08.01.09高一数学《4.1.1圆的标准方程》
圆的标准方程
圆的标准方程圆是平面上一点到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的集合。
在解决圆相关的问题时，我们通常会用到圆的标准方程。
圆的标准方程可以帮助我们更方便地描述圆的性质和特征，从而更好地解决与圆相关的数学问题。
圆的标准方程可以表示为，(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
在这个方程中，我们可以看到，圆的标准方程由两部分组成，第一部分是(x h)²，表示圆上任意一点的横坐标与圆心横坐标的差的平方；第二部分是(y k)²，表示圆上任意一点的纵坐标与圆心纵坐标的差的平方；等号右边的r²则表示圆的半径的平方。
通过这个方程，我们可以清晰地了解到圆的特性，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r。
这也是圆的定义之一，因此圆的标准方程可以帮助我们更好地理解圆的性质。
接下来，我们来看一个例子，已知圆心坐标为(3, 4)，半径为5，求圆的标准方程。
根据圆的标准方程，我们可以直接将已知的圆心坐标和半径代入方程中，(x 3)² + (y 4)² = 5²。
通过这个例子，我们可以更清晰地理解圆的标准方程的应用方法。
当我们已知圆的圆心坐标和半径时，可以直接代入方程中，从而得到圆的标准方程。
除了求解圆的标准方程外，我们还可以利用圆的标准方程来解决一些与圆相关的几何问题。
例如，求圆与直线的交点、判断点是否在圆内外、求圆的切线等问题都可以通过圆的标准方程来进行分析和求解。
在实际应用中，圆的标准方程也经常用于计算机图形学、工程设计等领域。
通过圆的标准方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质，从而更好地应用于实际工作中。
总之，圆的标准方程是描述圆的重要工具，它可以帮助我们更清晰地了解圆的性质和特征，解决与圆相关的数学问题。
通过学习和掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的学习和工作带来便利和帮助。
高中数学4.1.1圆的标准方程优秀课件
b
3
(2 a)2 (8 b)2 r2
待r 定 5系数
所求圆的方程为
法
(x2)2(y3)225
几何方法
y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
3、点P(1,-1)在圆(x+2) 2+y 2 =m的外部,那
么实数m的取值范围是m10 .
4、圆C:(x-5) +(y+21) =3,那2 么圆C的周长等
于 2 3 .
：
一、圆的标准方
程
(x
a)2
(
y
b)2
r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
特别的假设圆心为O(0,0),那么圆的标准x方2 y2 r 2
(3 2
,
1 ), 2
直线AB的斜率:
kAB22113
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y11(x3) 23 2
即x3y30
x x
3y 30
y 10
x y
3 2
C(3,2)
r |A| C(13 )2(12 )25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x3 )2(y2)225
练习： 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在
程二为 、：点与圆的位置关 系：
（1）点M在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点M在圆内 x0a2y0b2r2
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
位置关系 点M在圆上 点M在圆外 点M在圆内
利用距离判断 |CM|＝r |CM|>r |CM|<r
利用方程判断 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求圆的标准方程
例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D )
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
答案
知识点二 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1)，B(4,0)，C( 2， 2) 同圆x2＋y2＝4的关系 如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？ 答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2. 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
所以半径为 9－32＋6－52＝ 37，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
解析答案
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上. 解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)， 令y＝0，则x＝2， ∴圆心坐标为(2,0)， 半径 r＝ 5－22＋1－02＝ 10， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
圆的标准方程
圆的标准方程圆是平面上一点到定点距离等于定长的轨迹，是一种非常基础而重要的几何图形。
在数学中，我们经常需要研究圆的性质和方程，其中圆的标准方程是我们研究的重点之一。
本文将详细介绍圆的标准方程及其相关知识。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上到定点距离等于定长的轨迹。
在平面直角坐标系中，设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆上任一点的坐标为（x，y），则圆的标准方程为：（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2。
这就是圆的标准方程。
从这个方程中我们可以看出，圆的标准方程的一般形式是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个方程的推导可以通过圆的定义和勾股定理来进行，是一个非常重要的数学知识点。
接下来，我们来看一下圆的标准方程的性质。
圆的标准方程可以直观地表示出圆的位置、形状和大小。
通过圆的标准方程，我们可以轻松地求出圆的圆心和半径，从而更好地研究和分析圆的性质。
同时，圆的标准方程也可以方便地与其他几何图形进行联立方程，进行几何分析和证明。
在实际问题中，圆的标准方程也有着广泛的应用。
比如在工程技术中，圆的标准方程可以用来描述和分析圆形结构的性质和变化规律；在物理学中，圆的标准方程可以用来描述和分析圆形运动的轨迹和规律；在计算机图形学中，圆的标准方程可以用来进行图形的绘制和处理等等。
总之，圆的标准方程是我们在数学和实际问题中经常会遇到的重要内容，它具有重要的理论意义和实际应用价值。
通过对圆的标准方程的学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识，提高数学分析和解决实际问题的能力。
以上就是关于圆的标准方程的介绍，希望对你有所帮助。
如果你对圆的标准方程还有其他疑问或者想了解更多相关内容，可以继续深入学习和探讨，相信会有更多收获。
祝你学习进步，工作顺利！。
4.1.1圆的标准方程
y
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
C
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等
O
x
于半径r
根据点到直线的距离公式，得
| 3×1— 4×3 — 7 | 16
r=
=
32+(-4)2
5
因此，所求圆的方程是 (xA
·B (2,-3) 线段AB的中垂线方程：2x+y+4=0…(1) (-2,-5) 又已知圆心在直线上： x-2y-3=0 …… (2)
联解(1)(2)求得交点 Q(-1, -2) 即为圆心坐标
另 r2=QA2=(2+1)2+(-3+2)2=10 ， P124A3,4
所以圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=10 .
设M(x,y)是圆上任意 一点， 根据定义，点M到圆心
A的距离等于r.圆就是集合
P={M| |MA|=r}
y
M
r A(a·,b)
由两点间距离公式， 点M适合的条件可表示为
o
x
反之，若点M(x，y)
的坐标适合方程
(x a)2 ( y b)2 r (x-a)2+(y-b)2=r2 ，
即 (x-a)2 +(y-b)2 =r2
d=r时，点在圆上；
三、求圆的标准方程
待定系数法（确定a、b、r）
例3.已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线 x-2y –3 =0上，试求圆的方程.
解法1(待定系数法): 设所求圆的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合，是几何中非常重要的图形之一。
在解决几何问题时，我们经常需要用到圆的标准式方程。
下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。
圆的标准式方程可以表示为，$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$为圆心的坐标，$r$为圆的半径。
这个方程是通过圆的定义所得到的，它告诉我们圆上任意一点$(x, y)$满足到圆心的距离等于半径$r$，即$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。
接下来我们来看一个例子，通过一个具体的问题来理解圆的标准式方程。
假设有一个圆心坐标为$(2, 3)$，半径为$5$的圆，我们要求这个圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程，我们可以直接写出方程为，$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2$。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
除了通过给定圆心和半径来求圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来得到圆的标准式方程。
比如，如果我们知道圆上的三个点的坐标，我们就可以通过这些点来求出圆的标准式方程。
具体的做法是先利用这三个点的坐标来列方程，然后解方程得到圆的标准式方程。
在实际问题中，我们经常需要用到圆的标准式方程来解决一些几何和物理问题。
比如，在求解圆的切线、切点、交点等问题时，圆的标准式方程可以帮助我们简化问题，更快更准确地得到答案。
除了圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来表示圆。
比如，我们可以用圆的一般式方程或参数方程来描述圆。
这些不同的表示方式在不同的问题中可能会更加方便和有效，因此我们需要根据具体情况来选择合适的表示方式。
总之，圆的标准式方程是描述圆的重要工具之一，它可以帮助我们更好地理解和使用圆。
通过本文的介绍，相信大家对圆的标准式方程有了更深入的了解，希望能够在实际问题中灵活运用，取得更好的成绩。
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上所有到定点距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。
圆是几何学中的重要图形之一，其方程的推导和应用也是数学学习中的重点内容之一。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程的推导和应用。
首先我们来看圆的标准方程。
设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆上任意一点的坐标为（x，y）。
根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即。
√((x-a)²+(y-b)²)=r。
对上式进行平方得。
(x-a)²+(y-b)²=r²。
这就是圆的标准方程。
从这个方程我们可以看出，圆的标准方程的一般形式为。
(x-a)²+(y-b)²=r²。
其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。
接下来我们来看圆的一般方程。
圆的一般方程的一般形式为。
x²+y²+Dx+Ey+F=0。
其中D、E、F为常数。
我们可以通过圆的几何性质来推导圆的一般方程。
设圆心为（h，k），半径为r，则圆的标准方程为。
(x-h)²+(y-k)²=r²。
展开得。
x²-2hx+h²+y²-2ky+k²-r²=0。
移项整理得。
x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0。
令D=-2h，E=-2k，F=h²+k²-r²，代入一般方程的一般形式中得。
x²+y²+Dx+Ey+F=0。
这就是圆的一般方程。
从圆的一般方程我们可以看出，通过圆心坐标和半径，我们可以得到圆的一般方程，这为我们在解决实际问题时提供了方便。
圆的标准方程和一般方程在数学和物理中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以通过圆的方程来解决圆与直线、圆与圆的位置关系、切线问题等。
在物理学中，圆的方程也经常出现在运动学、静力学等问题中。
4.1.1 圆的标准方程
练习2
2.指出下列点与圆(x-2)2+(y+3)2=25的位置关系： (1)(1,0) (2)(5,1) (3)(-1,2)
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
点在圆内
点在圆上
点在圆外
(x0 a)2 (y0 b)2 r (x0 a)2 (y0 b)2 r (x0 a)2 (y0 b)2 r (x0 a)2 (y0 b)2 r2 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 (x0 a)2 (y0 b)2 r2
练习3
求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切 的圆的方程。
解：因为圆和直线相切，所以半径等于圆心到 这条直线的距离。
由点到直线的距离公式，得
r | 31 4 3 7 | 16
y
32 (4)2
5
C
因此，所求的圆的方程 是
(x 1)2 ( y 3)2 256
OM
x
25
解法探索
已知圆心为C的圆经过点A（1,1）和B（2,2），且 圆心C在直线l：x-y+1=0上，求该圆的标准方程。
x-y+1=0
练习： P120 1,4 P124 2,3,4
2 22
练习1
1.指出下列方程表示的圆心坐标和半径： (1)x2+(y-2)2=9 (2)(x+1)2+(y+2)2=8 2.写出下列圆的方程： (1) 圆心在原点，半径是3。
(2) 圆心在点C(3，4),半径是 5
3.写出下列圆的方程： (1) 圆心在C(-1,8)，且过点(3,5)的圆的方程。 (2)以A(1,4)、B(3,-2)为直径的圆的方程。
(x 0)2 ( y 0)2 r
人教A版必修二高一数学(4.1.1圆的标准方程)
知识探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，
在平面几何中，圆是怎样定义的？如何
用集合语言描述以点A为圆，r为半径
的圆？
rM
P={M||MA|=r}.
A
平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆 的定义x，y应满足什么关系？
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆 称为单位圆，那么单位圆的方程是什 么？
x2+y2=r2
思考7:方程 (x a)2 ( y b)2 r，2 (x a)2 ( y b)2 r2，(x a)2 ( y b)2 m 是圆方程吗？
思考8:方程 y 4 (x 1)2与 y 4 (x 1)2 表示的曲线分别是什么？
y r
A
o
x
理论迁移
例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是
A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），
求它的外接圆的方程. y
A
o
x
B
C
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1， 1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ： x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
高中数学课件
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第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
问题提出
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
课件1 ：4.1.1 圆的标准方程
)
自 测 自 评
3．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9
解析：因圆与x轴相切，故圆的半径r＝4.
答案：B
)
自 测 自 评
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝
1
A.
2
3
B.
2
C．1
3
x的距离是(
3
D. 3
1
解析：圆心C(1,0)，再利用点到直线的距离公式得d＝ .2答来自：A)典例精析
题型一 求圆的标准方程
例1 求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在y轴上，半径是1，且过点(1,2)；
(2)圆心在点C(3,4)，半径是 5；
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．
题型二 点与圆的位置关系
例2 已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标
准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在
圆外．
解析：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，
∴圆心M的坐标为(0,1)，
1
1
半径r＝ |PQ|＝ × (－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)
4.1.1圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.【教学重点】圆的标准方程.【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.【教学方法】启发、引导、讨论.【教学过程】-、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（ a, b）,半径为r （其中a、b、r都是常数，r 0）.设M（x, y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P二{M MA二r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件,(x - a)2• (y - b)2 = r①化简可得：(x - a) (y -b) = r2②2 2 2引导学生自己证明(x-a) ，(y-b)二r为圆的方程，得出结论.若点M(x, y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A的距离为r ,即点M在圆心为A的圆上.所以方程②就是圆心为A( a, b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.三、例题解析例1:写出圆心为A(2,-3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M!(5^ 7) M2(r. 5, -1)是否在这个圆上.分析：可以从计算点到圆心的距离入手.2 2 2点M (x o, y°)与圆(x - a) • (y - b)二r的关系的判断方法：2 2 2(1)(x o「a) ■ (y°「b) r，点在圆外2 2 2(2)(X。
《4.1.1圆的标准方程》教学设计.doc
《4.1.1圆的标准方程》教学设计本课时编写：成都市第二十小学付江平设计思路说明：圆是解析几何中一类重要的曲线，对圆锥曲线的学习有着重耍的意义。
学生在初中对圆的平血几何性质己有了 i定的了解和研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。
类比前面确定直线的方法得到圆心与半径大小确定后，圆就确定下来，再利用圆心和圆上任意一点间的距离公式得到圆的标准方程，培养学生的理性思维，引导学生剖析方程的基本元素，辅之以练习加以巩固，以变式循序渐进的开展教学。
问题的设计中，由易到难，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神。
本节课以问题为纽带设计环节，使学生在问题的引导下，以探究活动为载体，层层展开、步步深入，以求发挥学生的主体作用，凸显教师的主导地位。
多媒体的参与使课堂容量加大,有利于课堂效率的提髙。
应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，充分体现重视教学过程的新课程理念。
在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
一、讲什么1.教学内容（1）概念原理：圆的标准方程、圆心在原点的标准方程、点与圆的位置关系;（2）思想方法：类比法;（3）能力素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理。
2.内容解析：解析儿何的本质是用代数方法研究图形的儿何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续, 在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义°另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。
高一数学人教A版必修2课件：4.1.1 圆的标准方程
D.x2+(y-3)2=1
解析:依题意知圆心(0,b),圆的方程为x2+(y-b)2=1,
把点(1,2)代入,得b=2,
∴x2+(y-2)2=1为所求.
答案:A
第三十五页，编辑于星期日：二十二点 一分。
12.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+2)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
第三十六页，编辑于星期日：二十二点 一分。
解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0),
则有ห้องสมุดไป่ตู้02+y02=4.
1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是 _(x_-_a_)_2+_(_y_-_b_)_2=_r_2____.当圆的圆心在坐标原点时,圆的半径为r, 则圆的标准方程是__________x_2+_y_2_=_r_2____.
2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外⇔________; 点Pd在>r圆上⇔________;点P在圆d=内r ⇔________.
d<r
第三页，编辑于星期日：二十二点 一分。
1.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有点在圆内､圆上､圆外.其判断方法是由两点间 的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小 即可.
设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则 d | PC | (x0 a)2 ( y0 b)2 ,
易错探究
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.1.1圆的标准方程
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程一、圆的标准方程活动与探究1写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在点(2,3)，半径为2；(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．迁移与应用1．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为()A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3C．(－1,5),3 D．(1，－5),32．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程．根据圆的标准方程，若已知圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程；若已知圆的标准方程，可直接写出圆心坐标和半径．二、点与圆的位置关系活动与探究2已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？迁移与应用1．点A (－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定2．若点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的外部，则实数a的取值范围是________．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．三、求圆的标准方程活动与探究3已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．迁移与应用1．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为________．2．已知圆被x轴平分，且过点A(5,2)和B(3，－2)，求圆的标准方程．求圆的标准方程可用以下两种方法求解：(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据条件求出方程中的参数．(2)利用圆的几何性质求出圆的圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程．当堂检测1．圆心为(－2，－1)，半径为4的圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝16 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝162．圆(x＋2)2＋(y－9)2＝4的圆心到直线3x＋4y－15＝0的距离是()A．1 B．2 C．3 D．53．点P(a,10)与圆(x－1) 2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．与a的值有关4．圆心为点C(－2,1)，并且过点A(2，－2)的圆的标准方程为________________．5．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程是____________．。
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2. 《习案》二十五.
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建系设点
M
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？ 求方程的一般步骤： y r 列方程 O A x
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建系设点
M
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？ 求方程的一般步骤： y r 列方程 化简方程 O A x
例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 的外接圆的方程.
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例4.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和
B(2,－2 )，圆心C在直线l: x－y＋1＝0
上，求圆心为C的圆的标准方程.
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练习 1. P.120第1题、P.121第4题； 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线 x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上， 且与直线y＝2x＋5相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
思 考：
圆的方程形式有什么特点？ 当圆心在原点时，圆的方程是什么？Leabharlann 湖南省长沙市一中卫星远程学校
例1.写出下列各圆的方程：
(1) 圆心在原点，半径是3； (2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3).
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例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，试判断点 M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
讲授新课
讨 论：
具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆的定义？
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讲授新课
讨 论：
具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆的定义？
思 考：
在平面直角坐标系中，如何确定 一个圆呢？
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思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？ y r A O x
4.1.1 圆的 标准方程
主讲教师：陈震
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复习引入
两点间的距离公式是什么？
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复习引入
两点间的距离公式是什么？
点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
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建系设点
M
圆的标准方程：
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圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆的标准方程的两个基本要素： 圆心坐标和半径.
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圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆的标准方程的两个基本要素： 圆心坐标和半径.
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M
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？ 求方程的一般步骤： y r A O x
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M
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？ 求方程的一般步骤： y r A O x
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课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示 圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
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课后作业
1. 阅读教材P.118到P.120；
在圆内，还是在圆外？
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例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，试判断点 M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
在圆内，还是在圆外？
探 究:
点M(x0, y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是 什么？在圆外呢？
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