2019高考数学小题押题练01 理数 (含解析)

小题押题练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}，N ＝{x |0<x <2}，则N ∩(∁U M )＝( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数z 满足(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得z ＝5－2i 2＋3i －1＝(5－2i )(2－3i )(2＋3i )(2－3i )－1＝4－19i13－1＝－913－1913i ，所以复数z 的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－3 B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( ) A ．112 B ．51 C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x 或x 2＝12yB ．y 2＝4xC ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4x 或x 2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5， 所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B. 7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 依题意，执行程序框图，i ＝1，S ＝0<2，S ＝ln 3，i ＝3，S <2；S ＝ln 5，i ＝5，S <2；S ＝ln 7，i ＝7，S <2；S ＝ln 9，i ＝9，S >2，此时结束循环，输出的i ＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3解析：选B 由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A -BDD 1B 1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V ＝V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1－V 三棱锥A -A 1B 1D 1－V 三棱柱BCD -B 1C 1D 1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm 3)，故选B.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2 B ．32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1D ．3解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又A 为△ABC的内角，所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin2π3＝2，故b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sinC ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2π3，所以B －C ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝⎛⎦⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ＋3cos B cos C ∈⎝⎛⎦⎤32，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.12．(2018·广州模拟)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1(x )＝－x 3＋32x 2；f 2(x )＝e x－x －1；f 3(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′(x )＝－3x 2＋3x ，xf 1′(x )＝x (－3x 2＋3x )＝－3x 2(x －1)，当x >1时，xf 1′(x )<0，不满足条件②，则函数f 1(x )不是“偏对称函数”；f 2′(x )＝e x －1，xf 2′(x )＝x (e x －1)，当x ≠0时，恒有xf 2′(x )>0，故满足条件②；f 3′(x )＝⎩⎨⎧－11－x，x ≤0，2，x >0，故xf 3′(x )＝⎩⎨⎧－x 1－x，x ≤0，2x ，x >0，故xf 3′(x )>0在x ≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x ≠0时，f 4(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x ·2＋2x－12(2x－1)＝x 2·2x＋12x －1，所以f 4(－x )＝－x 2·2－x＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f 4(x )，所以当x ≠0时，f 4(x )是偶函数，所以当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 4(x 1)＝f 4(x 2)，不满足条件③，所以f 4(x )不是“偏对称函数”；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 2(x 2)－f 2(x 1)＝e x 2－x 2－1－e x 1＋x 1＋1＝e x 2－e －x 2－2x 2，构造函数H (x )＝e x －e －x －2x ，则有H ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ×e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取等号，即H (x )是(0，＋∞)上的增函数，则x ∈(0，＋∞)时，H (x )>H (0)＝0，故f 2(x 2)－f 2(x 1)>0恒成立，所以f 2(x )满足条件③；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 3(x 2)－f 3(x 1)＝2x 2－ln(－x 1＋1)＝2x 2－ln(x 2＋1)，构造函数T (x )＝2x －ln(1＋x )，则当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＝2－11＋x ＝1＋2x 1＋x >0，所以T (x )是(0，＋∞)上的增函数，则当x ∈(0，＋∞)时，T (x )>T (0)＝0，故f 3(x 2)－f 3(x 1)>0恒成立，故f 3(x )满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C. 二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝⎛⎭⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数z ＝－3x ＋y 在点B 处取得最小值，z min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________． 解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1， ∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B 及余弦定理得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝b sin B ，即b ＝b sin B ⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB ＝π6，∴∠ACB ＝π3.BC ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC＝12×a ×3a ＝32a 2.在△ACD 中，cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝3sin D ，∴S四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32a 2＋3sin D ＝32×13－12cos D 4＋3sin D ＝3sin D －332cos D ＋1338＝372⎝ ⎛⎭⎪⎫27sin D －37cos D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝⎛⎭⎫其中θ满足tan θ＝32，∴当D －θ＝π2，即D ＝π2＋θ时，S 四边形ABCD 最大，此时sin D ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝27＝277. 答案：27716．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋k ]>2，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋k )>2.当－2＋k <1，即k <3时，令f (－2＋k )＝3(k －2)－2>2，无解；当－2＋k ≥1，即k ≥3时，令f (－2＋k )＝2＋log 2(k －2)>2，得log 2(k －2)>0，即k －2>1，解得k >3.故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)。