第4章刚体的定轴转动剖析
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2.6 大学物理 刚体的定轴转动详解
分析：
解:滑轮具有一定的转动惯量。 转动中受阻力矩，两边的张力不 再相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m
1
T1 T
1
T2 T
2
a m
1
a
m G
2 1
a G
2
m
2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
分析： 飞轮制动 角加速度
正压力FN
力矩平衡
摩擦力矩
制动力F
分析： 飞轮制动
正压力FN
角加速度
摩擦力矩
l1
l2
F
力矩平衡
制动力F
解： 摩擦力矩是恒力矩，飞 轮做匀角加速度转动
0
t 2 n T
l1
FN
FN
l2
F f
F
由转动定律：M=Jβ 闸瓦对轮的摩擦力矩 M F f R FN R
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1：
物体 m2： 滑轮 m：
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2
大学物理(4.1.2)--刚体的定轴转动力矩
各
点运
动状态 等都相
同。 刚体上任一点的运动
可代表整个刚体的运动。
( 刚体平动的运动规律与质
点的运动规律相同 )
刚体平动
动
质点运
4/19
※ 转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
+ 随 质 心 的 平 动
绕质心的转动
的合成
6/19
※ 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
2/19
第一讲 刚体的定轴转动 力矩
※ 刚体
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 ( 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。 )
说明： ⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
※ 刚体的运动形式：平动、转动。
※ 平动：刚体中所有点
的运动轨迹都保持完全相
同 一
。样v，、 特如a点：：
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2
(
0
)
10/19
※ 角量与线量的关系
v
ω
rωddet t
v r r
dω dt
d 2 d2t
an ra
at r
an rω2
a ret rω2en
at
evt
※ 力矩
用来描述力对刚体的转动
F Fz F
矩 为 零其，F中F故z
对转轴的力 对转轴的力 矩M来自krFz
k
O rFz
F
F
Mz
rF
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
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第四章 刚体的转动 问题与习题解答问题：4-2、4-5、4-94-2如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？答：一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。
刚体所受合外力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。
4-5为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？答：因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。
而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0inij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。
4-9一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。
如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。
答：（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。
（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=+飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为：21L J J ωω''=-在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''-=+即 102J Jωωω''=+，转台的转速变大了。
（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=-飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的F 1F 3ab角动量为：21L J J ωω''=+在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''+=-即 102J Jωωω''=-，转台的转速变慢了。
第四章 刚体的定轴转动
c
mg
解 : ( 1)棒在任意位置时的重力 矩
l M mg cos 2
M J 1 2 ml 3
3g cos 2l
1 1 2 d (2) mg cos ml 2 3 dt 1 d d 1 2 d ml 2 ml 3 d dt 3 d
分离变量积分
A
O
x
l
A
l
dx
h A
x
l
dx
B
O x l
dx
A l A x
O
x l
dx h A
l
dx
B
O x l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线 密度为，这长度元的质量为dm=dx。 （1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J 0 r dm l / 2 x dx
合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。
二、定轴转动的转动定律
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 F ， 内力为 f 。 i i
只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。 ( , ) z 对mi用牛顿第二定律：
Fi f i mi ai
= 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边 缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体 A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长
度不变。已知r =10cm 。
求：（1）组合轮的角加速度； （2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。
1 2 J 2
线动量
刚体的定轴转动
半径为R、质量为 m3的均质圆盘，忽略轴 的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；(2)滑 轮的角加速度 及绳中的张力。（绳轻且
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
4第四章 刚体的定轴转动
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
4_刚体的定轴转动
从以上各式即可解得
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
37
若m=0，Mr=0，则
1 m1 2 m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
物体转动与否不仅与力的方向大小有关还与力作用的位置有关定轴转动的力矩只能引起物体变形对转动无贡献转动平面内a力与转轴平行b力与转轴垂直对转动无贡献仅使物体发生形变只有与转轴垂直的分力产生力矩使物体绕轴转动的垂直距离转轴到力在定轴动问题中如不加说明所说的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
第三章
刚体的定轴转动
l/2 2
28
(2)建立坐标系，分割质量元
x J x 2 dm l o 2 m x dx dx x 0 l 1 3 2 l 2 1 2 ml J C m ml 12 3 2
J x 2 dm
(3)建立坐标系，分割质量元
x
2
m x dx l / 2 h l 1 2 2 2 ml mh J C mh 12
25
转动惯量
多个质点组成的系统：
J mi ri
i
2
质量连续分布的刚体：
J r dm
2
平动 m 转动 J
v w
a a
mv Jw
dv F ma m dt d M z J J dt
26
小结
• • • • • 刚体的概念 刚体的运动自由度 刚体定轴转动的自由度 刚体定轴转动的运动方程 刚体定律转动定律
刚体的定轴转动力矩课件
大小
力矩的大小与力的大小、力臂长 度以及力和转动轴之间的夹角有
关。
转动效应
力矩能够使刚体绕固定轴转动， 改变刚体的角速度和角动量。
定轴转动力矩的应用
机械传动
在机械传动中，如齿轮、蜗轮等，定轴转动力矩 是实现能量传递和运动转换的关键因素。
航空航天
在航空航天领域，定轴转动力矩用于控制飞机的 飞行姿态和稳定飞行状态。
平衡条件
为了保持刚体的定轴转动，必须满足力矩平衡条件，即重力矩与阻力矩相等。
实例分析
以钟摆为例，钟摆在重力作用下绕轴转动，为了保持钟摆的定轴转动，钟摆的长度和重 力的作用点必须满足一定的条件，否则钟摆会发生摆动。
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力矩平衡条件
对于旋转机械，力矩平衡是保持机械稳定运转的重要条件，即作用 在刚体上的所有力矩之和为零。
实例分析
以电动机为例，电动机在运转过程中，作用在电动机转子上的电磁力 矩与转子受到的阻力矩平衡，使得电动机能够稳定运转。
刚体在重力作用下的定轴转动
重力对刚体的作用
重力是作用在刚体上的恒力，当刚体在重力作用下绕轴转动时，重力会产生一个力矩。
刚体的动态平衡
总结词
刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。
详细描述
刚体的动态平衡是指刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。这意味着作用在刚体上 的所有力矩和力矩的冲量在某一时间段内相互抵消，使刚体保持匀速直线运动或匀速转动状态。
刚体的稳定性和失稳条件
总结词
刚体在受到微小扰动后能恢复到原来的平衡状态的性质。
刚体的分类
可分为固定刚体和活动刚 体。
刚体的定轴转动
定轴转动定义
刚体绕某一固定轴线作转动。
刚体的定轴转动
19
内半径为R1 外半径为 R2 质量为m 的匀质中空圆盘 绕其对称轴的转动惯量.
R2
R1
dJ r 2 dm r 2 2 rdr r 3 2dr
r
dr
m ( R22 R12 )
o
J
R2 2 R1
1 2 r dr m R12 R2 2
3
同理，转动惯量与厚度l无关，有 高度的空心圆筒也有同样的公式.
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
13
N
得到：
F r sin ( m r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表示； 右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转 动惯量，以J 表示。于是得到
o
20
例3 、求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
解:(1)建立坐标系，分割质量元
J x 2dm
l 2 2
x
o
1 m 2 ml x dx l 2 l 12
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象， 作为突破口； (3)根据受力情况，正确地画出受力图；
(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原 理、定律，列出方程式；
内半径为R1 外半径为 R2 质量为m 的匀质中空圆盘 绕其对称轴的转动惯量.
R2
R1
dJ r 2 dm r 2 2 rdr r 3 2dr
r
dr
m ( R22 R12 )
o
J
R2 2 R1
1 2 r dr m R12 R2 2
3
同理，转动惯量与厚度l无关，有 高度的空心圆筒也有同样的公式.
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
13
N
得到：
F r sin ( m r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表示； 右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转 动惯量，以J 表示。于是得到
o
20
例3 、求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
解:(1)建立坐标系，分割质量元
J x 2dm
l 2 2
x
o
1 m 2 ml x dx l 2 l 12
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象， 作为突破口； (3)根据受力情况，正确地画出受力图；
(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原 理、定律，列出方程式；
大学物理学第四章 刚体的定轴转动
加速度及绳中张力。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
第四章刚体的定轴转动
（2）t 6s 时，飞轮的角速度
t （ 3）
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
2 2
v r 0.2 4π m s 2.5 m s
该点的切向加速度和法向加速度
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
第四章 2 刚体的转动
0
0
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角 加速度的方向只有两个，在表示角加速度 时只用角加速度的正负数值就可表示角加 速度的方向，不必用矢量表示。
五、两个空间角速度合成 刚体同时参预两种 转动，角速度满足矢量 合成法则：
第四章 刚体的转动
1
2
1 2
4-2,4-3,4-4
第四章 刚体的转动
第四章 刚体的转动
4--1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组） 刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
写成等式 刚体作定轴转动时，合外力矩等于 刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
J
注意几点
M J
F ma
第四章 刚体的转动
1. 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两 个方向）。
2. 具有瞬时性。
3. M、J、α是对同一轴而言的。
当切断电风扇的电源 后，电风扇并不是马上就 停止转动，而是转动一段 时间后才停止转动，
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I 2r3dr 1 MR2 2
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
T1 r T2 r = Iβ
I 1 Mr2 2
a r
Mr
T2
T1
m2
m1
β M+
T2 T1
解方程得
a (m1 m2 )g (m1 m2 M / 2)
(m1 m2 )g
所有质元作圆周运动
rimivi
mi ri ri mi ri2
Iz
ri mivi
Z
mivi
ri
Z
mirvi i
Lz Iz
其中 Iz miri2
刚体对 Z轴的转动惯量 连续分布系统
I r2dm
反映质量极其分布
转动惯量的计算：
[ 例4－1 ]质量为m,长度为 L 0
mi ri M rC
F外
M
d2rC dt 2
M aC
质点组的质心运动定理，也适用于刚体
质点组中各个质点无论如何运动， 其质心的运动由合外力决定。
刚体的势能
Ep mi gyi Mgyc Mghc
其中hc为质心相对于参考点的 高度。
z
例4－1如图所示，一
均质细杆，长为L，质
o
量为m，求其由竖直转
的均质细杆的转动惯量
解： 建立坐标系如图 1.任取线元 dx，距离左端 x
0
ω
dm m dx L
2.质元dm的转动惯量
dI x2dm m L x2dx
3.杆的转动惯量
I L mx2dx 1 m L2
0L
3
L
x dx
4.对于过质心轴
I
L
2 L
2
mdx L
1 12
mL2
0L
0 x dx
rC x
zC
mi zi mi
z
如果质量连续分布
xC
xdm dm
rC rdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
若质量均匀分布，则质心与几何中心重合
质心运动定理
质点组动量定理
d p d
F外 dt dt
mi vi
d dt
mi
dri dt
d 2
dt 2
mi r i
o′
可用其上任何一点的运动来
·
o·′
代表整体的运动（如质心）。 o′
·
刚体的转动:
o
o
*定轴转动：
*定点转动：
o
定轴转动：
转轴:保持静止的点的连线 方向：角速度方向
刚体质点间的相对运动只能是绕某
z
一固定轴转动的结果。
定点转动：
进动
运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时 轴线转动（如陀螺的运动）。
到水平位置的势能变化。
C
y y1m1
yC x
刚体的角动量 转动惯量
角速度矢量
Z
从上向下看，逆时 针转角为正。
d
dt
右手关系 线速度与角速度矢量
Z
vi ri
vi r i
vi ri
刚体的角动量
质点的角动量 Lz r i mi v i
刚体的角动量 Lz Li z
ri mivi
O
质心 质心运动定理
质心
在研究质点系的运动时，常引入质量中心的概念， 称质心（the center of mass）
质点系中若干个质点质量及位置分别为
m1,m2,…mn; r1,r2,…rn。该质点系质心的
位置矢量定义为
xC
mi xi mi
y rm1 1
mi ri
rC mi
yC
T1
m1(2m2 M / (m1 m2 M
ω
[ 例4－2 ] 均质细圆环的转动惯量。
ω
任取线元dl ， dm=dl，距离轴r
M
I r2dm r 2 dm Mr2
r
0
[ 例4－3 ]质量为M，半径为R 的 均质圆盘的转动惯量
任取面元ds（离r远处dr宽细环）
dm 2rdr M / R2 dI r 2dm 2r 3dr
I Ic Md 2
IC
I
m Cd
平行
z
正交轴定理
xoy 面的平面刚体
Iz Ix Iy x
ri
y
mi
同样质量，轴的方位不同，I不同 同样的轴，质量分布不同时，I不同
质心
rC rdm dm
质心运动定理
xC
xdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
F外
M
d2rC dt 2
M aC
刚体的势能 E p Mghc
线速度与角速度矢量 vi r i
质点的角动量 Lz r i mi v i
刚体的角动量 L
ri mivi I
刚体转动惯量 I miri2
I r2dm
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
第4章 刚体的定轴转动
刚体的运动 质心 质心运动定理 刚体的角动量 转动惯量 刚体的转动定理 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体的动能定理
第4章 刚体的定轴转动
刚体的运动 质心 质心运动定理 刚体的角动量 转动惯量 刚体的转动定理 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体的动能定理
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
刚体的转动定理
力矩（对轴） 力f在转动平面内
M r f
f
Mz、r
φ
力f不在转动平面内
o
对转动有贡献的力的分量为f//
M r f //
Mz f
r
刚体的定轴转动定律
M
z
r
F//
Lz
dLz
dt
ri mi vi I z
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
T1 r T2 r = Iβ
I 1 Mr2 2
a r
Mr
T2
T1
m2
m1
β M+
T2 T1
解方程得
a (m1 m2 )g (m1 m2 M / 2)
(m1 m2 )g
所有质元作圆周运动
rimivi
mi ri ri mi ri2
Iz
ri mivi
Z
mivi
ri
Z
mirvi i
Lz Iz
其中 Iz miri2
刚体对 Z轴的转动惯量 连续分布系统
I r2dm
反映质量极其分布
转动惯量的计算：
[ 例4－1 ]质量为m,长度为 L 0
mi ri M rC
F外
M
d2rC dt 2
M aC
质点组的质心运动定理，也适用于刚体
质点组中各个质点无论如何运动， 其质心的运动由合外力决定。
刚体的势能
Ep mi gyi Mgyc Mghc
其中hc为质心相对于参考点的 高度。
z
例4－1如图所示，一
均质细杆，长为L，质
o
量为m，求其由竖直转
的均质细杆的转动惯量
解： 建立坐标系如图 1.任取线元 dx，距离左端 x
0
ω
dm m dx L
2.质元dm的转动惯量
dI x2dm m L x2dx
3.杆的转动惯量
I L mx2dx 1 m L2
0L
3
L
x dx
4.对于过质心轴
I
L
2 L
2
mdx L
1 12
mL2
0L
0 x dx
rC x
zC
mi zi mi
z
如果质量连续分布
xC
xdm dm
rC rdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
若质量均匀分布，则质心与几何中心重合
质心运动定理
质点组动量定理
d p d
F外 dt dt
mi vi
d dt
mi
dri dt
d 2
dt 2
mi r i
o′
可用其上任何一点的运动来
·
o·′
代表整体的运动（如质心）。 o′
·
刚体的转动:
o
o
*定轴转动：
*定点转动：
o
定轴转动：
转轴:保持静止的点的连线 方向：角速度方向
刚体质点间的相对运动只能是绕某
z
一固定轴转动的结果。
定点转动：
进动
运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时 轴线转动（如陀螺的运动）。
到水平位置的势能变化。
C
y y1m1
yC x
刚体的角动量 转动惯量
角速度矢量
Z
从上向下看，逆时 针转角为正。
d
dt
右手关系 线速度与角速度矢量
Z
vi ri
vi r i
vi ri
刚体的角动量
质点的角动量 Lz r i mi v i
刚体的角动量 Lz Li z
ri mivi
O
质心 质心运动定理
质心
在研究质点系的运动时，常引入质量中心的概念， 称质心（the center of mass）
质点系中若干个质点质量及位置分别为
m1,m2,…mn; r1,r2,…rn。该质点系质心的
位置矢量定义为
xC
mi xi mi
y rm1 1
mi ri
rC mi
yC
T1
m1(2m2 M / (m1 m2 M
ω
[ 例4－2 ] 均质细圆环的转动惯量。
ω
任取线元dl ， dm=dl，距离轴r
M
I r2dm r 2 dm Mr2
r
0
[ 例4－3 ]质量为M，半径为R 的 均质圆盘的转动惯量
任取面元ds（离r远处dr宽细环）
dm 2rdr M / R2 dI r 2dm 2r 3dr
I Ic Md 2
IC
I
m Cd
平行
z
正交轴定理
xoy 面的平面刚体
Iz Ix Iy x
ri
y
mi
同样质量，轴的方位不同，I不同 同样的轴，质量分布不同时，I不同
质心
rC rdm dm
质心运动定理
xC
xdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
F外
M
d2rC dt 2
M aC
刚体的势能 E p Mghc
线速度与角速度矢量 vi r i
质点的角动量 Lz r i mi v i
刚体的角动量 L
ri mivi I
刚体转动惯量 I miri2
I r2dm
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
第4章 刚体的定轴转动
刚体的运动 质心 质心运动定理 刚体的角动量 转动惯量 刚体的转动定理 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体的动能定理
第4章 刚体的定轴转动
刚体的运动 质心 质心运动定理 刚体的角动量 转动惯量 刚体的转动定理 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体的动能定理
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
刚体的转动定理
力矩（对轴） 力f在转动平面内
M r f
f
Mz、r
φ
力f不在转动平面内
o
对转动有贡献的力的分量为f//
M r f //
Mz f
r
刚体的定轴转动定律
M
z
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F//
Lz
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ri mi vi I z