高中数学第1章1.3全称量词与存在量词1.3.1量词讲义(含解析)苏教版选修2_1

1．3.1 量词[对应学生用书P12]全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x>5.(2)对任意一个x(x∈Z)，3x＋1是整数．问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x>5；(2)对所有的整数x,3x＋1必定是整数．全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示∀x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x＋1＝7.(2)至少有一个x∈Z，使x能被3和4整除．问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x＋1＝7；(2)存在一个整数Z，满足能被3和4整除．存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“∃x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．[对应学生用书P12]全称命题、存在性命题的判断[例1] 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a>0且a≠1，则对任意x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)存在实数x，使得x2＋1<0.[思路点拨] 分析每一个命题中的量词，再判断．[精解详析] (1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．[一点通]判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤：(1)判断此语句是否为命题；(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．1．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是存在性命题．答案：①②③④2．判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数；(7)每个二次函数的图像都与x轴相交．解：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题．(4)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．(7)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题.全称命题、存在性命题的表述[例2] 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用量词符号“∀”，“∃”表述：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x，满足x2＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解详析] (1)全称命题：∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在性命题：∃x∈Q，x2＝3.(3)全称命题：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一点通] 准确理解全称命题和存在性命题的概念，熟练应用常用的全称量词和存在量词．任何一个全称命题和存在性命题都有多种表述方式，但用符号“∀”“∃”表述却很规范，就是一般式．全称命题：∀x∈M，p(x)；存在性命题：∃x∈M，p(x)．3．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.解：(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)∃x∈R，有2x＋1＞0.(4)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.全称命题和存在性命题真假的判断[例3] 判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假：(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；(4)存在实数x，使1x2－x＋1＝2.[思路点拨] 应先分清所给命题是全称命题还是存在性命题，再判断真假．[精解详析] (1)是一个存在性命题，是假命题；(2)是一个全称命题，是假命题；(3)是一个全称命题，是假命题；(4)是一个存在性命题，是假命题．[一点通]1．全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个元素x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在性命题的真假判断：要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．4．给出下列命题：①∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ；②∀x ∈R,3x>0；③∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ④∃x ∈R ，lg x ＝0.其中为真命题的是________．(填入所有真命题的序号)解析：①中，由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x >0,0<cos x <1，所以tan x －sin x ＝sin x cos x －sin x ＝sin x (1－cos x )cos x>0，所以①是真命题；②中，函数y ＝3x，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以②是真命题；③中，函数y ＝sin x ＋cos x ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R 的值域是[－2，2]，又2∉[－2， 2 ]，所以③是假命题；④中，由于lg 1＝0，所以④是真命题． 答案：①②④5．判断下列全称命题的真假． (1)所有的素数是奇数； (2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数．解：(1)2是素数，但不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)∀x ∈R ⇒x 2≥0⇒x 2＋1≥1.所以，全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．6．分别判断下列存在性命题的真假： (1)有些向量的坐标等于其起点的坐标； (2)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2. 解：(1)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＝x 1，y 2－y 1＝y 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1.如A (1,3)，B (2,6)，AB u u u r＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意．(2)假命题．由于sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为2，所以不存在实数x ，使sin x －cos x ＝2.1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．3．要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题．[对应课时跟踪训练(五)]1．下列命题： ①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行； ③有的三角形的三个内角成等差数列； ④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号) 解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题． 答案：②④ ①③2．下列命题中的假命题是________． ①∀x ∈R,2x －1>0；②∀x ∈N *，(x －1)2>0； ③∃x ∈R ，lg x <1； ④∃x ∈R ，tan x ＝2.解析：对②，x ＝1时，(1－1)2＝0，∴②假． 答案：②3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0： ____________________________________________； (2)存在一对实数，使3x －2y ＋1≥0成立： _________________________________. 答案：(1)∀x ∈R ，x 2≥0 (2)∃x ∈R ，y ∈R,3x －2y ＋1≥04．命题“∀x ∈R ＋，2x ＋1x＞a 成立”是真命题，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈R ＋，∴2x ＋1x≥22，∵命题为真，∴a ＜2 2. 答案：(－∞，22)5．已知“∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，不等式为1>0， 对∀x ∈R,1>0成立．当a ≠0时，若∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.综上，a 的取值范围为[0,1)． 答案：[0,1)6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假： (1)对任意x ∈R ，z x＞0(z >0)；(2)对任意非零实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则1x 1>1x 2；(3)∃α∈R ，使得sin(α＋π3)＝sin α； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋1＝0.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． (1)∵z x＞0(z >0)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝－1，x 2＝1，x 1＜x 2，但1x 1<1x 2，∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sin α成立，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1＞0，∴命题(4)是假命题． 7．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3.解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34>12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1>12⇔x 2－x ＋12>0，由于Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式x 2－x ＋1>12的解集是R ，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题．8．(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R . ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－ 2.又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立． ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2， 2 ]，又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解． ∴只要m <2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。