高中数学复习学(教)案(第11讲)指数函数与对数函数

题目第二章函数指数函数和对数函数 高考要求1理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2掌握指数函数的概念、图像和性质3理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 知识点归纳1根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n=a②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥0()0(a a a a⑶根式的基本性质：n m npm p a a =，（a ≥0） 2分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3 )10(≠>=a a a y x且的图象和性质4指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔=5重要公式： 01log =a ，log =a a 对数恒等式N aNa =log6对数的运算法则如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=- log log n m a a mM M n =7对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)8两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a, b > 0且均不为1） 9对数函数的性质：10同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数11指数方程和对数方程主要有以下几种类型： (1) a f(x)=b ⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b ⇔f(x)=a b ; （定义法） (2) a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法） (3) a f(x)=b g(x)⇔f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法) (4) l og a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)题型讲解例1 计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg2)lg2lg50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=++-⨯=-=（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)=++=+=（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=例2 已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴22332224721833x x x x--+--==-+-例3 已知35abc ==，且112a b+=，求c 的值 解：由3ac =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a=； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b+= 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c=，∴215c =，∵0c >，∴c =例4 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t-+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =，∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-例5 设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b +-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab+-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=， ∴30a b c -++=……………①由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =例6 （1）若21a b a >>>，则l og bba，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235xyz==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；（3）设0x >，且1x xa b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ ）A 1b a <<B 1a b <<C 1b a <<D 1a b <<解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b ba<log b a 1<<log a b （2）令235x y zt ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg5tz =， ∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<（3）取1x =，知选B例8 已知函数2()1xx f x a x -=++(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根证明：（1）设121x x -<<， 则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；∵121x x -<<，且1a >，∴12x xa a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 另法：∵1a >，(1,)x ∈-+∞ ∴223()()ln 01(1)xx x f x a a a x x -''=+=+>++ ∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201xx a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+, 而由1a >知01x a < ∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a > ∴①式不成立综上所述，方程()0f x =没有负数根例9 已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0证明：（1）由10x a ->得：1xa >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <， 则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a ax a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12011x xa a <-<-，∴121011x xa a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121xx a a>>，∴12110x xa a ->->，∴12111x xa a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k > ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0学生练习１合{} ,16,9,4,1=P ，若P a ∈，P b ∈，则P b a ∈⊕，则运算⊕可能是（ ）(A)加法 (B)减法(C) 除法 (D)乘法２已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7 ３某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)４定义两种运算：a b ⊕=，a b ⊗=，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数 函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+ （B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+ （D ）(1)(2)f a f b +>+6如图，指出函数①y=a x;②y=b x;③y=c x;④y=d x的图象，则a,b,c,d 的大小关系是A a<b<1<c<dB b<a<1<d<cC 1<a<b<c<dD a<b<1<d<c7若log x 3>log y 3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )A 3/1-x<y –1/3 B y x -)31<3x –yC x -1)31(<31–yD x-1)31(>31–y8已知函数f(x)=lg(a x –b x )(a,b 为常数，a>1>b>0),若x ∈ (1,+∞)时，f(x)>0恒成立，则( )A a –b ≥1B a –b>1C a –b ≤1D a=b+1 9如图是对数函数y=log a x 的图象，已知a 取值3,4/3,3/5,1/10,则相应于①, ②, ③, ④的a 值依次是 10已知y=log a (2–ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是11已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ，且正数C 为常数对于任意的D x ∈1，存在一个D x ∈2，使()()C x f x f =21，则称函数)(x f y =在D 上的均值为C 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____12设函数f(x)=lg 3421xx a ∙++,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时，f(x)有意义，求a 的取值范围13 a 为何值时，关于x 的方程2lgx –lg(x –1)=lga 无解？有一解？有两解？ 14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低005元，则可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？ 15已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：源头学子小屋 http://www xjktyg com/wxc/ wxckt@126com 第10页 共12页 （1）对于任意x ∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+ （Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x ，都有f(x)≤2x16 设a 、b 为常数，F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a +（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当M x f ∈)(0时，M t x f x f ∈+=)()(01，这里t 为常数； （3）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？参考答案：１D ２D ３C ４A ５D 6B 7D 8A9 3,4/3,3/5,1/10, 10 (1,2)119)(=x f ，x e x f 9)(=， xa x f sin 9)(=（10≠<a ）12 a ≥–3/413 0<a<4时，无解；a=4时，方程有一解；a>4时，方程有两解 1445015（I ）令021==x x ，依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0 又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0（Ⅱ）任取1021≤<≤x x ，可知]1,0(12∈-x x , 则)()(])[()(1121122x f x x f x x x f x f +-≥+-=, 即0)()()(1212≥-≥-x x f x f x f ，故)()(12x f x f ≥ 于是当0≤x ≤1时，有f(x)≤f(1)=1 因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，（Ⅲ）证明： 研究①当]1,21(∈x 时，f(x) ≤1<2x ②当]21,0(∈x 时，首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴2(21)(x f x f ≤显然，当]21,21(2∈x 时， 21)1(21)212(21)21()(=⋅=⋅⋅≤≤f f f x f 成立 假设当]21,21(1k k x +∈时，有k x f 21)(≤成立，其中k ＝1，2，… 那么当]21,21(12++∈k k x 时，111212121)21(21)212(21)21()(+++=⋅≤⋅=⋅⋅≤≤k k k k k f f f x f 可知对于]21,21(1n n x +∈，总有n x f 21)(≤，其中n=1，2，… 而对于任意]21,0(∈x ，存在正整数n ，使得]21,21(1n n x +∈， 此时x x f n 221)(≤≤, ③当x=0时，f(0)=0≤2x 综上可知，满足条件的函数f(x)，对x ∈[0，1]，总有f(x) ≤2x 成立 16 (1)假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同，即 x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立 特别令x =0，得a =c ；令2π=x ，得b=d 这与（a ，b ），（c ，d ）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同函数 （2）当M x f ∈)(0时，可得常数a 0，b 0，使x b x a x f s i n cos )(000+=)()(01t x f x f +=)sin()cos(00t x b t x a +++=x t a t b x t b t a sin )sin cos (cos )sin cos (0000-++=由于t b a ,,00为常数，设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数从而M x n x m x f ∈+=sin cos )(1（3）设M x f ∈)(0，由此得x n x m t x f sin cos )(0+=+（t b t a m sin cos 00+=其中，t a t b n sin cos 00-=）在映射F 下，)(0t x f +的原象是（m ，n ），则M 1的原象是},sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+=消去t 得202022b a n m +=+，即在映射F 下，M 1的原象}|),{(202022b a n m n m +=+是以原点为圆心，2020b a +为半径的圆 课前后备注。