襄阳四校联考2016-2017学年高二下学期数学(文)期中试题及答案

2016—2017学年下学期高二期中考试数学（文） 试 题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分：第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题.第Ⅰ卷 ( 共60分)一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选 出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.） 1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(,0)2B ．1(0,)2C ．1(,0)8D ．1(0,)82．命题“若220a b +=，则,a b 都为零”的否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则,a b 都不为零B ．若220a b +≠，则,a b 不都为零C ．若,a b 都不为零，则220a b +≠D ．若,a b 不都为零，则220a b +≠3．曲线sin y x =在0x =处的切线的倾斜角为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π4．已知()y x f x '=⋅的图象如右所示，则()f x 的一个可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．椭圆221my x +=的一个顶点在抛物线221x y =的准线上，则椭圆的离心率（ ） A ．638 B ．32 C ．4 D ．256．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是（ ）xyba axy 0bxyaxy 0 bxyA ．(,1)-∞B ．(0,)eC ．(0,1)D ．(1,)+∞7．一动圆P 与圆22:(1)1A x y ++=外切，而与圆()222:(1)31B x y r r r -+=><<或0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．椭圆或双曲线一支D ．抛物线8. 已知函数()f x 在R 上可导，且()()()2201xf x f x '=+⋅-，则()0f 的值为（ ）A.ln 2B.0C.1D.1ln 2-9.曲线192522=+y x 与曲线()2210259x y t t t +=>的（ ） A .长轴长相等B .短轴长相等C .离心率相等D .焦距相等10.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21122y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. 2B. 5C.2D.511．已知命题1p ：函数x x y e e -=-在R 为增函数，2p :函数x x y e e -=+在()0,1为减函数．则命题1p ∧2p ；1p ∨2p ；1p ∧⌝2p ；1p ⌝∨2p 中真命题的个数为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.412.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆22221x y a b+=和双曲线()222210x y a m m n -=>>的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ；A 、B 分别在左右两部分实线上运动，则ANB ∆周长的最小值为: （ ）A.()m a -2B.()m a -C.()n b -2D.()m a +2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）13．双曲线2219y x -=-的渐近线方程为___________. 14．若函数()xe f x x=在x a =处有极小值，则实数a 等于_________.15.已知命题p :“[]21,2,0x x a ∃∈--<”, 命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”,若命题“p ∨⌝q ”为假命题，则实数a 的取值范围为 .16. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜1POQ 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知1F 、2F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，1O 也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下，2MO N 弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸（单位：cm ），写出反射镜1POQ 弧所在的抛物线方程为_________.三、解答题（本大题有6小题，共70分，请将解答过程写在答题卷上17．(本小题满分10分）已知命题p ：实数x 满足()224500x ax a a --<>，q ：实数x 满足22560560x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩（1）若q 为真命题，求实数x 的取值范围.（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．(本小题满分12分）已知()()ln 0a xf x a x=≠， （1）写出()f x 的定义域. （2）求()f x 的单调区间.54xyOA BCDF MNH19. (本小题满分12分） 设命题:p x ∃∈[]1,1- ，32322x x a -+>. 命题:q x ∀∈[]1,1-，32322x x a -+>. 如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.20. (本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点M 、N ．若以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线． （1）求椭圆的离心率；（2）设L 为过椭圆右焦点N 的直线，交椭圆于P 、Q 两点，当MPQ ∆周长为8时； 求MPQ ∆面积的最大值.21．(本小题满分12分）已知函数()()3221()1013f x x x m x m =-+-<< （1）求函数()f x 的极大值点和极小值点； （2）若()f x 恰好有三个零点，求实数m 取值范围.22. (本题满分12分） 已知:抛物线m 2:2y px =焦点为F ，以F 为圆心的圆F 过原点O ，过F 引斜率为k 的直线与抛物线m 和圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D.若CD AB ⋅4=. (1) 求抛物线方程.(2)当为k 何值时,AOB ∆、BOC ∆、COD ∆的面积成等差数列；(3)设M 为抛物线上任一点，过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为H.在圆F 上是否存在点N ，使MH MN -的最大值，若存在，求出MH MN -的最大值；若不存在，说明理由.第12题图2016—2017学年下学期高二期中考试数学（文）参考答案一、选择题 DBCDB CCDCA BA 12．22BM BN a l AB BN AN AM AN m+=⇒=++-=22AB a BM AM m =+-+-22AB AM BM l a m +≥⇒≥-当且仅当M 、A 、B 共线时，ANB ∆周长的最小二、填空题（每小题5分，共20分）13．3y x =± 14．1 15．2-≤a 16．2920(88)y x =+ 16.解：由题意知：连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点.对于抛物线，有176542302p=+=,所以，460,2920p p ==. 因为双曲线的实轴长为217688a a =⇒= 因为抛物线的顶点横坐标是88-. 所以，所求抛物线的方程为2920(88)y x =+. 三、解答题17．解：（1）256016x x x --≤⇒-≤≤25603x x x -+>⇒>或2x < 36x ∴<≤或12x -≤< （5分）（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件⇔q 是p 的充分不必要条件 化简()():,50p x a a a ∈->， 设()[)(],5;1,23,6A a a B =-=- 则B A ⊆且A B ≠156a a -<-⎧⇒⎨>⎩ 65a ∴> （10分）18. 解: （1）()f x 的定义域为()0,+∞. （3分） （2）()()21ln 0a x f x x -'==，得x e =，（5分）①当0a >时，在()0,e 上()0f x '>；在(),e +∞上()0f x '<()f x ∴的递增区间为()0,e ；递减区间为(),e +∞ （9分）②当0a <时，在()0,e 上()0f x '<；在(),e +∞上()0f x '>()f x ∴的递增区间为(),e +∞；递减区间为()0,e （12分）19.解:设()()322323302f x x x f x x x '=-+⇒=-=，得10x =，21x = x1x =-()1,0-0x =()0,11x =()f x '+-()f x12-232()f x 有最大值2；最小值12- （6分）则命题:p 成立得2a < ；命题:q 成立得12a <-由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题。

则,p q 一真一假 若p 真q 假，则122a -≤< ；若q 真p 假，则a φ∈ 所以，实数a 的取值范围为122a -≤<（12分） 20.（1）由题意双曲线为22221x y c b-=为等轴双曲线则2b c a c =⇔= ，得椭圆的离心率为22e =（4分） （2）MPQ ∆周长为4a =8,可得：椭圆为：22142x y +=, （6分） 设PQ 为2x ny =+代入椭圆得()2222220n y ny ++-= （8分）12212222222n y y n y y n ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪⋅=-⎪+⎩()21244222122121++⋅=-+=-⇒n n y y y y y y ()2212121224142n y y y y y y n +⇒-=+-=+121222222;22n y y y y n n ∴+=-⋅=-++2122142122n S MN y y n ∆+⇒=-=+ （10分）令112≥+=n t ;则242422212t S t t t∆==≤++.（显然当1=t 即0=n 时最大）（12分） 法二:由对称性,不妨设PQ 的倾斜角为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα. PQ MN S ⋅⋅=∴∆αsin 21, MPQ ∆周长为4a =8,可得：椭圆为：22142x y +=, 设PQ 为2x ny =+其中1tan n α=代入椭圆得()2222220n y ny ++-=又焦点弦()()1212222PQ a ex a ex a e ny e ny =-+-=-+-+()()2121222222222222224212tan 1sin n a e ne y y n y y n αα=--+=-+=++=+=++∴ 242sin 422211sin sin sin S αααα∆==≤++，显然︒=90α时取最大. 法三: MPQ ∆周长为4a =8,可得：椭圆为：22142x y +=, 由对称性,不妨设PQ 的倾斜角为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα. PQ MN S ⋅⋅=∴∆αsin 21, 又ααcos 1cos 1e eP e eP PQ ++-=(其中22,22b e P c===)22112411sin 221cos 1cos 1cos 222PQ αααα=+==+--+21．解:（1）()22210f x x x m '=-+-= 得11x m =-；21x m =+x(),1m -∞- ()1,1m m -+ ()1,m ++∞()f x '+-+o xy()f x '1m - 1m +()f x()f x 在(),1m -∞-和()1,m ++∞上为增函数；在()1,1m m -+上为减函数（也可由()f x '的图像得单调性）函数()f x 的极大值点为1x m =-，极小值点为1x m =+ （6分） （2）若()f x 恰好有三个零点，则()()1010f m f m ->⎧⎪⎨+<⎪⎩ 又01m <<得112m << （12分）22.解:(1)由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,2p r =;直线AD 为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2A A p AB AF BF x r x ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭；2D D p CD DF CF x r x ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭联立222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得()22222204p k k x k px -++= 由违达定理得22214A D A D x x p k p x x ⎧⎛⎫+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⎪⎩ ∴2444A D p AB CD x x p ⋅===⇒= ∴抛物线方程28y x = ……5分 (2) 由AOB ∆、BOC ∆、COD ∆的面积成等差数列 得482A D AB CDBC x x +==⇒+=（即弦长12AD =）∴2218p k ⎛⎫+=⎪⎝⎭∴222k k =⇒=± ……9分 (或222222112sin ,cos 1cos 1cos sin 33tan 22p p p AD k θθθθθθ=+==⇒==-+⇒=⇒=±) (3)由定义4MH MN MF MN NF -=-≤=∴存在点N ，使MH MN -的取得最大值为4 ……12分。