一次函数、反比例函数专题讲解
课时10 一次函数和反比例函数综合专题1
二 、典例讲解
2.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A(-2，0)、B(6，0)、 D(0，3)，反比例函数的图象经过点C． (1)求点C坐标和反比例函数的解析式； (2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值
二 、典例讲解
解：作AE⊥y轴于E，
三 、课堂小练
2、函数图像的点和坐标轴围成的图形面积的计算方法，
一般来说要么分割成几个图形的和，要么补形成特殊的几
何图形再计算面积。
五、学案巩固和提高
请同学们认真完成练习学案上合专题1
一、专题简析
一次函数、反比例函数图象及其性质.
能利用这些函数分析和解决简单实际问题. 能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
一、专题简析
解：(1)因为OA=OB=OD=1，点A在x负半轴，点B在y轴正 半轴，点D在x正半轴，所以A点的坐标为(-1，0)，B点的坐 标为(0，1)，D点的坐标为(1，0)；
1.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图 象相交于A(2，1)、B(-1，-2)两点，与x轴交于点C. (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式 (2)连接OA，求△AOC的面积.
三 、课堂小练
四、小结提高
1、一次函数图像与反比例函数图像的交点含义：联立两
个函数解析式建立方程组，方程组的解就是交点的坐标。
一次函数与反比例函数知识要点归纳
二、一次函数与反比例函数
一、定义型： 例1、已知函数
3)3(8
2+-=-m x
m y 是一次函数，求这个一次函数的解析式。
/例2、已知y-3与3x+2成正比例，求y 与x 之间的函数关系式。
二、点斜型：
例3、已知一次函数y=kx-3的图像经过点（2,-1），求这个一次函数的解析式。
三、两点型：
例4、已知一次函数的图像分别与x轴、y轴交于（-2,0），（0,4），求它的解析式。
例5、已知一次函数y=kx+b中，当x=2时，y=-3，当x=5时，y=6，求解析式。
四、图像型：
例6、已知某一个一次函数的图像如图所示，求它的解析式。
五、斜截型：例7、已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为3，求直线y=kx+b的解析式。
六、平移型：例8把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的函数解析式为：。
七、实际使用型
例9、某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q升与时间t
八、面积型：例8、已知直线y=kx-4与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求它的解析式。
九、对称型：若直线l与直线y=kx+b关于：（1）x轴对称，则直线l的解析式为y=-kx-b; （2）y轴对称，则直线l （3）原点对称，则直线l的解析式为y=kx-b;
例9、若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为。
十、开放性：例10、已知直线y=kx+b，y随x的增大而增大，且经过点（2，-3），写出满足条件的一个解析式。
三、反比例函数。
初中一次函数-二次函数-反比例函数-圆知识整合
一次函数(y=ｋx+b)1.当ｘ=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。
[1]2.当b=0时,一次函数变为正比例函数。
当然正比例函数为特殊的一次函数。
［1]3.对于正比例函数，y除以ｘ的商是一定数(x≠0)。
对于反比例函数,ｘ与ｙ的积是一定数。
４．在两个一次函数表达式中:•当两个一次函数表达式中的k相同,ｂ也相同时,则这两个一次函数的图像重合;•当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行;•当两个一次函数表达式中的k不相同,b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；•当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时，则这两个一次函数图像交于ｙ轴上的同一点（0，b）;•当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
［１]5.直线ｙ=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:k>0,b＞0经过第一、二、三象限k>0,b<0经过第一、三、四象限k>0，b＝0经过第一、三象限【k>0时,图象从左到右上升，y随ｘ的增大而增大】k＜0b>０经过第一、二、四象限ｋ<0,b＜0经过第二、三、四象限K＜０，ｂ＝0经过第二、四象限【ｋ＜0图象从左到右下降，ｙ随x的增大而减小】一. 定义型例１．已知函数是一次函数，求其解析式。
解:由一次函数定义知，，,故一次函数的解析式为y＝-6x＋3。
注意:利用定义求一次函数y=kｘ＋b解析式时,要保证k≠0。
如本例中应保证m-3≠0。
二. 点斜型例２. 已知一次函数y＝kx-3的图像过点（2，-1)，求这个函数的解析式。
解: 一次函数的图像过点(2, -１），，即k=1。
故这个一次函数的解析式为y=x-3。
变式问法:已知一次函数y＝kx-3,当ｘ=2时，y＝-１,求这个函数的解析式。
三. 两点型例３.已知某个一次函数的图像与x 轴、ｙ轴的交点坐标分别是（-2, 0)、（０, ４），则这个函数的解析式为_____。
第1讲函数专题之一次函数、反比例函数篇(反比例函数)讲义1
反比例函数专项突破板块一：反比例函数的定义、表达式定义： （k 为常数，k ≠0）表达式： 、 、 （k 为常数，k ≠0）板块二：反比例函数图象和性质图象：反比例函数的图象是由两支曲线组成的当k ＞0时，两支曲线 当k ＜0时，两支曲线 位于第一、三象限内 位于第二、四象限内 性质：增减性、对称性、面积不变性． 增减性:当k >0时，在每一象限内， 当k <0时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小 y 随x 的增大而增大ky x =ky x=1y kx -=xy k =0ky k x=（＞）0ky k x=（＞）0ky k x =（＞）0ky k x=（＞）对称性：关于原点中心对称，关于直线y =±x 轴对称. 既是中心对称图形，也是轴对称图形. 面积不变性：反比例函数上任意一点到x 轴、y 轴的垂线与x 轴，y 轴组成的矩形的面积恒为|k |错误！未找到引用源。
.板块三：一次函数与反比例函数对比函 数 一次函数 反比例函数 表达式图 象一条直线 双曲线 自变量的取值范围 全体实数 x ≠0的一切实数 图象位置由k 、b 共同决定由k 决定0ky k x=（＞）0ky k x=（＞）(0)y kx b k =+≠0ky k x=（≠）性 质 增减性 增减性、对称性、面积不变性板块四：专项训练概念、图象、性质1．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B ，D 是AB 边上的一点．将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 ．2．函数y 1=x 错误！未找到引用源。
(x ≥0)，y 2= （x ＞0）的图象如图所示，则结论：① 两函数图象的交点A 的坐标为（3，3)； ② 当x ＞3时，y 2＞y 1；③当x ＝1时，BC =8； ④ 当x 逐渐增大时， y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．3．如图，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC =4，BC =3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数 的图象上，那么k 的值是_______．2053-（，）9xky x=4．（2011浙江）正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数 的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2 ，顶点P 3在反比例函数 的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_____．面积不变性5．如图是双曲线y 1、y 2在第一象限的图象，其中 ，过y 1上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 2于点B ，交y 轴于点C ，若S △AOB =1，则y 2的解析式是 ．6．（2011武汉）如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线 上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =_____．2(0)y x x=＞2(0)y x x=＞14y x=ky x=7．如图，在反比例函数 （x ＞0）的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3 ，则S 1+S 2+S 3= ．8．（2010荆州）已知：关于x 的一元二次方程x 2+(2k -1)x +k 2=0的两根x 1、x 2满足x 12-x 22=0，双曲线 (x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求S △OBC ．9．（2011河南）如图，一次函数y 1=k 1x +2与反比例函数 的图象交于点A （4，m ）和点B （-8，-2），与y 轴交于点C ． （1）k 1=_________，k 2=________；（2）根据函数图象可知，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是_________； （3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是 反比例函数在第一象限的图象上一点， 设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC ：S △ODE =3：1，求点P 的坐标．2y x=4k y x=22k y x=10．（2011四川）如图，一次函数的图象与反比例函数 (x ＜0）的图象相交于A 点，与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0)．当x ＜-1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x ＞-1时，一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式；（2）设函数 (x ＞0)的图象与 (x ＜0)的图象关于y 轴对称．在 (x ＞0)的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．11．（2011山东）如图，一次函数y =k 1x +b 的图象经过A （0，-2）、B （1，0）两点，与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．13y x=-13y x =-2a y x=2a y x =2k y x=12．（2011江苏）如图，直线l 经过点A （1，0），且与曲线 （x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p -1）（p ＞1）作x 轴的平行线分别交曲线 （x ＞0）和（x ＜0）于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y =2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．my x =my x=m y x=-。
专题：反比例函数与一次函数结合
26.26(4)专题：反比例函数与一次函数结合一．【知识要点】1.反比例函数与一次函数结合二．【经典例题】k S 的取值范围。
3.如图，已知直线l :6-=x y 与x 轴，y 轴交于点A,B 两点，与反比例函数xk y =（x ＞0）的图象交于点C （a,-1）和点D 。
（1）求k 的值及点D 的坐标。
（2）若点P 在反比例函数图象上且位于直线l 上方，过点P 作PM ⊥x 轴于点M 交AB 于E ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，求BE AF •的值。
4．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y＝（x＞0），图象上位于直线y＝﹣x+4下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，并且AF•BE＝4（1）求k的值；（2）若反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，求三角形OCD的面积．三．【题库】【A】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝．在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【B 】【C 】 1.（绵阳2018第22题本题满分11分） 如图，一次函数2521+-=x y 的图像与反比例函数)0(＞k xk y =的图像交与A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使P A +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.2．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【D 】1.（2020年绵阳期末第12题）如图，已知点A(m ，m+3)，点B(n ，n-3)是反比例函数()0>=k xk y 在第一象限的图象上的两点，连接AB.将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ， 则△ABC 的面积为（ ） A.29 B.6 C. 215 D.92.在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P （x ，y ），我们把点P ′（，）称为点P 的“倒影点”，直线y ＝﹣x+1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝的图象上．若AB ＝2，则k ＝ ．。
一次函数与反比例函数知识讲解
一次函数与反比例函数【要点梳理】 一、函数1.函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围：确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义. 3．表示方法：⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.二、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质：（1）定义：如果y=kx(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的正比例函数． （2）图象：过（0，0），（1，K ）两点的一条直线．（3）性质：①当k ＞0时， y 随x 的增大而增大；②当k ＜0时，y 随x 的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质：（1）定义：如果y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数． （2）图象：一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb点的一条直线．（3）性质：①当k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小.（4）直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.3.反比例函数及其图象性质： （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. （2）特征：①比例系数0≠k ；②自变量x 的取值为一切非零实数； ③函数y 的取值是一切非零实数. （3）图象：双曲线①反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.②反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ③反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）性质：①当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x的增大而减小.②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）应用：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.4．正比例函数与反比例函数的性质比较：5,.确定函数解析式：待定系数法【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；Ｂ.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数；Ｃ.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数；Ｄ.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）2、求函数的自变量的取值范围.【解析】 解：要使函数有意义，则x 要符合：2101x x -≥- 即：或解方程组得自变量取值是或.【变式】求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）01x y x =+（2）|2|23-+=x x y（3）y类型二、一次函数1.直线y kx b =+平行于直线21y x =-，且与x 轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【解析】解：∵直线y kx b =+平行于直线21y x =- ∴2k =∵与x 轴交于点（2，0） ∴①将k ＝2代入①，得4b =-∴此直线解析式为24y x =-.2.已知正比例函数y kx =（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是图中的（ ）．【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴ k ＜0．∵y x k =+中x 的系数为1＞0，k ＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ． 【变式】 已知正比例函数()21y m x =-的图象上两点A(1x , 1y ), B(2x ,2y )，当 12x x <时, 有12y y >, 那么m 的取值范围是( ) A ． 12m <B ．12m >C ． 2m <D ．0m > 三、反比例函数1、已知函数()32k y k x-=+是反比例函数，则k 的值为 .【解析】根据反比例函数概念，3k -＝1-且20k +≠，可确定k 的值.【变式】反比例函数5n y x+=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）. A. 2- B. 1-C. 0D. 12、已知，反比例函数42my x-=的图象在每个分支中y 随x 的增大而减小，试求21m -的取值范围．【解析】解：由题意得：420m ->，解得2m <，所以24m <，则21m -＜3．【变式】在函数||k y x-=（0k ≠，k 为常数）的图象上有三点(－3，1y )、(－2，2y )、(4，3y )，则函数值的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．231y y y <<D ．312y y y <<4、如图所示，P 是反比例函数ky x=图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．【解析】解：设P 点的坐标为(x ，y )，由图可知，P 点在第二象限，∴ x ＜0，y ＞0． ∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x 、y ． ∵ 矩形的面积为2，∴ －xy ＝2，∴ xy ＝－2． ∵ xy ＝k ，∴ k ＝－2． ∴ 此反比例函数的关系式是2y x=-． 四、反比例函数与一次函数综合1.已知k ≠0，在同一坐标系中，函数(1)y k x =+与ky x=的图象大致为如图所示（ ）【解析】在平面直角坐标系中，要同时确定一次函数与反比例函数的图象，可分k ＞0，k ＜0两种情况讨论．A 中，(1)y k x =+与ky x =中的k ＞0，但直线与y 轴的交点位于x 轴下方，k 又应小于0，不符合题意； B 中，ky x=中的k ＞0，而(1)y k x =+中的k ＜0，不符合题意；C 中ky x=与(1)y k x =+的k 均小于0，但是直线与y 轴的交点又位于x 轴的上方，k 又应大于0，所以不符合题意．D 中的k 符合题意．【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xba y +=在同一坐标系中的图象不可能是( ) .2．已知函数2y x=和y ＝kx+1(k ≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【解析】(1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)，∴ 2,11,a a k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ∴ 2,1.a k =⎧⎨=⎩ (2)将2y x=代入1y kx =+，消去y ，得 220kx x +-=，∵ k ≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点， 只要△≥0即可．∴ 1+8k ≥0，解得18k ≥-．∴ 18k ≥-且k ≠0．【变式】已知反比例函数ky x=和一次函数y mx n =+的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．五、一次函数和反比例函数的应用1、为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【解析】解：（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，y＝80x＋60（20－x）＝1200＋20x；（2）设购买篮球x个，x≥3（20－x），解得x≥15，要使总费用最少，x必须取最小值15，y＝1200＋20×15＝1500．答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元．【变式】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？。
函数专题之一次函数与反比例函数
函数专题之一次函数、反比例函数热点一：函数的定义与表达式；1.（1）k 为何值时，函数2(1)1k y k x k =+++是一次函数，它是正比例函数吗？（2）若函数2243my m x-=+-是y 关于x 的反比例函数，求m . 2．若直线y =kx +b 经过)0,25(，且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式.3过点A ，A .y =x1C .y =x 12+4.11()(A x y B x ，，值分别为( )A ．12k =，2b = B ．49k =，1b = C ．13k =，13b = D ．49k =，13b =热点二：一次函数与反比例函数的图象与性质5．一次函数y 1=ax +b 与y 2=bx +a 的图象在同一坐标系中，大致是（ ）6.在函数(0)ky k x=>的图象上有三点111(,)A x y 、222(,)A x y 、333(,)A x y ，已知1230x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）A ．130y y <<B ． 310y y <<C ． 213y y y <<D ．312y y y << 7.（2008浙江金华）如图1，已知双曲线y =xk(k >0)与直线y =k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：（1）若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y =xk(k >0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A .P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.热点三：函数问题之数形结合8.（2011浙江杭州）如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A ．102x x <-<<或 B ．12x x <->或C ．1002x x -<<<<或D ．102x x -<<>或9.如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ____________ ．热点四：反比例函数k 的几何意义10.（2011四川南充）过反比例函数y =xk(k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B ,C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为 .11．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy x y 24=-=和的图像交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ,BC 则△ABC 的面积为___________；12.（2010衡阳）如图，已知双曲线(0)ky k x=>经过直角三角形OAB 的斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若三角形OBC 的面积为3，则k =___________；13.(2010 四川) 如图，函数()0ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．1B . 2C . 3D . 41A 2A 3B 2B 1B 3C 2C 1C Oxy3A14.(2010 广西)如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与()80y x x=>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________.热点五： 一次函数的应用15.（2011江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m /min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为 S 1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S 2m ,,图中折线OABD ，线段EF 分别是表示S 1、S 2与t 之间函数关系的图象． （1） 求S 2与t 之间的函数关系式：（2） 小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？16.春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．（1）求a的值．（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？17.（2010湖北）如图所示，某地区对某种药品的需求量y1（万件），供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=－x + 70，y2=2x－38，需求量为0时，即停止供应.当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.y2=2x－38y1=－x+70O x(元/件)热点六：一次函数与反比例综合18. （2010 湖北） 如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④A C B D =．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）19.（2011山东聊城）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42my x-=（x >0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 的坐标是（2，－4），且13BC AB =，求m 的值和一次函数的解析式；。
正反比例函数和一次函数二次函数知识点汇总
正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线一次函数（1） 一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系．①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限正比例函数4、正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
反比例函数(1)反比例函数 如果xky =(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数． (2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线． (3)反比例函数的性质①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小． ②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称． (4)k 的两种求法①若点(x 0，y 0)在双曲线xky =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义： 若双曲线x k y =上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯= .||21k =(5)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练函数及其图象1、坐标与象限定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。
水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。
这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。
解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：第1步，列表。
表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第2步，描点。
在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第3步，连线。
按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。
新高一数学衔接课专题四 一次函数与反比例函数
k 1 2k b 1 数y=kx+b中得 解得 b 1 k b 2
∴一次函数表达式为y=-x-1； (2)在y=-x-1中当y=0时，得x=-1, ∴直线y=-x-1与x轴的交点C(-1,0), ∴
SΔ A O B SΔ A O C SΔ B O C
解:（1） ∵点A(-2,1)在反比例函数 y=m/x的图象上， ∴m=－２×１＝－２ ∴反比例函数的表达式为y=-2/x ∵点Ｂ（１,n）也在反比例函数 y=-2/x的图象上， ∴n=－2,即B(1,-2), 把A(-2,1)、Ｂ(1,-2）代入一次函
y Ａ(-2,1) O x C Ｂ(1,n)
1 1 1 3 11 1 2 1 2 2 2 2
（3）x<-2或0<x<1
是一次函数 y kx b m 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点． x (1)求反比例函数和一次函数的解析式；
4) 巩固练习已知 A(4，n) B(2，
四、反比例函数的图象与性质
函数 k 图象
y
0
象限
x增大，y如何变化
（k≠0） k>0
在每一象限内 ___________ ，y随x的 减小 增大而________. 一、三 x 在每一象限内 ，y随x _______________ 的增大而________. 增大
k<0
0
y x 二、四
例1、已知：一次函数y=(4m+1)x-(m+1) （1）m为何值时， y 随 x 增大而减小？ 1 m 4 （2）m为何值时，此直线与y轴交点在x 轴下方？
y 8 , y x 2 x
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
最新反比例函数与一次函数专题(1)复习过程
反比例函数与一次函数一、专题考点归纳（一）热点透析反比例函数与一次函数是近几年各地中考的主要考点之一，其中考察的内容主要包括一次函数与反比例函数的基本概念和性质，主要考察利用常用增减性来比较函数值的大小关系，待定系数法来确定函数的表达式，用割补法求平面直角坐标系中的规则或者不规则图形的面积问题，利用数形结合思想灵活运用图象的性质解决相关问题，而反比例函数近年来已经很少单独出现在考题中，更多的是与一次函数，二次函数，以及方程组和不等式，三角形知识结合的综合题以大题或者压轴题的形式出现。
（二）知识回顾(一)对知识点的考查：(二)考试热点：近几年，在全国各地的中考题中，涉及一次函数、反比例函数的知识较多，尤其是求函数的解析式的考题，利用函数的图象及性质解题几乎每年都有。
本节知识仍是中考命题的热点，不乏有创新题、探究题、综合大题屡屡出现。
(三)考试命题趋势及学习对策：针对中考命题趋势，掌握一次函数，二次函数，反比例函数的基本概念及性质，对在解题过程中常常使用的待定系数法，数形结合思想，割补法求面积等常用解题技巧要多加熟练。
二、高频考点专题链接考点一：一次函数考点分析：1、一次函数的概念：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-bk，0）（2）由图象可知，直线y=kx+b与直线y=kx平行，及K相等，直线平行。
3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k>0时，y 随x 增大而增大 ；k<0时，y 随x 增大而减小 4、求一次函数解析式的方法：常用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程。
一次函数与反比例函数 知识点
一次函数与反比例函数知识点一、一次函数一次函数，也叫线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的特点是自变量的最高次数为1，即一次方程。
一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数，k代表斜率，b代表截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右下方倾斜。
截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b>0时，直线在y轴上方与之交点；当b<0时，直线在y轴下方与之交点。
一次函数在实际生活中有广泛的应用。
例如，我们可以利用一次函数来描述物体的匀速直线运动，其中x表示时间，y表示位置；我们还可以利用一次函数来描述成本和产量之间的关系，从而帮助企业做出经济决策。
二、反比例函数反比例函数，也叫倒数函数，是一种特殊的函数关系，其自变量和因变量之间的关系可以表示为y = k/x，其中k为常数。
反比例函数的特点是自变量和因变量之间的乘积为常数。
反比例函数的图像是一条双曲线，其对称轴为坐标轴。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
因此，反比例函数的图像会有一个渐近线，与x轴和y轴分别交于一点。
反比例函数在实际生活中也有很多应用。
例如，我们可以利用反比例函数来描述人的行驶速度和所需时间之间的关系，从而帮助规划交通路线；我们还可以利用反比例函数来描述电阻和电流之间的关系，从而帮助设计电路。
三、一次函数与反比例函数的比较一次函数和反比例函数在数学上具有不同的特点和应用。
一次函数是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y 轴的交点位置；反比例函数是一条双曲线，其渐近线与x轴和y轴分别交于一点。
在实际应用中，一次函数常用于描述线性关系，如物体的运动和经济成本与产量的关系；而反比例函数常用于描述反比关系，如速度与时间的关系和电阻与电流的关系。
一次函数和反比例函数的图像形状也有所不同。
一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定；而反比例函数的图像是一条双曲线，可以通过渐近线和一个点确定。
初中反比例函数一次函数相结合做题方法
初中反比例函数一次函数相结合做题方法【原创版4篇】目录（篇1）一、初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义2.反比例函数与一次函数的关系3.反比例函数与一次函数的应用4.反比例函数与一次函数的解题方法二、反比例函数与一次函数的应用1.反比例函数与一次函数的图像2.反比例函数与一次函数的应用案例3.反比例函数与一次函数的应用技巧4.反比例函数与一次函数的应用总结正文（篇1）初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义反比例函数和一次函数是初中数学中重要的函数模型。
反比例函数是指形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数，当ku003e0时，反比例函数图像分别位于第一、三象限，在每一象限内，y值随x值的增大而减小；当ku003c0时，反比例函数图像分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 值随x值的增大而增大。
一次函数是指形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.反比例函数与一次函数的关系反比例函数和一次函数是相互关联的，可以通过相互转换来解决问题。
反比例函数的一次项系数k可以转化为斜率，当ku003e0时，反比例函数图像的四个象限中，第一、三象限的分界线为y=x；第四、二象限的分界线为y=-x；当ku003c0时，反比例函数图像的四个象限中，第二、四象限的分界线为y=x；第一、三象限的分界线为y=-x。
3.反比例函数与一次函数的应用反比例函数和一次函数在生活中的应用非常广泛。
目录（篇2）一、初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义2.反比例函数与一次函数的关系3.反比例函数与一次函数的应用4.反比例函数与一次函数的解题方法二、反比例函数与一次函数的应用1.反比例函数与一次函数的图像2.反比例函数与一次函数的应用案例3.反比例函数与一次函数的应用技巧4.反比例函数与一次函数的应用拓展正文（篇2）初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义反比例函数和一次函数是初中数学中的两个重要概念。
一次函数和反比例函数讲解
一知识通览1、函数有三种表示法，分别是图像法、列表法、解析式法。
2、一次函数的定义：形如b kx y +=（k ，b 为常数，且0≠k ）的函数叫做一次函数。
3、一次函数b kx y +=的图像是一条经过点（kb-，0）及点（0，b ）的一条直线。
4、一次函数的图像性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0<k 时，y 随x 的增大而减小。
5、反比例函数的图像及性质6、反比例函数定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是 0≠x 。
反比例函数的三种不同表达形式：x k y /=，1-=kx y ，k xy =。
7、反比例函数xky =的性质：（1）0>k 时，图像两支分别在第一、三象限，y 随x 的增大 而减小；（2）0<k 时，图像两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
专题训练：【例1】已知直线b kx y +=（k ≠0）与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，下列结论：①k ＞0，b ＞0；②k ＞0，b ＜0；③k ＜0，b ＞0；④k ＜0，b ＜0，其中正确结论的个数为（ ）k 、b 的符号k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质y 随x 的增大 而y 随x 的增大而而y 随x 的增大 而y 随x 的增大 而k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内,y 随x 的增大而在每一象限内,y 随x 的增大而oy xy xoA 、1B 、2C 、3D 、4 巩固训练： 1、（09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限 2、(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(2，－1)D ．(1，－2) 3、（2009年安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（）4、在同一坐标系中函数kx y =和x k y 1-=的大致图像必是（ ） x yx y x yxyA B C D 【例2】（2009年包头）函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤巩固练习：1、（2009 黑龙江）函数1-=x xy 中，自变量x 的取值范围是 ． 2、（2009年广州市）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ） A 、31-=x y B 、31-=x y C 、3-=x y D 、3-=x y3、（03广东）如右图，某个反比例函数的图象经过点P ，则它的解析式为（ ）A. )0(1>=x x yB. )0(1>-=x xyC. )0(1<=x xyD. )0(1<-=x xy【例3】（09广西柳州）反比例函数x m y 1+=的图象经过点（2，1）， 则m 的值是 。
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龙文教育学科导学案教师: 学生: 年级 初三 日期: 星期: 时段:学情分析 教案是一次函数、反比例函数综合讲解，整体中等偏难课 题 一次函数、反比例函数综合讲解学习目标与 考点分析 1、 掌握一次函数、反比例函数的的图像与性质 2、 提高解决函数综合大题的能力 学习重点 综合大题的求解 学习方法探究法，练习法，总结法学习内容与过程一、 知识点框架二、典型例题讲解一次函数与正比例函数的定义1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；2、当m_____________时，()21345m y m xx +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m xx +=-+-是一次函数；一次函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么x 是 自变量，y 是x 的函数函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法变量与函数一次函数正比例函数定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小一次函数定义：形如y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的函数性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小待定系数法求函数关系式函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式就转化为方程(组)：当函数值是一个范围 时，函数关系式就转化为不等式；两直线 的交点坐标就是二元一次方程组的解一次函数的实际应用一次函数的图像和性质 1、已知反比例函数)0(≠=k xky ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x+k 的图象不经过第几象限．（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四2、在正比例函数y=-3mx 中，函数y 的值随x 值的增大而增大，则P （m ，5）在第 象限．3、若直线y=-2x-4与直线y=4x+b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A ．-4＜b ＜8 B ．-4＜b ＜0 C ．b ＜-4或b ＞8 D ．-4≤b ≤84、若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=ax+c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。
6、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。
7、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
一次函数解析式的确定1、已知一次函数y=kx+b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7），3、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。
4、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。
5、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称，求k 、b 的值。
6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称，求k 、b 的值。
8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称，求k 、b 的值。
9．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；一次函数与方程（组）不等式（组）的关系1、如图，直线y=kx+b 经过A （3，1）和B （6，0）两点，则不等式组0＜kx+b ＜13x 的解集为 ．2、如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象1l 与y=k 2x+b 2的图象2l 相交于点P ，则方程组 1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是（ ） A ．23x y =-⎧⎨=⎩ B ．32x y =⎧⎨=-⎩ C ．23x y =⎧⎨=⎩ D ．23x y =-⎧⎨=-⎩3、下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（ ）A ．B ．C ．D ．三、反比例函数知识点小结1.定义：形如y ＝x k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k 、1-=kx y 、xk y 1∙=2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。
对称中心是：原点3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
例题精析有关反比例函数的解析式1.若函数y=25(2)k k x--是反比例函数，则k=___2.已知函数 y=（m 2－1）21mm x --，当m=_____时，它的图象是双曲线．3.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）A ．反比例函数B ．正比例函数C ．一次函数D ．反比例或正比例函数反比例函数的图象和性质：1、若反比例函数22)12(--=mx m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A 、 －1或1;B 、小于12的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 2.在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＞3 B ．k ＞0 C ．k ＜3 D ． k ＜0 3.若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2y x=- 的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y << 4.在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ．5.正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2k x(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_____. 6.已知反比例函数y= kx的图象在第一、三象限，则对于一次函数y=kx —k ．y 的值随x 值的增大而____.7..函数y= kx与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l 中的（ ）8.若M （－12 ，y 1），N （－14 ，y 2），P （12 ，y 3）三点都在函数y= k x（k <0））中的图象上，则y 1，y 2，Cy 3，的大小关系为（）A ．y 2 ＞y 3＞y 1B 、y 2＞y 1＞y 3C ．y 3 ＞y 1＞y 2D 、y 3＞y 2＞y 19.已知点（x 1，－1），（x 2，－254），（x 3，－25），在函数y=8x -的图象上，则下列关系式正确的是（） A ．x 1<x 2< x 3． B ．x 1＞x 2＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 1 < x 3 < x 2 K 的几何意义、面积问题1如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变．2如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y x m =-+在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B 且S △ABO ＝32，则反比例函数的解析式 ． 3.如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=4、如图，错误！未找到引用源。
分别是反比例错误！未找到引用源。
图象上的两点， 过A 、B 作轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为错误！未找到引用源。
,四边形ACDE 的面 积为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
5、两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图2 所示，点P 1，P 2，P 3……P 2008，在反比例函数y=6x的图象上， 它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2008，纵坐标分别是 1，3，•5•……，•共2008个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3， …，P 2008分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2008（x 2008，y 2008），则y 2008＝．yxOACB反比例函数的确定方法：1.如图4，反比例函数xky =)0(<k 的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点坐标为)1,2(-，那么B 点的坐标为 .2正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象相交于点A （1，a ），则a ＝ ．3.已知点（2，152 ）是反比例函数y=21m x -图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）A ．（3，－5）B ．（5，－3）C ．（－3，5）D ．（3，5） 4.如图,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；5.如图，直线b kx y +=与反比例函数xk y '=（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC 的面积.一次函数、反比例函数的综合应用1、已知A (n ，-2)，B (1，4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y =xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx +b -xm<0的解集(直接写出答案)．2．由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？3、如图①，在矩形 ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 停止；点Q 从D 出发，沿 D →C →B →A 路线运动，到A 停止．若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒b cm ，点Q 的速度变为每秒d cm ．图②是点P 出发x 秒后△APD 的面积S 1（cm 2）与x （秒）的函数关系图象；图③是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积S 2（cm 2）与x （秒）的函数关系图象．（1）参照图象，求b 、图②中c 及d 的值；（2）连接PQ ，当PQ 平分矩形ABCD 的面积时，运动时间x 的值为 ； （3）当两点改变速度后，设点P 、Q 在运动线路上相距的路程为y （cm ），求y （cm ）与运动时间x （秒）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（4）若点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm ，求x 的值．4、小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y （单位：千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z （单位：元/千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图2所示。