2017-2018学年度长沙市明达中学10月月考试卷

○…………外…………○…学校:○…………内…………○…2017-2018学年度长沙市明达中学10月月考试卷理科数学命题人：谢林权；考试时间：120分钟；审题人：李伟华注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知集合A ={x ∈z|x(x −3)≤0}，B ={x|ln x <1}，则A ∩B = ( ) A. {0,1,2} B. {0,e} C. {1,2} D. {2,3}2．已知x R ∈，则“1x <-”是“2210x x +->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3 A. (0,2] B. (0,2) C. (0,1)∪(1,2] D. (－∞，2] 4，则tan α=（ ）A. B. C. D. 5．已知平面向量()1,a m = ， ()3,1b =- 且()2//a b b +，则实数m 的值为（ ）A.B. C. D. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A. 7B. 11C. 26D. 307．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.…………○………………○……90.5log3c=，则( )A. a b c<< B. b a c<< C. b c a<< D. c a b<<10．为了得到函数y＝sin2x−π6的图象，可以将函数y＝cos2x的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度11．已知()f x是定义在R上的偶函数，且()20f=，当0x>时，()()0xf x f x->'，则不等式()0xf x>的解集是( )A. ()(),22,-∞-⋃+∞ B. ()2,2- C. ()()2,02,-⋃+∞ D. 以上都不正确12．设函数()f x在R上存在导数()f x'，x R∀∈，有()()2f x f x x-+=，在()0,+∞上()f x x'<，若()()22220f m f m m m-+--+-≥，则实数m的取值范围为（）A. []1,1- B. [)1,+∞ C. [)2,+∞ D. ][(),22,-∞-⋃+∞第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．曲线():sin2xC f x x e=++在0x=处的切线方程为__________．14，那么tanα的值为_______________15所围成的封闭图形的面积为.16．已知定义域为R的函数()f x满足()43f=-，且对任意的Rx∈总有()3f x'<，则不等式()315f x x<-的解集为__________．三、解答题17．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且451S a a=-．（1）求数列{}n a的公比q的值；（2）记21logn nb a+=，数列{}n b的前n项和为n T，若452T b=，求数列9项和．18，函数()()•f x m n m=+.（1）求()f x的单调减区间；（2）将函数()f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到个单位长度，得到()y g x=的图象，求函数()y g x=的解析式及其图象的对称中心.19．已知函数()32f x x bx ax d=+++的图象过点()0,2P，且在点()()1,1M f--处的切线方程为670x y-+=.(1)求函数()y f x=的解析式；(2)求函数()y f x=的单调区间.20．在锐角ABC∆中，,,a b c是角,,A B C2sinc A=．（2）若2a =，且ABC ∆，求c 的值． 21．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为.（1）该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为()f x ，求()f x ；（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得利润最大？ 22．已知函数f x =a ln x −x 2+ax . （1）讨论f x 的单调性；（2）若f x ≤0恒成立，求a 的取值范围. 23．已知曲线1C 的参数方程为11,{1x cos y sin θθ=+=+（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．（Ⅰ）把1C 的参数方程式化为普通方程， 2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(),(0,02)ρθρθπ≥≤<．24．已知函数f x = x −a + x +5 .(1)若a =1，解不等式：f x ≥2 x +5 ； (2)若f x ≥8恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C【解析】由条件知A = 0,1,2,3 ,B =(0,e ).所以结果为C 2．A【解析】不等式2210x x +->的解是或1x <-，所以“1x <-”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A ． 3．C【解析】有意义满足0{0 20x lgx x >≠-≥ ∴02x ≤＜且1x ≠，故选C.4．A 【解析】,又故答案为A5．B【解析】()2//a b b +()()1,21//3,1m ⇒-+- 选B. 6．B【解析】模拟程序的运行，可得k=1，S=0不满足条件k>7，执行循环体，S=1，k=3 不满足条件k>7，执行循环体，S=4，k=7 不满足条件k>7，执行循环体，S=11，k=15此时，满足条件k>7，退出循环，输出S 的值为11. 故选：B. 7．C【解析】f (x )是R 上的减函数；∴ a >02−3a <0a 1≤ 2−3a ∙1+1 解得23<a ≤34∴实数a 的取值范围是(23,34].故选C.点睛：分段函数的单调性，一定要注意每段都要单调，且分界点处也要注意两端中的函数值的大小关系 8．D【解析】试题分析：由题意知：函数的定义域为()0+∞，.当01x <<时，当1x =时， 1y =；当1x >时， 1y =；故选D. 考点：对数函数的图像和性质. 9．D【解析】由y 3x=在R 而0.5log 30c =< ∴c a b << 故选：D 10．B【解析】y ＝sin 2x −π6 ＝cos π2− 2x −π6＝cos 2π3−2x ＝cos 2x −2π3 ＝cos 2 x −π3 .则为了得到函数y ＝si n 2x −π6 的图象，可以将函数y ＝co s 2x 的图象向右平移π3个单位长度.本题选择B 选项.点睛：对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成ω x +φω ，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向．11．C【解析】，则当0x >时：即函数()g x 在()0,+∞上单调递增，由()20g =可得： 当()0,2x ∈时， ()0g x <； 当()2,x ∈+∞时， ()0g x >；不等式()0xf x >在()0,+∞上的解集为()2,+∞， 同理，不等式()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-， 综上可得：不等式()0xf x >的解集是()()2,02,-⋃+∞.12．B【解析】令()()212g x f x x =-,则()()()()0,0g x f x x g x g x '-<+-'==,所以()g x 为R 上单调递减奇函数,()()22220f m f m m m -+--+-≥()()()()()()202221g m g m g m g m g m g m m m m ⇒-+-≥⇒-≥--⇒-≥⇒-≤⇒≥ 选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等13．23y x =+【解析】∵()sin 2xf x x e =++，∴()'xf x cosx e =+，∴曲线()2xf x sinx e =++在点P (0,3)处的切线的斜率为： 002k cos e =+=，∴曲线()2xf x sinx e =++在点P (0,3)处的切线的方程为：y =2x +3，故答案为y =2x +3.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．得()sin 2cos 5sin 5cos αααα-=-+，整理得：点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 （1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.15．13【解析】试题分析：曲线y =x 2，y = x 的交点为(1,1)，所求封闭图形面积为S = 1( x −x 2)d x =(23x 32−13x 3)01=23−13=13.考点：曲边梯形面积. 16．()4,+∞【解析】设315315F x f x x f x x =--=-+（）（）（）（） ， 则''3F x f x =-（）（）， ∵对任意x R∈ 总有'3f x （）＜，''30315F x f x F x f x x ∴=-∴=-+（）（）＜，（）（） 在R 上是减函数，434434150f F f =-∴=-⨯+= （），（）（），315f x x - （）＜31504F x f x x x ∴=-+∴（）（）＜，＞∴不等式315f x x -（）＜ 的解集为{|4}x x ＞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性解不等式等问题.解题时，注意根据题意构造新函数，同时注意等价转化思想的运用． 17．（1）1q =-或2；【解析】试题分析：（1）由题意得，设等比数列{}n a 的通项公式，利用条件451S a a =-即可求解；（2）由（1）可得到数列{}n b 的通项公式，再由452T b =,项公式，裂项即可求解.试题解析： （1）由{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=， 由题知公比1q ≠（否则与451S a a =-矛盾），所以41q =或解得1q =-或2； （2）由题q 取值为2，则()2121log 2log nn b a a n ==+，所以数列{}n b 是一个公差为1的等差数列， 由452T b =得()4114624T b b =+=+， 解之得11b =，即n b n =，9项和，18．（1）k Z ∈．（2）k Z ∈.【解析】试题分析：（1）根据，可得，则()()•f x m n=+=于是可根据二倍角公式化为正弦型函数求单调区间；（2）由（1）知 ，将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）.试题解析：（1）()()2••f x m n m m m n =+=+所以()f x 的单调减区间为 k Z ∈．（2）由（1）知点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象向左平移个单位，得到的图象，因此k Z ∈所以函数()y g x =图象的对称中心为 k Z ∈.19．（1）()32332f x x x x =--+；（2【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b ，c ，d ，即可求函数f （x ）的解析式；（2）求函数的导数，即可求函数f （x ）在定义域上的单调性． 试题解析：(1) ()32332f x x x x =--+；(2)解：(1)由()f x 的图象经过()0,2P ，知2d =，所以()322f x x bx cx =+++，()2'32f x x bx c =++，由在()()1,1M f --处的切线方程是670x y -+=，知()6170f ---+=，即()11f -=， ()'16f -=，∴326{121b c b c -+=-+-+=，即23{ 0b c b c -=-=，解得3b c ==-.故所求的解析式是()32332f x x x x =--+.(2) ()2'363f x x x =--，令23630x x --=，即2210x x --=，()'0f x >，()'0f x <，故()32332f x x x x =--+的增区间是20．（1）060C =（2）c =【解析】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =，故060C =（2）∵1sin 2S ab C ==3b =再由余弦定理可得边c试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C是锐角，∴sin C =，故060C =. （2）∵1sin 2S ab C ==3b = 由余弦定理得2222cos 49237c a b ab C =+-=+-⨯=∴c =点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长21．（1（2）当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大.【解析】试题分析：（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入-销售成本，建立函数关系即可；（2x=450时取得最大值，x>500时，475件时，获得的利润最大．试题解析： （1）当050x <≤时，当500x >时，（2）当0500x <≤时，故当475x =时，当500x >时， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大.22．(1) 当a ∈ −∞,0 时，f x 在 0,+∞ 单调递减； 当a ∈ 0,+∞ 时，f x 在 0,a + a +8a4上单调递增，在a + a +8a4,+∞ 上单调递减；;(2) a ∈ 0,1 . 【解析】试题分析：（1）1）当a =0时，f x =−x 2，在 0,+∞ 上单调递减； 2）当a ≠0时，f ′x =−2x 2+a x +ax.①当a <0时，f ′ x <0，f x 单调递减；②当a >0时，f ′ x 在 0,x 1 上大于0，f x 在 0,x 1 上单调递增，f ′ x 在 x 1,+∞ 上小于0，f x 在 x 1,+∞ 上单调递减； （2）①当a =0时，f x =−x 2≤0，满足题意；②当a ∈ −∞,−1 时，f 1e =>0，不满足题意；③当a ∈ −1,0 时，f −ae >0，不满足题意；④当a ∈ 0,+∞ 时，由（1）可知f x ≤a lna + a +8a4+12a + a +8a4−1 令a + a +8a4=t ，则将上式写为f t =a ln t +12 t −1 ，令f t =0，解得t =1 ⇒当a ∈ 0,1 时，t ≤1，ln t +12 t −1 ≤0，f t ≤0满足题意；当a ∈ 1,+∞ 时，t >1，ln t +12 t −1 >0，f t >0不满足题意；综上可得，当a ∈ 0,1 时，f x ≤0.试题解析：（1）1）当a =0时，f x =−x 2，在 0,+∞ 上单调递减； 2）当a ≠0时，f ′ x =−2x 2+a x +ax.①当a <0时，在定义域 0,+∞ 上，−2x 2<0，a x +a <0，f ′ x <0，f x 单调递减； ②当a >0时，f ′ x =0的解为x 1=a + a 2+8a4，x 2=a − a 2+8a4<0（负值舍去），f ′ x 在 0,x 1 上大于0，f x 在 0,x 1 上单调递增，f ′ x 在 x 1,+∞ 上小于0，f x 在 x 1,+∞ 上单调递减； 综上所述，当a ∈ −∞,0 时，f x 在 0,+∞ 单调递减；当a ∈ 0,+∞ 时，f x 在 0,a + a +8a4上单调递增，在a + a +8a4,+∞ 上单调递减；（2）①当a =0时，f x =−x 2≤0，满足题意；②当a ∈ −∞,−1 时，f 1e =a 1e −1 −1e 2 ≥1−1e −1e 2>0，不满足题意；③当a ∈ −1,0 时，f −ae =a ln −a −1+e e 2a −1 ，由于ln −a <0且−1−1+e e 2a <1+e −e 2e 2<0，所以a ln −a −1+e e 2a −1 为两负数的乘积大于0，即f −ae >0，不满足题意；④当a ∈ 0,+∞ 时，由（1）可知f x ≤f a + a 2+8a4 = a lna + a 2+8a4+12a + a 2+8a4−1令a + a 2+8a4=t ，则将上式写为f t =a ln t +12 t −1 ，令f t =0，解得t =1，此时a =1，而当a ∈ 0,1 时，t ≤1，ln t +12t −1 ≤0，f t ≤0满足题意； 当a ∈ 1,+∞ 时，t >1，ln t +12 t −1 >0，f t >0不满足题意； 综上可得，当a ∈ 0,1 时，f x ≤0.23．（Ⅰ）221x y +=；（Ⅱ） 1C 与2C 交点的极坐标分别为 【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程1,{1x cos y sin θθ=+=+利用消去参数θ化为普通方程．把,{,x cos y sin ρθρθ==代入可得极坐标方程; （Ⅱ）曲线2C 的极坐标方程为1ρ=，化为直角坐标方程： 221x y +=．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．试题解析：（Ⅰ）将1,{1x cos y sin θθ=+=+消去参数θ，化为普通方程()()22111x y -+-=，即1C 的普通方程为()()22111x y -+-=， 由1ρ=，得21ρ=， 再将,{,x cos y sin ρθρθ==代入21ρ=，得221x y +=，即2C 的直角坐标方程为221x y +=.（Ⅱ）由()()2222111,{1,x y x y -+-=+=解得1,{0,x y ==或0,{ 1.x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标分别为 24．(1) x x ≤−2 .(2)a ≥3或a ≤−13. 【解析】试题分析：（1）当a =1时，不等式f x ≥2 x +5 为 x −1 ≥ x −5 ，两边平方得x 2−2x +1≥x 2+10x +25，解得x ≤−2，所以不等式的解集为 x x ≤−2 ；（2）若f x ≥8恒成立，则只需满足f x min ≥8，根据绝对值三角不等式： x −a + x +5 ≥ x −a − x +5 = a +5 ，所以问题转化为 a +5 ≥8，于是可以求出a 的取值范围. 试题解析：(1)当a =1时，f x ≥2 x +5 ⇒ x −1 ≥ x +5 ⇔ 2x +4 x −1−x −5 ≥0， 解得：x ≤−2，所以原不等式解集为 x x ≤−2 .(2)f x = x −a + x +5 ≥ x −a − x +5 = a +5 ，若f x ≥8恒成立， 只需： a +5 ≥8.解得：a ≥3或a ≤−13.。