中学数学竞赛讲义—极限的概念及求极限方法 推荐
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
中学数学竞赛讲义——极限与导数
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
2．极限的四则运算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
[解] ，因为x>0,a>0，所以 x2+(2a-4)x+a2>0； x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即 (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即 ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0<a<1时，令 ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a- 或x>2-a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )内单调递增，在(2-a+ ,+∞)内也单调递增，而当2-a- <x<2-a+ 时，x2+(2a-4)x+a2<0，即 ，所以f(x)在(2-a- ,2-a+ )内单调递减。
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
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数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
极限的定义和常用方法
极限的定义和常用方法极限在数学中是一个重要的概念，它是微积分学的基础。
极限是一个数列或函数趋于某个值时的极端状态，它是微积分的理论基础，也是许多重要定理的前提条件，如泰勒公式、微分中值定理等。
极限的定义极限的定义是指数列或函数在某一个点内的行为趋于特定值的过程。
具体来说，对于一个数列 {an}，若存在一个实数 a，使得对于任意小的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n>N时，满足|an − a|<ε，那么就称 a 是数列 {an} 的极限。
同样地，对于一个函数 f(x)，若存在一个实数 a，使得对于任意小的正实数ε，都存在正实数δ，满足|f(x) − a|<ε，当0<|x-a|<δ 时，我们就说 a 是函数f(x) 在点 x=a 处的极限。
常用方法下面介绍一些常用的求极限的方法。
1. 代入法当极限表达式可以通过直接代入计算的时候，我们可以使用代入法。
这种方法虽然简单易用，但是只有在表达式比较简单或已经简化的情况下才能使用。
2. 差分法差分法是一种计算无穷小量的方法。
对于一个函数 f(x)，若存在 a∈R，那么 a+h 与 a 之间的差值可以表示为 f(a+h) − f(a)。
如果这个差值可以表示为 h 乘以无穷小量，则我们称该函数在 a 点上是可导的。
3. 极限换元法当直接计算极限比较困难的时候，可以使用极限换元法。
这种方法常常运用到一些常用极限关系式，如sinx/x→1，ln(1+x)/x→1等等。
4. 夹逼定理夹逼定理也是一种比较常见的求极限的方法，它是利用数列的单调有界性来求极限。
具体来说，对于一列数 {an}，若对于所有的 n，满足a1≤an≤b1，同时 b1、b2 等都收敛到同一个实数 b，则有 lim a_n = b。
5. L'Hôpital 规则除了以上方法之外，当求解极限结果为 0/0 或∞/∞ 时，我们可以使用 L'Hôpital 规则。
求函数极限的方法与技巧6篇
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
极限的概念和计算方法
极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一，它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。
本文将介绍极限的基本概念，并探讨一些常见的计算方法。
一、极限的概念在数学中，极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值（通常为无穷大或无穷小）。
为了准确定义极限，我们引入以下定义：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为：当自变量x足够靠近a时，函数f(x)的取值趋近于L。
二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。
当函数在某一点a的确有定义时，我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。
例如，要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限，我们可以代入x=2，得到：f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此，lim(x→2) f(x) = 15。
2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。
例如，要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)，我们可以将分子因式分解得到：f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2，则可以化简为：f(x) = (x+2)因此，lim(x→2) f(x) = 4。
3. 极限的性质极限满足一些基本的性质，利用这些性质可以简化计算过程。
以下是一些常见的性质：a) 常数性质：lim(x→a) c = c，其中c为常数。
b) 乘法性质：lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x)，其中c为常数。
c) 和差性质：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。
d) 乘积性质：lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点的趋势和变化。
本文将介绍极限的基本概念以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是极限？在数学中，极限是一种数列或函数逐渐趋近于某个确定值的性质。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值也逐渐接近于一个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。
考虑一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，如果存在一个确定的常数L，使得对任意给定的正数ε（无论多么小），总存在着另一个正数δ，只要自变量x满足0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L二、函数极限的判定方法1. 函数极限是否存在的判定方法函数极限存在的判定方法主要有以下三种情况：- 左极限等于右极限。
即lim(x→a^(-)) f(x) = lim(x→a^(+)) f(x)- 左极限等于函数值。
即lim(x→a^(-)) f(x) = f(a)- 右极限等于函数值。
即lim(x→a^(+)) f(x) = f(a)2. 函数的无穷大极限判定方法若函数f(x)当x趋于无穷大时趋于无穷大，记作lim(x→∞) f(x) = +∞；而当x趋于无穷小时趋于无穷大，记作lim(x→0) f(x) = +∞。
3. 函数的等价无穷小极限判定方法如果在x趋于某一点a的过程中，函数f(x)与g(x)之间存在一个关系，使得lim(x→a) g(x) = 0，则称函数f(x)是g(x)的一个等价无穷小。
三、极限的运算性质极限具有一些基本的运算性质，以下是常见的运算性质：1. 两个函数极限的和等于函数的和的极限。
即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. 两个函数极限的差等于函数的差的极限。
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分学中的基本概念之一，它是描述函数趋于某一特定值时的行为的数学工具。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念并讨论常见的判定方法。
1. 极限的基本概念在微积分中，当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也会相应地趋近于一个特定值，这个特定值就是函数的极限。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限，x→a表示自变量x趋近于a，f(x)表示函数，L表示极限值。
这个符号的意思是当x无限接近于a时，f(x)无限接近于L。
2. 极限的判定方法2.1 通过函数图像观察法最直观的方法是通过观察函数的图像来判断极限。
当自变量x趋近于某一值时，如果函数的图像趋近于某一水平线（如水平线y=L），则可以认为函数的极限存在，并且极限值为L。
2.2 代入法另一种用于判定极限的方法是代入法。
如果函数在某一点a的附近存在定义，并且当自变量x趋近于a时，函数的取值无限接近于某一特定值L，则可以通过代入a的值来验证极限的存在。
2.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的判定极限的方法。
如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足以下条件：- 对于自变量x在a的某个邻域内，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；- lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L。
那么，当x趋近于a时，函数g(x)的极限存在，并且极限值为L。
2.4 无穷小量和无穷大量无穷小量是指在极限运算中趋于零的量，通常用符号o(x)表示。
相对应地，无穷大量则是在极限运算中趋于无穷的量，用符号O(x)表示。
通过无穷小量和无穷大量的概念，我们可以定义函数的极限。
3. 总结通过对极限的基本概念和判定方法的介绍，我们了解了极限的概念以及判定方法的一些基本原理。
在实际应用中，判定函数的极限可以通过观察函数图像、代入法、夹逼定理以及无穷小量和无穷大量的概念来进行。
掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解函数在不同自变量取值下的行为，并在微积分学中应用。
极限的基本概念及计算方法
极限的基本概念及计算方法极限是微积分的基本概念之一，是描述函数趋近某一特定值的概念。
在数学中，极限使用符号lim来表示，通过求取极限，我们可以研究函数的性质和行为，以及解决一些与变化相关的问题。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念，并探讨一些常用的极限计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们使用极限来描述函数在某一点或趋于无穷时的行为。
设函数f(x)定义在某一区间上，当自变量x无限接近某一值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，称函数f(x)在x趋于a的过程中的极限为L，记作：lim(f(x)) = Lx→a其中，lim表示极限运算，x→a表示自变量x趋于a的过程。
二、极限的性质在计算极限时，有一些基本的性质需要注意：1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在，那么极限值L是唯一确定的。
2. 逼近性：当函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在时，函数值f(x)无限接近于L，但不一定等于L。
3. 有界性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且有限，那么函数f(x)在某个邻域内是有界的。
4. 保号性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且不为零，那么函数f(x)在极限值L的邻域内具有相同的符号。
三、常用的极限计算方法在计算极限时，有几种常用的方法可以帮助我们求取极限：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将极限值代入函数中计算得到结果。
例如，当求取lim(x→3) (2x+1)时，可以直接将x=3代入函数得到结果。
2. 基本极限法则：根据一些基本的极限性质，我们可以将复杂的函数求极限的问题转化为求取一些基本的极限式子的问题。
例如，lim(x→0) (sin x / x)可以使用基本极限法则转化为求取lim(x→0) sin x / lim(x→0) x，而这两个极限都是已知的。
3. 张举法：对于一些复杂的函数，我们可以通过引入新的变量或变形来简化计算。
例如，当求取lim(x→∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 + 5)时，可以将分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 +5/x^2)。
2020高中数学竞赛-微积分(联赛版)极限与连续-附：习题课(含答案)(共43张PPT)
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2. 单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4. 间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
x
0
x0
x
第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限
至少
有
一个
不存
在,
则
称
点x
为
0
函数f
(
x
)的
第二
类间断点.
y
第
二
类
间
断
0
x0
x
点
无穷型
y
0
x
振荡型
6. 闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
极限的定义与求解方法
极限的定义与求解方法极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的特性。
通过极限的求解，我们可以了解函数的趋势、性质和变化规律，从而为微积分的应用提供了基础。
本文将介绍极限的定义以及常见的求解方法。
一、极限的定义在介绍极限的定义之前，我们需要先了解一些基本的概念。
在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合的规则。
对于函数f(x)，我们可以通过自变量x的取值来确定因变量f(x)的值。
而极限则是描述了函数在某一点附近的行为。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-L|＜ε成立，那么我们称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作：lim┬(x→a)〖f(x)=L〗其中，x→a表示x趋于a的过程，L表示极限的值。
二、极限的求解方法1. 代入法当函数在某一点处有定义时，我们可以直接将该点的值代入函数中，得到极限的值。
例如，对于函数f(x)=2x+1，我们要求lim┬(x→2)〖f(x)〗，只需要将x=2代入函数中，得到f(2)=2(2)+1=5，即lim┬(x→2)〖f(x)=5〗。
2. 无穷小量法对于一些特殊的函数，我们可以通过无穷小量的性质来求解极限。
无穷小量是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于零的量。
例如，对于函数f(x)=(sinx)/x，我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗，可以利用无穷小量sinx/x的性质，得到lim┬(x→0)〖f(x)〗=1。
3. 夹逼定理夹逼定理是求解极限中常用的方法，它利用了函数与其他已知函数之间的大小关系。
夹逼定理的核心思想是找到两个已知函数，它们的极限值相等，并且夹在待求函数的中间。
例如，对于函数f(x)=x^2sin(1/x)，我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗，可以通过夹逼定理得到0≤|f(x)|≤x^2，由于lim┬(x→0)〖x^2〗=0，因此lim┬(x→0)〖f(x)〗=0。
极限的概念和计算
极限的概念和计算极限是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某个自变量趋近于某一点时的行为。
在数学中，我们常常用极限的概念来研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍极限的概念和基本计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们通常用函数的极限来描述自变量趋近于某一点时函数的变化情况。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时极限为L，记作limx→a f(x) = L。
二、极限的计算方法1. 通过代入法对于一些简单的函数，我们可以通过代入法来计算其极限。
例如，对于常数函数f(x) = c（c为常数），无论x取什么值，f(x)始终等于c，因此其极限即为c，即limx→a c = c。
2. 利用基本性质极限具有一些基本性质，我们可以利用这些性质来计算更复杂的极限。
例如，（1）函数与常数的乘积：limx→a (cf(x)) = c·limx→a f(x)；（2）函数与函数的和差：limx→a (f(x) ± g(x)) = limx→a f(x) ±limx→a g(x)；（3）函数与函数的乘积：limx→a (f(x)g(x)) = limx→a f(x) · limx→ag(x)；（4）函数与函数的商：limx→a (f(x)/g(x)) = limx→a f(x) / limx→ag(x)（前提是g(a) ≠ 0）。
3. 利用特殊函数的极限对于一些特殊函数，我们可以通过一些特殊技巧来计算它们的极限。
例如，（1）指数函数：limx→∞ e^x = ∞；（2）对数函数：limx→0+ ln(x) = -∞；（3）三角函数：limx→0 sin(x) / x = 1。
三、极限的应用1. 函数的连续性极限在研究函数的连续性时起到重要作用。
极限的定义与计算方法
极限的定义与计算方法极限是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点或者无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及其他应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍极限的定义以及计算方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、极限的定义在微积分学中，极限是用来描述函数在某一点或者无穷远处的趋势的数学概念。
通常用符号lim表示。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数f(x)的取值趋近于一个固定的值L，那么就说函数f(x)在x趋近a的过程中有极限，即lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的计算方法要计算函数的极限，可以使用以下主要的方法：1. 代入法：针对简单的函数，我们可以直接将x的值代入函数，然后计算函数的取值。
例如，要计算lim(x→2) (3x^2 + 2x -1)，我们可以将x替换为2，然后计算出函数的值。
2. 分式的化简：当函数为分式形式时，可以通过化简的方法得到更简单的表达式，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)，我们可以对分子进行因式分解，然后化简分式，最后再代入x=1进行计算。
3. 极限的性质：极限有一些常用的性质，例如四则运算、乘法法则、除法法则等。
根据这些性质，我们可以将复杂的函数转化为简单的函数，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→0) 2x^3 + 3x^2 - 4x，我们可以将函数拆分为lim(x→0) 2x^3 + lim(x→0) 3x^2 - lim(x→0) 4x，然后分别计算每个部分的极限。
4. 单侧极限：当函数在某点处的左极限和右极限不相等时，我们可以使用单侧极限来描述该点的极限。
左极限表示x从左侧趋近于该点时的极限，右极限表示x从右侧趋近于该点时的极限。
三、极限在实际问题中的应用极限的概念不仅仅是数学中的一个抽象概念，它也具有实际应用价值。
以下是几个极限在实际问题中的应用案例：1. 建模和预测：在物理学或者经济学等领域中，研究人员常常需要建立数学模型来描述各种现象和趋势。
初中数学 什么是函数的极限 如何计算一个函数的极限
初中数学什么是函数的极限如何计算一个函数的极限函数的极限（Limit）是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某个特定点或者无穷远点的趋势或者接近程度。
计算函数的极限是研究函数在特定点的性质和行为的重要方法。
在本文中，我们将详细讨论函数的极限概念以及如何计算一个函数的极限。
首先，让我们回顾一下函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的极限可以用以下形式表示：如果函数f(x) 在某一点c 的某个邻域内存在一个趋近于L 的数列，那么我们说f(x) 在点c 处的极限为L，表示为：lim(x→c) f(x) = L其中lim 表示极限的运算符，x→c 表示自变量x 趋向于点c，f(x) 是函数在点x 处的值，L 是函数在点c 处的极限值。
计算一个函数的极限的方法主要有以下几种：1. 代入法：当函数在某点的定义存在且没有间断点时，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算。
例如，计算函数f(x) = x^2 在x = 2 处的极限，可以直接代入x = 2，得到f(2) = 2^2 = 4。
2. 分析法：当函数在某点的定义存在但代入法不适用时，可以通过分析函数在该点的性质和行为来计算极限。
例如，计算函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在x = 2 处的极限。
在x = 2 处，分子为0，分母也为0，此时无法直接代入计算。
通过因式分解可得到f(x) = (x + 2)，可以发现在x = 2 处，f(x) 的值为4。
因此，函数f(x) 在x = 2 处的极限为4。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于一些复杂函数或者无法直接代入计算的情况。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数的极限都等于某个数L，然后证明要计算的函数的极限也等于L。
极限的定义与计算
极限的定义与计算在数学中，极限是一种重要的概念，它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将讨论极限的定义和计算方法，以及应用极限的一些例子。
一、极限的定义在数学中，极限用来描述函数在某个点附近的行为。
通常情况下，我们用“lim”符号表示极限。
对于一个函数f(x)，当自变量x逼近某个特定的值a时，函数f(x)的极限可以用以下定义来表达：lim (x→a) f(x) = L这里，lim表示取极限的操作，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x点处的取值，L表示极限的结果。
二、极限的计算计算极限的方法有很多种，下面我们介绍几种常见的方法。
1. 代入法当给定函数的极限时，最简单的方法就是直接将x的值代入函数中，然后计算函数的值。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x趋向于2时，我们可以通过代入来计算极限：lim (x→2) x^2 = 2^2 = 42. 因式分解法当函数存在因式分解的形式时，我们可以尝试进行因式分解，然后利用分解后的形式来计算极限。
例如，对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1)，当x趋向于1时，我们可以进行因式分解：f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1) = x+2然后将因式分解后的形式代入极限的定义，计算极限：lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x+2) = 33. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，它基于一个重要的性质：如果一个函数f(x)在某个点附近被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，并且这两个函数的极限相等，那么函数f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例如，对于函数f(x) = sin(x)/x，当x趋向于0时，我们可以使用夹逼定理计算极限：-1 ≤ sin(x)/x ≤ 1由于-l ≤ sin(x)/x ≤ 1，根据夹逼定理，我们可以得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = 1三、极限的应用极限在数学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的例子。
中学数学竞赛讲义—极限的概念及求极限方法-6页文档资料
中学数学竞赛讲义—极限数列极限的定义一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即n a a -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限. 注:a 不一定是{}n a 中的项. 几个常用的极限(1)lim n C C →∞=(C 为常数)；(2)1lim =0n n →∞；(3)lim 0n n q →∞=(1q <).两个重要极限(1)0sin lim 0x x x →= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭数列极限的四则运算法则设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时，l i m ()n n n a b a b →∞±=±；lim()n n n a b a b →∞=；limn n na ab b →∞=(0b ≠). 求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
62、数学竞赛辅导之-极限2
例
求极限
a lxim0 x
1 x2
a
2
l
n(1
ax
)
解：原式
lxim0
a x
1 x2
ln(1
ax)
lima2
x0
ln(1
ax)
ax ln(1 ax)
lim
x0
x2
a a lim 1 ax
x0 2x
a2x
lim
x0
2
2!
n! (n + 1)!
那么
e = 1+1+ 1 ++ 1 + 1 +
2!
n! (n + 1)!
2en!=
2 [(1 + 1 +
1
++
1
).n!+
n!(1 + o(1)) ]
即
lim
n→∞
xn
=
3
例 设数列xn 满足 0 x1 , xn1 sin xn(n 1,2,)
（1）证明：lim n
xn存在，并求该极限；
1
（2）计算
lnim
xn1 xn
xn2
提示：（1）用归纳法证明单调下降且有下界
（2）用重要极限和洛必达法则
解： （1）由题目可得 0 < xn ≤1 ，则 xn+1 = sin xn < xn
+
2 n2 + 2
++
n n2 + n
，有
1 n(n + 1)
1 n(n + 1) n + 1
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中学数学竞赛讲义—极限数列极限的定义一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即n a a -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限. 注:a 不一定是{}n a 中的项. 几个常用的极限(1)lim n C C →∞=(C 为常数)；(2)1lim =0n n→∞；(3)lim 0n n q →∞=(1q <).两个重要极限(1)0sin lim0x x x →= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭数列极限的四则运算法则设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时，l i m ()n n n ab a b →∞±=±；lim()n n n a b a b →∞= ；limn n na ab b →∞=(0b ≠). 求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim0=→x x x 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。
【解】222121112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。
例7：求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+=-【解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.例8：求极限xxx x 30tan sin lim -→【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim xx x x +-→ 【说明】∞∞或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→xx xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim20-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxx x x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限例11：极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→【解】 x x x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -因为===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -例12：求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫⎪⎝⎭= 20l n 2c o s l n 3l i m x x x →+-=（）01s i n 2c o s l i m2x x x x →⋅-+=（） 011s i n 1l i m22c o s 6x x x x →=-⋅=-+ 【解2】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭= 2c o s 1ln 3limx x x →-+=（1）20c o s 11l i m 36x x x →-==-8．利用Taylor 公式求极限例13 求极限 ) 0 ( ,2lim 20>-+-→a xa a x x x . 【解】 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x +++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x a a x x +=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14 求极限011lim (cot )x x x x →-.【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x→→--= 323230()[1()]3!2!lim x x x x x x x xοο→-+--+= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限21sin lim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限611sin 11011sin 222lim lim 1sin lim -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e ex x y y y y x x x x x x所以，6121sin lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛en n n n10．n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n 【解】原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→222112111111lim n n n n n n 1212ln 2111102+--=+=⎰dx x例17：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n f n f n f n n 211lim 的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n又nn n n +∞→2lim11lim2=+=∞→n nn所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ＝１ 12．单调有界数列的极限问题例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 61sin 01sin 110032221lim lim sin 1lim --→⎪⎭⎫⎝⎛-→→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e e e x x xx x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。