1.1.1 任意角 课件(人教A版必修4)

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第一章
三角函数
不妨令 k＝0，1，2(连续三个整数)， α α 则－30°< <0°或 90°< <120°或 210° 3 3 α < <240°. 3 α ∴ 终边在第二或第三或第四象限． 3
答案：(1)二、四
(2)二、三、四
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第一章
三角函数
3.已知集合A＝{α|k· 180°＋30°<α
可沟通角与角之间的联系，常见的对称关系 有以下几种：
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第一章
三角函数
(1)若α与β的终边关于x轴对称，则α与β的关
系为α＋β＝k· 360°，k∈Z. (2)若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关 系为：α＋β＝(2k＋1)· 180°，k∈Z. (3)若α与β的终边关于原点对称，则α与β的
k· 360°＋315°，k∈Z}
＝{α|α＝2k· 180°＋135°或α＝(2k＋1)· 180°＋ 135°，k∈Z}， 名师微博 切记k∈Z，2k与2k＋1合并就是k！ ∴S＝{α|α＝k· 180°＋135°，k∈Z}.
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三角函数
(思路二)结合图形，α与135°相差180°
三角函数
解析：选D.∵集合A＝{α|α＝k· 180°＋90°,
k∈Z}∪{α|α＝k· 180°，k∈Z}＝{α|α＝ (2k ＋ 1)· ° ， k ∈ Z}∪{α|α ＝ 2k· ° ， 90 90 k∈Z}＝{α|α＝m· 90°，m∈Z}，集合B＝ {β|β＝k· 90°，k∈Z}，∴A＝B，故选D.
关系为：α＝β＋(2k＋1)· 180°，k∈Z.
(4)若α与β的终边在同一条直线上，则α与β 的关系为：α＝β＋k· 180°，k∈Z.
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三角函数
(5)若α是第m象限角，判断－α，180°±α所 在的象限，首先写出α的取值范围，然后进 行判断．
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三角函数
失误防范
1.角的终边相同，角的大小不一定相等，它 们相差360°的整数倍． 2.终边相同的角表示不唯一． 3.表示区间角时，要注意区分
(1)∵2k· ° ＋ 180 ° <2 α <2k · ° ＋ 360 360
360°(k∈Z)，
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三角函数
∴2α 是第三或第四象限的角或终边在 y 轴的 非正半轴上的角． α (2)∵k· ° ＋ 45 ° < <k ² 180 ° ＋ 90 ° 180 2 (k∈Z)， α 当 k ＝ 2n(n∈Z) 时 ， n ² 360 ° ＋ 45 ° < 2 <n²360°＋90°； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
<k· 180°＋90°,k∈Z},集合B＝{β|k· 360°－ 45°<β<k· 360°＋45°,k∈Z}.求A∩B. 解：如图所示，A∩B中的 角的始边和终边对应30°
和45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k· 360°＋30° <α<k· 360°＋45°，k∈Z}．
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三角函数
α 2.(1)若 α 终边位于第三象限， 则 终边位于第 2 ________象限．
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三角函数
α (2)若 α 终边位于第四象限，则 终边位于第 3 ________象限．
解析：(1)∵α 是第三象限角， ∴ 180°＋ k² 360° <α <270°＋ k² 360° (k∈Z)， α ∴ 90 ° ＋ k ² 180 ° < <135 ° ＋ k ² 180 ° 2 (k∈Z)． 由题可知 k 取奇数和偶数，
角的始边、终边所表示角的大
小关系．防止出现如下错误： {β|k· 360°＋120°≤β≤k· 360°－60°}．
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第一章
三角函数
当 k＝3n＋1(n∈Z)时， α n²360°＋150°< <n²360°＋180°； 3 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， α n²360°＋270°< <n²360°＋300°. 3 α ∴ 是第一或第二或第四象限的角． 3
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三角函数
备选例题
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零 角
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三角函数
想一想
1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60°
C．30° 答案：B
B．－60°
D．－30°
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三角函数
4.象限角（从终边的角度划分）
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 x _______重合，角的始边与_____轴的非负半 原点 终边 轴重合，那么角的______在第几象限，就说 象限角 这个角是第几________，即象限角的终边在 第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标 轴重合．
(2)0°～90°的角可能是零角，可用集合表示
为{0|0°≤θ<90°}，所以它也不一定是锐角
(3)第一象限角不一定是锐角，如380°角． (4)小于90°的角可能是零角或负角，所以 它不一定是锐角，也不一定是第一象限角．
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三角函数
5.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可
的整数倍，由此写出集合．
法二：如图所示．
∵角α的终边在函数y＝－x的图象上， ∴角α的集合为S＝{α|α＝k· 180°＋135°，k∈Z}。
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三角函数
象限角及区间角的表示
若 α 是第二象限的角， 试分别确定 2α， 例3 α 所在的象限． 2
【解】
∵α是第二象限的角，
∴k· 360°＋90°<α<k· 360°＋180°(k∈Z).
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三角函数
经过1小时，秒针、分针各转了多少度？
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三角函数
一、任意角的概念
这些例子不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何 解决这一问题? 有必要将角的概念及范围推广 想一想： 用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化.
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三角函数
归纳总结
θ 1. 所在象限的问题 n θ 一般地，要确定 所在的象限，可以作出 n n 等分各个象限的从原点出发的射线， 它们与坐 标轴把周角等分成 4n 个区域．从 x 轴的正半 轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1，2，3，4，则标号是三角函数
θ 就是 θ 为第几象限的角时， 终边落在的区 n θ θ 域， 所在的象限就可直观地看出．如 (θ n 3 为第三象限角)所在象限的问题： 作出三等分各个象限的从原点出发的射线， 它 们与坐标轴把周角等分成 12 个区域．从 x 轴 的正半轴起，按逆时针方向把这 12 个区域依 次循环标上号码 1，2，3，4，
{x|k· 360°＋90°<x<k· 360°＋180°，
k∈Z}． 第三象限角集合为
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三角函数
{x|k· 360°＋180°<x<k· 360°＋270°，
k∈Z}． 第四象限角集合为 {x|k· 360°＋270°<x<k· 360°＋360°， k∈Z}．
(2)终边在坐标轴上的角的集合
第一章
三角函数
第一章
三角函数
第一章
三角函数
复习回顾
什么是角？范围是多大？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0°～360°
初中定义
边
顶 点
边
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三角函数
跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?
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三角函数
体操中有转体两周 或转体两周半，如 何度量这些角度呢？
终边落在y轴的非正半轴上，角的集合为 {x|x＝k· 360°－90°，k∈Z}．
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第一章
三角函数
终边落在y轴上，角的集合为
{x|x＝k· 180°＋90°，k∈Z}． 终边落在坐标轴上，角的集合为 {x|x＝k· 90°，k∈Z}． 3.已知两角的终边关系判断两角的关系
对称是角与角的终边常见的关系，利用对称
α n²360°＋225°< <n²360°＋270°. 2 α ∴ 是第一或第三象限的角． 2
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三角函数
互动探究
α 2.本例条件不变，若 α 仍是第二象限角，则 3 是第几象限的角？
α 解 ： k· ° ＋ 30 ° < <k ² 120 ° ＋ 60 ° 120 3 (k∈Z)， 当 k＝3n(n∈Z)时， α n²360°＋30°< <n²360°＋60°； 3
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三角函数
不妨令 k＝0 和 k＝1(连续两个整数)， α α 则 90°< <135°或 270°< <315°， 2 2 α ∴ 终边在第二或第四象限． 2 (2)∵α 是第四象限角， ∴－90°＋k²360°<α <k²360°(k∈Z)， α ∴－30＋k²120°< <k²120°(k∈Z)． 3
α＋k· 360°, 构成一个集合S＝{β|β＝______________ k∈Z _________}, 即任一与角α终边相同的角，都 可以表示成角α与整数个周角的和．
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三角函数