中考数学考点总复习第16节图形的认识初步与相交线、平行线试题 新人教版1
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。
2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。
3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互补。
④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即c b b a ∥，∥，则c a ∥。
4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角相等，两直线平行。
④垂直于同一直线的两直线平行。
即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。
5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。
练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。
中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第16课时几何初步及平行线、相交线(含命题)
相等
两条平行线之间的距离处处㉚ (xiāngd
ěng)
第十一页，共三十九页。
基
础
知
识
巩
固
考点(kǎo diǎn)五
定义
定义
高
频
考
向
探
究
命
题
分类
组成
基本事实
命题
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描
述, 作出明确的规定,也就是给它们下定义
能够进行肯定或者否定判断的语句,叫做命题
图16-17
∴∠COB=135°.
第二十八页，共三十九页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2019·邯郸(hán dān)校级模拟]如图16-18,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB, ∠EOC=28°,
则∠BOD的度数为
(
)
D
A.28°
B.52°
C.62°
巩
固
5.[2019·铜仁]如图16-10,如果∠1=∠3,∠2=60°,那么(nàme)∠4的度数为
A.60°
C.120°
B.100°
D.130°
高
频
考
向
探
究
图16-10
第十八页，共三十九页。
( C)
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二 易错题
【失分点】
求两点之间距离(jùlí)时忽略分类讨论;对平行线的性质理解不透彻;混淆余角和补角的概念.
中考复习专题第16讲图形的初步与相交线、平行线
第十六讲图形初步及相交线、平行线【基础知识回顾】1、直线、射线、线段线段有个端点，可以度量、比较大小，直线端点，射线有个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：可以用表示，也可以用表示。
【提醒：一条直线上有n个点，则这条直线上存在条线段】2、角：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以看做是一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，如：∠AOB，也可用一个大写字母，如∠A表示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角】3、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角= 度= 平角直角 1度= 分 1分= 秒【提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针没分转动度，分针每分转动度】4一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【提醒：有公共顶点的n条射线，一共可形成个小于平角的角】5、互为余角互为斜角①互为余角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为余角②互为补角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为补角性质：同角或等角的余角同角或等角的补角【提醒：1、互补和互余是指两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】6、对顶角和邻补角：两条直线相交所成的四个角中的角是对顶角，的角是邻补角，如图：对顶角有邻补角有，对顶角性质：7、垂线及其性质两条直线相交所构成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的。
性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】8、平行线：（三线八角）如图：两条直线AB与CD被第三条直线EF所截，构成八个角其中同位角有对，分别是，内错角有对，分别是同旁内角有对，分别是平行线的定义：在同一平面内的两条直线叫平行线平行公理：经过已知直线外一点条直线与已知直线平行平行线的性质和判定【提醒：平行线的常用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相2、同一直线的两条直线互相平行】9、命题、公理10、互逆命题与互逆定理：⑴在两个命题中，如果一个命题的和是另一个命题的和那么这两个命题称为互逆命题⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个这两个定理称为。
人教版初中数学中考复习一轮复习 ——相交线与平行线(知识点+中考真题)
1 2
ABBiblioteka 长为半径画弧，两弧3 交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为 ．
对应训练：
【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于1 AB 长为半径画弧，两弧
交于点P，
2
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a-3），
知识点梳理——知识点1：点、线、面、角
1．点动成 线 、线动成 面 、面动成 体 ． 2．角：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一 条 射线 绕着它的端点旋转而形成的图形．
3． 度分秒的换算： 1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°． 1°= 60 '，
1'= 60 ″ ．
对应训练：
1.（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为 37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km
（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
对应训练：
对应训练：
4.（2021•岳阳）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，
C 则∠1的大小为（ ）
A．45°
B．60° C．75°
D．105°
对应训练：
5.（2021•宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在 AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF
2. 平行线公理及其推论： 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平．行
推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平．行
人教版中考备战策略课件第16讲线段、角、相交线与平行线
三、解答题(共 4 3 分) 18．(8 分)如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上， 且 AB⊥BC，∠1＝55°，求∠2 的度数．
解：如图，∵AB⊥BC，∴∠1＋∠3＝90°. ∵∠1＝55°，∴∠3＝35°. ∵a∥b，∴∠2＝∠3＝35°.
19．(10 分)如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O， OE，OF 为射线，∠AOE＝90°，OF 平分∠AOC，∠AOF ＋∠BOD＝51°，求∠EOD 的度数．
【答案】 B
考点二 余角、补角的定义 例 2 (2015·崇左)下列各图中，∠1与∠2互为余 角的是( )
【点拨】A 中，∠1 的对顶角与∠2 是同位角关系， 只能说明∠1＝∠2；B 中，∠1 和∠2 是对顶角，∠1 ＝∠2；C 中，∠1＋∠2＝90°，∠1 与∠2 互余；D 中， ∠1＋∠2＝180°，∠1 与∠2 互补．综上所述，选 C.
3．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫做 平行线； (2)同位角相等，两直线平行； (3)内错角相等，两直线平行； (4)同旁内角互补，两直线平行．
温馨提示： 除上述平行线的判定方法外，还有“在同一平面 内垂直于同一条直线的两条直线平行”及“平行于同 一条直线的两条直线平行”的判定方法.
【解析】∵∠ECA＝α°，∴ ∠ECB＝180°－∠ECA＝
180°－ α°.∵CD
平
分
∠ECB
，
∴∠DCB
＝
1 2
∠ECB
＝
12×(180°－ α°)＝90－α2 °.∵FG∥CD，∴∠GFB＝∠DCB
＝90－α2 °.
答案：90－α2
16．(2015·泰州)如图，直线 l1∥l2，∠α＝∠β， ∠1 ＝40°，则∠2＝ .
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习附解析
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线定理即可解答.
【详解】
解：根据∠1=∠F，
可得AB//EF，
故∠2=∠A=50°.
故选A.
【点睛】
本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.
4．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）
2．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE
【答案】D
【解析】
【分析】
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
A、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；
∵ 是对顶角，
∴ （对顶角相等），
又∵ ，
∴ ，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ，
故A为答案.
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的判定（同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），能灵活运用所学知识是解题的关键..
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习附解析
一、选择题
1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是()
A．20°B．22°C．28°D．38°
【答案】B
【解析】
【分析】
第16讲 线段、角、相交线与平行线-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第16讲 线段、角、相交线与平行线考 点 清 单考点1 直线、线段 1．两个基本事实(1)经过两点有且仅有一条直线，简述为两点确定一条直线． (2)所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间① 最短． 2．线段的中点如图1，若点M 是线段AB 的中点，则有AM ＝② ＝12AB .3．线段的和差运算如图2，B 是线段AC 上的一点，则有AB ＝AC －③ ；BC ＝AC －④ ；AC ＝AB ＋⑤ .考点2 角的有关概念及性质 度、分、秒的转换 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，角的度、分、秒是60进制的 角的分类类别锐角直角钝角平角周角度数0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°α＝180°α＝360°余角定义 如果两个角的和等于⑥ ，则这两个角互余 性质 同角(或等角)的余角⑦补角定义 如果两个角的和等于⑧ ，则这两个角互补 性质 同角(或等角)的补角⑨ 角平分线性质角平分线上的点到角两边的距离⑩若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠COB ；若PM ⊥AO ，PN ⊥OB ，则PM ＝PN逆定理在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的⑪ 上考点3 相交线1．三线八角图形名称 性质 角与角之间的位置关系对顶角 对顶角相等 ∠1与⑫ ，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与⑬ 邻补角 邻补角之和等于180°∠1和∠3都与∠2，∠4互为邻补角；∠5和∠7都与∠6，∠8互为邻补角同位角 — ∠1与⑭ ，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与⑮ 内错角 — ∠4与⑯ ，∠3与⑰ 同旁内角—∠4与⑱ ，∠3与⑲【注意】对顶角是成对出现的，是具有特殊位置关系的两个角．2．垂线(1)性质：a ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； b ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑳ 最短． (2)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 3．垂直平分线垂直平分线(如图)⎩⎪⎨⎪⎧性质：⎭⎪⎬⎪⎫OP ⊥AB OA ＝OB 推出○21 ；逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的○22上.考点4 平行线的性质与判定平行公理经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相○23 平行线的性 质与判定同位角○24 判定性质 两直线平行；内错角○25 判定性质 两直线平行；同旁内角○26 判定性质 两直线平行平行线间的距离两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线上的垂线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线间的距离处处○27考点5 命 题1．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题． 2．假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．3．逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，可把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．强化演练基础练1．小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45 km，50 km，51 km(如图)．能解释这一现象的数学知识是()A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线2．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2.若D是线段AC的中点，则线段AD的长为()A．1 B．3 C．1或3 D．2或33．如图，将直尺与45°角的三角尺叠放在一起，则α与β之间的关系为()A．β＝90°－αB．β＝45°＋αC．β＝3αD．β＝180°－5α4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为()A．30°B．40°C．50°D．60°5．下列命题中，假命题是()A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心6．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是()A．30°B．35°C．40°D．45°7．如图，AB∥CD，CD⊥CF，若∠1＝130°，则∠2的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上．若∠1＝45°，则∠2为()A．15°B．25°C．35°D．45°9．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A,交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于()A．80°B．70°C．60°D．50°10．直线AB，BC，CD，EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是()A．AB∥CD B．∠EBF＝40°C．∠FCG＋∠3＝∠2 D．EF＞BE11．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是命题(填“真”或“假”)．强化练12．直线AB∥CD，点E是直线AB上一点，点F是直线CD上一点，且点A，C在直线EF同侧，点B，D在直线EF另一侧，点M是直线AB和CD之间的一点，若∠AEM＝2∠CFM，∠EMF＝150°，则∠CFM＝.提升练13．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为()A．40°B．50°C．60°D．80°参考答案考点清单①线段②MB③BC④AB⑤BC⑥90°⑦相等⑧180°⑨相等⑩等⑪平分线⑫∠3⑬∠8⑭∠5⑮∠8⑯∠6⑰∠5⑱∠5⑲∠6⑳垂线段○21P A＝PB○22垂直平分线○23平行○24相等○25相等○26互补○27相等强化演练1. A2. C3. A4. A5. C6. C7. B8. A9. B10. D11. 假12. 50°13. B。
人教版初中数学图形的性质相交线与平行线必考知识点归纳
(每日一练)人教版初中数学图形的性质相交线与平行线必考知识点归纳单选题1、如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°答案：A解析：分析：如图求出∠5即可解决问题．详解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°，故选A．点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2、下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是（）已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．证明：延长BE交※于点F，则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝◎+∠C．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．故AB∥CD（@相等，两直线平行）．A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB答案：C解析：利用邻补角的概念、等量代换及平行线的判定求解可得．证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC=180°−∠FEC=∠EFC+∠C．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB//CD（内错角相等，两直线平行）．所以※代表CD，◎代表∠EFC，▲代表∠EFC，@代表内错角，故选：C．小提示：本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握邻补角的概念、等量代换及平行线的判定．3、如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )A．∠α+∠β＝180°B．∠β﹣∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α+∠β＝90°答案：B解析：解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β，∵∠BCD=90°，∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°，∴∠β﹣∠α=90°，故选B．填空题4、如图，点D、E、F分别在△ABC的三边上，已知∠1=50°，DE//AC，DF//AB，则∠2=______．答案：50解析：先根据DE∥AC，∠1=50°求出∠A的度数，再由DF∥AB即可得出结论．解：∵DE∥AC，∠1=50°，∴∠A=∠1=50°，∵DF∥AB，∴∠2=∠A=50°．所以答案是：50．小提示：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行．同位角相等．5、如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．答案： 20 12 12解析：利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对；同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对，所以答案是：20；12；12．小提示：此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．。
2023年中考数学一轮复习+考点16++图形的初步认识
2023年中考数学一轮复习考点16图形的初步认识一、选择题1．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．B．C．D．2．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是（）A．线段有两个端点B．两条直线相交，只有一个交点C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线3．如图，AC＞BD，比较线段AB与线段CD的大小（）A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．无法比较4．一个正方体的表面分别标有百、年、峥、嵘、岁、月，下面是该正方体的一个展开图，已知“嵘”的对面为“岁”，则（）A．▲代表“岁”B．▲代表“月”C．★代表“月”D．◆代表“月”5．比较15.30°，15°30′，15.03°大小，正确的是（）A．15.30°＞15°30′＞15.03°B．15°30′＞15.30°＞15.03°C．15.30°＞15.03°＞15°30′D．无法比较6．如右图所示，请补充一个正方形，使其折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，则有（）种添加方法．A．3B．4C．5D．67．候鸟每年春天从南方向北方迁移，迁移过程中会有个别落单的情况，如图，从O处观测到候鸟群A位于北偏西50°的方向，落单的一只候鸟位于点B处，若∠AOB＝142°，则落单候鸟位于点O的（）A．北偏东12°的方向B．南偏东12°的方向C．北偏东22°的方向D．南偏东22°的方向8．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．正方体D．七棱柱9．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条10．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为（b﹣a）；乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为（a﹣b）；丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为（a+b）．A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人均不正确二、填空题11．如图，已知线段n与挡板另一侧的四条线段a，b，c，d中的一条在同一条直线上，请借助直尺判断该线段是_______.12．时钟的时针和分针成30°角的时刻是_______.13．由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为_______.14．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．结论正确的是_______.15．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D 四点，且AB＝BC＝CD，点P 沿直线l从左向右移动，当出现点P 与A，B，C，D 四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l 上会发出警报的点P有______个.三、解答题16．欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E 612面数F 458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F 之间有什么关系吗？请写出关系式：．17．比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC 与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．18．设∠α、∠β的度数分别为（2n+35）°和（n﹣5）°，且∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余．（1）求n 的值；（2）∠α与∠β能否互补，请说明理由．19．（1）如图，已知AD＝DB，E 是BC 的中点，BE＝AC＝3cm．①求BC 的长；②求DE 的长．（2）如图，O 为直线AB 上的一点，∠AOC＝48°，OD 平分∠AOC，∠DOE＝90°．①求∠BOD 的度数；②OE 是∠BOC的平分线吗？为什么？20．综合与探究【实践操作】在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B 在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC．【问题发现】（1）若∠AOC＝30°，则∠DOE 的度数为；（2）将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；（3）将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，请直接写出∠AOC 和∠DOE的度数之间的关系．参考答案一、选择题1~5ACBBB6~10BABAB二、填空题11.c12.1：0013.1114.①③15.5三、解答题16．解：（1）69126（2）V+F﹣E＝217．解：①用量角器度量∠ABC＝50°，∠DEF＝70°，即∠DEF＞∠ABC．②如图.把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC．18．解：（1）由∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余得∠α+∠γ＝180°，∠β+∠γ＝90°，所以∠γ＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠β，所以180°﹣∠α＝90°﹣∠β，因为∠α、∠β的度数分别为（2n+35）°和（n﹣5）°，所以180﹣（2n+35）＝90﹣（n﹣5），解得n＝50；（2）∠α与∠β互补，理由如下：∠α＝（2n+35）°＝135°，∠β＝（n﹣5）°＝45°，∵∠α+∠β＝180°，∴∠α与∠β互为补角．19．解：（1）①∵E是BC的中点，BE＝3cm，∴BC＝2BE＝6（cm），∴BC的长为6cm；②∵BE＝AC＝3cm，∴AC＝5BE＝15（cm），∵BC＝6cm，∴AB＝AC﹣BC＝9（cm），∵AD＝DB，∴DB＝AB＝×9＝6（cm），∴DE＝DB+BE＝9（cm），∴DE的长为9cm；（2）①∵∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∴∠1＝∠2＝∠AOC＝24°，∴∠BOD＝180°﹣∠1＝156°，∴∠BOD的度数为156°；②OE是∠BOC的平分线，理由：∵∠DOE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝180°﹣∠DOE＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴OE是∠BOC的平分线．20．解：（1）15°（2）∠AOC＝2∠DOE，理由如下：∵∠COD是直角，∴∠COD＝90°．∴∠COE＝90°﹣∠DOE．∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）＝180°﹣180°+2∠DOE＝2∠DOE，即∠AOC＝2∠DOE．（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE，理由如下：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOC＝180°﹣2∠COE，∵∠COD＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝∠DOE﹣90°，∴2∠COE＝2∠DOE﹣180°，∴∠AOC＝180°﹣（2∠DOE﹣180°），∴∠AOC＝360°﹣2∠DOE．。
中考数学考点总复习第16节图形的认识初步与相交线平行线试题新人教版1
图形的认识初步与相交线、平行线1．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( A )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,第1题图) ,第2题图) 2．(2016·黄冈)如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( C )A．35° B．45° C．55° D．65°3．(2016·枣庄)有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( C ) A．白 B．红 C．黄 D．黑4．(2016·凉山州)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝52°，则∠EGF等于( B )A．26° B．64° C．52° D．128°,第4题图) ,第5题图) 5．(2016·十堰)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝( B ) A．140° B．130° C．120° D．110°6．(导学号)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA ＝3，则PQ的最小值为( C )B．2 C．3 D．2 3,第6题图) ,第7题图) 7．(导学号)如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB＝4，DE＝2，则AC的长是( B )A．4 B．3 C．6 D．58．(2016·菏泽)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．,第8题图) ,第9题图)9．(2016·扬州)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝__80__°.10．如图，AB ＝12，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且AD ∶CB ＝1∶3，则DB 的长度为__10__．11．(2016·长沙)如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为__13__． ,第11题图) ,第12题图)12．(2016·西宁)如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝__2__．13．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2.他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上或点O 在AB 所在直线外时，原有结论“CD ＝2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由．解：原有的结论仍然成立，理由如下：(1)当点O 在AB 的延长线上时，如图①，CD ＝OC －OD ＝12(OA －OB )＝12AB ＝12×4＝2；(2)当点O 在AB 所在的直线外时，如图②，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，由三角形中位线定理可得CD ＝12AB ＝12×4＝2图① 图②14．(导学号 )平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n 个点最多可确定15条直线，则n 的值为__6__．15．(导学号 )(2015·泰州)如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝__140°__． ,)16．(导学号 )如图，AB ∥CD ，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB ，∠PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．,)解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD ；②∠APC ＝360°－(∠PAB ＋∠PCD )；③∠APC ＝∠PAB －∠PCD；④∠APC＝∠PCD－∠PAB.以①为例证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD。
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习含解析
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习含解析一、选择题1．如图，下列推理错误的是( )A．因为∠1＝∠2，所以c∥d B．因为∠3＝∠4，所以c∥dC．因为∠1＝∠3，所以a∥b D．因为∠1＝∠4，所以a∥b【答案】C【解析】分析：由平行线的判定方法得出A、B、C正确，D错误；即可得出结论．详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c∥d，故正确；根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c∥d，故正确；因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a∥b，故正确.故选：C.点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF ∥CD ，∴∠γ=∠DEF ，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．下列说法中，正确的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．垂于同一条直线的两条直线平行D ．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【详解】A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D 、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键．4．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC∥DE，故①正确；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC∥DE，AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．5．如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE【答案】D【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；B、∠A＝∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；C、∠C＝∠ABC只能判断出AB＝AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；D、∠A＝∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．6．如图，直线AB AC ⊥，AD BC ⊥，如果4AB cm =，3AC cm =， 2.4AD cm =，那么点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．2.4cmD ．无法确定【答案】A【解析】【分析】 根据点到直线的距离是指垂线段的长度，根据AB ⊥AC ，得出点C 到直线AB 的距离为AC ．【详解】解：∵AB ⊥AC ，∴点C 到直线AB 的距离是指AC 的长度，即等于3cm ．故选：A ．【点睛】此题考查点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．7．已知△ABC 中，BC=6，AC=3，CP ⊥AB ，垂足为P ，则CP 的长可能是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】A【解析】试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC ＜3，∴CP 的长可能是2，故选A ．考点：垂线段最短．8．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（）A．24°B．34°C．56°D．124°【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°，根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°．故答案选C.考点：平行线的性质.9．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据对顶角的定义，可得答案．【详解】解：由对顶角的定义，得D选项是对顶角，故选：D．【点睛】考核知识点：对顶角.理解定义是关键.10．下列结论中：①若a=b a b；②在同一平面内，若a⊥b，b//c，则a⊥c；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④|3-2|=2-3，正确的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①若a=b 0≥，则a =b②在同一平面内，若a ⊥b,b//c ，则a ⊥c ，正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离④|3-2|=2-3，正确正确的个数有②④两个故选B11．在下图中，∠1,∠2是对顶角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】略12．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置（30PNG ∠=︒），若75EMB ∠=︒，则PNM ∠的度数是（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】 根据75EMB ∠=︒，可以计算75END ∠=︒（两直线平行，同位角相等），又由75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，30PNG ∠=︒从而得到PNM ∠的度数.【详解】解：∵//AB CD ，∴75EMB EFD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），又∵30PNG ∠=︒，75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，∴753045PNM END PNG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为B.【点睛】本题主要考查了两直线平行的性质. 牢记知识点: 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；13．给出下列说法,其中正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；B ．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；C ．相等的两个角是对顶角；D ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．【答案】B【解析】【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．【详解】A 选项：同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；B 选项：强调了在平面内，正确；C 选项：不符合对顶角的定义，错误；D 选项：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．故选：B.【点睛】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．14．把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．82.5°【答案】C【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．【详解】如图，作直线l 平行于直角三角板的斜边，可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°，故∠1的度数是：45°+30°=75°，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．15．如图，//AB CD ，点E 在CD 上，点F 在AB 上，如果:6:7CEF BEF ∠∠=，50ABE ∠=︒，那么AFE ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】 由//AB CD 可得∠ABE+∠CEB=180°,∠BED=50ABE ∠=︒,即∠CEB=130°,由:6:7CEF BEF ∠∠=可得=67CEF BEF ∠∠,设=67CEF BEF ∠∠=k,则∠CEF=6k,∠FEB=7k,可得∠FEB=70°，可得∠DEF=∠FEB+∠BED=120°;又由//AB CD 可得AFE ∠=∠DEF 即可解答．【详解】解：∵//AB CD∴∠ABE+∠CEB=180°，∠BED=50ABE ∠=︒∴∠CEB=130°∵:6:7CEF BEF ∠∠= ∴=67CEF BEF ∠∠ 设=67CEF BEF ∠∠=k ，则∠CEF=6k,∠FEB=7k, ∴6k+7k=130°∴∠FEB=7k=70°∴∠DEF=∠FEB+∠BED=120°∵//AB CD∴AFE ∠=∠DEF=120°故答案为B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及比例的应用，.熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．16．如图所示，下列条件中，能判定直线a∥b的是（）A．∠1＝∠4 B．∠4＝∠5 C．∠3+∠5＝180°D．∠2＝∠4【答案】B【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A、∠1＝∠4，错误，因为∠1、∠4不是直线a、b被其它直线所截形成的同旁内角或内错角；B、∵∠4＝∠5，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．C、∠3+∠5＝180°，错误，因为∠3与∠5不是直线a、b被其它直线所截形成的同旁内角；D、∠2＝∠4，错误，因为∠2、∠4不是直线a、b被其它直线所截形成的同位角．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是区分同位角、内错角和同旁内角17．下列说法中不正确的是（）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点A．①B．②C．③D．④【答案】B【解析】【分析】依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．【详解】①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；故选B ．18．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（ ）①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=︒A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ，再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ，其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD ∥BC ，①正确；∴∠2+∠B=180°，④正确；∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB ∥CD ，③正确∴∠1=∠D ，∴∠D=∠B ，②正确故选：A【点睛】本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°，为证AB ∥DC 作准备.19．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=︒，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．【详解】∵AB AC =，且30A ∠=︒， ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒， 在ADE ∆中，∵1145A AED ∠∠∠=+=︒，∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒，∵//a b ，∴2AED ACB ∠∠∠=+，即21157540∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o故选B.。
中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题16 相交线与平行线(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题16 相交线与平行线考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
表示方法：如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．记作：a ⊥ b于点Ｏ．【注意事项】1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法：一落、二移、三画。
注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
注意：1、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典型例题】1．（2016·某某中考模拟）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角【答案】D【解析】因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；综上所述，D正确．故选D．2．（2018·某某中考模拟）有下列几种说法：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；④两条直线相交对顶角互补．其中，能两条直线互相垂直的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解析】①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．故选D.3．（2018·某某中考模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】在同一平面内，①过两点有且只有一条直线，故①正确；②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，综上所述，正确的有①③④共3个，故选C．4．（2019·某某中考真题）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度【答案】C【详解】点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选C.5．（2018·某某中考模拟）下列说法正确的是( )A．两点之间的距离是两点间的线段B．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直D．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】试题解析：A. 两点之间的距离是两点间的线段的长度，故此选项错误；B. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；C. 与同一条直线垂直的两条直线平行，故此选项错误；D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确.故选D.考查题型一垂线性质的应用方法1．（2017·某某中考模拟）如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（）.A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】C【解析】先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，然后可求得∠E=90°-50°=40°.故选：C2．（2018·某某中考模拟）如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（）A．70°B．50°C．40°D．35°【答案】B【解析】∵OE是∠BOC的平分线，∠BOC=80°，∴∠COE=12∠BOC=12×80°=40°，∵OD⊥OE∴∠DOE=90°，∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.故选B.3．（2015·某某中考模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45° C．55°D．65°【答案】C【解析】试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；故选C．4．（2019·某某中考模拟）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，则∠AOC的大小为（）A．25°B．35°C．65°D．115°【答案】A【详解】∵OE ⊥CD ，∠BOE ＝65°，∴∠BOD ＝90°﹣65°＝25°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝25°．故选A ．5．（2017·某某中考模拟）如图，//EF GH ，点A 在EF 上，{}|2 4 x x ≤≤分别交GH 于点B C 、，且AP AQ ⊥，035PBG ∠=，则FAC ∠的度数为（ ）A ．045B ．050C ．055D ．060【答案】C【解析】 试题解析：∵EF ∥GH ，∠PBG =35°，∴∠EAP =∠PBG =35°，∵AP ⊥AQ ，∴∠BAC =90°，∵∠EAP+∠BAC+∠FAC=180°，∴∠FAC =180°-∠EAP-∠BAC =180°-35°-90°=55°．故选C.．考查题型二 判断两条直线是否垂直1．（2018·某某正德中学中考模拟）如图，已知DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明：CD ⊥AB ．【答案】证明见解析.【解析】∵ DG ⊥BC ，AC ⊥BC （已知），∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换），∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.∵ EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直的定义），∴∠ADC=90°（等量代换）.∴ CD⊥AB（垂直的定义）．考察题型三利用垂线段最短，解决实际问题1．（2018·某某中考模拟）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．过一点只能作一条直线D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【详解】计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短，故选B．考查题型四相交线交点的判断1．（2013·某某中考真题）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有( )A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点【答案】C【解析】由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.由题意得六条直线最多有个交点，故选C.2．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是( )A．10 B．20 C．36 D．45【答案】D【详解】2条直线相交，只有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6个交点，…，n条直线相交，最多有12n n-（）个交点，n=10时，1092⨯=45．故选D．3．（2017·温江区期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（）A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2【答案】C【解析】分四种情况：①三条直线平行，有0个交点；②三条直线相交于同一点，有1个交点；③一条直线截两条平行线有2个交点；④三条直线两两相交有3个交点．故选C．知识点二相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
初三总复习第16课时__几何初步、相交线与平行线
真题再现
1．(2016长沙)图4.161中，∠1与∠2互为余角的 是( B )
真题再现
2．(2016怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA， PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是 (B) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
题型训练
互为补角；
B．同角(等角)的补角相等．
知识清单
4．角平分线的定义及其性质定理 (1)定义：以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分
成两个相等的角，那么这条射线叫做该角的平分线．如图，
已知OC平分∠AOB，则∠AOC＝_∠__B__O_C__＝ 1∠AOB. 2
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知 OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM＝___P_N____．
知识清单
(3)线段的中点：如图③，线段AB上的一点M，把线段
AB分成两条线段AM与MB. 如果AM＝MB，那么点
M就叫做线段AB的中点，此时有②__A__M__＝MB＝
1 2
AB，AB＝2AM＝2MB.
2．直线 (1)基本事实：经过两点有且只有一条直线． (2)直线没有长度，无法测量．
知识清单
考点2 角及角平分线
B．3条 C．4条
D．5条
题型训练
3．（2016洛阳二模）如图，计划把河水引到水池A中，先 作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠 道最短，这样设计的依据是__垂__线__段__最__短______．
题型训练
4．(2016酒泉一模)求证：三角形三条边的垂直平分线
交于一点．
解：已知：如答图，点O为边AB与CB的垂直平分线的
人教版初中数学图形的性质相交线与平行线知识汇总大全
(每日一练)人教版初中数学图形的性质相交线与平行线知识汇总大全单选题1、如图，不能判定AB∥CD的是（）A．∠B＝∠DCE B．∠A＝∠ACDC．∠B+∠BCD＝180°D．∠A＝∠DCE答案：D解析：利用平行线的判定方法一一判断即可．解：由∠B＝∠DCE，根据同位角相等两直线平行，即可判断AB∥CD．由∠A＝∠ACD，根据内错角相等两直线平行，即可判断AB∥CD．由∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AB∥CD．故A，B，C不符合题意，故选：D．小提示：本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1//l2//l3//l4且间距相等，AB=4，BC =3，则tanα的值为（ ）A ．38B ．34C ．√52D ．√1515答案：A解析：根据题意，可以得到BG 的长，再根据∠ABG ＝90°，AB ＝4，可以得到∠BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG ＝∠α，从而可以得到tanα的值．解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得GE ∥BF ，CE ＝EF ，∴△CEG ∽△CFB ，∴CE CF =CG CB ，∵CE CF =12，∴CG CB =12，∵BC ＝3，∴GB ＝32， ∵l 3∥l 4，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝BGAB =324=38，∴tanα的值为38，故选：A．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3、如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（）A．5对B．4对C．3对D．2对答案：A解析：根据互为余角的两个角的和等于90°和等角的余角相等解答．解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠AOC+∠2=90°，∠1+∠BOD=90°，∵∠1与∠2互余，∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOD，∠AOE=∠COD，∠BOE=∠COD，∴图中相等的角有5对．故选：A．小提示：本题考查了余角的定义和性质，熟记概念并准确识图是解题的关键，属中考常考题．填空题4、若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=40°，那么∠1=_____．答案：50°解析：根据对顶角相等以及余角的定义，即可求解．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，∵∠3与∠2互余，∴∠3+∠2=90°，∴∠3+∠1=90°，∵∠3=40°，∴∠1=50°．故答案是：50°．小提示：本题主要考查对顶角的性质以及余角的定义，掌握对顶角相等以及余角的定义，是解题的关键．5、如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．答案： 20 12 12解析：利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对；同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对，所以答案是：20；12；12．小提示：此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．。
中考数学单元复习图形的认识、线段、角、相交线与平行线
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【错因分析】忽略了直线平行的条件，题目并没有给出 a∥b，所以 a 和 b 可以相交， 此时不符合平行线三个性质的条件．
【解析】A ∵∠1 与∠2 是对顶角，∴∠1＝∠2. 直线 a、b 不一定平行，∴②③④不一定成立．
练习
1.如图，已知 a∥b，∠1＝65° ，则∠2 的度数为( )
)
A．17° B．34° C．56° D．68°
答案：D
3．下列选项中，可以用来证明命题“若 a2 >1，则 a>1”是假命题的反例是( A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝1 D．a＝2
)
答案：A
4． 如图，OP 平分∠MON， PA⊥ON 于点 A， Q 是射线 OM 上的一个动点．若 PA＝2， 点 则 PQ 的最小值为( )
知识点四
平行线
1．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线． 2．平行公理 经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 3．平行线的性质 (1)如果两条直线平行，那么同位角相等； (2)如果两条直线平行，那么内错角相等； (3)如果两条直线平行，那么同旁内角互补． 4．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫做平行线； (2)同位角相等，两直线平行； (3)内错角相等，两直线平行； (4)同旁内角互补，两直线平行．
中考单元复习
线段、角、相交线与平行线
1．如图，小明在操场上从 A 点出发，先沿南偏东 30°方向走到 B 点，再沿南偏东 60° 方向走到 C 点．这时，∠ABC 的度数是( )
A．120° B．135° C．150° D．160° 答案：C
2．如图，AB∥CD，BC 平分∠ABE，∠C＝34°，则∠BED 的度数为(
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习含答案解析
人教版初中数学相交线与平行线知识点总复习含答案解析一、选择题1．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：Q直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．2．如图所示，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤<1和∠3是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③④B．①②③④C．①②③④⑤D．①②④⑤【答案】D【解析】如图，①∠1和∠4是直线AC 和直线BC 被直线AB 截得的同位角，所以①正确；②∠3和∠5是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的内错角，所以②正确；③∠2和∠6是直线AB 和直线AC 被直线CB 截得的内错角，所以③错误；④∠5和∠2是直线AC 和直线BC 被直线AB 截得的同位角，所以④正确；⑤∠1和∠3是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的同旁内角，所以⑤正确.故答案选D.点睛：（1）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得，这其中的关键是辨别出截线，在截线的两旁的是内错角，在截线的同旁的为同位角或同旁内角；（2）辨别截线方法：先找出两角的边所在直线，公共直线即是截线.3．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．23∠∠=【答案】D【解析】【分析】 根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．【详解】A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ．【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义．4．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ）（1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=︒．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定逐一判定即可.【详解】因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误.因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确.因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确.因为180B BCD ∠+∠=︒，所以AB ∥CD ，故（4）正确.所以共有3个正确条件.故选B【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.5．如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p,q)为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 到l 1距离为2的直线有2条，到l 2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l 1，l 2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D ．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．6．如图，直线a ∥b ，直角三角开的直角顶点在直线b 上，一条直角边与直线a 所形成的∠1=55°，则另外一条直角边与直线b 所形成的∠2的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【答案】C【解析】如图所示：∵直线a ∥b ，∴∠3=∠1=55°，∵∠4=90°，∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2=180°-55°-90°=35°．故选C ．7．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.8．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．9．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l2，交∠1的边于一点，∵11∥l 2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．10．如图，BE 平分∠DBC ，点A 是BD 上一点，过点A 作AE ∥BC 交BE 于点E ，∠DAE=56°，则∠E 的度数为（ ）A ．56°B ．36°C ．26°D ．28°【答案】D【解析】 分析：根据平行线的性质，可得∠DBC=56°，∠E=∠EBC ，根据角平分线的定义，可得∠EBC=12∠DBC=28°，进而得到∠E=28°． 详解：∵AE ∥BC,∠DAE=56°，∴∠DBC=56°，∠E=∠EBC ，∵BE 平分∠DBC ， ∴∠EBC=12∠DBC=28°， ∴∠E=28°，故选D. 点睛：本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题的关键.11．如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，100BED ∠=︒，则BFD ∠的度数为（ ）A ．100°B ．130°C ．140°D ．160°【答案】B【解析】【分析】 连接BD ，因为AB ∥CD ，所以∠ABD ＋∠CDB ＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°；又因为BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，所以∠FBE ＋∠FDE ＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．【详解】连接BD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°，∴∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°，又∵BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，∴∠FBE ＋∠FDE ＝130°，∴∠BFD ＝360°−100°−130°＝130°，故选B ．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD 这条辅助线．12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.13．下列说法中不正确的是（ ）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B【解析】【分析】依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．【详解】①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点，正确；故选B ．14．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.15．如图，直线//,175a b ︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．75︒B ．85︒C ．95︒D ．105︒【答案】D【解析】【分析】 把2∠的对顶角标记为3∠，根据对顶角的性质得到2∠与3∠得关系，再根据直线平行的性质得到1∠与3∠得关系，最后由等量替换得到2∠得度数.【详解】解：如图，把2∠的对顶角标记为3∠，∵2∠与3∠互为对顶角，∴23∠∠=，又∵//a b ，175︒∠=，∴13180∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴12180∠+∠=︒（等量替换），∴2180118075105∠=︒-∠=︒-︒=︒故D 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的性质（两直线平行，同旁内角互补），学会运用等量替换原则是解题的关键.16．如图，小慧从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（ ）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.【详解】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE方向行走，∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，∴∠A=60°，∠1=20°，AM∥BN，CE∥AB，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.17．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．18．下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【详解】由题意得PQ⊥a，P到a的距离是PQ垂线段的长，故选C．【点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是解题关键．19．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是()A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b∥d时；②当b和d相交但不垂直时；③当b和d垂直时；即可得出a与c的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．20．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE P ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD Q ，D G ∴∠=∠，//BF DE Q ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠，BF Q 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．。
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图形的认识初步与相交线、平行线
1．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( A )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
,第1题图) ,第2题图) 2．(2016·黄冈)如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．(2016·枣庄)有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( C ) A．白 B．红 C．黄 D．黑
4．(2016·凉山州)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝52°，则∠EGF等于( B )
A．26° B．64° C．52° D．128°
,第4题图) ,第5题图) 5．(2016·十堰)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝( B ) A．140° B．130° C．120° D．110°
6．(导学号59042120)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( C )
A. 3 B．2 C．3 D．2 3
,第6题图) ,第7题图) 7．(导学号59042121)如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB＝4，DE＝2，则AC的长是( B )
A．4 B．3 C．6 D．5
8．(2016·菏泽)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2016·扬州)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝__80__°. 10．如图，AB ＝12，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且AD ∶CB ＝1∶3，则DB 的长度为__10__．
11．(2016·长沙)如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为__13__．
,第11题图) ,第12题图)
12．(2016·西宁)如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝__2__．
13．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2.他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上或点O 在AB 所在直线外时，原有结论“CD ＝2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由．
解：原有的结论仍然成立，理由如下：(1)当点O 在AB 的延长线上时，如图①，CD ＝OC －OD ＝12(OA －OB )＝12AB ＝12
×4＝2；(2)当点O 在AB 所在的直线外时，如图②，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，由三角形中位线定理可得CD ＝12AB ＝12
×4＝2
图① 图②
14．(导学号 59042122)平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n 个点最多可确定15条直线，则n 的值为__6__．
15．(导学号 59042123)(2015·泰州)如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝__140°__．
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16．(导学号 59042124)如图，AB ∥CD ，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB ，∠PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
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解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD ；②∠APC ＝360°－(∠PAB ＋∠PCD )；③∠APC ＝∠PAB －
∠PCD；④∠APC＝∠PCD－∠PAB.以①为例证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD。