流体力学 第二章 水静力学 (2)

式中
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A

xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
yc sin hc
hc代表形心C处的水深，则：
P ghc A pc A
pc 为形心点 C处的液体静水压强
上式表明：任意平面上的静水总压力之P的大小等于该平面的面积式A与其 形心处静水压强
pc
的乘积。
因此，形心处的静水压强
pc
相当于该平面的平均压强。
(二)
静水总压力的作用点
据 x D , y D即可确定D的位置。若受压面有纵向对称轴，则不必设算
xD
因压力中心肯定位于对称轴上。
计算教材例题2-6 P32
二、用压力图法求矩形平面上的静水总压力
适用条件：受压面为矩形平面
1.静水总压力的大小
作用于整个平面上的静水总压力P的大小应等于该压强分布图的面积S 与矩形平面的宽度b的乘积，即
Pz g(VAACBB VAADBB )
A'
B'
gV ABCD
潜体所排开液体的重量 （方向朝上）
D'
D A
D' P2 B
P1 C'
C
C'
• 浮力
浮力：即在阿基米德定律中，物体所受到的具有把物体推向液体表面
倾向的力的合力，即为浮力。浮力方向总是铅垂向上。 浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。 浮轴：过浮心和重心的连线。
有 液 体
a
A
A
无 液 体
绘制图中曲面上的压力体
三、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序
(1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。
(2)水平分力的计算， P
x
ghc Ax
。
(3)确定压力体的体积。 (4)垂直分力的计算， Pz gV 方向由虚、实压力体确定。
2 2 P P P (5)总压力的计算， x z
。
Pz (6)总压力方向的确定， arctan 。 Px (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
§2.8 浮力及浮潜体的稳定
一、浮力
•阿基米德定律
阿基米德定律：物体在静止液体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向 上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。
Px P2 P1 0
行移轴公式:
2 Iy Iyc a A 2 Iz Izc b A
简单证明之：
Iy A z 2 dA A (zc a) 2 dA A zc dA 2a A zc dA A a 2 dA
其中 为图形对形心轴
的静矩，其值应等于零，则得
因此可按确定平面上静水总压力(包括大小和作用点)的方法来求解Px。
2.液体总压力Ｐ的铅直分力Pz：
B' F' E'A'
z o x
B
Fz F
A
E
h
dPx
dP
θ
dPz
E
F (dA) z
(dA)x
Pz A dP sin A ghdA z A ghdA z g Az hdA z
取平面的延展面与水面的交线为Ox轴， 以通过平面EF中任意选定点N并垂直于
Ox轴的直线为Oy轴。
在平面中的M处取一微小面积dA，其上的压 力为： 作用于整个EF平面上的静水总压力为（积 分）：
dP pdA ghdA gy sin dA
P A dP A gy sin dA g sin A ydA
•浸没物体的三态
浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力G和浮力Pz作用， 所以物体有下列三态： （1）沉体：当G>Pz ，下沉到底的物体。 （2）潜体：当G=Pz ，潜没于液体中任意位置而保持平衡 即悬浮的物体。
（3）浮体：当G<Pz ，上浮至水面呈漂浮状态的物体。
二、潜体的平衡与稳定性
潜体：当G=Pz ，潜没于液体中任意位置而保持平衡，即悬浮的物体。
上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标yD等于受压面面积A对Ox 轴的惯性矩与静矩之比。
直接求惯性矩Ix 很不方便，可根据理论力学中惯性矩的平行移轴定理 进行处理。
平行移轴定理
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩并不相同，如 果其中一对坐标轴是图形的形心轴 时，如图所示，可得到如下平
大小：与该点所在的水下深度成线性关系 因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图
因为工程上多数曲面为二维曲面，即具有平行母线的柱面或球面。 在此先着重讨论柱面情况，然后再将结论推广到一般曲面。
一、曲面上静水压力
在曲面AB上沿母线方向任取条形微元EF，因各条形微元上的压力dP方向 不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。由于该柱面极小，故可 将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的水压力，它垂直于该微元柱 面，与水平线成θ角，dP可以分解成水平分力dPx和铅直分力dPz
P=bS
计算教材例题2-7 P33
静水压强分布图
表示静水压强沿受压面分布情况的几何图形。即表示受压面上各点 压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。
绘制规则： １．按一定的比例尺，用 一定长度的线段代表流体 静压强的大小。 ２．用箭头表示流体静压 强的方向，并与该处作用
B P C 压强分布示意图 P A
2
Iy Iyc a 2 A
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。 在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。
故对于本问题有：
I x A y 2 dA A ( yc a) 2 dA A yc dA 2 yc A adA A a 2 dA I x I c yc A
潜体的平衡条件是：重力G与浮力Pz大小相等，方向相反，作用在同一铅 垂直线上。
用点的位置D如何来确定？
对任意形状的平面，需要用解析法 来确定静水总压力的大小和作用点。 如所示，EF为一任意形状的平面， 倾斜放置于水中任意位置，与水面 相交成α角。设想该平面的一面受 水压力作用，其面积为A，形心(几 何中心)位于C处，形心处水深为hc，
自由表面上的压强为当地大气压强。
(一)
静水总压力的大小
c
xc
常见平面图形的面积A、形心距上边界点长yc以及惯性矩Ic的计算式见 教材P31表2.1。
根据同样道理，对Oy轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标xD。 同理有 Px D xpdA gSin xydA

P x D g sin aSx x D g sin ayc A x D
画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图
A
A
A
B
C
B
B
画出下列容器左侧壁面上的压强分布图
§2.6 作用在曲面上的静水总压力
在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形 闸门、U形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确定作用于曲 面上的静水总压力。
曲面上的静水压强
方向：作用于曲面上任意点的静水压强也是沿着作用面的法线指向作用面
3.总压力P
P P P
2 x 2 z
A Px PZ
大小：
O
方向：总压力P的作用线与水平线的夹角α为
Pz arctan Px
作用线：总压力的作用线必须通过Pz和Px 的交点。但这个交点不一定位于曲面上。 对于圆弧面，P作用线必通过圆心。
P

B
PZ
Px
作用点：P的作用点作用在P作用线与曲面的交点。
式中
I x A y 2 dA
Ix为平面面积A对Ox轴的惯性矩。
2.合力P对Ox轴取力矩
总压力P对Ox轴的力矩为： P yD g sin aSx yD g sin ayc A yD
3.据力矩定理
得：
Ix Ix yD Sx yc A
Ix Ix yD Sx yc A
2 2