九年级数学下册 27.1.2 第2课时 垂径定理习题课件 (新版)华东师大版
华师大版九下数学27.第2课时垂径定理教学课件
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为 AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
O
A C G DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
思路：由垂径定理可得M、N分别 是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
A
M ．N
O
B
C
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
义务教育教科书（华师）九年级数学
下第册 27章 圆
27.1 圆的认识
——垂径定理
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会产生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是对称轴．
华东师大版数学九年级下册课时练 第27章 圆 27.1.2 第2课时 垂径定理
华东师大版数学九年级下册 第27章 圆第2课时 垂径定理1．如图，⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论可能错误的是( B ) A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵D ．△OCE ≌△ODE第1题图 第2题图2．已知：如图，⊙O 的半径为9，弦AB ⊥半径OC 于点H ，sin ∠BOC ＝23，则AB 的长度为( B )A ．6B ．12C ．9D ．3 53．(2019·福建三明一模)如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为( D )A ．8B ．10C ．43D ．4 54．(2019·河南信阳期中)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为__5__.5．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为__0.8__m.6．如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求tan∠OP A的值．解：如图，作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝12AB＝4 cm，∴OM＝OA2－AM2＝62－42＝25(cm)．∵PM＝BP＋BM＝6 cm，∴tan∠OP A＝OMPM＝256＝53.7．(教材P40，练习，T1改编)如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O 的半径等于(D)A ．8B ．4C ．10D ．58．某公园新建的圆形人工湖如图所示，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边先取A ，B ，C 三根木桩，使得A ，B 之间的距离与B ，C 之间的距离相等，并测得B 到AC 的距离为 3 m ，AC 的长为60 m ，请你帮他们求出人工湖的半径．解：设圆心为点O ，连结OA ，OB ，AB ，BC ，OB 交AC 于点D ，如图．∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC ， ∴AD ＝CD ＝12AC ＝30 m.设OA ＝x m ，则在Rt △AOD 中，有x 2－(x －3)2＝302，解得x ＝151.5， ∴人工湖的半径为151.5 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 9．下列说法中错误的有( C )①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； ②弦的垂线平分它所对的两条弧； ③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； ④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．(2019·广西梧州中考)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( C )A．2 6 B．210C．211 D．4 311．(2019·山东聊城阳谷一模)已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP＝32，则弦AB的长为(C)A．4 B．6 C．8 D．1012．(2019·江西南昌一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(2，0)，直线y＝33x＋3与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长为__7__.13．(2019·广西南宁中考)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示．已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为__26__寸．14．(2018·湖北孝感中考)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是__2或14__ cm.15．如图，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是 AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，且OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E . (1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4. (2)存在．DE 保持不变．连结AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE ＝12AB ＝522，∴DE 保持不变．16．某地有一座圆弧型拱桥，如图所示，桥下水面宽度AB 为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里．问此货船能顺利通过拱桥吗？解：如图所示，设AB ︵所在圆的圆心为点O ，作OD ⊥AB ，垂足为点D ，OD 的延长线交MN 于点H ，交AB ︵于点C .连结OA ，ON .由题意知DC ＝2.4 m ．设OA ＝r m ，则OD ＝OC －CD ＝(r －2.4)m ，AD ＝12AB ＝3.6 m. 在Rt △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2， 即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，∴r ＝3.9.∵EF ＝3 m ，∴DF ＝NH ＝12×3＝1.5(m)． 在Rt △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)， ∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)． ∵2<2.1，∴此货船能顺利通过拱桥．。
九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理练习华东师大版(2021年整理)
九年级数学下册第27章圆27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第27章圆27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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27.1 2. 第2课时垂径定理一、选择题1．圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A．1条 B．2条C．4条 D．无数条2．在半径为3的圆中，一条弦的长度为4，则圆心到这条弦的距离是链接听课例2归纳总结( ）A．3 B．4 C。
5 D.错误! 3．2018·张家界如图K－14－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm,CD ＝8 cm，则AE等于（)图K－14－1A．8 cm B．5 cmC．3 cm D．2 cm4．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm,最短的弦长为2 cm，则OM的长为( ）A。
错误! cm B。
错误! cm C．3 cm D．2 cm5．2017·金华如图K－14－2，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)图K－14－2A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图K－14－3所示．若油面AB＝160 cm，则油的最大深度为（)图K－14－3A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm7．如图K－14－4，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，⊙O的直径为 2 dm，若往这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( ）图K－14－4A.错误!B.错误!C.错误! D。
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
华东版九年级数学下册第27章 27.1.2第2课时 垂径定理及其推论的应用
6. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， 点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴交于 O、A 两点，点 A 的 坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为
(3，2) ．
7. (2018· 安顺)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB＝8 cm，则 AC 的长为( C ) A．2 C．2 5 cm 5 cm 或 4 5cm B．4 D ．2 5 cm 3或 4 3 cm
10. (2018· 烟台)如图， 方格纸上每个小正方形的边长 均为 1 个单位长度，点 O、A、B、C 在格点(两条网格线 的交点叫格点)上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．
【解析】连结 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示， 在 CB 的垂直平分线上找到一点 D ，CD ＝DB＝DA＝ 32＋12＝ 10，所以 D 是过 A、B、C 三点的圆的圆心， 即 D 的坐标为(－1，－2)．
11. 如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB＝10，点 P 是⊙O 上的动点(P 与 A、B 不重合)，连结 AP、PB，过 点 O 分别作 OE⊥AP 于点 E，OF⊥PB 于点 F，则 EF＝
5
．
12. 如图所示，图中弯道是驾照考试科目二 S 弯道 ︵ ︵ 考试的一段弯道， 点 O 是AB所在圆的圆心， 点 C 是AB的 中点，OC 与 AB 相交于点 D．已知 AB＝11 m，CD＝2.5 m，求弯道的半径．
︵ 解：∵点 C 是AB的中点，DC 与 AB 相交于点 D， ∴OC⊥AB，在 Rt△AOD 中，设 OA＝r，则 OD＝r －2.5，OA2＝AD2＋OD2，即 r2＝30.25＋(r－2.5)2，解得 r＝7.3(m)．