求解绝对值方程组稀疏解的两种算法
如何解决绝对值方程
如何解决绝对值方程绝对值方程是一个常见的数学问题，需要找到使得方程中的绝对值表达式等于某个给定的值的未知数的取值。
解决绝对值方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解决方法。
一、用绝对值的定义解绝对值方程绝对值的定义是：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
在解决一个绝对值方程时，可根据绝对值的定义将绝对值表达式拆分成两个情况，分别对应x≥0和x<0两种情况。
然后解得两个方程，得到两组解。
例如，解方程|2x-3|=5时，可以将绝对值表达式拆分成2x-3=5和2x-3=-5两个方程，然后解得x=4和x=-1，得到解集{x=4, x=-1}。
二、利用绝对值的性质解绝对值方程1. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。
即若两个绝对值相等，则去掉绝对值符号后的表达式相等。
利用这个性质，可以简化解绝对值方程的步骤。
例如，解方程|2x+1|=3，由性质可知2x+1=3或2x+1=-3，然后解得x=1和x=-2，得到解集{x=1, x=-2}。
2. 若|a|>c，则a>c或a<-c。
即若一个绝对值大于一个正数，则去掉绝对值符号后的表达式大于这个正数。
利用这个性质，可以将不等式转化成一组简单的不等式。
例如，解不等式|2x-1|>4，由性质可知2x-1>4或2x-1<-4，然后解得x>2.5或x<-1.5，得到解集{x:x>2.5或x<-1.5}。
三、用图像法解绝对值方程可以通过绘制绝对值函数的图像，来解决绝对值方程。
绘制出函数的图像后，再找到与给定值相等的函数值对应的x值即可得到解。
例如，解方程|2x-3|=5，可绘制出y=|2x-3|和y=5两个函数的图像，然后找到它们的交点对应的x值，即可得到解。
总结：解决绝对值方程的方法有多种，包括用绝对值的定义解方程、利用绝对值的性质解方程以及利用图像法解方程等。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法来解决。
解绝对值方程的方法
解绝对值方程的方法绝对值方程是初中数学中常见的一种方程类型，解绝对值方程的方法有多种，本文将介绍其中的两种常用方法：分情况讨论法和代数法。
一、分情况讨论法分情况讨论法是解绝对值方程的常用方法之一，它的基本思想是将绝对值的取值范围分成几个情况，然后分别讨论每种情况下的方程解。
举个例子来说明分情况讨论法的具体步骤。
假设我们要解方程|2x-1|=3。
首先，我们将绝对值的取值范围分为两种情况：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。
对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。
对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。
因此，原方程的解为x=2和x=-1。
使用分情况讨论法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的取值范围进行合理的分情况讨论，并对每种情况下的方程进行求解。
这种方法的优点是思路清晰，能够将问题分解为若干个简单的子问题，但对于复杂的绝对值方程，可能需要分的情况较多，计算量较大。
二、代数法代数法是解绝对值方程的另一种常用方法，它的基本思想是利用绝对值的定义进行代数变形，从而得到方程的解。
举个例子来说明代数法的具体步骤。
假设我们要解方程|2x-1|=3。
根据绝对值的定义，当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。
对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。
对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。
通过代数变形，我们得到了与分情况讨论法相同的结果。
使用代数法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的定义进行代数变形，并将方程转化为一元一次方程进行求解。
这种方法的优点是计算量相对较小，适用于简单的绝对值方程。
综上所述，解绝对值方程的方法有分情况讨论法和代数法两种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
怎么解绝对值方程
怎么解绝对值方程1. 什么是绝对值方程绝对值方程是一个包含绝对值符号的方程，形如：|x| = a，其中a为一个实数。
绝对值符号表示取绝对值，即将其内部的数去掉符号变成正数。
因此，绝对值方程|x| = a 的解就是使得|x|等于a的x的取值。
2. 解一元一次绝对值方程2.1 绝对值的定义首先我们需要了解绝对值的定义。
一个数x的绝对值（记作|x|）定义如下：•如果x大于等于0，则|x| = x•如果x小于0，则|x| = -x所以，当我们遇到一个带有绝对值符号的表达式时，我们需要根据其内部的数是正数还是负数来分情况讨论。
2.2 解法步骤下面介绍解一元一次绝对值方程的步骤：1.将方程拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。
–如果 x 大于等于 0，则 |x| = x–如果 x 小于 0，则 |x| = -x2.对每个情况下得到的等式进行求解。
3.得到的解即为原方程的解。
2.3 示例假设我们需要解方程 |x - 2| = 3。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：情况1：x - 2 大于等于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = x - 2。
将其代入原方程，得到：x - 2 = 3解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：x = 5情况2：x - 2 小于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = -(x - 2)。
将其代入原方程，得到：-(x - 2) = 3同样地，解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：•x + 2 = 3•x = 1所以，绝对值方程 |x - 2| = 3 的解为 x = 5 和 x =1。
解多元一次绝对值方程当绝对值符号出现在多元一次方程中时，我们也可以通过分情况讨论来求解。
解法步骤下面介绍解多元一次绝对值方程的步骤：1.将每个含有绝对值符号的表达式拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。
2.对每个情况下得到的等式进行求解。
求解线性方程组稀疏解的稀疏贪婪随机Kaczmarz算法
大小 k̂ 。②输出 xj。③初始化 S = {1，…，n}，x0 = 0，
j = 0。④当 j ≤ M 时，置 j = j + 1。⑤选择行向量
ai，i ∈
{
1，…，n
}，每一行对应的概率为
‖a‖i
2 2
‖A‖
2 F
。
⑥
( | ) 确 定 估 计 的 支 持 集 S，S = supp xj-1 max { k̂，n-j+1 } 。
行从而达到加快算法收敛速度的目的。算法 3 给出
稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。
算法 3 稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。①输入
A∈ Rm×n，b ∈ Rm，最大迭代数 M 和估计的支持集的
大 小 k̂ 。 ② 输 出 xk。 ③ 初 始 化 S = {1，…，n}，x0 =
x
* 0
=
0。④
置
k
=
0
时，当
k
≤
M
-
1
时。⑤计算
( {| | } ϵk=
1 2
‖b
1 - Ax‖k 22
max
1≤ ik ≤ m
bik - aik xk 2
‖a
‖ ik
2 2
+
)1
‖A‖
2 F
（2）
⑥决定正整数指标集
{ | | } Uk =
ik|
bik - aik xk
2
≥
ϵ‖k b
-
Ax‖k
‖22 a
‖ ik
2 2
ï í
1
ï î
j
l∈S l ∈ Sc
其中，j 为迭代步数。当 j → ∞ 时，wj⊙ai → aiS，因此
求解绝对值方程组稀疏解的两种算法
求解绝对值方程组稀疏解的两种算法廖芸;刘晓红;李文娟【摘要】本文给出了提出了求解绝对值方程组稀疏解的两种算法：其一是l 1方法。
利用‖x‖1来逼近‖x‖0，文中证明了该方法实质上是求解一个线性规划问题；其二是重新加权的l 1方法。
利用一个凹函数来逼近‖x‖0，并且对该凹函数进行线性化近似，通过求解一系列的线性规划问题来找到绝对值方程组的稀疏解。
文中给出了两种方法的联系。
数值试验的结果表明：两种算法均是求解绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法。
%In this paper, two methods for solving sparse solution of absolute value equations are proposed. One of these methods is l1 method in which ‖x‖1 is used to approximate ‖x‖ 0 . It is proved that in fact l1 problem is a linear programming. The other method is a reweighed l1 method in which a concave function is used to approximate‖x‖0 . By using linearization technique to the concave function, an algorithm for finding sparse solution of absolute value equations is proposed. The main part of this algorithm is solving a series of linear programming. The collections between the two methods are given. The results of the numerical experiments about these two methods are given which showthat the two methods are all very efficiently in finding sparse solution of absolute value equations.【期刊名称】《天津理工大学学报》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】4页(P57-60)【关键词】绝对值方程组;稀疏解;l1方法;凹极小化;重新加权的l1方法【作者】廖芸;刘晓红;李文娟【作者单位】天津大学理学院数学系，天津 300072;天津大学理学院数学系，天津 300072;天津大学应用数学中心，天津 300072【正文语种】中文【中图分类】O221.2绝对值方程组（AVE）具有如下形式：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量.对于绝对值方程组是一类特殊的非线性、非光滑方程组，它与互补问题之间有着紧密联系，互补问题可以说是绝对值方程的主要来源之一.Mangasarian及Rohn[1-2]指出了在一定条件下，绝对值方程组与线性互补问题是等价的，这是非常重要的一个结果.互补问题属于运筹学和计算数学的交叉领域，在力学、工程、经济、交通等诸多领域都有着广泛的应用.从这个角度讲，绝对值方程组具有重要的应用价值.另外，绝对值方程组还涵盖了线性规划、二次规划、双矩阵对策等许多方面的问题，在金融、工程等许多领域有着广泛的应用.因此，绝对值方程组问题是具有重要实际应用背景、非常值得研究的问题，近年来国内外学者对绝对值方程组的求解及其它的性质有着浓厚的兴趣，得到了不少好的研究成果[1-8].其中，Mangasarian领导的研究组工作非常突出[2-5].“稀疏”是目前优化领域比较热的话题，越来越多的国内外学者来研究各种问题的稀疏解.在现有的研究成果中，更多的是关于线性方程组稀疏解的研究.寻找线性方程组的最稀疏解，就是求解如下的优化问题：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量，‖x‖0指x中非零分量的个数.由于（2）是NP难的问题，国内外学者设计了各种效用函数来逼近‖x‖0，通过求解（2）的近似优化问题找到线性方程组的最稀疏解.其中常用的一个效用函数就是‖x‖1，由于‖x‖1是‖x‖0在区域{x：‖x‖∞＜1}上的凸包，因此（2）转换为如下的l1问题：可以证明：（3）实质上是一个线性规划问题（LP），因此它的求解非常容易.关于l1方法，除了算法方面的研究成果，还有很多文献研究了RIP，NSP等各类精确恢复条件，可以参见文献[9-14].文献[14]中用到的一类效用函数是满足一定要求的凹函数，利用凹函数的线性化近似，（2）转换为一个线性规划问题.在文献[14]的算法中，是通过求解一系列的线性规划问题来找到线性方程组的稀疏解的，该算法实质上是一个加权的l1算法.本文研究的绝对值方程组的稀疏解.寻找绝对值方程组的最稀疏解，就是求解如下的优化问题：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量.目前关于绝对值方程组稀疏解的研究成果并不多，文献[15]是其中之一.受到求解线性方程组稀疏解时所用方法的启发，本文分别用‖x‖1和一个凹函数逼近‖x‖0，得到求解绝对值方程组稀疏解的两种算法.文中证明了：相应的问题实质上仍然是一个线性规划问题.相应的凹函数极小化方法仍然是求解一系列的线性规划，其实质依然是一个加权的方法.数值试验的结果表明，两种算法均是寻找绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法. 用‖x‖1作为效用函数逼近‖x‖0，得到求解绝对值方程组稀疏解的l1算法，相应的l1问题如下：考虑下的线性规划问题：有以下结论.也就是说，如果找到中使得‖x‖1最小的x，则是（l1）″的最优解；反之，如果是（l1）″的最优解，则x是（l1）问题的最优解.由（l1）′和（l1）″的等价性得定理的结论.注：将（l1）问题转化为上述线性规划问题具有重要的理论价值，它为进一步讨论绝对值方程组稀疏解的精确恢复条件，如RIP条件、RSP条件等奠定了良好的基础.算法1（求解绝对值方程组稀疏解的l1算法）求解线性规划问题（l1）′.在本部分中，首先给出一个凹函数来逼近‖x‖0，然后利用该凹函数的一阶泰勒展式，用一个线性函数来近似该凹函数.文中用到如下的凹函数：其中p∈（0，1），ε＞0.在文献[16]中，作者提出了一类凹函数来逼近，上述函数是其中之一.接下来的推导说明：可以用类似于文献[16]的算法框架来求解绝对值方程组的稀疏解.引理1 时，fε（x）是凹函数；并且fε（x）关于每个分量xi都是严格单调增的. 证明：容易得到：对于任意的中非负向量的集合），fε（x）的梯度和海塞阵的表达式如下：由此可以得到结论.利用凹函数fε（x）逼近‖x‖0，得到如下的（l0）问题的逼近问题：定理2 式（7）等价于如下优化问题：证明：由引理1，时，fε（x）关于每个分量xi都是严格单调增的.因此在最优解处处，一定有v=，则（8）等价于：从而容易看到（7）和（8）的等价性.在点vk处，对fε（v）进行一阶泰勒展开：利用线性函数fε（vk）+▽fε（vk）T（v-vk）近似fε（v），从而（8）被近似为如下的线性规划：求解（9），得到下一个迭代点（xk+1，vk+1）.求解绝对值方程组稀疏解的重新加权的l1算法如下：算法2（求解绝对值方程组稀疏解的重新加权的l1算法）步骤1：选取α，ε*，ε0∈（0，1），初始点（x0，v0）∈令k=0.步骤2：在当前的迭代点（xk，vk），求解线性规划（3.6）得到下一个迭代点（xk+1，vk+1）.步骤3：如果‖vk+1-vk‖＜ε*或者εk＜ε*，终止计算，输出xk+1；否则，令εk+1=αεk及k=k+1，进行步骤2.注意到（l1）′和（9）均为线性规划，两个问题的约束条件一样，仅是目标函数不同.（l1）′的目标函数为的目标函数为▽fε（vk）Tv=由此可以看到：重新加权的l1算法中，当迭代点（xk，vk）中vk各个分量的值相同时，求解的线性规划（9）即为（l1）′.尤其是当选取初始点（x0，v0）时，如果v0各个分量的值相同，则求解的第一个线性规划即为（l1）′.本部分中，通过数值试验结果说明上述两种算法的有效性.首先，随机地产生A∈R250×250，b∈R250以及k稀疏的向量x∈R250（即非零分量的个数至多为k个）.令A中的元素，以及x的非零分量均值为零，方差为1的i.i.d高斯随机变量.生成x之后，令接下来，分别用文中的算法1和算法2求解，算法中的线性规划用CVX（一个用于求解凸规划的工具）求解.在算法2中，参数如下选取：α=0.5，ε0=0.01，ε*= 10-5.对于给定的k稀疏向量x，通过某算法得到的解是xk，当满足下述要求时，认为通过该算法成功地恢复了x：对于给定的k，随机地产生200个问题，通过成功恢复的比例（恢复率）来对算法1和算法2进行比较，数值试验结果如表1所示.本文将求解线性方程组稀疏解的l1算法和重新加权的l1算法延伸来求解绝对值方程组的稀疏解.对两种算法，文中作了理论推导，并且作了数值试验.数值试验的结果表明：当k值不太大时，算法1和算法2的恢复率都非常高，因此它们都是求解绝对值方程组稀疏解很好的算法.从恢复率上看，两种算法的计算效果相近，没有显著区别；对于算法1和算法2，随着k的增大，恢复率都在减小；对于算法2，p的取值对算法的计算效果有影响，但没有太大区别.虽然从恢复率上看，算法1和算法2具有相近的计算效果.但是，从计算时间上看，对于同一个问题，由于算法1只需要求解一个线性规划，而算法2往往需要求解多个线性规划，因此一般来讲，算法1需要花费的时间要比算法2少些.总体来看，算法1要优于算法2.【相关文献】［1］Rohn J.A theorem of the alternatives for the equation Ax+=b）［J］．LinearandMultilinearAlgebra，2004，52（6）：421-426．［2］Mangasarian O L，Meyer R R.Absolute value equations［J］．Linear Algebra and its Applications，2006，419（5）：359-367．［3］Mangasarian O L.Absolute value programming［J］．Computational Optimization and Applications，2007，36（1）：43-53．［4］Mangasarian O L.Absolute value equation solution via concave minimization ［J］．Optimization Letters，2007，1（1）：3-8．［5］Mangasarian O L.A generalized newton method for absolute value equations ［J］．Optimization Letters，2009，3（1）：101-108．［6］Rohn J.An algorithm for solving the absolute value equation［J］．Electronic Journal of Linear Algebra，2009，18：589-599．［7］Rohn J.On unique solvability of the absolute value equation［J］．Optimization Letters，2009，3（4）：603-606．［8］Hu S L，Huang Z H.A note on absolute value equations［J］.Optimization Letters，2010，4（3）：417-424.［9］Candes E，Romberg J，Tao T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59（8）：1207-1223.［10］CandesE，RombergJ，TaoT.Robustuncertainty principles：Exactsignalreconstructionfromhighlyincompletefrequency information［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.［11］Donoho D，Elad M.Optimality sparse representation in general（non-orthogonal）dictionaries via l1minimization［J］. 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解含有绝对值的方程四种方法
解含有绝对值的方程四种方法
以下介绍几种含绝对值的方程的解法，给出的这四种方法都是常用的方法。
一、定义法：
根据绝对值的定义把绝对值号去掉，把一个方程变成两个方程来解。
这种方法只适用于较简单的含绝对值的方程。
二、平方法：
对于较简单的含绝对值的方程，去掉绝对值符号的又一个简单方法是方程两边平方。
；三、零点分区法：
这种方法适合于稍微复杂一些的情况，首先令各绝对值号内的式子等于零。
由此解得几个X的值把整个褛分为几个区间，解题时要按这几个区间逐一讨论，特别是解得的值要研究是否落在所给的区间。
四、数轴法
X-A的绝对值的几何意义是，在数轴上表示数A的点到X点的距离，根据这个几何意义解某些绝对值方程，具有直观简捷等特点。
现代电力系统分析复习资料----名词解释
名词解释：静态等值：在一定稳态下，内部系统保持不变，而把外部系统用简化网络来代替。
等值前后边界节点电压和联络线传输功率应相等，当内部系统区域内运行条件发生变化时，以等值网络代替外部系统后的分析结果应与简化等值前有全系统计算分析的结果相近，这种与潮流计算、静态安全分析有关的简化等值方法就是电力系统静态等值方法。
静态安全分析：判断系统发生预想事故后是否出现过负荷及电压越界。
不良数据：误差特别大的数据。
由于种种原因（如信道干扰导致数据失真，互感器或两侧设备损坏，系统维护不及时等），电力系统的某些遥测结果可能远离其真值，遥信结果也可能有错误。
这些量测称为坏数据或不良数据。
最优潮流：当系统的结构和参数以及负荷情况给定时，通过优选控制变量所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某个性能或目标函数达到最优的潮流分布。
电力系统安全稳定控制的目的：实现正常运行情况和偶然事故情况下都能保证电网各运行参数均在允许范围内，安全、可靠的向用户供给质量合格的电能。
也就是所，电力系统运行是必须满足两个约束条件：等式约束条件和不等式约束条件。
小扰动稳定性/静态稳定性：如果对于摸个静态运行条件，系统是静态稳定的，那么当受到任何扰动后，系统达到一个与发生扰动前相同或接近的运行状态。
这种稳定性即称为小扰动稳定性。
也可以称为静态稳定性。
暂态稳定性/大扰动稳定性：如果对于某个静态运行条件及某种干扰，系统是暂态稳定的，那么当经历这个扰动后系统可以达到一个可以接受的正常的稳态运行状态。
动态稳定性：指电力系统受到小的或大的扰动后，在自动调节和控制装置的作用下，保持长过程的运行稳定性的能力。
静态安全分析：判断系统发生预想事故后是否出现过负荷及电压越界。
极限切除角：保持暂态稳定前提下最大运行切除角。
能量管理系统：以计算机为基础的现代电力系统的综合自动化系统，主要包括：SCADA系统（以硬件为主进行数据采集和监控）和高级应用软件。
高级应用软件又包括：发电AGC和电网控制，电网控制包括状态估计、静态安全分析、最优潮流和调度员潮流。
贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题
贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题
贝叶斯统计方法可以用于求解稀疏约束优化问题。
稀疏约束优化问题是一类常见的优化问题，它的目标是在满足某种约束条件的条件下，找到一个具有稀疏性的解。
其中，稀疏性指的是解向量中的大部分元素为零。
贝叶斯统计方法可以通过引入概率模型来求解稀疏约束优化问题。
具体来说，可以将优化问题转化为一个贝叶斯推断问题，即通过给定数据和先验知识，计算后验分布。
通过改变先验分布的形式，可以引入稀疏性的先验，从而达到求解稀疏约束优化问题的目的。
具体求解稀疏约束优化问题的贝叶斯方法包括：
1. 贝叶斯回归：在线性回归问题中，通过引入稀疏先验，如拉普拉斯分布先验或高斯分布先验的稀疏化版本，可以得到稀疏解。
2. 贝叶斯压缩感知：在压缩感知中，通过引入稀疏性先验，如拉普拉斯分布或指数分布的稀疏先验，可以求解稀疏表示问题。
3. 贝叶斯稀疏编码：在稀疏编码问题中，通过引入稀疏性先验，如拉普拉斯分布或高斯分布的稀疏先验，可以求解稀疏编码问题。
需要注意的是，贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题通常需要进行概率推断，而概率推断是一个计算复杂度较高的问题。
因此，在实际应用中需要针对具体问题选择合适的求解算法，并考虑计算效率和精确度之间的平衡。
绝对值方程的解法
绝对值方程的解法绝对值方程是一种在数学中常见的方程类型，其中含有绝对值符号。
它们的解法相较于其他方程类型略有不同，需要通过考虑绝对值的两种可能取值情况来确定解的范围。
本文将介绍两种常见的解绝对值方程的方法：图像法和代数法。
一、图像法图像法是一种直观且易于理解的解绝对值方程的方法。
它通过绘制绝对值函数的图像，观察函数与坐标轴的交点来确定方程的解。
例如，考虑以下绝对值方程：|2x - 3| = 5首先，我们需要将方程两边的绝对值符号去除，并考虑两种可能的情况：情况1：2x - 3 = 5解这个方程得到 x = 4。
情况2：2x - 3 = -5解这个方程得到 x = -1。
因此，绝对值方程 |2x - 3| = 5 的解为 x = 4 和 x = -1。
图像法通过绘制绝对值函数 y = |2x - 3| 和 y = 5 的图像，观察它们的交点来验证解的正确性。
在图像中，我们可以看到2个交点分别对应方程的两个解。
二、代数法代数法是另一种解绝对值方程的常见方法。
它通过代数运算和数学推理，直接得到方程的解。
考虑以下绝对值方程：|2x - 3| = 5代数法中的基本思路是考虑绝对值的两种可能取值情况，并将方程转化为两个无绝对值符号的方程来求解。
情况1：当 2x - 3 为正数时，即 2x - 3 = 5解这个方程得到 x = 4。
情况2：当 2x - 3 为负数时，即 2x - 3 = -5解这个方程得到 x = -1。
因此，绝对值方程 |2x - 3| = 5 的解为 x = 4 和 x = -1，与图像法的结果一致。
在代数法中，我们将绝对值去除后得到两个方程，并分别解这两个方程。
通过这种方式，我们可以直接得到方程的解，而无需绘制图像。
总结起来，解绝对值方程的方法有图像法和代数法两种。
图像法通过绘制绝对值函数的图像，观察函数与坐标轴的交点来确定方程的解。
代数法通过考虑绝对值的两种可能取值情况，并将方程转化为两个无绝对值符号的方程来求解。
稀疏化算法
稀疏化算法
稀疏化算法是一种用于减少数据稠密度的技术。
在机器学习和数据分析中，稀疏化可以用于提取和表示高维数据中的重要特征，从而减少计算和存储的复杂性，并提高模型的效率和泛化能力。
常见的稀疏化算法包括以下几种：
1. L1 正则化：L1 正则化是一种常用的稀疏化技术，它通过在
目标函数中添加 L1 范数的正则化项来推动模型的权重尽量为零。
这种正则化方法可以促使一些权重置为零，从而实现特征选择的效果。
2. 基于阈值的方法：基于阈值的方法通过设置一个阈值，将低于阈值的权重置为零，而保留高于阈值的权重。
这种方法可以消除对模型没有贡献的特征，从而减少数据的维度。
3. 基于稀疏编码的方法：稀疏编码是一种基于字典学习的方法，它通过寻找一个最佳的字典表示来学习数据的稀疏表示。
这种方法可以用于特征提取和降维，将原始数据映射到一个更稀疏的表示。
4. 基于聚类的方法：聚类是一种常见的数据分析技术，它可以将数据分为不同的群集。
基于聚类的稀疏化方法可以通过保留每个聚类中心和分配给它的数据样本来实现数据的稀疏表示。
这些稀疏化算法可以通过不同的方式来实现特征选择、降维和
数据表示等任务，用于处理高维数据和大规模数据集时具有很大的实用价值。
lasso 方法
lasso 方法Lasso方法Lasso方法，全称Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，是一种常用的线性回归方法，用于在给定的预测变量中选择最优的子集。
Lasso方法通过对模型系数进行约束，将某些系数收缩到零，从而实现变量选择和模型压缩。
本文将介绍Lasso方法的原理、优点、使用场景以及一些注意事项。
一、Lasso方法的原理Lasso方法的核心思想是在最小化残差平方和的同时，增加对模型系数的约束，使得某些系数变为零。
具体而言，Lasso方法通过最小化以下目标函数来实现：min ||y - Xβ||^2 + λ||β||_1其中，y是因变量，X是预测变量矩阵，β是模型系数，λ是约束参数。
目标函数的第一项是残差平方和，表示模型的拟合程度；第二项是L1正则化项，用于约束模型系数的大小。
通过调整λ的值，可以控制Lasso方法对模型系数的约束力度。
二、Lasso方法的优点Lasso方法具有以下几个优点：1. 变量选择能力强：Lasso方法可以将某些不相关或弱相关的变量的系数收缩到零，从而实现变量的选择，避免了过拟合问题。
2. 稀疏解：由于Lasso方法的约束机制，它倾向于产生稀疏解，即模型系数中有很多零值。
这种稀疏性使得模型更加简洁，解释性更强。
3. 参数调整简单：Lasso方法中的约束参数λ可以通过交叉验证等方法进行调整，非常方便。
三、Lasso方法的使用场景Lasso方法适用于以下情况：1. 预测变量较多：当预测变量较多时，Lasso方法可以帮助我们选择最相关的变量，提高模型的预测能力。
2. 变量之间存在相关性：当变量之间存在较强的相关性时，Lasso 方法可以将其中一个变量的系数设为零，减少冗余信息。
3. 数据集较小：当数据集较小且特征较多时，Lasso方法可以通过变量选择和参数压缩来避免过拟合问题。
四、使用Lasso方法的注意事项使用Lasso方法时需要注意以下几点：1. 数据标准化：Lasso方法对数据的尺度敏感，因此在使用之前需要对数据进行标准化处理，保证不同变量具有相同的尺度。
稀疏度计算
稀疏度计算
稀疏度（sparsity）是指矩阵或向量中非零元素的比例或占比。
稀疏度计算常用于描述稀疏矩阵或向量的性质，对于许多稀疏数据处理任务是很重要的指标。
稀疏度可以通过以下公式计算：
稀疏度 = (全体元素个数 - 非零元素个数) / 全体元素个数
其中，全体元素个数是指矩阵或向量中元素的总个数，非零元素个数是指矩阵或向量中非零元素的个数。
例如，对于一个包含20个元素，其中有5个非零元素的向量：稀疏度 = (20 - 5) / 20 = 0.75
稀疏度的取值范围是0到1之间，数值越接近0表示矩阵或向
量越稠密，数值越接近1表示矩阵或向量越稀疏。
例谈六种有关绝对值问题的解题方法
例谈六种有关绝对值问题的解题方法方法一去绝对值符号根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.例1：关于x的方程x²-4∣x∣+5=m有四个全不等的实根，求实数m取值范围.分析先分两种情况：x≥0和x＜0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.方法二添加绝对值符号利用a²=∣a∣²，把关于a的问题转化关于为∣a∣的问题，可以达到出奇制胜的效果.例2 解方程:x²-3∣x∣-10=0.分析此题可以分x≥0和x＜0两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的x²项的x添加绝对值符号，把原方程转化为关于∣x∣的方程来解，则更简捷.方法三运用绝对值的几何意义∣a∣是数轴上表示数a的点与原点的距离，∣x-a∣是数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.运用绝对值的几何意义，可以使绝对值问题得到巧解.例3 解方程∣x+1∣+∣x-2∣=5.分析此题分三种情况x＜-1，-1≤x≤2和x＞2进行讨论，去掉绝对值符号，可以解此方程.如果用绝对值的几何意义，便可以直接得出其解.方法四运用绝对值的非负性∣a∣≥0，即∣a∣是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法.例4. 若关于x的方程∣x²-6x+8∣=a恰有两个不等实根，求实数a 的取值范围.分析先作函数y=x²-6x+8的图象，再根据绝对值的非负性，位于x轴上方的部分不变，把位于x轴下方的部分沿x轴对折上去，就得到y=∣x²-6x+8∣图象.方法五运用绝对值的不等式性质绝对值问题常用到两个重要不等式:(1)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣.例5 设y=∣x-1∣-∣x+5∣，求y的最大值和最小值.分析把x-1和x+5看做两个实数，利用上面的性质(2)求解.方法六绝对值性质与整数性质相结合例6 非零整数m、n满足∣m∣+∣n∣-5=0，问所有这样的整数组(m,n)共有多少组?分析由于m，n是非零整数，所以∣m∣，∣n∣为正整数.两个正整数之和为5有四种情况.。
七年级绝对值方程的7种解法
七年级绝对值方程的7种解法
1.完全分开法：
将绝对值方程分为两个等价的数学式，一个是原式，另一个是原式的
绝对值表达式，然后分别求解。
2.弹性分开法：
不用把绝对值方程分为两个等价的数学式，而是直接把两个部分弹性
分开计算，把绝对值表达式作为一组，把原式相当于一组，分别求解。
3.解析法：
解析法是将绝对值方程看作一个整体，把方程中绝对值变成乘积，也
就是将二次式全部写几次，然后把相同的项系数求和，再去解整个二
次式，最后就可以求得绝对值方程的解。
4.代入法：
把绝对值方程的解代入绝对值表达式中，然后求原式的值是否等于被
代入的值，看是否满足方程的等式，如果满足的话就说明绝对值方程
的组解求出了。
5.图解法：
将构成绝对值方程的绝对值表达式图示出来，然后找到两个组解，分
别代入原式中求解。
6.记号法：
使用记号法在组解的符号上做一个合理的假定，然后通过检验来求解绝对值方程的两个组解。
7.减法法：
利用原式的另一属性（减去y的绝对值），将绝对值方程中的绝对值表达式分成两组：y与减去y的绝对值，再同时解两个一次方程组，最后就可以求得绝对值方程的组解。
绝对值方程（组）的几种解法
绝对值方程（组）的几种解法带有绝对值的方程（组），一般都是通过划分区间，去掉绝对值，分段讨论求解.但对于一些特殊的绝对值方程（组），采取特殊方法，就可以避免一般方法的复杂运算.本文介绍的几种特殊解法，供读者参考.一、利用绝对值定义在解题时，利用|a |≥0,把方程（组）变形，简化，然后求其解.例1 解方程组：⎩⎨⎧-=+=-++(2)42|1|(1) 3|2||1|y x y x 解：由（2），|1|+x ≥0，⎩⎨⎧=--+=-++∴-=-∴≥≥-∴(4).0)2(2|1|(3) 3)2(|1|:.2|2|.2,042y x y x y y y y 原方程变形为（3）×2＋（4）得：|x +1|=2.解得：.3,121-==x x代入（3）得：y =3. ∴方程组的解为：⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,3 ,3,12211y x y x 二、利用不等式性质将方程适当变形，利用不等式公式中等号成立的条件，求方程（组）的解.例2 解方程：.|4||2||6|4224-=-+--x x x x解：由绝对值不等式知，若a 、b 为实数，则|a +b |≤|a |+|b|, (1)由于|,4||)2()6(||2||6|4224224-=++--≥++--x x x x x x λ因为（1）式中等号成立的充要条件是a ·b ≥0，所以,0)2)(6(224≥+--x x x:,3,0)3()2(2222解得≥∴≥-+x x x.33-≤≥x x 或 三、利用复数模长公式适当引入复变量代换，把实数问题转化为复数问题，然后利用复数模长公式的特性，求得方程（组）的解.例3 解方程22|2042644|222+-=++-++x x x x x x将原方程变形得：(2).22|204244|(1)|,|||||||.221)1(||,4)2(||,5)12(||,4)2(,5)12(.224)2(5)12(|2222121222212222212122222+-≤++-++∴-≤-+-=+-=-++=++=++=++=+-=++-++x x x x b x x z z z z x x x z z x z x z i x z i x z x x x x 又则设 由于（1）式当且仅当z 1、z 2共线且方向相同时等号成立.若（2）式等号成立，有：,42512x x +=+解得x =2. ∴方程的解为x =2.四、利用|a |2=a 2(a ∈R )在解方程（组）时，注意到a ∈R 时，有|a |2=a 2,可以去掉绝对值，把方程（组）简化.例4 解方程：321=--x x 解：由根式定义知：0≤x ≤1 设],2,0[,sin 2πθθ∈=x 则原方程化为：32|cos sin |=-θθ 上式两边平方得：,972sin ,922sin 1==-θθ .18249,.18249,1824922cos 1sin ,2942cos 2是原方程的解经检验即±=±=±=-=∴±=∴x x θθθ 五、利用函数性质把方程和函数联系在一起，利用函数的性质，可以直接求解.例5 解方程组：⎩⎨⎧=+=+(2) .10||2||5(1) ,6||2||y x y x 解：分别以－x 、－y 及同时以－x 、－y 作代换（1）、（2）均不变，知它们的图象关于x 轴、y 轴和原点对称.因此，设x ≥0,y ≥0得：⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+.25,1:.1025,62y x y x y x 解得 依x 轴、y 轴及原点对称，可得另三组解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==.25,1 ;25,1 ;25,1y x y x y x。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结解绝对值不等式题根探讨题根四解不等式∣χJ5x 5卜：1.［题根4］解不等式I x ? —5x 5| ：：：1.［思路］利用I f(x) I O) u -a<f(x)■ 22 X —5X 5 ：： 1式组「1 ：：： X —5x 5 ：： 1 即 2X -5x+5>-1［解题］原不等式等价于2 X - 5x 5 -.1 即2X - 5x 5 占-12 一 1 ：： X -5x 5 ：：1, ⑴(2)由(1)得：1 ：：： X ：：： 4 ；由(2)得：X ：：： 2或 X 3,所以，原不等式的解集为 {X |1 ：：： X ：：： 2或 3 ：：： x ：：：4}.［收获］1) 一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
y = χ2 -5x + 5与y = 1的的图象，解方程x 2-5x÷5 =1 ,再对照图形写出此不等式的解集。
第1变右边的常数变代数式［变题 1 ］解下列不等式：(1)| X +1∣>2 — X ; (2)| X 2 — 2X —6|<3 X［思路］利用 I f(x) I <f(x)g(x) = f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴ 原不等式等价于 X +1>2— X 或X +1<— (2 — X )11 解得X >1或无解，所以原不等式的解集是 { X | X >1} 22 (2)原不等式等价于—3x < X 2 — 2X — 6<3XIir *7 *rO r r r r r Hn X —2x —6 —3x — I X x —60 — !(X 3)(x -2) 0— ! x ：：—3或X 2 即 2 : 2: : X -2x-6：：3XX -5x-6 ：：0 (x 1)(x-6) ：：0 -1 ：： x ：： 62<6}<="" p="" x="" |2<="" 所以原不等式的解集是{="">［收获］形如| f(x)∣v g(x) , | f(x)∣> g(x)型不等式⑴求解 (2)2)本题也可用数形结合法来求解。
稀疏特征问题求解方法
JD方法使用数据并行方法比较容易并行实现。每个处理器可以保 留每个基向量和特征向量的子集，所有的向量修正可在本地进行。同 串行算法的不同在于内积运算需要一个全局归约操作。而且矩阵-向 量积和预处理操作必须被提供。 软件包：PRIMME 求解问题：电磁场计算；电子线路稳定性
稀疏特征问题求解方法:Jacobi-Davidson方法
算法思想 假设当前正交基矩阵V=[u1,u2,…,uk],得到一个投影矩阵 B V *AV 1.计算:Bs=θs 得到特征对（θj, sj）,由此得到A的Ritz向量uj=Vsj
2.寻找一个修正向量v u j，使得: A(u j v) (u j v)
这些方程通过有限元离散后得到一个广义特征值问题随着问题规模的增大有限元基函数解的提高以及有限元网格的加细离散后的特征值问题的阶数可高达千万阶到上亿阶
提要
稀疏特征值问题背景 稀疏矩阵特征值问题软件包列表 稀疏矩阵特征问题求解方法
单/多向量（single and multiple vector）迭代法 Lanczos 和Arnoldi方法 Jacobi-Davidson方法 采用预处理技术的预条件CG（Conjugate-Gradient）法 稀疏矩阵的存储格式 并行软件包设计问题
该方法是一种梯度法，在选取合适的预条件下，对于求解大规 模稀疏问题比较有效，而且它可以块方式求解多个特征值。
LOBPCG也是一种块投影算法，它的子空间由上一步向量、当 前向量和局部梯度方向组成，然后在子空间上应用Rayleigh-Ritz方法。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一. 前提: 0a >;形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1. (1) |2x －3|＜5解：－5＜2x －3＜5，得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2－3x －1|＞3解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3)2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或 2x 3x 2－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜13或 x ＜－2或x ＞5∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13或x ＞5反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。
(2)规范解答，可以避免少犯错误。
二. 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);（4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-。
lasso求解算法
lasso求解算法
Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是一种线性回归模型的求解算法，其主要目的是在具有高维输入特征的数据集中，选择最相关的特征并减小模型复杂度。
Lasso算法通过最小化损失函数来求解线性回归模型。
其中，损失函数由两部分组成：残差平方和和对参数的L1惩罚项。
在L1惩罚项的作用下，使得一部分参数的值变为0，从而达到特征选择的目的，即选择对目标变量有显著影响的特征。
Lasso算法的求解可以使用坐标下降法或者梯度下降法。
在坐标下降法中，每次只更新一个参数，而其他参数保持不变。
在梯度下降法中，每次更新所有参数，但更新的步骤较小。
需要注意的是，在使用Lasso算法时，需要对数据进行标准化处理，以保证不同特征之间的单位或量纲不会对结果产生影响。
同时，需要选择合适的惩罚参数lambda，以达到最佳的模型效果。
总之，Lasso算法是一种有效的特征选择和模型简化的工具，可以在高维数据集中寻找最相关的特征，并构建具有较好泛化能力的线性回归模型。
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第５ 期
天 津 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＴＬ ＮＪ Ｄ ＵＮⅣ ＥＲＳ Ｉ ＴＹ ｏＦ ＴＥＣＨＮｏＬｏＧＹ
Ｖｏ １ ． ３ １ Ｎｏ ． ５
０ｃ ｔ ． ２ ０ｌ ５
２ ０ １ ５年 １ ０月
文章编号 ： １ ６ ７ ３ － ０ ９ ５ Ｘ（ ２ ０ １ ５） ０ ５ — ０ ０ ５ ７ — ０ ４
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ０ ７ ２ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
了该 方法实质上是 求解一个线性规 划问题 ； 其二是重新加权的 ｚ 方法彳４ 用一 个凹函数 来逼近 ｌ ｌ ｌ ｌ 。 ， 并且 对该 凹函数 进行线性化近似 ， 通过求解一 系列的线性规 划 问题来找到绝对值方程组 的稀疏 解． 文 中给 出了两种方法的联 系． 数值 试
验 的结果表 明： 两种算法均是 求解 绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法．
关 键 词 ：绝对 值 方 程 组 ； 稀疏解 ； ２ １ 方法； 凹极 小 化 ； 重新加权的 ｆ １ 方法
中图分类号 ： Ｏ ２ ２ １ ． ２
文献标识码 ： Ａ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ０ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ — ０ ９ ５ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ５ ． ０ １ ２
ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ．Ｔ ｈ ｅ ｍａ ｉ ｎ ｐａ ｒ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈｉ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｉ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ａ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐｒ ｏｇ ｒ ａ ｍ ｍｉ ｎ ｇ ．Ｔｈ ｅ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｗｏ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄｓ
求解绝对值 方程组稀疏解 的两种算法
廖 芸 ，刘晓红 ，李文娟 。
（ １ ． 天津大学 理学院数学系 ， 天津 ３ ０ ０ ０ ７ ２ ； ２ ． 天津大学 应用数学 中心 ， 天津 ３ ０ ０ ０ ７ ２ ）
摘
要： 本 文给 出了提 出了求解绝对值方程组稀疏解 的两种 算பைடு நூலகம் ： 其一是 ｚ 方法彳４ 用Ｉ ｌ ｌ Ｉ 来逼近 ｌ ｌ ｌ ｌ 。 ， 文 中证 明
ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｉ ｓ １ １ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｎ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ 【 ｌ １ ｌ １ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｌ ｌ ｌ ｊ ０ ． Ｉ ｔ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｔ ｌ １ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍ ｉ ｎ ｇ ． Ｔ ｈ ｅ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ａ ｒ ｅ ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｅ ｄ ｚ １ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｎ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｃ ｏ ｎ ｃ ａ ｖ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ Ｉ １ ０ ． Ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ
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