[经济学]06-10第三章时域分析法
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第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
3第三章 时域分析法
时域分析法
闭环极点（特征根）：-1/T
r(t) (t) r(t) 1(t)
r(t) t
c(t)
1
1t
eT
T
1t
c(t) 1 e T
1t
c(t ) t T Te T
r(t) 1 t2 2
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)Hale Waihona Puke 2时域分析法3.5 二阶系统的暂态响应 用二阶微分方程描述的控制系统称为二阶系统。 它是控制系统常见的组成形式，许多高阶系统在一 定的条件下常近似地用二阶系统来表征。
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
➢ 当 1 时，s1,2 n
特征根为两个相等的负实根
C(s)
1 s
s2
n2 2 n s
n2
1 s
s
1
n
(s
n n)2
c(t) 1 ent (1 nt)
临界阻尼情况
阶跃响应为非振荡单调上升过程。 t=0时切线斜率为0。
时域分析法
稳态分量和暂态分量两部分
组成，当时间t→∞时，暂
1
态分量衰减为零。
这是一条单调上升的指
数曲线，初始值为0，稳态
值为1。
0
t
时域分析法
一阶系统的单位阶跃响应具备两个重要的特点：
1）当t=T时，c(t) 1 e1 0.632
即当t等于时间常数T时，响应 C(t)
1
c(t)达到稳态值的63.2%。
时域分析法
第三章 时域分析法
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量
的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态和稳 态性能。
第三章时域分析方法
(3-8)
一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 由式（3-8）求出 ：
y(0) y( t ) t 0 0
y( ) y( t ) t 1
y( t ) 1 e
y(t)
t /T
(3-8)
1
B 0.632 A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
斜率 =1/T
1 • 2. dy( t ) — 一阶系统如能保持初始
T
t
1 0.632
dt T e 反应速度不变， 则当t＝T时
，输出将达到其稳态值。 • 3. 过程y(t)的变化速率，随着时
T
A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
t 0,
实际上，一阶系统过渡
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
G ( s)
Y ( s) R( s )
K Ts 1
(3-6)
单位斜坡函数r(t)=t 的拉氏变换为：
R( s )
把上式代入式(3-6)，
2e
2、 对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：
G (s )
1 s1
2 s2
3s 4 s 3s 2
2
G0 1 G0
可求出系统的开环传递函数： G 3 s 4 0 2
s 2
习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号 流图, 并求传递函数。 解：将原方程组取拉氏变换：
t0 0t t
第三章时域分析法.ppt
ts
ln ln
n
1 2
求极 小值
0.707
0.02 0.05
ts
ln
n
简化
3 ln 4
0 0.7
0 ln 1 2 0.34
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
振荡次数
N ts Td
ts n
i1
zi
r
d n
1 2 tan
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
dtp k , k 0, 1, 2, …
tp
d
n
1 2
k 1
tp
Td 2
Td
2 d
n
2 1 2
tp
n
tp
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
M e 1 2 p
超调量只与系统的阻
尼比有关，而与固有
频率无关
Mp
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
Mp
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
damping ratio
第3章 时域分析法 调整时间
第3章 时域分析法
1 ents 1
1 2
tp
d
n
2s 1 2
m K 77.3kg
2 n
B 2nm 181.8 N s m
0.6 n 1.96 rad s
第三章 时域分析法
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e h h()
ss
0
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差
ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
e wn t sin(
1 2
1 2 wnts ) 0.05或0.02
不易求出ts，但可得出wnts与ξ的关系曲线：
调节时间不连续的示意图
ξ值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。
当ξ=0.68（5%误差带）或ξ=0.76（2%误差 带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统 都设计成欠阻尼的。 曲线的不连续性，是由于ξ值的微小变化可引 起调节时间显著变化而造成的。 近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减 到误差带之内所需时间来确定ts。
故kt 0.3
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T ) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
写为
C(s)
w2 n
1/TT 12
R(s) s2 2 w s w2 (s 1/ T )(s 1/ T )
n
n
1
2
1
(T s 1)(T s 1)
1
2
1
T1 1
T2
第三章 时域分析法
3T 0.05
1 T
4T 0.018
1 T
0
控制工程基础
第三章 时域分析
二、单位阶跃响应
xo (t ) L1[G ( s ) X i ( s )] 1 1 L [ ] Ts 1 s t 1 1 L1[ ] 1 e T s s 1 T
1
xo (t )
1
0.632
控制工程基础
第三章 时域分析
第二节 一阶系统时间响应分析
用一阶微分方程式来描述的系统称为一阶系 统，典型形式是一阶惯性环节，传递函数为：
X o ( s) 1 G( s) X i (s) Ts 1
X i (S )
式中，T—为时间常数。
1 TS
X o (S )
X o (s) G(s) X i (s)
1
(a)
控制工程基础
第三章 时域分析
1 1 1 1 1 1 X 0 (S ) [ ] 2 2 2 S 2 1 ( 1) (S S1 ) 1 (S S2 )
( 2 1 )nt e ( 2 1)nt 1 e x0 (t ) 1 2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
控制工程基础
第三章 时域分析
⒍ 振荡次数N： 在调节时间内，y(t)偏离 y ( ) 的振荡次数。
y
ymax
y () y () 2
0
0.05 y () 0.02 y ()
或
t td tr tp ts
在上述几种性能指标中，t p , tr , t s 表示瞬态过程进行的快慢，是快 速性指标；而 %, N 反映瞬态过 程的振荡程度，是振荡性指标。 其中 %和 t s 是两种最常用的性 能指标。
第三章时域分析法
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.1 典型输入信号及性能指标
一个系统的时间响应，不仅取决于系统本 身的结构与参数，而且还同系统的初始状 态以及加在系统上的外作用信号有关。
为了分析和比较控制系统的优劣，通常 对初始状态和外作用信号做一些典型化 处理。
初始状态：零状态 外作用：
自动控制原理
第三章 时域分析法
练习：
根据定义，求一阶系统的动态性能指标：
td= ? tr= ?
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.3 二阶系统分析 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。
一、二阶系统的数学模型
位置随动系统原理图
自动控制原理
第三章 时域分析法
前向通道的传递函数
G(s)
Kp KACm / i
s Las Ra Js f Cm Kb
自动控制原理
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法
控制系统的数学模型，是分析、研究、 设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、 便于分析的控制系统数学模型，就可以运 用适当的方法对系统的控制性能进行全面 的分析和计算。对于线性定常系统，常用 的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频 率法。后两种方法都是以时域分析法为基 础，并且应用了时域分析法中的许多结论。
自动控制原理
第三章 时域分析法
①没有超调
量；
初
②调节时间
ts=3T(5%) ts=4T(2%)
③没有稳态 误差，即
一阶系统的阶跃响应
ess 1 h() 1 1 0
自动控制原理
第三章 时域分析法
例 一阶系统如图 R(s)
100
C(s)
所示,试求系统单 位阶跃响应的调
第三章 时域分析方法
1 1 1 a s s a
常见拉氏变换
1 拉氏变换的定义 2 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F(s) f (t) e ts dt
0
f (t)
F(s)
1
1s
B
y( )
tr tp
ts t
总结：
1.5 1 0. 5 B
B
y( )
tr tp
ts t
0
1、峰值时间和上升时间反映了系统的初 始快速。 2、调节时间反映了系统的整体快速性。 3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系 统的平稳性。 4、稳态误差反映了系统的调节精度。
拉普拉斯逆变换的几种方法
拉氏反变换 （1）反演公式
稳态误差余差是反映控制系统精度的重要技术指标一般常用阶跃斜坡或抛物线输入信号测试稳态误差控制系统的设计任务之一就是尽量减小稳态误差3414上式表明偏差与输入信号有关还与系统的结构及参数有关
第三章 控制系统的时域分析方法
本章主要介绍：
1、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过 渡过程 2、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态 的误差分析） 3、系统稳态误差分析 4、系统稳定性的判据
T 2T 3T 4T 5T
t＝3T时, y(3T)＝0.95 5% t＝4T时, y(4T)＝0.982 2%
t＝5T时, y(5T)＝0.993…
0
t
y( t ) y( ) 误差 ＝ 100% y( )
说明：
1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零，
e( ) x ( ) y( ) 0
第3章 时域分析法
第 3章 时域分析
3.2.2 零输入响应与零状态响应
1. 系统的 0 初始状态与 0 初始条件
对于n阶系统，一般称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的 0 初始
状态，称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的初始条件。 在系统微分方程的时域经典解法中，需要采用初始条件来确定 齐次通解的待定系数。也就是说：系统的初始条件可以通过奇异 函数匹配法以及初始状态和外激励产生的零状态响应及其各阶导 数的初始值 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 共同确定。 显然，在时域经典解法中初始条件的确定需要大量计算工作， 使微分方程的求解过程过于繁琐。而在 s 域内的Laplace变换方 法，可直接利用LTI系统已知的初始状态求解微分方程，避免了 确定初始条件的繁琐计算（详见第5章）。
第 3章 时域分析
齐次通解 yh (t ) 由微分方程的特征根决定。
表3-1 几种可能的特征根及其对应的齐次通解
几种可能的特征根 单实根
i
r 1
对应的齐次通解 yh (t )
Ci e t
Cr 1i e t Cr 2i r 2 e t C1i e t C0 e t
f (t ) Ae
st
根据式中 A 和 s 的不同取值，具体有下面三种情况： (1) 若 A = a1和 s =ζ 均为实常数，则 f (t) 为实指数信号
f (t ) Ae a1e
st
t
第 3章 形如图3.3-1所示。 由图5.3-1可知：当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数增长； 当 0 时， f (t ) 则等于常数 a ； 当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数衰减。
第三章 时域分析法
无阻尼等幅震荡
震荡不震荡的临界点，临界阻尼
③ 1: 两个不相等负实根
④ 0 1:
s1.2 n n 2 1
s1
s2
c(t)
s1 0 s2
c(t)
0
1 0 t
1 0 t (d) 欠阻尼
(c) 过阻尼
系统响应不震荡，过阻尼
系统响应震荡，欠阻尼
j
2 3 5 1 4 5 0 3 1 2 1.6 1.4
dc( t ) | t 0 1 e 2．初始速度： dt
t
|t 0 1 1 0
t T
3 e ss lim[r (t ) c(t )] lim (T Te
t
)T
表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单
T 位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。 ess
，
0.632
c( t ) 1 e
, t0
0
t
T
2T
3T
4T
解的组成=稳态分量+瞬态分量 稳定性取决于特征方程 由输入形式决定 的根，系数与输入有关
2 1 2 C1 ( s ) s (Ts 1) s 2 1 s T ，h1 ( t ) 2 2e
t T
c( t ) 1 e , t 0 可见: c(t ) 单调上
f ( )k (t )d ， 记 作
f ( t ) k (。) t 实际上，根据拉氏变换的时域卷积定理：
若f ( t ) F ( s) ，k
1
) (t
G s ) (
-
-
L
( k (t - d f ) )
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法时域分析就是根据控制系统的时间响应来分析系统的稳定性，暂态性能和稳态精度。
具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。
对控制系统的总要求是稳、准、快。
本章从系统的稳定性、稳态误差和暂态性能方面进行讨论。
§3-1 时域分析基础一、时域分析法的特点直接解出系统微分方程的时间响应（时域解），根据时间响应的解析式及其曲线图来分析系统的控制性能（稳定性、准确性、快速性等），并找出系统结构、参数与控制性能之间的关系。
时域分析法准确，保有系统响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用（典型输入信号）记时间响应为)(t c 。
1. 典型初始状态所谓典型初始状态，即规定控制系统的初始状态均为零状态。
也即当-=0t 时，有0)0()0()0(====--- c cc 。
2. 典型外作用①单位脉冲作用)(t δ：⎩⎨⎧≠=∞=0 ,00,)(t t t δ，⎰+-=001)(dt t δ其拉氏变换式为1)]([=t L δ②单位阶跃作用)(1t ：⎩⎨⎧≥<=0 ,10,0)(1t t t其拉氏变换式为st L 1)](1[=③单位斜坡作用)(1t t ⋅：（等速度函数）⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,0,0)(1t t t t t其拉氏变换式为21)](1[s t t L =⋅ ④单位抛物作用)(1212t t ⋅：（等加速度函数）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=⋅0 ,210 ,0)(12122t t t t t其拉氏变换式为321)](121[st t L =⋅ 上述各函数间的关系：⑤正弦作用)(1sin t t A ⋅ω：⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,sin 0 ,0)(1sin t t A t t t A ωω其拉氏变换式为22)](1sin [ωωω+=⋅s A t t A L系统对不同频率的正弦函数的稳态响应称频率响应。
三、典型时间响应初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出，称为典型时间响应。
第3章-时域分析法lj
④假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其他极 点的1/5或更小，并且附近又没有闭环零点，则可以认为系统的 响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。
3.5 系统的稳定性分析
3.5.1 系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件
所谓稳定性，是指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态， 在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否恢复到原来的平衡 状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。
特征方程式的根为
要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系 统稳定的充分必要条件是：
（3.26）
3.5.2 劳斯判据
（1）首先列出系统特征方程式
（2）根据特征方程式列出劳斯数组表 （3）根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判 断系统的稳定性。劳斯判据的内容如下：
①如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征 方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定
暂态性能
在本章中，时域中评价系统的暂态性能，通常以系 统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
暂态性能指标（1） 1)延迟时间td ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 2)上升时间tr ：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短， 响应速度越快。对于有振荡的系统，单位阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所 需的时间为上升时间。 3)峰值时间tp ：阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。
（3.6）
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
稳态性能
稳态误差ess ：
在图3.5所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表示。
定义：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即
第3章时域分析法
A
0
sin(t
)
t0 t0
《自动控制原理》
21
3.2.2 暂态性能指标
利用系统的单位阶跃响应曲 线的特征来定义控制系统 的动态性能指标,直观，含 义清楚。
1
初始条件为零
0 控制系统
单位阶跃输入
单位阶跃响应
《自动控制原理》
22
典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）
响应稳态值
5%的稳态值
《自动控制原理》
《自动控制原理》
29
微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
r(t)
c(t)
传递函数： (s) C(s) K R(s) Ts 1
R(s)=1/s 一阶系统 C(s)
c(t) L1[C(s)] L1[
K
] KL1[1
1
] K (1 e T )
s(Ts 1)
s s 1
T
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为
an y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bmu (m) b1u b0u
系统的特征方程为
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) Ci eit eit ( Ai cos dit Bi sin dit)
28
3.2.3 一阶系统的暂态性能分析 为什么要研究典型系统的性能分析？
• 现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或
二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）
• 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为
典型的系统，以便于系统的分析与设计。
• 在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。 • 分析和理解高阶系统的动态响应的基础。
第3章 时域分析法new
的值。
R(s) K1
G(s)
C(s)
K2
第3章 时域分析法
10K1
Q (s) 10K1 110K2
s 110K2
1 s 1
故
1 10 K 2
1 0.1 1 10 K 2
解之
K1 10
10K1 10 1 10 K 2
K2 0.9
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统的动态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 从物 理上讲， 二阶系统总包含两个储能元件， 能量在两个 元件之间交换， 从而引起系统具有往复的振荡趋势。 当阻尼不够充分大时， 系统呈现出振荡的特性， 这样 的二阶系统也称为二阶振荡环节。
2
s2
(3 - 6)
第3章 时域分析法
r(t)
1 2Βιβλιοθήκη 0t图 3 - 3 单位抛物线函数
第3章 时域分析法
4) 正弦函数sinωt
正弦函数sinωt的拉氏变换为
R(s)
L[sint]
s2
2
(3 - 7)
第3章 时域分析法
瞬态响应和稳态响应
❖响应：在输入信号作用下，系统的输出。
❖瞬态响应：系统从初始状态到最终状 态的过渡过程。
第3章 时域分析法
3-3 典型二阶系统的时域响应
二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环节串 联构成的闭环系统，其标准形式为：
R(s)
n2 s(s 2n )
C(s)
G(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
第3章 时域分析法
二阶系统的典型传递函数为
G(s)
C(s) R(s)
3第三章 时域分析法(12节)
e ssr 0
K v 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。
越大， 越小。所以说 Kv e ss 斜坡输入的能力。 反映了系统跟踪
Kv
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s
型系统，K v lim KG0 ( s ) K ,
s 0
essr
s 0
K K p lim G k ( s ) lim G 0 ( s ) s 0 s 0 s
当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , e ssr s 0
1 1 K
K 当 1时， K p lim G0 ( s ) , e ssr 0 s 0 s
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) 1 lim G k ( s ) 1 K p k
s 0
式中：K p lim G k ( s )称为静态位置误差系数；
稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限 值的称为有差系统。 在单位阶跃作用下，0型系统( 0 )为有 差系统，Ⅰ型以上的系统( 1 )为无差系统。
有差系统
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) lim s G k ( s ) K v k
' e
在s=0的邻域t的邻域
1 '' e sr ( t ) e (0)rs ( t ) (0)rs ' ( t ) e (0)rs ' ' ( t ) 2! C 0 rs ( t ) C1rs ' ( t ) C 2 rs ' ' ( t )
第三章时域分析法
第三章 时域分析法
线性定常系统时间响应的性质 ➢ 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 ➢ 注意到：
(t) d 1(t)
dt
1(t) d t
dt
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t )
1 T
t
eT
t
xo1(t) 1 e T
t
➢ 一阶系统单位速度响应的特点 xo (t) t T Te T , t 0
瞬态响应：T e – t /T ；
稳态响应：t – T；
xo(t) xi(t)
经过足够长的时间(稳态时，
如t 4Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，输出增长速率近似
与输入相同，此时输出为：t
– T，即输出相对于输入滞后
时间T；
0
T e()=T xo(t)=t-T+Te-t/T
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
第三章 时域分析法
2
1.8
=0.2
1.6
=0.4
1.4
=0.6
1.2
=0.8
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1 ➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
第三章 时域分析法
1 h()
0.9 h()
td
0.5 h()
td
0.1 h()
0 tr tp
ts
单位阶跃响应曲线
响延应迟曲时线间第t一d ：次
达到稳态值的一 半所需的时间。
0.02或 0.05上升时间 tr :
响应曲线从稳态值 的 10%上升到 9t 0%，所需的时间。
峰值时间 t p :响应曲
线达到超调量的第一个 峰值所需要的时间。
s2 = -n - n 2 -1 = -1/ T2
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
C(s)
29
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) =
n2
s(s 2n )
闭环传递函数：
C(s) R(s)
=
s2
n2 2ns
n2
30
二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 = 0
解方程求得特征根：
s1,2 = -ns n 2 -1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
h(tp)于终值之差的 百分比，即
单位阶跃响应曲线
tr 或t p 评价系统的响应速度；
% = h(tp ) - h() 100%
h()
t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度或振荡最大峰值。
17
注意事项：
%, ts及ess三项指标是针对阶跃响应
而言的，对于非阶跃输入，则只有
=
t
- T(1-
-1t
eT
)
=
t
-
T
-1t
Te T
因为
-1t
e(t) = r(t) - c(t) = T (1- e T )
第三章 时域分析法
与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s (2)
1/ Kh 100 / s ( s ) 1 K h 100 / s 1 s / 100K h
1 0.1 , 得 K h 0.3 100K h 3
•
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
h(t)=1－e-t/T
0
t
⑴讨论：当t=0
t=T
h(0)=0
t→∞ h(∞)=1
h(T)=0.632
t=3T h(3T)=0.95
⑵一阶系统的响应曲线斜率： t=0时 h’(t) t=0=(1－e－t/T)’ t=0=－e－t/T(－1/T) t=0=1/T 当t=T时 h’(t) t=T=0.368/T 当t=∞时 h’(t) t=∞=0 一阶系统的响应曲线斜率初始值为1/T，并随时间下 降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(35)T，认为过渡过程结束。
3.1.3时间响应的性能指标
在假定系统的初始条件为零，系统在阶跃函数作用下的动态性 能指标有：
(1)上升时间tr有二个定义： a.响应曲线从终值10%到90%所需时间（阶跃响应曲线不超 过稳态值时）； b.响应曲线第一次上升到终值所需时间。 tr越小，说明系统响应速度越快。 (2)峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间。
3.3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的典型形式 控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。
d 2 c( t ) dc( t ) T 2 T c( t ) r ( t ) 2 dt 1 2dt 2 s C ( s) sC ( s ) C ( s ) R( s ) 2 n n
第三章 时域分析法
第三章时域分析法3-1 引言前一章中已经叙述过，分析控制系统的第一步是建立物理(实际)系统的数学模型。
一旦系统的数学模型建立起来，就可以采用各种不同的分析方法去分析系统的特性。
如对于线性定常系统，常用的工程方法就是时域分析法、根轨迹法和频率法。
本章讨论时域分析法。
控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下系统的过渡过程来评价。
系统的过渡过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
一般情况下，由于控制系统的外加输入信号具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时函数关系往往又不能以解析形式来表达。
例如火炮控制系统在其跟踪敌机的过程中，由于敌机可以作任意的机动飞行，以致其飞行规律事先无法确定，因此火炮控制系统的输入为一随机信号。
只有在某些特殊情况下，控制系统的输入信号才是确知的。
因此，在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统的性能进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊型式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的反应。
在控制工程中，常常采用的典型试验信号有阶跃函数、斜坡(速度)函数和脉冲函数等，如图3-1所示。
因为这些信号都是很简单的时间函数，利用这些试验信号，可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析。
分析系统特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下，最常见的输入信号形式。
如果控制系统的输入量是随时间逐渐加强的函数，则用斜坡函数是比较合适的。
同样，如果系统的输入信号是突然加入的作用量，则可采用阶跃函数信号；而当系统的输入信号是冲击输入量时，则采用脉冲函数较为合适。
一旦控制系统在试验信号的基础上设计出来后，那么系统对实际输入信号的响应特性，通常也能够满足要求。
利用这些试验信号，人们就能够在同一基础上去比较不同系统的性能。
在这一章中，将讨论系统在非周期信号(阶跃、斜坡和脉冲函数)作用下的响应，如图3-2所示。
关于用正弦试验信号对系统进行分析的问题，将在第五章中进行研究。
第3章 时域分析法
1
n
4
1 2
ln(1
2 )
4
n
0 0.9
可见，ts 近似与 n成反比。
通常在设计过程中， 由M p 决定，而调节时 间 ts 由 n 决定。即在不改变超调量得条件下 ，通过改变n 来改变调节时间 ts 。
参数对性能的影响分析
阻尼比ξ 越大，超调量越小，响应的平稳性
越好。反之，阻尼比ξ越小，振荡越强，平
式中A 为振幅， 为角频率。
用正弦信号作输入信号，可以求得系统在不同频率 下正弦信号的稳态响应，可间接判断系统的性能。 正弦信号的拉氏变换为
3.1.2 阶跃响应的性能指标
系统的时间响应，可分为暂态和稳态两个过程。 时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单
位阶跃输入信号的暂态响应为依据。此时系统的暂 态响应曲线称为单位阶跃响应或单位过渡特性。
《自动控制原理》
第三章 时域分析法
1
3.1 典型输入信号和时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 系统的稳定性分析 3.6 系统的稳定特性分析
3.1 典型输入信号的时域性能指标
3.1.1 典型输入信号 1、单位阶跃信号
数学表达式为：
tg (d t p
)
d n
1 2 sin tg cos
d t l (l 0,1,2,)
又因峰值时间 tp 对应于出现第一个峰值的时 间，所以
tp
d
n
1 2
峰值时间恰好等于阻尼振荡周期的一半，当 一定时，极点距离实轴越远，t p 越小。
3、最大超调量Mp 将峰值时间表达式代入欠阻尼情况的单位阶 跃响应中，得输出的最大值
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(a0 0)
sn s n 1 s n2
s n 3
s n4
an an 1
an2
an 4
an 6
……… …… … ………
an 3
an 5
an 7
b1
b2
b3
b4
c1 d1
e1
f1 g1
c2 d2
e2
c3 d3
c4 d4
a n1a n2 a n a n3 b1 ……… a n1
00:50:02 3
3.1.2系统稳定的充要条件 ——根据系统的闭环特征根的位置讨论
设系统的闭环传递函数为
特征方程有n个不相同的根： q个实数根： r对共轭复数根：
bm s m bm 1s m 1 ... b0 G( s) an s n an 1s n 1 ... a0
s Pi
s k nk jnk 1 2
在单位脉冲函数的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为
K r (s z j )
j 1 m
C (s)
00:50:02
(s p ) (s
i i 1 k 1
q
r
2
2 k nk s 2 nk )
4
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
67 2 60 6 2 67 6
10
2 (也可以同乘以6)
s4
s
3
6
6 14 1 17 67 6 6
67 58 17 6 6 6 791 67 67 6
s2
结论:
劳斯表第一列的系数符号相同， 故系统的是稳定的。
s1
s0
00:50:02
791 58 67 2 6150 67 6 6 791 791 67
f A
A'
图a:稳定的系统 图a
f A
A
f
图c:条件稳定系统。 引出两个概念： 1什么是线性定常系统的稳定性？
图c
00:50:02
图b 图b:不稳定系统
2如何判断系统的稳定性？
2
线性定常系统的稳定性的定义：
如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态， 而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态， 则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统 是不稳定的。 稳定的充要条件：
2s 2 2 0 s 2 1 s j
另一实根：：
00:50:02
s 3 2s 2 s 2 0 s 2 ( s 2) ( s 2) 0 ( s 2 1)(s 2) 0 s1, 2 j , s3 2
C (t ) i e k e knkt sin( dk t cos 1 k )
i t i 1 k 1
2 式中 dk nk 1
q
r
特征根的几种可能的情况：
都具有负实部时…… 有一个或一个以上具有正实部时…… 具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部时……
………
s2 s1 s0
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a a a n a n 7 b3 n1 n6 a n1
00:50:02
…
… …
6
第二步：劳斯稳定判据
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想脉冲，相
当于系统 在零平衡 状态下 ， 受到一个 扰动信号 的作用 ，
系统输出趋向于零 , lim C (t ) 0 ，则该系统就是稳定的。
t
问题1：理想脉冲输入下，系统输出C(t)如何确定？
问题2：理想脉冲输入下，C(t)和系统的传递函数有何关系？
号变化；
如果ε上面的系数符号与ε下面的系数符号相同，表明系统有纯虚 根。（无右半平面的根）
举 例
00:50:02
9
例：已知系统的特征方程为
s 4 s 3 2s 2 2s 5 0
试判别系统的稳定性。 解： 由特征方程列出劳斯表
s3 s s2 1 s s0
4
1
1
2
2 5
5
0 （当 的取值足够小时， 结论： 劳斯表第一列系数变号两次，特征方 程有两个根具有正实部（在s右半平 面），系统是不稳定的。
2
！为了简化运算，可以用一个正数去乘或除其一行的各项，
不改变稳定性的结论。
8
(2) 劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况 当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可用一个 很小的正数 代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其 余项。 如果ε上面的系数符号与ε下面的系数符号相反，表明这里有一个符
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，即闭环传递函数的 所有极点均位于为s左半平面（不包括虚轴）。
00:50:02 5
3.1.3劳斯判据 ——稳定的充分必要条件
第一步：根据系统的特征方程列劳斯表
a n s n a n1 s n1 ...... a1 s a0 0
2 5 0 ）
0
2 5
5
00:50:02
10
例：已知系统的特征方程为
s 3 2s 2 s 2 0
试判别系统的稳定性。
解： 由特征方程列
1
2
2
0(ε） 2
2
结论： 系统不稳定； ε上下同号，有纯虚根； 无符号变化，无右半平面的根
用上一行系数构造函数，求纯虚根：
的，否则系统是不稳定的。
不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。
举 例
00:50:02
7
例：已知系统的特征方程为
s 5 6s 4 14s 3 17 s 2 10s 2 0
试用劳斯判据分析系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 s5
14
17
6 10 1 2 58 6 6
第三章
时域分析法
主要内容：
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
控制系统的稳定性 控制系统的稳态误差 控制系统的典型输入信号 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析
3.1 控制系统的稳定性
3.1.1稳定的概念和定义
c
3.1.1稳定的概念和定义 3.1.2稳定的充要条件 d 3.1.3劳斯稳定判据 3.1.4劳斯稳定判据的应用