山西省永济中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

山西省永济中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.1.设命题p ：22≥，命题q ：{1}{0,1,2}⊆，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∨⌝【答案】A 【解析】 【分析】判断命题,p q 的真假，然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则，对四个选项逐一判断，选出正确的答案.【详解】∵命题p 为真，命题q 也为真，∴p q ∧为真,故本题选A.【点睛】本题考查了复合问题的真假判断. “且”命题的真假判断原则是见假就假，要真全真，“或”命题的真假判断原则是见真则真，要假全假.2.与直线1l ：10x -=垂直且过点(-的直线2l 的方程为（ ）A. 023=--y x 0y +=C. 40x --= 0y +-= 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线1l 的斜率，然后求出与其垂直的直线2l 的斜率，利用点斜式可得直线2l 的方程，化为一般式，最后选出正确答案.【详解】∵直线1l ：10x --=，∴与其垂直的直线2l 的斜率为据点斜式可得直线2l 的方程为1)y x -=+0y +=.【点睛】本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用.3.命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是（ ） A. x R ∀∈，x x 22=B. 0x R ∃∉，2002x x = C. 0x R ∃∈，2002x x ≠D. 0x R ∃∈，2002x x =【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.【详解】根据全称命题的否定的原则，命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是0x R ∃∈，2002x x =，故本题选D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，改量词，否定结论是关键.4.下列导数运算正确的是（ ） A. 211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B. (sin )cos x 'x =- C. (3)'3xx= D. 1(ln )x '=x【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴A 错；∵'(sin )cos x x =，∴B 错；∵'(3)3ln 3x x=，C 错；D 正确.【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.5.下列命题中，假命题．．．的是（ ） A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交. B. 平行于同一平面的两条直线一定平行.C. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.D. 若直线l 不平行于平面α，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的定义、性质定理，面面垂直性质定理，四个选项逐一判断.【详解】选项A: 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交， 则必与另一个平面相交，所以l 与β相交；选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面； 选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题，故本题选B.【点睛】本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定，考查了判断命题真假的问题，考查了反证法.6.曲线191622=+y x 与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C 【解析】 【分析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.【详解】曲线191622=+y x 表示椭圆，焦距为2c ==，当916k <<时，曲线221169x y k k+=--表示双曲线，焦距为2c ===，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.【点睛】本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，,,a b c 之间的关系.7.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）C. 2或 D.2或26-【答案】D 【解析】由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为)0,0(，半径1=r .因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即d ==，解得m =或m =，故选D.8.若双曲线221y x m-=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 3C. D. 【答案】B 【解析】 分析】求出抛物线212y x =的准线，这样可以求出m 的值，进而可以求出双曲线的离心率. 【详解】∵抛物线212y x =的准线方程为12y =-，∴14m =，则离心率2e ==，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.9.设不同直线1l ：210x my --=，2l ：(1)10m x y --+=，则“2m =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．10.设函数321()(2)3f x x a x ax =+-+，若函数()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B. y x =- C. 2y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】由函数()f x 为奇函数，可以求出a 的值，求出函数的导数，可以求出曲线的切线的斜率，最后求出切线方程.【详解】∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-⇒2a =，即31()23f x x x =+.又∵'(0)2f =，∴切线的方程为2y x =.【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了求曲线的切线方程.11.矩形ABCD 中，32=AB ，2=BC ，沿AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD -，当四面体A BCD -的体积取最大值时，四面体A BCD -的表面积为（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】在矩形ABCD 中，沿AC 将三角形ADC 折起，当平面ADC ⊥平面ABC 时，得到的四面体A BCD -的体积取到最大值，作21，可以求出DE 的大小,这样通过计算可以求出四面体A BCD -的表面积.【详解】在矩形ABCD 中，沿AC 将三角形ADC 折起，当平面ADC ⊥平面ABC 时，得到的四面体A BCD -的体积取到最大值，作21，此时点D 到平面ABC 的距离为AD DC DE AC ⨯===，∵4AC =，∴21AD AE AC ==，∴3CE =，作EF AB ⊥，EG BC ⊥，由A E F A C∆∆，可得12EF =，∴DF =，∴12ADBS ∆=⨯=同理可得，122DBC S ∆=⨯=∴四面体A BCD -的表面积为ACD ABC ABD BDC S S S S S ∆∆∆∆=+++=.【点睛】本题考查了三棱锥的表面积，考查了数学运算能力.12.已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. ,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (,]e -∞D. (,)e -∞【答案】A 【解析】 【分析】由已知(0,)x ∈+∞，21x x >，()()01221<-x x f x x f ，可以变形为()()1122x f x x f x <，可 以构造函数2()()xg x xf x e ax ==-，可知函数2()()xg x xf x e ax ==-是增函数，故'()20xg x e ax =-≥，常变量分离，x e a x 2≤，设()2xh x xe =，求导，最后求出()h x 的最小值，最后求出实数a 的取值范围.【详解】∵()()01221<-x x f x x f 且(0,)x ∈+∞，∴当21x x >时，()()1122x f x x f x <，即函数()xf x 在(0,)+∞上是一个增函数.设2()()x g x xf x e ax ==-，则有'()20x g x e ax =-≥，即x e a x 2≤，设()2x h x x e =，则有2(1)'()2xx e h x x-=，当(0,1)x ∈时，0)('<x h ，()h x 在(0,1)上单调递减，当),1(+∞∈x 时，0)('>x h ，()h x 在(1,)+∞上单调递增，()h x 在1x =处取得最小值，2)1(e h =，∴2ea ≤. 【点睛】本题考查了利用导数，根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式，构造函数，利用新函数单调性，求出最值，是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为__________． 【答案】“若1x ≠且2≠x ，则2320x x -+≠”. 【解析】 【分析】若原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝.”【详解】因为若原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝.” 所以命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2≠x ，则2320x x -+≠”.【点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系. 14.曲线1ln 2+=x y在点(1,1)处切线的斜率为__________．【答案】2. 【解析】 【分析】求导，把1x =代入导函数中，直接求出在点(1,1)处切线的斜率. 【详解】∵112'2x x y x====，∴2k =切.【点睛】本题考查了导数的几何意义，求曲线的切线斜率.15.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，AB AC ==12AA =，则点A 到平面11A BC 的距离为__________．【答案】332. 【解析】 【分析】法一：由已知可以证明出平面11C A B ⊥平面11AA B B ，通过面面垂直的性质定理，可以过A 作1AG A B ⊥，则AG 的长为A 到平面11A BC 的距离，利用几何知识求出AG ;法二:利用等积法进行求解.【详解】法一：∵1111C A A B ⊥，111C A AA ⊥，∴11C A ⊥平面11AA B B ， 又∵11C A ⊂平面11C A B ，平面11C A B ⊥平面11AA B B . 又∵1A B =平面11C A B平面11AA B B ，∴过A 作1AG A B ⊥，则AG 的长为A 到平面11A BC 的距离， 在1Rt AA B ∆中，113AB AA AG A B ⨯===.法二：由等体积法可知1111A A BC B AA C V V --=，解得点A 到平面11A BC 的距离为.【点睛】本题考查了点到面距离，一般方法是通过几何作图，直接求出点到面的距离，另一种方法是利用等积法进行求解，通过二种方法的比较，后一种方法更方便些.16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且12AF F ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．1. 【解析】 【分析】通过2AF 垂直于x 轴,可以求出22bAF a=，由已知12AF F ∆为等腰三角形，可以得到212F F AF =，结合,,a b c 的关系，可以得到一个关于离心率e 的一元二次方程，解方程求出离心率e .【详解】∵2AF 垂直于x ，∴可得22bAF a=，又∵12AF F ∆为等腰三角形，∴212F F AF =，即22b c a=，整理得2210e e +-=，解得1e =.【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知p ：对任意的实数k ，函数2()log ()f k k a =-（a 为常数）有意义，q ：存在实数k ，使方程22113x y k k+=+-表示双曲线.若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】1a <-. 【解析】 【分析】求出函数2()log ()f k k a =-的定义域；方程22113x y k k+=+-表示双曲线，可以求出k 的取值范围，进而可以求出q ⌝是成立时，k 的取值范围，根据已知q ⌝是p 的充分不必要条件，可以求出实数a 的取值范围. 【详解】由p 可得k a >，由q 知22113x yk k+=+-表示双曲线，则(1)(3)0k k +-<，即1k <-或3k >，∴q ⌝：[1,3]k ∈-.又∵q ⌝是p 的充分不必要条件， ∴1a <-.【点睛】本题考查了已知充分不必要性，求参问题，关键是对充分不必要条件的理解.18.已知圆C ：22240x y x y +-+=.（1）若直线l ：20x y t -+=与圆C 相切，求t 的值；（2）若圆M ：222(2)(4)x y r ++-=与圆C 相外切，求r 的值.【答案】(1) 0t =或10t =-.(2) r =. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出t 的值；（2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出r 的值.【详解】（1）由圆C 的方程为22240x y x y +-+=，即22(1)(2)5x y -++=，∴圆心(1,2)C -又∵直线l ：20x y t -+=与圆C 相切，∴圆心C 到直线l 的距离d ==55t +=，解得0t =或10t =-.（2）由题得，圆心)4,2(-M ，因为圆M 与圆C 相外切， 所以CM r =，又∵CM =，∴解得r =.【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力.19.已知抛物线C ：22(0)y px p =>.（1）若直线20x y --=经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；（2）若斜率为-1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当2AB =时，求抛物线C 的方程.【答案】(1) 2x =-.(2) 2y x =. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线20x y --=与横轴的交点坐标就是抛物线C 的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1经过抛物线C 的焦点F 的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出AB ，结合已知2AB =，求出的值，写出抛物线的方程.【详解】(1)∵直线20x y --=经过抛物线C 的焦点， ∴抛物线C 的焦点坐标为(2,0)， ∴抛物线C 的准线方程为2x =-.（2）设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为2py x =-+，且直线与C 交于，，由222p y x y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩化简得22304p x px -+=，∴.∵1242AB x x p p =++==，解得12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.20.已知函数2()2ln f x x ax =-.（1）若1a =，证明：()10f x +≤； （2）当1a e=时，判断函数()f x 有几个零点. 【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）1a =时，对函数2()2ln f x x ax =-求导，求出函数的最大值，这样就可以证明出()10f x +≤；（2）当1a e=时，对函数2()2ln f x x ax =-求导，列表求出函数的单调性与极值，根据单调性和极值情况，可以判断出函数()f x 的个数.【详解】（1）当1a =时，2()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞.()22122(1)(1)'()2x x x f x x x xx--+=-==.∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-，即当(0,)x ∈+∞，1)(-≤x f ， ∴(0,)x ∈+∞时，()10f x +≤. （2）当1a e=时，21()2ln f x x x e =-，(0,)x ∈+∞.∴()2222'()e x f e x x x ex-=-==.∵210ef==，∴函数()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.∴当1a e=时，函数()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆经过点(0,2)B ，且离心率为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 是圆2212x y +=上任意一点，由M 引椭圆C 的两条切线MA ，MB ，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.【答案】(1) 14822=+y x .(2)见解析.【解析】 【分析】（1）由椭圆经过点(0,2)B ，可以求出b 的值，，可知,a c 的关系，结合,,b a c 之间的，可以求出,,ba c 的值，这样就求出椭圆的标准方程；（2）设00(,)M x y ，且220012x y +=.点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00x x k y y -=-，与椭圆方程联立，让根的判断式为零，得到一个关于k 的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以证明出两条切线斜率的积为定值.【详解】（1）由题意得22222c a a b c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得28a =，24b =.∴椭圆C 的标准方程为14822=+y x .（2）设00(,)M x y ，且220012x y +=.由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00x x k y y -=-，联立()0022184y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()()()2220000124280k x k y kx x y kx ++-+--=.∵直线与椭圆相切， ∴()()()22200004412280k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，化简得()22200008240x k x y k y --+-=.∴2200122200448128y y k k x y --⋅==---202414y y -==--. ∴两条切线斜率的积为定值.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，椭圆的切线方程，以及利用方程的根与系数关系证明两条切线斜率乘积为定值问题.22.已知函数()2()1xf x x ax e =--. （1）若1a =，求函数()f x单调区间；（2）当0a ≥时，若函数()()2xg x f x e =+在1x =处取得极小值，求函数()g x 的极大值. 【答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(2,1)-.(2)4e. 【解析】 【分析】（1）求导，让导函数等于零，求出零点，列表判断出函数的单调性；（2）求导，根据a 的取值不同，进行分类讨论，列表，根据函数的单调性，求出极大值. 【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =--.()2'()2(2)(1)x x f x x x e x x e =+-=+-.∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(2,1)-. （2）由题意得()2()1e xg x x ax =-+，则2'()(2)(1)xg x x a x a e ⎡⎤=----⎣⎦(1)[(1)]xx x a e =+--.∵0a ≥，∴当0a =时，11a -=-，即()g x 在R 上单调递增，无极值，∴不符合题意，舍去； 当0a >时，11a ->-，则有∴令11a -=，解得2a =，∴函数()g x 在1x =-处取得极大值，且极大值为14(1)(1)2g f ee--=-+=. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，分类讨论是解题的关键.。