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copula方法及其应用
copula方法及其应用【最新版3篇】目录（篇1）I.引言A.介绍copula方法的概念B.说明copula方法在概率论和统计学中的重要性II.copula方法的基本原理A.介绍高斯copula和多元正态分布的概念B.阐述copula方法的基本原理和数学模型C.解释如何将copula方法应用到实际问题中III.copula方法的应用A.介绍copula方法在金融中的应用，如风险评估和投资组合优化B.说明copula方法在气象、生物、物理等领域的应用C.讨论copula方法在数据分析和机器学习中的潜在应用IV.结论A.总结copula方法的应用和前景B.指出copula方法面临的挑战和未来发展方向正文（篇1）一、引言在概率论和统计学中，copula方法是一种重要的工具，用于研究高维随机变量的联合分布。
copula方法旨在研究多个随机变量之间的关系，并引入一个连接函数来描述它们之间的耦合结构。
这种耦合结构可以用于构建联合分布模型，以便更好地理解和分析多个随机变量之间的关系。
二、copula方法的基本原理1.高斯copula和多元正态分布：高斯copula是一种具有对称性的耦合函数，它描述了两个随机变量之间的线性关系。
多元正态分布是一种具有明确数学模型的概率分布，它由多个独立的正态分布组成。
2.copula方法的基本原理和数学模型：copula方法的核心思想是通过选择合适的耦合函数来构建联合分布模型。
这种模型可以用于描述多个随机变量之间的依赖关系，并用于概率建模和统计分析。
在copula方法中，我们通常选择一个高斯copula作为连接函数，并将其应用于多元正态分布。
3.实际问题中的应用：将copula方法应用到实际问题中需要考虑到数据的特性和问题的背景。
例如，在金融领域中，我们可以使用copula 方法来评估投资组合的风险和收益，以及进行信用评分。
在气象领域中，我们可以使用copula方法来分析天气模式之间的相关性，以预测天气变化。
copula函数.docx
copula函数1、Sklar定理Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。
反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。
Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。
在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]2、什么是copula函数？copula函数实际上是一个概率。
假设我们有n个变量（U1,U2,…,UN），这n个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u1,u2,…,un)即是P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}，（这里的n个变量是相互关联的）。
(1)copula是最全面的相关性(2)copula可以有尾部相依性(3)copula定义的C(u1,u2,…,un)=P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}对应的概率密度函数为c(u1,u2,…,un)=∂n C(u1,u2,… ,un)/∂u1∂u2…∂un，fi(x1,x2,…,xn)为联合分布函数F i (x1,x2,…,xn)= Ui的概率密度函数，fi(x1,x2,…,xn)为Ui的概率密度函数，则有：f(x1,x2,…,xn)= c(u1,u2,…,un)*[ f1(x1,x2,…,xn)*…*fn(x1,x2,…,xn)]3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1](2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤14、copula函数的种类（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）（2）多元t分布的copula：t-copula（3）阿基米德copula（人工构造）令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。
Copula函数
Copula函数理论Copula理论的是由Sklar在1959年提出的，Sklar指出，可以将任意一个n维联合累积分布函数分解为n个边缘累积分布和一个Copula函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula函数的性质定理1 (Sklar定理1959)令F为一个n维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i，那么存在一个n维Copula函数C,使得F(g ,0 C(F1(X1), ,F n(X.)) (1) 若边缘累积分布函数F i是连续的，贝U Copula函数C是唯一的。
不然，Copula函数C只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的u [0,1]n,均有C(u) F(F I W), ,F n1(u n)) ⑵在有非减的边缘变换绝大多数的从Sklar定理可以看出，Copula函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构，从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理：变量间的相关性结构和变量的边缘分布，其中相关性结构用Copula函数来描述。
Copula函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布，任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布，由于变量的所有信息都包含在边缘分布里，在转换过程中不会产生信息失真。
Copula函数总体上可以划分为三类：椭圆型、Archimedean (阿基米德)型和二次型，其中含一个参数的Archimedean Copula函数应用最为广泛，多维Archimedean Copula函数的构造通常是基于二维的，根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种.三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula函数:Frank Archimedean Copula函数,Clayton Archimedean Copula函数,Gumbe Archimedean Copula 函数表1三印常用的A兽非时就*Afctwred即n CopUa医曲名器Copuld C (也A2MFrank或、J*)-1(1-? )(J-e )] ' )(1^ )|M)HJIChyton+ < -t *IM[(U| —1} *llj "1]阳■)[OJIG<岫a A * "J't 4 1 化[L*>［岫Copula函数的应用Copula函数的应用具体包括以下几个步骤：①确定各变量的边缘分布；② 确定Copula函数的参数"；③根据评价指标选取Copula函数，建立联合分布；④根据所建分布进行相应的统计分析。
Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用
摘 要Copula理论是一种基于联合分布的建模方法，最大的优点就是把边缘分布和相关结构分离开，它的提出为解决多元联合分布的构建以及变量间的非线性相关性问题提供了一个灵活实用的方法，人们将其广泛的用于金融领域，应用于投资组合、资产定价等方面，对金融数据相关性进行建模、分析有着非常重要的意义和作用。
本文主要讨论了Copula理论在金融领域的应用，分析了基于Copula理论的多金融资产的投资组合优化及风险度量的问题。
主要工作如下：首先介绍Copula函数的相关概念和性质，目前国内外Copula理论研究的进展情况，本文的研究思路、方法及相关应用。
传统的金融数据分析是基于正态分布的假设，但正态假设有其局限性，往往不能满足，本文打破传统的基于正态分布的假设，讨论了Copula理论和Monte Carlo模拟在风险VaR估计中的应用，并选用股票数据实例分析了基于Archimedean Copula的风险VaR估计，结果表明此方法是有效的，而传统的VaR计算方法低估了风险。
并进一步将此方法推广到多维资产的情形，说明与单支股票风险均值相比采用此方法确定的投资组合降低了金融风险。
文章为了进一步提高模型构造的有效性，提出了一种基于Bayes理论的混合Copula构造方法，把多个Copula函数所具有的优点融合到一个混合函数中，通过调整各个函数的权重系数来调整函数尾部相关性强弱，比单个Copula相关结构更为灵活。
另外，将Bootstrap方法引入到Copula中的参数估计中，实例表明采用Bootstrap 方法对参数的估计与实际值比较接近，为我们提供了解决问题的另一种有效的思路。
最后，对本文进行了总结，并对一些本文中可以继续探讨研究的方向进行了进一步的前景展望。
关键词：Copula函数；VaR估计；Bootstrap方法；投资组合Selection of Copulas and its Application on FinanceAbstractCopula functions which based on joint distribution provide a flexible and useful statistic tool to construct multivariate joint distribution and solve the nonlinear correlation problem. One of its advantages is the dependence structure of variables no longer depending on the marginal distributions. Copula theory has gained increasing attention in asset pricing, risk management, portfolio management and other applications. In detail, my research is as follows:We first introduce the ideas of copula theory and several copula functions which belong to Archimedean families. Then we discuss the use of Archimedean Copula in VaR and CVaR calculation without the traditional multidimensional normal distribution assumption in financial risk management. Our empirical analysis which based on stock market data uses Monte Carlo simulation method and the results show that the VaR calculated by copula method is larger than traditional method. It means that traditional method underestimated the risk of stock market, and the Monte Carlo simulation based on Copula is effective for financial Market. Then, this method is extended to the multidimensional case, to show that the VaR of proper portfolio is lower than means of risk with single stock.In order to improve the validation of model construction, we introduce a simple Bayesian method to choose the “best” copula which is a mixture of several different copulas. By estimating parameters of each chosen copula and adjusting their weight coefficients in the mixed copula, the model has all the advantages of the chosen copulas and has more flexibility because different weight coefficient combinations describe different asset correlations. In addition, we introduce Bootstrap method to estimate the parameters of Archimedean Copula. The real analysis also shows the estimated parameter by Bootstrap method gets closer to actual value. So it is another efficient way to solve our problems.At last, we make a summary of the whole paper, and look into the future of some aspects that could be discussed in the coming days.Key Words：Copulas; VaR estimation; Bootstrap method; portfolio目录摘 要 (1)Abstract (III)第一章 绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 论文组织结构 (3)第二章 Copula选择及检验 (4)2.1 Copula函数的基本概念 (4)2.1.1 Copula函数定义及性质 (4)2.1.2 阿基米德Copula (5)2.1.3 相关性度量 (6)2.2 常用的二元Archimedean Copula函数与相关性分析 (8)2.2.1 Gumbel Copula函数 (8)2.2.2 Clayton Copula函数 (9)2.2.3 Frank Copula函数 (10)2.3 Copula模型参数估计 (11)2.3.1 Genest and Rivest的非参数估计法 (11)2.3.2 极大似然估计法（The Maximum Likelihood Method） (12)2.3.3 边缘分布函数推断法（The method of Inference of Functionsfor Margins） (13)2.3.4 典型极大似然法（The Canonical Maximum Likelihood Method） (13)2.4 Copula的检验 (13)2.4.1 Klugman-Parsa法则 (13)2.4.2 Copula分布函数检验法则 (14)2.4.3 非参数检验法则 (14)第三章 基于Copula的VaR分析计算 (15)3.1 VaR的基本概念 (15)3.1.1 VaR的定义 (15)3.1.2 VaR的计算要素 (16)3.2 基于Copula的投资组合VaR的计算 (16)3.2.1 Copula-VaR的解析方法 (16)3.2.2 用Copula变换相关系数的VaR分析方法 (17)3.2.3 基于Copula的蒙特卡洛模拟法 (18)3.2.4 实证分析 (19)3.3 基于三维Copula的VaR计算 (25)3.3.1 多元阿基米德Copula的构造 (25)3.3.2 基于Copula的Monte Carlo模拟法 (26)3.3.3 实证分析 (27)第四章 混合Copula的构造与Bootstrap方法的应用 (30)4.1 混合Copula的构造与应用 (30)4.1.1 基于Bayes理论的混合Copula构造 (30)4.1.2 实证分析 (32)4.2 Bootstrap方法的应用 (35)4.2.1 Bootstrap基本原理 (35)4.2.2 Bootstrap估计Copula参数 (36)第五章 结论与展望 (38)5.1 结论 (38)5.2 展望 (38)参考文献 (39)在校期间研究成果 (42)致 谢 (43)附录 数据 (44)附录 程序 (50)第一章 绪论1.1 研究背景与意义当今金融市场的发展达到了空前的规模，国际化、自由化、证券化、金融创新得到了飞速发展，但其不稳定因素也随之增加，脆弱性体现了出来。
Copula理论及其在金融分析中的应用研究共3篇
Copula理论及其在金融分析中的应用研究共3篇Copula理论及其在金融分析中的应用研究1Copula理论及其在金融分析中的应用研究Copula理论是一种用于描述多维随机变量之间依赖关系的数学工具。
如今，Copula理论已经成为金融工程领域中不可或缺的工具，由于金融市场的非线性、非对称性和异质性，传统的统计方法不能有效地解决金融问题，而Copula理论在解决金融问题方面的表现得到了广泛认可。
本文将介绍Copula理论的基本原理、Copula函数的类型以及其在金融分析中的应用研究。
一、Copula理论的基本原理Copula理论来源于统计学领域，它可以用来描述多维随机变量之间的相互关系，其中一个重要的应用就是对金融市场中的多维相关进行建模和预测。
Copula理论的核心是Copula函数。
Copula函数可以描述多个随机变量之间的依赖关系，它不仅可以提供相关系数（Pearson相关系数）以及协方差矩阵的信息，而且还可以捕捉多维依赖的非线性和异方性特点，并且避免了传统Pearson相关系数的局限性。
在Copula理论中，随机变量的边缘分布和Copula函数之间是相对独立的，也就是说，Copula函数只考虑变量之间的依赖关系，而不涉及其边缘分布的性质。
二、Copula函数的类型Copula函数有多种类型，其中常用的有以下几种：1.高维正交Copula函数这种函数可以用于高维随机变量的计算和预测，它的参数较少，能够处理非常大的维度和复杂的相互关系。
2.高维Epanechnikov Copula函数这种函数适合用于处理变量的边缘分布不一致的情况，能够解决非线性关系、长尾效应等一些问题。
3.高维t-分布Copula函数这种函数可以用于处理金融市场中的极端事件，即尾部厚的情况，它更能够刻画金融市场的风险。
三、Copula理论在金融分析中的应用研究Copula理论在金融工程领域中具有广泛的应用，以下是其最常见的应用：1.风险度量Copula理论是计算不同组合投资的风险的重要手段。
14Copula函数及其应用
这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。 此外，
X ,Y C 12
[0,1]2
uvdC (u, v) 3 12
[0,1]2
C (u, v)dudv 3
即可将 X ,Y 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平 均距离。
Kendall’s tau及Spearman’s rho作为度量相关性指标的合理性
t-分布Copula函数
t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 定义5 正态分布随机变量 X1 , , X n 的均值分别为 0， 2 方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量， ( X1 , , X n ) 自由度为 ，与 独立。则随机变量 U t ( X ),i I 的分布函数 C (u , , u )为Copula函数， Y 称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。
LY (t ) : E[etY ] ety dG( y) ety g ( y)dy : Lg (t ),t 0
0 0
L (t ) : e ( y)dy (t ),t 0
ty 0
(14.10)
（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
几种不同生成元的Copula函数：
定义9 （1）Clayton Copula:
(t ) (t 1),
连接函数(Copula)理论及其在金融中的应用
连接函数（Copula）理论及其在金融中的应用Copula 理论及其在金融中的应用摘要：Copula 是一种常用于描述多维随机变量之间依赖关系的函数，它不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。
在金融领域，Copula 理论广泛应用于风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域。
本文介绍了 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨了其在金融中的应用和优势。
关键词：Copula 理论，依赖关系，金融，风险管理，衍生品定价，投资组合优化一、引言在金融中，随机变量之间的依赖关系是研究风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域的重要基础。
然而，在实际应用中，研究者通常会遇到两个问题。
第一个问题是如何描述多维随机变量之间的依赖关系。
传统的做法是使用相关系数或协方差矩阵来描述变量之间的线性关系，但是这种做法忽略了变量之间的非线性因素，不能完全反映变量之间的依赖关系。
第二个问题是如何将变量的边际分布和依赖关系分开来。
从统计学的角度来看，边际分布和依赖关系是不同的概念，它们之间的关系不应该混淆。
然而，在现实应用中，变量的边际分布和依赖关系通常是同时存在的，不加区分的分析会导致结果的误解。
为了解决这些问题，Copula 理论被提出作为一种描述多维随机变量之间依赖关系的方法。
该理论不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。
在本文中，我们将介绍 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨其在金融中的应用和优势。
二、Copula 理论的基本概念Copula 是从多元随机变量的联合分布函数中提取出依赖结构的工具，其主要思想是通过一个单独的函数来描述变量之间的依赖关系，从而将边际分布与依赖关系分离开来。
Copula 的基本定义是：设 $X_1, X_2, ..., X_d$ 为 $d$ 个随机变量，它们的边际分布函数分别为 $F_1, F_2, ..., F_d$，联合分布函数为$H$，则称 $C(u_1, u_2, ..., u_d)$ 为 $X_1, X_2, ..., X_d$ 的Copula 函数，其中 $u_i = F_i(x_i)$ 是 $X_i$ 的分位数。
Copula理论及其在金融分析中的应用研究
二、Copula方法与金融市场风险管理
以信用违约掉期（CDS）为例，投资者可以使用Copula方法来评估不同信用 等级之间的相关性以及信用事件的可能性。基于这些信息，投资者可以制定出更 为精确的风险控制策略，如分散投资、设置止损点等。在实际应用中，投资者还 需要考虑市场环境、政策变化等因素，以不断优化投资策略。
一、Copula方法与投资组合构建
一、Copula方法与投资组合构建
投资组合构建是投资者在特定风险水平下追求最高收益的过程。Copula方法 通过全面考量各个资产之间的相关性，为投资者提供了一种有效的资产配置方式。
一、Copula方法与投资组合构建
首先，Copula方法能够根据历史数据估计出资产之间的相关性矩阵。在这个 过程中，Copula函数起着关键作用，它可以描述变量之间的依赖关系。通过选择 适当的Copula函数，投资者可以更好地理解资产之间的相关程度。
一、Copula方法与投资组合构建
其次，使用Copula方法可以构建多元化的投资组合。基于Copula函数，投资 者可以计算出不同资产组合的预期收益和风险水平。这使得投资者能够在保证收 益的同时，有效地分散投资风险。
一、Copula方法与投资组合构建
以Gaussian Copula为例，投资者可以根据资产的历史数据计算出相关系数 矩阵。然后，通过优化算法，找到能够最大化收益并最小化风险的资产组合。在 实际应用中，投资者还需要考虑交易成本、税收等因素，以制定更为全面的投资 策略。
内容摘要
在结果与讨论中，我们将对Copula方法在金融风险管理中的应用进行客观描 述和解释，并对结果进行可行性分析。首先，我们发现不同Copula模型在拟合不 同类型风险数据时具有不同的优劣。例如，Gaussian Copula模型在拟合信用风 险数据方面表现较好，而t-Copula模型在拟合市场风险数据方面更具优势。此外， 我们还发现不同风险的Copula模型在估计参数时存在一定的不确定性。这要求我 们在实际应用中需谨慎处理参数估计的不确定性。
copulas函数
copulas函数Copulas函数1. 引言Copulas函数是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量之间的依赖关系。
在本文中，我们将深入探讨Copulas函数的概念、性质和应用。
我们将介绍Copulas函数的基本定义和特征，然后讨论它们在金融和风险管理领域的应用，并最后分享我们的观点和理解。
2. Copulas函数的定义和性质Copulas函数是用来描述随机变量的联合分布的无参数函数。
它将每个随机变量的边际分布函数映射到一个标准均匀分布函数，从而消除了边际分布函数的影响，使得我们能够更好地研究随机变量之间的依赖关系。
Copulas函数具有以下几个重要的性质：- Copulas函数的取值范围在0到1之间，表示两个随机变量之间的依赖程度。
- 当Copulas函数等于0或1时，表示随机变量之间存在完全的负相关或正相关关系。
- Copulas函数是无参数的，这使得我们能够对不同类型的数据进行建模，而不需要知道其具体的分布函数形式。
3. Copulas函数在金融领域的应用Copulas函数在金融领域具有广泛的应用。
它可以用于建模和估计金融资产之间的相关性，从而帮助投资者和风险管理者更好地理解和管理投资组合的风险。
另一个重要的应用是用Copulas函数进行期权定价。
由于期权的价值取决于多个底层资产的联合分布，传统的单一分布模型难以准确地描述期权的价格。
通过使用Copulas函数，我们可以考虑不同底层资产之间的相关性，从而提供更准确的期权定价模型。
4. Copulas函数在风险管理中的应用Copulas函数在风险管理中也发挥着重要的作用。
它可以用于测量和估计极端事件的概率，从而帮助机构更好地管理市场风险和信用风险。
另一个应用是基于Copulas函数进行风险度量。
传统的VaR（Valueat Risk）方法通常假设资产之间的独立性，而这在现实市场中往往是不成立的。
通过使用Copulas函数，我们可以更准确地考虑不同资产之间的相关性，从而提供更准确的风险度量方法。
copulas函数
copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。
它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。
Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。
一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。
Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。
1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。
（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。
（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。
（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。
二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。
Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。
连接函数理论与应用
C
Ga
ρl
(u , v ) = ∫
φ −1 ( u ) φ −1 ( v )
−∞
∫
−∞
1 2 2π (1 − ρ l )1 / 2
对于所有的椭圆分布，我们有下列关系式：
π ρ = sin( τ )
{
}
2. Copula 函数
2.1 定义
Nelsen（1998）给出了连接函数（Copula）严格的数学定义[1]： 定义 1： n 维连接函数是一个满足如下的函数 C ： ⑴ 定义域是： [0,1] ；
n
⑵ C 有基面且是 N − 维增函数； ⑶ 对任意的 u ∈ I ， C 的边缘函数满足 C n (1,1, Λ , u , Λ ,1) = u 。
2.2
Sklar’s 定理[4]
假设 F 是一个 n 维分布函数有边缘分布 F1 , Λ , Fn ，则存在一个 n 维连接函数 C 使得对任 意 x ∈ R n ，F (ξ1 , Λ , ξ n ) = C ( Fξ1 ( x1 ),Λ , Fξ n ( x n )) 。 如果 F1 , Λ , Fn 都是连续的， 那么 C 是
2.5 Fre]
2.5.1 Bivarite case 任意随机变量 U ， V 服从 U [0,1] 若 U ， V 独立，则 copula ∏ (u , v ) = uv 若 W = max(u + v − 1,0) ， M = min(u , v ) ，则在 Χ 上 W ≤ c ≤ M ，其中 W 是 Frechet 下
[6]
−
， 如果 λl =
最新Copula方法简介
– Frank-n-Copula函數 ：當α>0,n>3
n ui e 1 1 C (u1...un ) ln 1 i 1 n 1 e i 1
變數相關性之衡量
Kendall’s sample ρs
n 2 sgn[( X i X j )(Yi Y j )] n(n 1) i 1 i j
R: agivenexogenousrecoveryrate
Ontheprotectionseller 'sview Theexpectedexcesspayment: B(0, t)Wt [1 F(t)]dt
0 T
Theexpectedloss : B(0, t)(1 R)f (t)dt
1 if x 0 sgn( x) 1 if x 0
Spearman’s sample ρs
Ri rnak ( X i )Si rnak (Yi )
s
(R R )(S S )
i 1 i i i i
n
( R R ) (S S )
0
T
expectedexcesspaymentt expectedloss Wt [1 F(t)] (1 R)f (t) 0h(t) Wt 1 R
違約機率
相關性違約時點模式之建立
運用Copula函數將n家公司的聯合違約函數表示為
F(t1 ,t 2 ,...,t I )=Pr( 1 t1 , 2 t 2 ,..., I t I ) =C(F 1 (t1 ),F 2 (t 2 ),...,F I (t I )) 其中 F (t)=1-e-h t
对Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用探讨
对Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用探讨摘要：copula理论是基于联合分布的一种建模方法，函数提供了一种灵活使用的方法，目前被广泛引用在金融领域。
本文主要对copula函数进行研究，探讨了copula函数在金融分析中的主要应用。
研究表明copula函数对金融数据的建模和分析有着重要的意义。
关键词：copula函数；金融；var估计引言随着金融市场规模的不断扩大，金融创新得到了飞速的发展。
随着经济增长速度的加快，制度体制也体现出一些弊端。
当面对这样的的金融体系，怎样提高金融变量分析的准确性，降低其风险就显得十分的重要，所以需要对研究的方法进行改进和加以分析。
1959年，copula函数应运而生，在20世纪90年代的时候被应用在金融行业。
这种copula函数的应用刻画可变量之间的非线性相关的关系，并且还能捕捉到概率分布的尾部相关关系，copula函数的应用范围更广，实用性强。
资产收益率中的联合分布是存在着很大的非对称性的，所以在本文中主要讨论了如何选择合适的函数来对非线性相关结构进行描述。
二、copula函数的选择和校验分析通过上述对copula函数和sklar定理的定义和介绍，我们知道利用分布函数的联合分布函数和逆函数可以对变量之间相关结果的copula函数进行描述，减少了多变量概率模型的分析难度，试分析的过程变得简单清晰。
指定的边缘分布模型能否拟合实际的分布，这对copula函数是否正确的对变量的相关结果进行描述很重高，所以要建立边缘分布检验和拟合评价的方法，下面主要指出两种copula函数校验的法则：①klugman-parsa法则；这种法则是在1999年的时候被提出，法则以直观的表达变量的实际分布并指出了分布的你和情况。
在校验中如果p-value过高，说明这个copula函数符合数据的结构描述。
②copula分布函数检验法则；直观的反映出随机变量和分布函数之间的差异。
如果p-value的值过高，说明copula函数符合数据结构的描述。
Copula系列(一)-什么是Copula函数
最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。
本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。
我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。
此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。
什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。
最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。
反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。
Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。
其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。
Copula理论简介学习
★定理
对随机变量 x1, x2 ,, x做n 严格的单调增变换，相应的 Copula函数不变。
①Kendall秩相关系数τ
②Spearman秩相关系数ρ ③Gini关联系数γ
第七页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
①Kendall秩相关系数τ
考察两个变量的相关性时，最直观的方法是考察它们的变 化趋势是否一致。若一致，表明变量间存在正相关；若不一 致，表明变量间是负相关的。
int
1 n2
2
n i1
n
ri si n 1
i 1
ri si
◆Gini系数可以扩展到无限样本的情形，并有相应的 Copula函数给出：
1 1
2u 00
v
1
u
v
dCu, v
第十二页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
◆ 在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相 关性，这一特性用Copula函数来处理十分方便。考虑条
lim
u1
PY
G 1 u|
X
F 1u
U
若U 0,1，X,Y称为上尾相关；若 U ，0 X,Y称为上尾独立。
下尾相关系数为
lim
u0
P
Y
G1u|
X
F 1 u
L
若L 0,1，X,Y称为下尾相关；若L 0，X,Y称为下尾独立。
第十四页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
由于
P Y
若 x ~ N 0,1, y x2 （x，y显然关系密切）
则Covx, y Exy ExEy Ex3 ExEx2 0
即x，y的相关系数为0。
因此，当变量间的关系是非线性时，用相关系数来度 量其关系是不可靠的。而Copula函数在一定的范围内就 可以避免这个问题。
COPULA函数在金融中的应用
Copula函数在金融中的应用作者：李娟学位授予单位：西北工业大学被引用次数：1次参考文献(41条)1.Beatriz Vaz de Melo Mendes.Rafael Martins de Souza Measuing financial risks with copulas 20042.Bouye E.Durrleman V.Nikeghbali A Copulas for Finance:a reading guide and some applications 20003.Bouye E.Gaussel N.Salmon M Investigating dynamic dependence using copula(W P01214) 20014.Claudio Romano Calibrating and Simulating Copula Functions:an Application to the Italian Stock Market 20025.Diclemente A.Romano C Measuring portfolio value-at-risk by a copula-EVT based approach 20036.Davidsion R.Mackinnon J Estimation and inference in econometrics 19937.Embrechts P.Lindskog F.Mcneil A J Modeling Dependence with Copulas and Application to Risk Management 20018.Embrechts P Using copula to bound the Value-at-Risk for function of dependent risks 20019.Forbes K.Rigobon R No contagion,only interdependence:measuring stock market Co-movements 2002(05)10.Genest C.MacKay J The joy of Copulas:bivariate distributions with uniform marginals 1986(02)11.Genest C.Rivest L Statistical inference procedures for bivariate archimedean copulas 199312.Gaenssler P.Stute W Seninar on empirical processes(DMV Seminan Band 9) 198713.Joe H Multivariate Models and Dependence Concepts 199714.Juri A.Wutrich M V Copula convergence theorems for Tail events 2002(03)15.Juri A Tail dependence from a distributional point of view 200216.Joe H Multivariate Models and Dependence Concepts 199717.Nelsen R B An Introduction to Copulas 199818.P Embrechts.F Lindskog.A J McNeil Modelling Dependence with Copulas and Application to Risk Management 200119.Roberto De Matteis Fitting Copulas to Data 200120.SklarA Fonctionde repartition a dimension etleurs marges 195921.Stefano D.Alexander J M The t Copula and Related Copulas 200422.Schweizer B.E Wolff On nonparametric measures of dependence for random variables 198123.Van den Goorbergh R.Genest C.Werker B Multivariate option pricing using dynamic in copula models 200324.崔嵬.张尧庭.朱世武.谢邦昌如何选择度量金融风险的指标[期刊论文]-统计研究 2003(6)25.茆诗松.王静龙.濮晓龙高等数理统计 199826.孙志宾.顾岚Copula理论在金融中的应用[期刊论文]-广西师范大学学报(自然科学版) 2004(2)27.苏金明SPSS12.0 for Windows应用及开发指南 200428.田新时.郭海燕极值理论在风险度量中的应用--基于上证180指数[期刊论文]-运筹与管理 2004(1)29.韦艳华.张世英.郭焱金融市场相关程度与相关模式的研究[期刊论文]-系统工程学报 2004(4)。
Copula函数及其应用详细介绍,喜欢这个函数的可以看过来！
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第四章补充2 Copula函数介绍
Sklar定理的作用
利用Sklar定理，风险管理者可以自由地把任意n个 一元边际分布函数（其可以相同，也可以互不相同） 构成一个n元的联合分布函数。同样是这n个一元分 布函数，选用的Copula函数不同，得到的n元联合分 布函数也不同。通过Copula函数构造联合分布函数， 可以使风险管理者很容易地突破已知的标准多元分 布函数限制，在多个随机变量的联合分布建模时， 有更多的选择余地，从而更加容易地对金融保险领 域中的随机风险建模。
补充2：Copula函数
内容提要： 背景问题； Copula函数介绍； Copula函数的类型； 相关性度量； Copula函数在风险管理中的应用。
一、背景问题
在保险与金融业，度量公司的保险产品组 合或公司持有金融资产的组合的风险是一 个非常普通的问题。
例：考虑两类保险风险——风暴和洪水—— 的索赔分布：（1）仅了解单个索赔的分 布是否足够？（2）如果风险索赔具某种 相关性，情况又会怎样？
非寿险公司准备金计算 (Goouon Actuarial
Solutions)
参考文献
Nelsen,R.B. An Introduction to Copulas. New York: Spring-Verlag, 1999
Joe,H. Multivariate Models and Dependence Concepts. London: Chapman and Hall, 1997
五、 Copula函数在风险管理 中的应用：之一
李健伦，保险监管中的法定偿付能力度量 问题研究第二章与第三章，中国科技大学 博士论文，2006
关注点： 1）如何把现实问题转化为Copula可解决的
问题； 2）如何将Copula方法实现化。
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copula函数及其应用
陆伟丹2012214286
信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 19
5 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、
构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
而J o e , H .提出了二步极大似然估计，并说明它比极大似然估计更有效。
在选择最适合我们要求的Copula 函数上，最常用的方法是拟合优度检验，W. B reymannn ,A.Dias , P ・ Embrecht s ( 2 0
0 3 ), S t u a r t A . KI u g m a n, RahulParsa .( 1 9 9 9 )等者0 提出了模型选择检验以及拟合的方法。
2 0世纪9 0年代以前，由于受技术条件的限制,Copu a 1理论一直没有得到很好的应用。
随着计算机技术的发展.Copula函数才广泛应用在金融硏究中。
Embrecht sP .Resnick S .Samorod nitsk yG ( 1 9 9 9 )首次将C opu 1 a理论引入金融领域z以许多具体例子来拟合多元联合分布和构建变量之间的相依结构；Robe r t De Matteis(2001)对C o p u1 a ,特别是对A rchimedea nCopula及其应用做了比较详尽的总结，依据Copula 生成函数的不同，把Ar c h imedeanCopu 1 a分成不同的类：A.Juri(2002)提出了尾部事件的C opu 1 a收敛理论指出可以用来描述尾部相关的Copula函数包涵了尾部相关的全部信息，因此它可以更全面更深入地刻画变量之问的尾部相关关系。
Bouye/E.etal.( 2000 )/ Emb r e cht S/P.etal.( 2001)对Copula函数在风险管理中的应用问题进行了比较深入地探讨；Ang r A Chen # J .( 2 0 0 1 )在关于C opu 1 a函数的研究文献中报道了股票之间的非对称相关现象;Pa t t on A J .( 2 0 0 1 )构造了马克/美元和日元/美元汇率的对数收益的二元C o p u 1 a模型，并与相应的B E K K模型做了比较，结果表明C opu 1 a模型可以更好地描述金融市场间的相关关系；L i ( 1 9 9 9 )将C。
p u 1 a用于违约相关关系的研究，指出C r ed i t Me t r i c s的通过资产相关关系研究违约相关关系的方法与借助一个正态Copula函数硏究相关关系是等价的；Roma no ,C.(2002)对意大利股市收益率进行了Copu 1 a分析，并检验了其准确性：Davide Wa 1 t e r ( 2 0 0 3 )用Copula 对一些信用衍生品的定价和风险分析进行了研究，发现t・Copula较合适于金融数据分析；Lucia no Mare na(2005)给出Copula函数在衍生产品定价和金融风险管理的应用。
此夕卜，还有众多的学者对C opu 1 a函数在金融中的应用做了大量研究。
国内学者对Copula理论的研究起步较晚。
张尧庭(2 0 0 2 )从理论上探讨了Copula 在金融上应用的可行性，指出Copula是度量金融风险的绝佳方法；张明恒(2 0 0 4 )研究了多资产V a R的C opu1 a计算方法；吴振翔等(2004,2006)硏究TCopu1 a相依结构下多资产的组合投资问题；陈守东、胡铮洋、孑L繁利(2 0 0 6 ) 选取了三个有代表性的Copula函数对金融时间序列建模，计算投资组合的VaR值, 将Copul a方法的计算结果与传统的帀态模拟结果比较表明,Copu 1 a方法对金融风险的度量要明显优于正态方法。
韦艳华、张世英(2 0 04)建立了Copula .GA RCH模型对上海股市各板块指数收益率序列问的条件相关性进行了分析，结果表明各序列间有很强的正相关关系；李秀敏、史道济(2 0 0 6 )用混合相关结构函数C opu 1 a 对上海、深圳股票市场进行相关分析研究,用极值分布刻画了每支股票的边缘分布，用两步估计法对Copula的参数进行了估计，分析结果表明，混合C。
p u1 a相关结构比单个C opu 1 a更能够捕捉金融市场问相关性变化规律;李悦、程希骏( 2 0 0 6 )通过分析C opu1 a的尾部相关性揭示了上证指数和恒生指数的相关性;梁冯珍、钟君、史道济( 2 0
0 7 )通过随机模拟，以1 9 9 6・200 5年的上证综指和深圳成指同数据为样本，研究了两种不同的风险测度(V a R和方差)与相关性之间的关系；罗付岩、
邓光明( 2 0 0 7 )用条件时变相关模式的Copula模型来估计组合风险值,利用上证和深证指数组合进行实证硏究，并与固定相关模式下的Copula模型进行比较，结果表明：相对于常相关模式，条件时变相关模式具有较好的表现。
包卫军、胡杰（200 8 ）采用多元G umbe1Copu 1 a模拟投资组合的C VaR,对多元投资组合的风险进行测度。