平面向量基本定理及其坐标表示教案

考情播报

1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.

2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.

1.平面向量基本定理

(1)条件:e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量.

结论:对于这一平面内任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =

λ1e 1+λ2e 2.

(2)关于平面向量基本定理的几点说明:

①e 1、e 2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底.

②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合

③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ

2 是被a 、e 1、e 2唯一确定的数量. 2.平面向量的正交分解与坐标表示

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内的

一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标.

3.平面向量的坐标运算

(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);

(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1

); (3)若a =(x,y),则λa =(λx,λy);

(4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2

),则a =b ⇔⎩⎨⎧==；2121y y ，x x (5)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.

质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?

提示:一定相同.可以不同. 例如A(3,5),B(6,8), AB =(3,3);C(-5,3),D(-2,6),CD =(3,3),

显然AB =CD ,

但A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同.

考向一。平面向量基本定理及其应用

【例1】 如图所示,在△ABC 中,

H 为BC 上异于B,C 的任一点,M 为AH 的中点,若AM =λAB +μAC ,则λ+μ= .

思维导引:由于B 、H 、C 三点共线,

可用AB 、AC 来表示AH ,

从而求得AM 与AB 、AC 的关系.

解析:由B 、H 、C 三点共线, 可设BH =x HC (x>0),

∴AH -AB =x(AC -AH ),

AH =x x +1AC +x

+11AB ,

又由M 为AH 的中点知 AM =21AH =1)x 21+（AC +1)

x 21+（AB , 又∵AM =λAB +μAC ,

∴λ+μ=1)x 21+（+1)x 21+（=2

1. 答案: 2

1

反思归纳：平面向量基本定理表明,平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算.

一个结论：

若A,B,C 三点共线，则对于平面内的任意一点O ，都有

变式训练1 如图，在△ABC 中，AN →＝

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NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211

AC →，则实数m 的值为________． )

1(=++=μλμλ解析 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ，