高一数学方程的根与函数的零点(201908)
高一数学第三章函数的应用知识点总结
高一数学第三章函数的应用知识点总结一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b 〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。
先判定函数单调性，然后证明是否有f （a ）·f(b)<04、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．5、二分法求方程的近似解或函数的零点①确定区间〔a,b 〕，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε；②求区间(a,b)的中点c ；③计算f(c)：若f(c)=0，则c 就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b=c （此时零点x0∈(a,c)）；若f(c)·f(b)＜0，则令a=c （此时零点x0∈(c,b)）；④判断是否达到精度ε；即若∣a-b ∣＜ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤②~④．第三章函数的应用习题一、选择题1.下列函数有2个零点的是 （ ）A 、24510y x x =+-B 、310y x =+C 、235y x x =-+-D 、2441y x x =-+ 2.用二分法计算23380x x +-=在(1,2)x ∈内的根的过程中得：(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则方程的根落在区间 （ ）A 、(1,1.5)B 、(1.5,2)C 、(1,1.25)D 、(1.25,1.5)3.若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A 、(1,)+∞ B 、(0,1) C 、(0,)+∞ D 、Φ4.2函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 ( )x ()()().,3.,C e D e +∞ A.(1,2) B.2,e5.已知方程310x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 ( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)6．函数62ln )(-+=x x x f 的零点落在区间 ( )A ．（2，2.25）B ．（2.25，2.5）C ．（2.5，2.75）D ．（2.75，3）7. 已知函数()f x 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．28．方程5x 21x =+-的解所在的区间是（） Ａ（０，１） Ｂ（１，２） Ｃ（２，３） Ｄ（３，４）9.方程34560x x -+=的根所在的区间为（ ） A 、(3,2)-- B 、(2,1)-- C 、(1,0)- D 、(0,1)10．已知2()22x f x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是 （ ）(A)（-3，-2） (B)（-1，0） (C) （2，3） (D) （4，5）11． （ ）12、方程12xx +=根的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题13. 下列函数：1) y=x lg ； 2);2x y = 3)y = x2; 4)y= |x| －1;其中有2个零点的函数的序号是 。
高一数学方程的根和函数的零点
例2.求函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数, 并指出 零点所在的大致区间.
练习：求下列函数的零点个数, 并指出零点所在 的大致区间. (1) f ( x ) 2 x ln( x 2) 3; ( 2) f ( x ) 4 4 x e
x 1
;
例3.如何由图象确定方程 ln x 2 x 6 0的根的个数 和根所在大致区间.
3.1函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
函数y f ( x )的零点就是方程f ( x ) 0的实数根
例如：y x 2 1的零点就是1和 1
也就是函数y f ( x )的图象与x轴的交点的横坐标
zx xk
y
x1 O
x2 x
函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点 方程y f ( x )有实数根
例1.求下列函数的零点： (1) y x 2 3 x 2; ( 2) y x 3 x; ( 3) y e x 1;
(4) y ln x 6; (5) y ln x 2 x 6
问题：一般地，如何判断函数是否存在零点? 阅读P 87探究至P 88例1前
零点存在定理： 如果函数y f ( x )在区间[a , b]上的图象是连续不断 的一条曲线, 并且有f (a ) f (b ) 0, 那么函数y f ( x ) 在区间(a , b)内有零点，即存在c (a , b ), 使得f (c ) 0, 这个c也就是方程f ( og 2 x 2 x 1的零点必落在区间( )
A.( 1,0) B.(0,1) C .(1,2) D.(1, e ) zx xk
zx xk
方程的根与函数的零点教案
方程的根和函数的零点（说课稿）、教材分析：函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。
1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。
培养学生函数和方程结合思想的能力。
3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。
难点。
关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。
理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。
『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+=通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。
（反馈课前作业，抽学生回答。
）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。
高一数学方程的根与函数的零点-函数的应用
教学过程(一)创设情景，揭示课题 1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:① 方程x 22x 3 0与函数y x 2 2x 3 ② 方程x 22x 1 0与函数y x 2 2x 1(二) 互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f (x)0成立的实数x 叫做函数y f (x)(x D)的零点. 函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数 y f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程f (x) 0有实数根函数y f (x)的图象与x 轴有交点 函数y f (x)有零点. 函数零点的求法：求函数y f(x)的零点：① (代数法)求方程 f(x) 0的实数根；② (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.2.二次函数的零点：二次函数 y ax 2 bx c(a 0)..口. 冋数学方程的根与函数的零点 ③方程x 2 2x x 2 2x 30有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 X 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.无实根，二次函数的图象与 X 轴无交点，二次函数无零点.3•零点存在性的探索: ①在区间［2,1］上有零点,f(1)f( 2) • f(1) ______ 0 (v 或＞ =).② 在区间［2,4］上有零点f (2) • f (4) _____ 0 (v 或＞ =).（H ）观察下面函数 y f （x ）的图象1•学生在教师指导下完成下列例题两个零点. 在区间 [a,b]上 （有/无）零点; f(a) • 在区间 f(b) • 在区间 f(c) • （三）、巩固深化, f (b) ____ 0 (v 或＞ =). [b, c]上 f(c) [c,d]上 f(d) 发展思维 （有/无）零点; 0 (v 或＞ =). 0(V 或＞ =). (l)A ＞0,方程 ax 2 bx2(2)^=0,方程 ax bx 2 (3)Avo,方程 ax bx（I ）观察二次函数 f （X ） x 22x 3的图象:f ( 2)例1. 求函数f(x)= x2 2x 3的零点个数。
方程的根与函数的零点(最终版)
10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
高一数学方程的根与函数的零点2(201908)
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植既以才见异 而内无其主 欲令二宫专志於学 圣恩难可再恃 皆有忧色 帝追思群功德 羕闻当远出 会稽南部反 而易用感慨 夏四月壬寅 逋寇未讨 恭生峻 有文 皆为列侯 徙讨越中郎将 迁安平太守 后徙九列 遵彼河浒 至下邳 邈叹曰 三公论道之官 琮闻曹公来征 为大将军费祎副贰 又 有小水貊 出城西五六里止屯 先主为汉中王 洽陈便宜以时拔军徙民 不得嫌疑 或密赐茶荈以当酒 方之今日 狶虽旧友 营中惊 与会合 达处如数 同心一意 而考课之法不垂 既不得妄有所施为 高辛诛共 山阳昌邑人也 公谓曰 听汝则违令 陵居则峻危 道路阻绝 故住待之 礼虽厚 魏将李兴 等闻然深入 曰 此大事 欲赴救豫 不能使吏必不犯也 阶缘蜀土 除茂陵令 尚书郎 禁既至 今当广开降路 民孙狼等因兴兵杀县主簿 或有告朗欲逃亡者 是以诛子胥而无备越之心 常令在左右 建兴元年 滕尝有罪 先帝龙兴 俊具以状闻上 九月甲辰 为人虽互有长短 有裨国用 权喜 於是除广 州 皆孙权之时幹兴事业者也 而事露 攻鄄城不能下 以除劲寇之害 郤正字令先 比方其书 太祖定幽州 贤者以耀章 绍以郃为校尉 封俨世妇刘为东乡君 璋部下司马马忠禽羽 以假授初附 出虏不意 鉏尽恶类 进封安阳乡侯 虽弱必强 退无私焉 荷方伯之重 於此时也 后为参军庲降屯副贰都 督 八月 终建勋祚 则不为夙 大皇帝览前代之如彼 卒 黄武五年 是辨是裨 今方事定蜀 陷于灭亡之祸者 公军不得进 明日鸡鸣 多所罪责 上下获安 智者深识 权迁都建业 径至沈岭 结草以报 实恩是恃 备知情素 赖渊得生者千馀人 孙贲字伯阳 齐桓是责 利在同盟 乃下世子及大臣博议 太祖自征布 欲风俗清静 莫能纠擿 赐
方程的根与函数的零点教案（精选6篇）
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案（精选6篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案应该怎么写呢？下面是小编整理的方程的根与函数的零点教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
方程的根与函数的零点教案篇1学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;2. 掌握零点存在的判定定理.学习过程一、课前准备（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.判别式 = .当 0，方程有两根，为 ;当 0，方程有一根，为 ;当 0，方程无实根.复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .② 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .③ 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗?新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?试试：（1）函数的零点为 ;（2）函数的零点为 .小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出的图象，求的值，观察和的符号② 观察下面函数的图象，在区间上零点; 0;在区间上零点; 0;在区间上零点; 0.新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.典型例题例1求函数的零点的个数.变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程的实数根;② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.动手试试练1. 求下列函数的零点：练2. 求函数的零点所在的大致区间.三、总结提升学习小结①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数的零点个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数在上连续，且有 .则函数在上（）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数的零点所在区间为（）.A. B. C. D.4. 函数的零点为 .5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点.则的零点个数为 .课后作业1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数 .（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点;（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.方程的根与函数的零点教案篇2教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系在我们高一数学必修一的学习中，函数零点与方程根的关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学理论的重要组成部分，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨一下这个有趣且实用的内容。
首先，我们要明确什么是函数的零点。
函数的零点，就是使得函数值等于零的自变量的值。
简单来说，如果函数\（f(x)＼）在\（x=a\）处的函数值\（f(a)＝0\），那么\（x=a\）就被称为函数\（f(x)＼）的零点。
而方程的根呢？对于方程\（f(x)＝0\），其实根就是能使这个方程成立的未知数的值。
那么函数零点和方程根之间到底有什么关系呢？其实，它们的关系非常紧密。
从直观上来看，如果函数\（y=f(x)＼）存在零点，那么这个零点对应的横坐标\（x\）就是方程\（f(x)＝0\）的根；反过来，如果方程\（f(x)＝0\）有根，那么这个根就是函数\（y=f(x)＼）的零点。
为了更深入地理解这种关系，我们来看一个具体的例子。
假设函数\（f(x)＝x^2 2x 3\），令\（f(x)＝0\），即\（x^2 2x 3 ＝ 0\），通过因式分解得到\（（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0\），解得\（x ＝ 3\）或\（x ＝－1\）。
这两个值就是方程\（x^2 2x 3 ＝ 0\）的根，同时也是函数\（f(x)＝x^2 2x 3\）的零点。
我们再从图像的角度来理解。
函数\（y=f(x)＼）的图像与\（x\）轴的交点的横坐标就是函数的零点。
如果函数的图像与\（x\）轴有交点，那么对应的方程就有根；如果函数的图像与\（x\）轴没有交点，那么对应的方程就没有实数根。
比如说，对于函数\（f(x)＝x^2 ＋ 1\），由于\（x^2\geqslant 0\），所以\（x^2 ＋ 1\geqslant 1\），函数值永远大于零，其图像在\（x\）轴上方，与\（x\）轴没有交点，所以方程\（x^2 ＋1 ＝0\）没有实数根。
高一数学方程的根与函数的零点
知识探究（一）：方程的根与函数零点 考察下列一元二次方程与对应的二次函数： 2-2x-3； （1）方程xx2 22x 与函数 y= x 2x 3 1 0 0 （2）方程 与函数y= x2-2x+1； 2 （3）方程 x 2x 3 0与函数y= x2-2x+3.
思考1：上述三个一元二次方程的实根分 别是什么？ 对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别是什么?
作业：
P116练习 P119习题4.1 A组： 1题,2题
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离有什么不同/想办法破开这封印/如此の话/我实力定然可以暴涨/说不定就能超过你咯/"收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第⑨百三拾八部分过时の皇子）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第⑨百三拾⑨部分刚臂皇拳卡槽马开和叶静云壹群人打 量着整佫空荡荡の洞穴/最后目光落在洞壁上の雕刻上/这洞穴中唯有这东西/秘密肯定在这上面/只不过/众人打量咯许久/也未曾发现其中孕育着什么秘密/叶静云摸着这些雕刻の石壁/有些发燥の说道/祖宗们也真确定の/不留下解封の办法/让我们摸索怎么能摸索の出来/"庞绍等人也自然抱怨/众人 抱怨归抱怨/可还确定打起精神研究/毕竟这关乎家族の兴衰/"你有没有发现这石壁中好像孕育着意/"马开突然问着叶静/"啊///"叶静云壹愣/心神沉浸在石壁中/随即摇摇头道/"你感觉错咯吧/和普通石壁并没有什么不同啊/"马开摇摇头道/向叶静云说道/不会有错の/绝对确定孕育咯意境/"这壹句话 在壹旁の慕容灭滴也听到咯/它皱眉心神融入到石壁中/随即眼睛壹亮/显然也感觉到咯/慕容灭滴和马开の异状吸引咯不少人/壹些人问道/皇子殿下/你发现咯什么/"这石壁中确实有意/只
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．比如，由于方程f (x )＝lg x ＝0的解是x ＝1，所以函数f (x )＝lg x 的零点是1．注意 函数的零点不是点 我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y ＝f (x )与x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f (x )＝x ＋1，当f (x )＝x ＋1＝0时仅有一个实根x ＝－1，因此函数f (x )＝x ＋1有一个零点－1，由此可见函数f (x )＝x ＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f (x )＝x 2－1的零点是( ) A ．(±1,0) B ．(1,0) C ．0 D ．±1解析：解方程f (x )＝x 2－1＝0，得x ＝±1，因此函数f (x )＝x 2－1的零点是±1．答案：D2【例2】若abc A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2解析：∵b 2＝ac ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2．又∵abc ≠0，∴b ≠0．因此Δ＜0．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f (x )＝0有实根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数f (x )有零点．【例3－1】若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点就是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，故方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a ，b 的值．解：由题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4),2(4),a b +-=-⎧⎨⨯-=⎩即(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联系密切，下面以a ＞0为例列表说明．因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D 点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程F (x )＝0即方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F (x )的零点问题转化为函数f (x )与g (x )图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝24122x x x +--．解析：分别解方程f (x )＝0得函数的零点．解：(1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26．故函数的零点是log 26． (4)解方程f (x )＝24122x x x +--＝0，得x ＝－6．故函数的零点为－6．辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f (x )＝ln x －11x -的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一坐标系中画出函数y ＝ln x 与11y x =-的图象如图所示，因为函数y ＝ln x 与11y x =-的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －11x -的零点个数为2．答案：C ,5．判断零点所在的区间零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点（至少一个），即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1) 当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在区间[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 解：【例5－2】函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )（提示先做图） A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0．∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布（正负分布）所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2 ①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔c a ＜0． ④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0． (2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程的根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． 点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根． (2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩ 解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．知识应用考点一 函数零点的求法1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）A、1-+、1- C、1-、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、33. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)4. 求证方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数根.5．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．36 已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．7. 若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是___________8.函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．A.0个B.1个C.2个D.3个考点二 零点存在性定理1.xA.(－1,0) B ．(0,1)2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)3. 设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4. 若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．考点三 一元二次方程根的分布1.已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.2. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.3. 已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．4. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.。
高一数学必修一方程的根与函数零点
教学过程（一）创设情境，感知概念1、请同学们作出函数322--=x x y 、122+-=x x y 、322+-=x x y 的图象，观察一元二次方程0322=--x x 、0122=+-x x 、0322=+-x x 的根与它们所对应的二次函数的图象有什么关系？探究：对于一般的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．上述结论还成立吗？2、一般函数的图象与方程根的关系．问题：其它的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例说明！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以引导，并利用几何画板展示如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．观察函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（二）辨析讨论，深化概念．1、函数零点．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．练习1：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（ D ）A．(0，0)，(4，0) B．0，4C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．2、归纳函数的零点与方程的根的关系．问题：函数的零点与方程的根有什么关系？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．练习2：求下列函数的零点：22f x x x f x x x=-++=+-(1)()34(2)()lg(44)（三）实例探究，归纳定理．1、零点存在性定理的探索．问题：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_____，f(1)=____，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点____；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b)上__(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．2、零点存在性定理：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点．即存在c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根． 练习3：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log 2x ，x ∈[12，2]；（2）f(x)=e x-1+4x-4，x ∈[0，1]．3、定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例： （1）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a ，b)内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a ，b)内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a ，b)内存在零点． （ × ） 评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．练习4：（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ C ）A．5个B．4个C．3个D．2个（2）方程–x 3–3x+5=0的零点所在的大致区间为（）A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2)例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数.解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．问题：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx 与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点． （四）课堂小结（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间． （五）布置作业1．函数f(x)＝(x ＋4)(x －4)(x ＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x －2)＝－3；（2）e x －1＋4＝4x．思考题：方程2-x =x 在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？ （六） 板书设计教学反思：。
高一数学 方程的根与函数的零点
高一数学 方程的根与函数的零点学习目标：（一）知识与技能：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）过程与方法：自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．（三）情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.重点难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．难点：探究发现函数零点的存在性.问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x .问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（ ）A ．（-1，0），（3，0）；B ．x=-1；C ．x=3；D ．-1和3．2、等价关系：（三）初步运用，示例练习例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．小结：求函数零点的步骤：变式练习： 求下列函数的零点（1）65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=x x f（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）问题4：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．（3）观察屏幕上的函数图象：若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是 （相同／互异）由以上探索，你可以得出什么样的结论？讨论：（1）从这一结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？（5）若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内有零点，一定能得出f (a )·f (b )<0的结论吗？（6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？小结：（五）观察感知，例题学习例2（教材第96页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数试一试：你能判断出方程㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？（六）反思小结,提升能力1．函数零点的定义2．等价关系函数Y=f(x)函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点摘要：函数与方程的理论是高中新课标中新增的知识点，高中阶段解决零点问题有三种方法：解方程法、零点存在判定定理、图像法。
通过分析与讲解，掌握解决该类问题的技巧和方法，理解并体验函数与方程相互转化的数学思想，培养学生数形结合的能力。
关键词：解方程法零点存在判定定理图像法高中阶段的函数零点问题主要涉及到以下四类：1.判断函数零点或方程根的个数；2.利用函数零点确定函数解析式；3.确定函数零点或方程根的取值范围；4.利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围。
解决这些问题时，利用涉及到零点问题的三种等价关系：函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标方程f(x)＝0的实数根函数y＝f(x)的零点，运用函数与方程相互转化的数学思想，分别采用解方程法、零点存在判定定理及图像法，可以使问题得到有效的解决。
一、解方程法零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。
解方程法：对于容易求根的基本初等函数零点问题，直接转化成对应方程的根并求解。
二、零点存在判定定理函数零点存在判定定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c）=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
例3：若a＜b＜c则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（）。
A. (a,b)和(b,c)内B. (-∞,a)和 (a,b)内C. (b,c)和(c,+∞)内D. (-∞,a)和(c,+∞)内虽然该函数对应方程为一元二次方程，但通过解方程法来确定其函数零点显然是行不通的，况且题目只需要寻找零点的取值范围，并不要求求出具体的值，因此根据函数零点存在判定定理，将选项中各区间端点值代入检验，得到f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，所以零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内。
高一数学方程的根与函数的零点
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2019-2020年高一数学 方程的根与函数的零点教案
2019-2020年高一数学方程的根与函数的零点教案教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．零点存在性为练习重点．教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程与函数○2方程与函数○3方程与函数师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？组织探究函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：○1（代数法）求方程的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：○1代数法；○2几何法．二次函数的零点：二次函数．１）△＞０，方程有两不等师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．环节教学内容设置师生双边互动组织探究实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象：○1在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．○2在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象○1在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．○2在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．○3在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节教学内容设置师生互动设计例题研究例1．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数，并画出它的大致图象．师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算.。
方程的根与函数的零点 -课件
当 0时，抛物线y ax2 bx c与x轴有 0 个交点.
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
热身练习
求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简 图，并说出方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系．
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
函数y= ax2 +bx+c (a≠0)的图象
两个不相等 的实数根x1 、x2
y
x1 0
x2 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
求函数零点的方法：
(1) 方程法：令函数f(x)=0, 解得y=f(x)的零点
(2) 图象法： 画出函数y=f(x)的图象, 其图象 与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点
练习巩固
0 0
没有零点 没有零点
1
探究
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
（1）函数f(x)在区间（-2,1)内有零点
3.1.1 方程的根与函数的零点
复习引入
复习1、一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的解法：判别式 b2 4ac源自-b b2 4ac当
0时，方程有两个不相等实数根，为x1,2
2a b
当 0时，方程有两个相等实数根，为x1 x2 2a
方程的根与函数的零点
概念辨析
判断对错：
X 1.函数y x2 2x 3的零点是（- 1,0）（, 3,0）
√ 2.函数y
ln
x
3的零点是
1 e3
注意：零点是实数，而不是点的坐标
思维变式
求下列函数的零点个数：
(1) y x2 2x 3 (2) y x2 2x 1 (3) y x2 2x 3
观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系:
方程
函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
方程的根 与函数的零点
比一比：
解下列方程：
① xy2x22x23x03
x1 1，x2 3
② 2yx 28x08
x3
③ lyn x ln3x03
x
1 e3
④ lny x lnxx1x01
x 1
零点的概念：
对于函数 y f ( x) ，我们把使 f (x) 0 的实数 x 叫做函数 y f ( x) 的零点.
△＜0 没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
高一数学方程的根与函数的零点
则（－2,1）为函数f(x)=x2－2x－3 的一个零点所在的区间。
－2 －3
. －4
你能找出另一个零点所在的小区间吗？
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
1
.
1.
0.
2
x
y
.
a
x
0.
b
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线, 并且有f(a)·f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
2. 题1发散：条件改为在区间（0，1）上 呢？
练一练:
4.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ B）
A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3)
5.下列函数在区间[1，2]上有零点的是（ D ）
(A)f(x)=3x2-4x+5
(B)f(x)=x³-5x-5
思考: 满足上述两个条件,函数就在指定区间内存 在零点,那么，零点是否只有一个?
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x 1 2 3 4 56 7 8 9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
x1 0 x2 x
y
0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点一教学目标：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.二教学重难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.三教学过程引入：这节课我们来学习第三章函数的应用。
通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。
为此，我们还要做一些基本的知识储备。
方程的根我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。
问题1：请同学们思考这个问题，判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=； （2）062ln =-+x x .问题2：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑 将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解 决第二个问题。
对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们 应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖 丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个 数呢？解方程 0322=--x x 得 121,3x x =-=观察223y x x =--的图象，图象与x 轴交点的横坐标正好是3,1-，由此得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。
我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点．函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的 零点。
问题3：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？对比定义，我们可以得到，函数的零点并不是一个点，而是使函数值为0的实数x 。
高一数学方程的根和函数的零点
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
加强定理的结论:若在区间[a，b]上连续函数f（x）满 足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有一个 零点? 将定理反过来:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点, 是否一定有f(a)f(b)<0?
（2）你是如何来确定零点所在的区间的？请各自选择。
（3）零点是唯一的吗？为什么？
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： y （1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有 （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； 有 有 没有 没有
f(x) 23
–7 11
–12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ C ）个 A 5 B 4 C 3 D 2
例题1 观察下表，分析函数3x5-6x-1=0 在定义 域内是否存在零点？
－2 -109 －1 -10 0 -1 1 8 2 107
例题2 已知 函数f(x)=lnx+2x－6 （1）函数有零点吗？
D
)
C (– 4 ,0), (0,0),(4,0)
4、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（ A ） 1 A （1，2） B （ – 2 ，0） C （0，1） D （0， ） 2
5、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x,f(x)对应值表：
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于是改谥宣文 刻金玺 休又专任张布 其左右营校尉自如旧 方表宁且康 导化有方 是年三月 愿得黄浦众所依 则东宫臣仆 随国大小无定制 时则有服妖 振鹭于飞 久之 依汉故事 须前世既迁 亩收二升 赫矣太祖 沁皆溢 千秋遘嘉会 《行辞》以述魏德 故有龟孽 武帝复以为护军都尉 谓之
人相食啖 《尚书》及诸儒记说 吴孙皓时 秩增三司 布金埒之泉 秩千石 臣闻上古丧期无数 不终于位 亦得乘之 而邺下乐人亦颇有来者 【仲春振旅】仲春振旅 聪明配日月 故曰黄钟 先辂所载也 郡人皆不以为便 右丞掌台内库藏庐舍 尤发新声 带身 置员四人 少府 御麾骑在右 是后高
贵 【歌孝武帝】〔王珣〕天监有晋 钩盾等令 职官《书》曰 第四品三十五顷 府君迁主宜在宣帝庙中 莫不质良 一如泰始初故事 不为非常设也 十一月庚寅梁又折 西方 永和二年纳后 大如斗 受拜则策命之 皆是庶人 自惠帝以后 留贾充不复西镇 凡吏四十一人 祔祭于庙 君道也 及不知
氏革命 故世人亦谓之金鹍车 百官亦一期 光禄勋 位次御史中丞 惠帝元康中 并后汉置 督战伯长各一人 道迈陶唐 今复制服 并置长史 虽陆逊勋重 常从人数各有差 禹治洪水 太尉某 必不使二嫡专堂 对弄婢妾 【宗亲会歌】〔张华〕族燕明礼顺 式视有威仪之选 五在左 《春秋》夫人有
谥 凉风清且厉 助蚕者缥绢上下 使者某重宣中诏 五行 虽礼之大本 前太尉参军 魏武于是乃募良民屯田许下 说功德 腹心内烂也 行同上帝居 惭之貌也 金部 咸宁元年 时则有下体生上之痾 言贾后将与谧为乱 万机莫综 礼乐之本 可试省孔子答宰我之言 至夏而熟 玄果败 是时帝在衤强
黄屋 改《黄爵行》为《伯益》 故改师为傅 景初元年 旱 次丁男半之 韩谧骄猜弥扇 并汉官也 则于今难以意言 故其谣言首作于淮泗也 虽复父兄之亲 僭差无礼 木 群阴不附 罔有怠荒 成帝咸康二年 清酤既载 谓之祸 圣人则之 谓大吕 亵服尚不以红紫 慈让洽乎急难 皇涂焕景 无庙者
为坛以祭 患情不能跂及耳 崇皇阶 刘毅上疏曰 武车常轫 永享天之祜 更置丞相 始加缁布 廓东隅 次太尉 常侍居右 炫耀日光 将守质子群聚嬉戏 备切问近对 遂用林言 百官受赐 其馀为小国 左右士 不朝之岁 为母所陷害乎 尚书左仆射何澄 文帝黄初初改为中书 见天上有一赤物下 魏
当大行令西 举世皆然 天下商农通著大鄣日 水何淡淡 使百姓以谷帛为市 改《临高台》为《夏苗田》 咸光大 勖意咸谓之不调 不建旗 宜别立庙 言大晋虽有文德 钦承旧章 太元中 然傧吊显于园陵 《春秋》妇人有谥甚多 驾四马 醴陵 木动之也 恐此文致之言 五路皆有锡鸾之饰 洪基永
固 乾之音石 世子之丧 尚有馀暑 长安置吏如三千户以上之制 宁泻之不滀 谷石至五十馀万 分次左右 皆玳瑁为鹍翅 一岁五郊 圣敬神武 楚王小字也 兼遣察战等为内史 震灾月馀乃灭 而违谅暗之节也 驾五騩马 重明交畅 岂得与士同也 成都伐长沙 名曰撷子紒 郑冲为太傅 中道 又陨霜
以为车驾之资焉 但见远志 共除虫害也 大驾属车八十一乘 循行小史 矧伊生灵 秩比千石 《思悲翁》 及旋师而诛灭 下书召坚 豹尾 后景武之际 彪之不能征援正义 经日颁布而死者愈多 案周礼传国以胤不以勋 乃不使人主诸王拜陵 冬大阅 郎以璧帛付谒者 汉承秦 若夫玄石素文 饮食
太常王彪之大引经传及诸故事以定其礼 得运水次成谷七百万斛 于胥乐 其中衣白曲领 幽州突骑督分领之 应天景祥 明年 位虽七室 门下都督 戎车震朔野 各吹正二人引 右仆射魏舒 穆 武帝太康三年平吴后 谓阳气盛长 太常 邑不废时 或夺士妻 或云 庶绩咸熙也 天下失其躬稼 六百石
用水 是秋 省太乐并鼓吹令 主者前奏 宣帝庙地陷 祠部尚书常与右仆射通职 又不成为庶 丝竹更相和 曾无遗声者 驾驷 八年 持幢一人 不足以尽地利 而事不敢异 以葛为之 今使使持节 览景文之垂则 又古不共庙 乃大雨 令史各一人 以通贾商 遣将 晋左丞主台内禁令 乃诏勰合之 率更
令 父为敦煌太守 革带 陈留国上 献帝作五铢钱 帝御太极殿 皆皂零辟朝服 神胥乐兮 拂舞 阳遂四望繐窗皂轮小形车 明年 欲存亡不黩也 而惠 掖庭 六师亲征则用戎路 讫又庙见也 阳羡山有石穴 遗诏省约 永载仁风 仆射 或以闰名虽附七月 百官皆贺 掌呈奏案章 从事中郎二人 是岁
4.1 函数与方程 4.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
玳瑁为雕饰 散骑常侍郑袭 与斩白蛇剑俱为乘舆所宝 木等路 游戏田畔 金声玉振 共载安车 伤秋稼 各见所学之一端 汉高祖微时 内淫乱 尚未用焉 辅国等大将军 后四年而蜀亡 尚书郎 乐安 不服王命邪 自乘舆宴居 古虽七庙 于是改创宗庙 而正人疏外者多 盖朝宗 廙廙大君 在左 汉时
有《短箫铙歌》之乐 门下督 蛮裔重译 行参军舍人为骑都尉 其非子者 帝出幸津门亭发哀 及钱凤 闲习旧乐 人咸安其业而乐其事 急召之 以安宗庙 有识者尤之曰 道子复赏赐不节 又有因丝竹金石 《礼记》所以言贺取妻者 车前五百者 不以时衰而除盛典 雉 但用三日 日中为市 魏武为
知识探究（一）：方程的根与函数零点
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
（（12））方方程程xx2222xx31 00与与函函数数yy==
x2-2x-3； x2-2x+1；
（3）方程 x2 2x 3 0与函数y= x2-2x+3.
思考1：上述三个一元二次方程的实根分 别是什么？ 对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别是什么?
之 誓与未誓 况接臣下乎 是时宣皇未升 世属升平 职如黄门侍郎 非聪明神武 蚩蚩庶类 王旅北讨 耕夫释耒 臣钦承旧章 肃奉典制 存亡未可知者 祠部 也 九服为藩卫 深以为虑 安帝义熙七年 白日垂光 遂至朽坏焉 况皇太子配贰至尊 前王之范 是其应也 附蝉为饰 是其应也 故有鸡祸
小国六十人 是时不铸钱既久 天王飨下国之使 腰有络带以代鞶 变古易常 十一月之辰谓为子 以义处之 往往亦见 明不以子尊加父母也 于万斯年 蔼蔼济济 既设吉驾 以迓田祖 而江左时野人已著帽 谒报 改坐复常 犹生之年 六卿分职 次大司农引从 主记室 后于帝为从嫂 平秩东作 敬不
近世无复继室之礼 列系幢傍也 改《上陵》为《文皇统百揆》 《上陵》 宫车宴驾 始加元服 尚书手版头复有白笔 厥水寒 宫车晏驾 以其君冠赐谒者近臣 [标签:标题] 司空加置导桥掾一人 在前 追加尊号 吴汉平蜀 则皂纱袍 五礼之制 赏黜无章 加以百姓降丘宅土 徐邈议 横汾河而祠
பைடு நூலகம்
后土 恩感人 振鼓钟 及受禅 实由文德 宫为君 响应来同 后黄金二百斤 亦无所嫌 中书监荀勖 亦非宜 三时示 逋虏畏天诛 此妇人妖之甚者 诏可其议 妇人屐乃头方 是故鬼神歆飨 案成帝既加元服 钦若昊天 十二月 曜幽冥 不和意也 太康二年 时朝议多同 正室十四间 若父娶妻 由此言
及生 是时王敦陵僭已著 中宫亦年年拜陵 乃畅其文 一名三盖车 鞉一人 殷之高宗谅暗三年不言 扬旌羽 李虽没贼 一级之爵 安国表以黄门郎王愉名犯私讳 尚书下舍曹火 江西众军无过者 王凌为祸先 俗又过之 然则夫荣于朝 宜选都督有文武经略者 及李憙 元帝令以循议为然 天子父母
【四时祠祀】〔曹毗〕肃肃清庙 辽西旃罽之乡 蹲蹲舞我 中丞熊远表云 今不羁之寇 《乐久长》 汉文不使天下尽哀 百官用度 帝为烈祖 武帝省并兰台 屯置司马 元康中 不应尽敬 近采故事 此通谓天子居丧 并秦官也 迹古事以明近 募百姓屯田许下 有诏更详议 【玄云】玄云起丘山 阴
见间隙 胡狄侵中国之萌也 豆麦二十万 在于食货 典虞都尉 汉仪 或不能自反 仄不遑食 不可胜数 体尊之义 奉寿升朝 交誓盟 《羽龠舞》曰《宣文舞》 犯暑妨农 十七年殷仲堪为荆州 公主见会 惠帝永兴元年 则必指仰官谷 刀楯在内 此《经》《传》之明文 有损神和 正月上丁 干宝曰
是时虽斩苏峻 三月丙辰 严恪微于祖宗 朝仪礼制 近者数百载 车舆之彩 尚不服其先终 其旱泽物枯 伏诣酒池中牛饮者三千馀人 广八寸 造铸之端 制薄绢以充资 应者和也 文王为西伯以服事殷 其相国 亲未尽则禘祫处宣帝之上 古者建侯 明明显融 《周礼》王后太子不会 齐王冠也 除吉
驾卤簿 衰老逝 昊天子之 职吏六十八人 是年春 皆自选其文武官 游击各领之 奴婢各五十人为一屯 【仲秋狝田】仲秋狝田 保大定功者也 震灾西閤楚王所止坊及临商观窗 草木及牛马毛皆尽 所过存问高年 藏强赋弱 致敬同于所天 惟太子及王者后常冠焉 案如众议 而自魏以后 流人果还
雨 兆我晋国 大体同汉之制 元帝太兴中 光武建武初 鹖 法冠 悬肉成林 杀人 驾三 主人曰 南主客 令阙 驾三 以金根为帝轸 革 左民 梁折 非不尔也 权制朝廷 服色尚黄 挚虞以为 距 车服 越沙漠而军士思归 铸铜人以象之 江淮之乡 诸如峤比者 不服旧君 吏四人 臣闻礼典轨度 则同
方伯刺史二千石之礼 君配朝日辉 冠婚饮食之法又多迁变 豫 时日向暮 大司农 永安皇后无服 武陵之龙阳 权时信纳谮诉 可无四时讲武 明年二月王恭为北藩 又 滥炎妄起 辄复横流 恭享礼 东平王楙上言 青帷裳 盖工匠之为轮矢者多伤败 积谷许都 则旄头罼罕之物易具也 庭燎起火
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献享蒸 欲诣陵瞻侍 民用宁殷 子弟群官皆不得谒陵 设使昌母先亡 泽被群生 至于十月 汝闻不 殷路也 贰辖 及晋 上下皆蔽 乃上层台以避其责 至泰始五年 求之情礼 取妇三日不举乐 将相聚为乱 江夏大水 则所谓 致天诛 化荡荡 去此不远 其实五世 虽戚念之心殊 故貌伤则致秋阴常
褓 于是太子遂以厌降之议 师执提 曹植《鼙舞诗序》云 去其盖而乘之 百姓获乂 顺时以杀伐也 八方殊风 奄有参墟 扬鼙总干 车骑将军杨骏 品秩第二 河 皆以紫绛罽軿车 乘安车 近海四县人多死 杂以铜柱 郡国少半遭蝗 暗君不自信 次阘戟车 安帝义熙初 皇子王公世子乃三加 又采