角函数的图象和性质一、知识梳理1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.2.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(2π+x)(x ∈R )，由此可知，余弦函数y=cosx 的图象与正弦函数y=sin(2π+x)(x ∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象.3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质（一）利用五点法作函数y =A sin(ωx +φ)的图象用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象时，关键是五个点的选取.一般可设X=ωx+φ，由X 取0,2π,π, 23π,2π来求相应x 的值及对应的y 的值，再描点作图.也可采用下列方法简化作图：函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象在一个周期内的五点横向间距必相等，为4T .于是五点横坐标依次为x 1=ϕω-,x 2=x 1+4T ,x 3=x 2+4T…这样不仅可以快速求出五点坐标,也可以在x 1的位置后,用圆规截取其他四点,从而快速准确作出图象.（二）利用图象变换法则作出函数y=A sin(ωx +φ)的图象1.相位变换 y=sinx 图象个单位平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ<>→y=sin(x+φ)图象.2.周期变换 y=sinx 图象)(1)1()10(纵坐标不变倍到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<→y=sinωx 图象.3.振幅变换 y=sinx 图象(1)(01)()A A A ><<纵坐标伸长或缩短到原来的倍横坐标不变→y=Asinx 图象.4.当函数y=Asin(ωx+φ)〔A ＞0,ω＞0,x ∈(0,+∞)〕表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T=ωπ2叫做周期. y=Asin(ωx+φ)可以这样得到：y=sinx 图象−−−→−相位变换y=sin(x+φ)图象−−−→−周期变换y=sin(ωx+φ)图象−−−→−振幅变换 y=Asin(ωx+φ)图象.考点一 求三角函数的周期例题1 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π)；⑶y ＝tan(2x －3π)；⑷y=|sin x |思路分析：⑴⑵⑶小题运用周期函数的定义即可.⑷小题可运用图像法 ②求含有绝对值符号的三角函数的周期常用图像法课堂训练题求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 考点二 三角函数的奇偶性例题4（2006江苏高考卷，1）已知α∈R ，函数f(x)=sinx-|a|,x ∈R 为奇函数，则a 的值为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.±1 思路分析：解法1：由题意可知f(x)=-f(-x),得a=0.解法2：函数的定义域为R ,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,解得a=0. 解法3：由f(x)是奇函数,图象法,画出函数f(x)=sinx-|a|,x ∈R 的图象.点拨：对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x) ⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称.课堂训练题（2009北京高考卷，文2）函数y=1+cosx 的图象（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=2π对称 课堂训练题判断下列函数的奇偶性：⑴x ；⑵⑶y=解：⑴显然，函数的定义域为R.∵f (－2()2x x -==－f(x),∴函数为奇函数. ⑵∵sinx －1≥0，∴sinx=1，x=22k ππ+(k ∈Z ).函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数。
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{ 真题演练集训 }
1．[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
答案：B
解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称
轴，所以π2＝kT 2＋T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1
(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.
2．[2016·浙江卷]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( )
A ．与b 有关，且与c 有关
B ．与b 有关，但与c 无关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关 答案：B
解析：由于f (x )＝sin 2
x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.
3．[2017·全国卷]函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．
答案：1
解析：f (x )＝1－cos 2
x ＋3cos x －34 ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ cos x ∈[0,1]， ∴ 当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.
4．[2017·江苏卷]已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．
(1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .
若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.
于是tan x ＝－33.
又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.
(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；
当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.。