9.1反比例函数ppt Doc1 (1)
反比例函数的图像及性质
反比例函数的图像及性质人教版数学九年级下册《反比例函数的图象和性质》教学设计一.内容和内容解析1.内容反比例函数的图象和性质2.内容解析本节课是人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数的内容，本节分为三课时，这是第二课时的新授课.是在学生已经经历了一次函数、二次函数的研究过程的基础上，在得到反比例函数的概念之后，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质.教学过程中首先引导学生用“描点法”画出反比例函数的图象，使反比例函数的解析式表示的函数关系直观化；然后分类观察图象，体现“分类”的思想，首先研究k>0的情况，从特殊k=4,k=6,k=8,k=12的图象观察，进而推广到一般，得出k>0时的反比例函数的图象的特征及反比例函数的特性，体现“从特殊到一般”的思想，然后教师再引导学生从解析式的角度分析图象特征，在整个教学过程中始终贯穿由“数”到“形”再由“形”到“数”的相互转化，让学生体会“数形结合”的数学思想和反比例函数的本质属性所在，对于k<0的研究，完全类比k>0的研究过程，体现“类比”的思想.反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数中的最后一种，是继一次函数学习之后，知识的一次扩展，图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是学习函数的一般方法和规律的再次强化，也是后续构建反比例函数模型的基础，起着承上启下的作用.本节课学生的学习重点是：用描点法画反比例函数的图象，并根据图象理解反比例函数的性质．学习难点是：对x≠0的理解及图象特征的分析．二．目标和目标解析1.目标（1）能画出反比例函数的图象，探索并理解图象的变化情况.（2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“类比”、“分类讨论”、“从特殊到一般”以及“数形结合”的数学思想.（3）通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质，发展探究、归纳及概括的能力.2.目标解析（1）首先运用描点法画出反比例函数的图象，然后根据图象，通过观察、分析、归纳得出反比例函数的性质，因此正确画出反比例函数图象是前提条件，虽然学生之前用描点法经历过画一次函数、二次函数图象的经验，但是由于反比例函数图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此，能用“描点法”画出反比例函数图象并根据图象探究其性质仍是本节课的目标.（2）类比正比例函数的研究方法，通过分类讨论的方式首先研究k>0的情况，在研究过程中从图象和解析式两个角度分析，体现了数形结合的思想，通过类比研究k<0的情况，同样体现从特殊到一般的数学思想.（3）在探究反比例函数的性质的过程中，教师利用几何画板给出一系列函数图象，通过对图象的观察、分析，利用数形结合的数学思想，归纳概括反比例函数的图像和性质，所以整个性质的探索过程发展了分析概括的能力.三．教学问题诊断分析学生已经学习了一次函数、二次函数的图象和性质，反比例函数的解析式，已具有描点法画函数图象的初步经验，但是由于反比例函数的图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此在画反比函数的图象这个环节，可能遇到的问题有：1.在列表时没注意到自变量的取值范围是x≠0,或者对自变量x的取值只取正或只取负.2.由于列表时只取了有限的几个点，因此在连线时学生容易只把这几点连线，只画出图象的一部分，有明显端点，没有画出双曲线的延伸趋势.3.学生在画双曲线的延伸趋势时可能出现错误，这是因为学生仅仅是通过描点得出图象，并没有深入从解析式的角度分析问题，教师可以引导学生尝试分析理解.在学习一次函数、二次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象和表达式探索性质，从使用的方法上不会存在障碍，但是双曲线的特殊性使学生在探究反比例函数增减性时可能会出现问题，教学中教师应该强调从“数”、“形”两方面统一分析.四．教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用几何画板，快速、准确的绘制反比例函数图象，另外通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，进而探索反比例函数的性质.五．教学过程分析（一）创设情境多媒体课件展示华罗庚先生的关于“数形结合”的一首词.设计意图：采用名人名言欣赏的方式进行情景引入，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.（二）知识链接1.已经学习了哪些函数？2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质是什么？3.反比例函数的定义是什么？4.描点法画图象的步骤是什么？师：了解了反比例函数的解析式，也就是从“数”的角度了解了反比例函数，那么对应的反比例函数的“形”的方面，也就是图象是什么呢？函数性质又是怎样的呢？设计意图：通过复习正比例函数的知识，为学习画反比例函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.（三）探究图象分以下5个环节完成.1.试一试：学生独立画出6y=的图象.x2.议一议：小组讨论所画作品，选出他们认为画的最好的作品．3.看一看：展示学生选出的作品，进行问题分析.然后教师示范正确画图过程.4.说一说：同桌互说一遍画图像时的注意事项，并修订已画图象.5.练一练：画出反比例函数6y=-的图象.x设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，通过再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验，并且为后面归纳性质增加感性认识.（四）探究性质探究1. 探究反比例函数6y x =和6y x=-的图象有什么共同特征以及不同点？学生活动：主要由学生观察发现，教师适时引导．共同特征：（1 ）它们都由两条曲线组成．反比例函数的图象属于双曲线.（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴．不同特点：（1）位置不同（2）增减性不同教师追问：这些不同特点是由什么因素决定的？生：k 的正负.设计意图：培养学生的观察能力，让学生体会分类的必要性.探究2．利用几何画板再准确作出k =4, k =8, k =12时的三个反比例函数图象．观察这一系列函数图象，思考下列问题：（1）图象形状是什么？（2）图象位于哪几个象限？（3）在每个象限内，y 随x 的变化如何变化?学生活动：先由学生独立思考，然后小组讨论交流，小组代表发言，其他同学补充或质疑.教师板书：形状：双曲线位置：一三象限增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小教师追问(1)：哪位同学能从解析式的角度解释第二个和第三个问题?教师设问(2)：第三个问题，如果去掉在每个象限内这个条件，y 随x的变化情况还一致吗？为什么？学生活动：学生尝试解释，教师及时点拨，并利用几何画板直观演示．师：把刚才所研究的问题推广到一般，就得到了k >0时的函数图象和性质．设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.探究3.观察下列函数图象特征，归纳k=（k<0）性质.yx学生活动：学生发言，教师板书.形状：双曲线位置：二四象限增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大设计意图：让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.归纳: 反比例函数y =k x（k 为常数，k ≠0）的图象和性质．（1）反比例函数y=k x （k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线．（2）当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y ?值随x 值的增大而减小．（3）当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y ?值随x 值的增大而增大．设计意图：培养学生的分类讨论意识和归纳概括能力.探究4.在同一坐标系中反比例函数6y x =与6y x =-的图象之间在位置上有什么对称关系？学生活动：学生观察发现，教师动画演示.师：同学们能再从解析式上分析一下它的对称关系吗？结论：当k 互为相反数时，对应的反比例函数图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称.设计意图：培养学生的观察能力及让学生感知反比例函数图象的对称性和数学美.（五）目标检测1.下列图象中，可以是反比例函数的图象的（）．2.若反比例函数的图象经过（-3,4）则此函数的图象应在（）．A ．第一、三象限B .第一、二象限C .第二、四象限D .第三、四象限3.已知点A (-2，a ）、B (-1,b ) 、C (3，c ）都在反比例函数y =1x图象上，试比较a 、b 、c 的大小.解：把点A (-2，a ）、B (-1，b ）、C (3，c ）分别带入1y x =中得：1a=-2,b ＝-1,13c = 所以b另解：因为k =1>0所以在每个象限内，y 随x 的增大而减小由图知，因为-2<-1<0,所以b 0所以b学生活动：前两题由学生讲解、第三题由学生板书展示.设计意图：通过三个题目巩固反比例函数图像和性质，渗透数形结合的思想方法.（六）课堂小结这节课你有什么收获？有什么疑惑？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．师：回顾反比例函数的学习过程，我们首先学习了反比例函数的解析式，以解析式为基础，运用数形结合的思想，画出了函数图象，进而研究函数的性质，体现了分类讨论的方法，这其实就是我们研究函数的一般方法.师：同学们，有关反比例函数的知识，经过我们的整理，形成了一颗知识树，像这样让知识体系化，是我们学习数学的一种很好的方法，如果对已每一个知识点，同学们都能进行这样的梳理，那么你就会收获一片知识的森林.设计意图：通过本环节，培养学生分类讨论的思想及归纳概括的能力，通过美丽的知识树，对学生进行了学习方法上的指导，给学生留下深刻印象. （七）分层作业A、习题26.1 第3题B、习题26.1 第8题课外延伸：探究反比例函数k=（k≠0）的图象关于直线y=x与y=-x的对yx称性．设计意图：根据分层教学和因材施教的原则，将作业分成A,B两类，让不同能力的学生在数学上都得到发展.课外延伸让学生带着问题走进课堂，再带着新的问题走出课堂.六、板书设计。
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。
例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
反比例函数高频考点重难点总结
反比例函数高频考点重难点总结一、反比例函数的概念：一般地，形如 y = k/x ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。
二、反比例函数的图象和性质：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时,>3、增减性：（1）当k>0时,在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k<>在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交。
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 6/x 和y = -6/x）来说，它们是关于x轴，y轴对称。
三、反比例函数中比例系数k的几何意义：1、反比例函数与矩形面积：若P(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，求矩形PMON的面积.分析：S矩形PMON=PM·PN=│y│·│x│=│xy│∵y=k/x,∴ xy=k,∴S =│k│.2、反比例函数与三角形面积：若Q(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=│k│/2（或S△QOB=│k│/2）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.四、反比例函数图像与一次函数图像的交点（难点）求两个函数图像的交点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。
（1）正比例函数y=k₁x(k₁≠0)与反比例函数y=k₂/x(k₂≠0),当k₁与k₂同号时，正比例函数图像与反比例函数图像有两个交点，即对应方程组的解，且两个交点关于原点对称；当k₁与k₂异号时，两个函数图像没有交点。
第1讲-反比例函数
第1讲-反比例函数，轴）4．已知反比例函数y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （2，3）．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B （－1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．5．如图，已知双曲线y ＝kx（k ＜0）经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（－8，6），求△BOC 的面积和AC 的长．6．（15泉州）如图，在平面直角坐标系中，点A （ 3，1），B （2，0），O （0，0），反比例函数y ＝kx 图象经过点A ．（1）求k 的值；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转60°，得到△COD ，其中点A 与点C 对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．7．（15柳州）下列图象中是反比例函数y ＝－2x图象的是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．（13晋江）若反比例函数y ＝2x 的图象上有两点P 1（2，y 1）和P 2（3，y 2），那么（ ）．A ．y 1＜y 2＜0B ．y 1＞y 2＞0C ．y 2＜y 1＜0D ．y 2＞y 1＞09．（15天津）己知反比例函数y ＝6x ，，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ）．A ．0＜y ＜lB ．1＜y ＜2C ．2＜y ＜6D ．y ＞610．（15牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y ＝－ax 与y ＝ax ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．（14湘潭）如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A ，B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．612．（14资阳）如图，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象过点P （－32，0），且与反比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象相交于点A （－2，1）和点B ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．13．如图，已知反比例函数y 1＝kx和一次函数y 2＝ax ＋1的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1．过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y 2＝ax ＋1的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数； （3）结合图象直接写出：当y 1＞y 2＞0时，x 的取值范围．14．（15广州）已知反比例函数y ＝m －7x 的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值．15．（15甘南）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A ，C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为（4，2），直线y ＝－12x ＋3交AB ，BC 于点M ，N ，反比例函数y ＝kx 的图象经过点M ，N ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．16．（15柳州）如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与BC 边交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？17．（15济宁）在矩形AOBC 中，OB ＝6，OA ＝4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上一点（不与B ，C 两点重合），过点F 的反比例函数y ＝kx （k ＞0）图象与AC 边交于点E ．（1）请用k 的表示点E ，F 的坐标；（2）若△OEF 的面积为9，求反比例函数的解析式．18．（15天水）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．（1）求m，n的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E在线段CD上，S△ABE＝10，求点E的坐标．19．（15南昌）如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线y＝kx（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b＝y1＋1，点P的坐标为（6，0），且AB＝BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．第一讲-参考答案（1）A （2）A（3）C4．y ＝6x ，点B 不在函数上，点C 在函数上，－6＜y ＜－25．解：∵点A 的坐标为（－8，6），O 点坐标为（0，0），∴斜边OA 的中点D 的坐标为（－4，3），把D （－4，3）代入y ＝kx得k ＝－4×3＝－12，∴反比例函数的解析式为y ＝－12x，∴△BOC 的面积＝12，∵AB ⊥x 轴，∴C 点和横坐标为点A 相同，都为－8，把x ＝－8代入y ＝－12x 得y ＝32，∴C 点坐标为（－8，32），∴AC ＝6－32＝92．6．解：（1）∵函数y ＝kx的图象过点A （3，1），∴k ＝xy ＝3×1＝3；（2）∵B （2，0），∴OB ＝2，∵△AOB 绕点O 逆时针旋转60°得到△COD ， ∴OD ＝OB ＝2，∠BOD ＝60°， 如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ， 根据勾股定理：DE ＝3，OE ＝1， ∴D （1，3），由（1）可知y ＝3x ，∴当x ＝1时，y ＝31＝3， ∴D （1，3）在反比例函数y ＝3x 的图象上． 7．C8．B9．C10．B11．D12．解：（1）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象过点P （－32，0）和A （－2，1），∴⎩⎪⎨⎪⎧－32k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3，∴一次函数的解析式为y ＝－2x －3，反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象过点A （－2，1），∴m －2＝1，解得m ＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x ；（2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －3，y ＝－2x ，解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 1＝－4，∴B （12，－4） 由图象可知，当－2＜x ＜0或x ＞12时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．13．解：（1）∵△AOB 的面积为1，并且点A 在第一象限，∴k ＝2，∴y 1＝2x，∵点A 的横坐标为1，∴A （1，2），把A （1，2）代入y 2＝ax ＋1得，a ＝1，∴y 2＝x ＋1； （2）令y 2＝0，0＝x ＋1，∴x ＝－1，∴C （－1，0），∴OC ＝1，BC ＝OB ＋OC ＝2，∴AB ＝CB ，∴∠ACO ＝45°； （3）由图象可知，在第一象限，当y 1＞y 2＞0时，0＜x ＜1，在第三象限，当y 1＞y 2＞0时，－1＜x ＜0（舍去）．14．解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知：该函数图象的另一支在第三象限，且m －7＞0，则m ＞7； （2）令AB 与x 轴交点为C ，∵点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，∴△OAC 的面积为3，设A （x ，m －7x ），则12x ·m －7x＝3，解得m ＝13．15．解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形，∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝－12x ＋3得：x ＝2，∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝k x 得：k ＝4，∴反比例函数的解析式是y ＝4x ；（2）把x ＝4代入y ＝4x得：y ＝1，即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC －S △AOM －S △CON ＝4×2－12×2×2－12×4×1＝4，由题意得：12|OP |×AO ＝4，∵AO ＝2，∴|OP |＝4，∴点P 的坐标是（4，0）或（－4，0）．16．解：（1）∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B （3，2），∵F 为AB 的中点，∴F （3，1），∵点F 在反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x（x ＞0）；（2）由题意知E ，F 两点坐标分别为E （k 2，2），F （3，k3），∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k (3－12k )＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34当k ＝3时，S 有最大值，S 最大值＝34．17．（1）E （k 4，4），F （6，k6）；（2）∵E ，F 两点坐标分别为E （k 4，4），F （6，k6），∴S △ECF ＝12EC ·CF ＝12(6－14k )(4－16k )，∴S △EOF ＝S 矩形AOBC －S △AOE －S △BOF －S △ECF＝24－12k －12k －S △ECF ＝24－k －12(6－14k )(4－16k )，∵△OEF 的面积为9，∴24－k －12(6－14k )(4－16k )＝9，整理得，k 224＝6，解得k ＝12，∴反比例函数的解析式为y ＝12x．18．解：（1）由题意得：⎩⎨⎧6m ＝n ，m ＋5＝n，解得：⎩⎨⎧m ＝1，n ＝6，∴A （1，6），B （6，1），设反比例函数解析式为y ＝kx ，将A （1，6）代入得：k ＝6，则反比例解析式为y ＝6x；（2）设E （x ，0），则DE ＝x －1，CE ＝6－x ，∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，∴∠ADE ＝∠BCE ＝90°， 连接AE ，BE ，则S △ABE ＝S 四边形ABCD －S △ADE －S △BCE＝12(BC ＋AD )·DC －12DE ·AD －12CE ·BC ＝12×(1＋6)×5－12(x －1)×6－12(6－x )×1＝352－52x ＝10， 解得：x ＝3，则E （3，0）．19．解：（1）∵直线y ＝ax ＋b 与双曲线y ＝kx（x ＞0）交于A （1，3），∴k ＝1×3＝3，∴y ＝3x，∵B （3，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 2＝33＝1，∴B （3，1），∵直线y ＝ax ＋b 经过A ，B 两点，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝3，3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴直线为y ＝－x ＋4，令y ＝0，则x ＝4，∴P （4，0）；（2）如图，作AD ⊥y 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，BG ⊥y 轴于G ，AE ，BG 交于H ，则AD ∥BG ∥x 轴，AE ∥BF ∥y 轴，∴CD OC ＝AD OP ，PF PE ＝BF AE ＝PB P A， ∵b ＝y 1＋1，AB ＝BP ，∴1y 1＋1＝x 16，PF PE ＝BF AE ＝12，∴B （6＋x 12，12y 1）∵A ，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x 1·y 1＝6＋x 12·12y 1，解得y 1＝2， 代入1y 1＋1＝x 16，解得x 1＝2，∴A （2，2），B （4，1）． （3）根据（1），（2）中的结果，猜想：x 1，x 2，x 0之间的关系为x 1＋x 2＝x 0．。
高中数学之反比例函数类的图像画法与性质总结
反比例函数类的图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。
也是比较常考常用的。
下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。
1、画图方法步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。
例1 作321xyx+=+的图像解：()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。
因此渐近线的交点就是（-1,2）。
画出渐近线并画图函数图像如下注意到该函数恒过点（0,3），中点为（-1,2）例2 作341xyx-=-的图像解析：()3113413111xxyx x x---===----显然是将（0,0）平移到了（1,3）画出渐近线并作函数图像如下。
这里需要注意，分子为-1，实际上该函数图像是由1y x=-平移得来的。
2、核心性质 通过以上作图，很容易观察到ax b y cx d +=+具备如下性质 （1）d x c ≠-（2）a y c≠ （3）恒过点(0,)bd（4）中心对称点为,d a c c ⎛⎫⎪⎝⎭3、习题小练 求值域：（1）32(0)1x y x x+=>+ （2）4[3,6]2y x x =∈- （3）1(1,2]3x y x x -+=∈-+ （4）34[3,5]1x y x x -=∈- （5）42(1,0]1x y x x -+=∈-- 解：画图各个函数的图像，从图像上看即可。
画图略。
答案如下（1）(2,3)y ∈（2）[2,4]y ∈（3）1[,1)5y ∈-（4）511[,]24 y∈（5）(3,2]y∈--。
高中数学必修1反比例函数的基本性质
高中数学必修1反比例函数的基本性质1. 定义反比例函数是一种特殊的函数，其函数规律可以表示为：$y = \dfrac{k}{x}$，其中 $k$ 是一个非零常数，$x$ 和 $y$ 分别表示自变量和因变量。
2. 定义域和值域由于反比例函数中分母 $x$ 不能为零，所以其定义域为所有实数除了 $0$，即 $D: \{x | x \neq 0\}$。
对于因变量 $y$，它可以取任何实数，所以值域为 $R: \{y | y \in \mathbb{R}\}$，即所有实数。
3. 图像特点- 当自变量 $x$ 取正值时，因变量 $y$ 取正值，二者正相关。
- 当自变量 $x$ 取负值时，因变量 $y$ 取负值，二者正相关。
- 当自变量 $x$ 取值趋近于零时，因变量 $y$ 的绝对值趋近于无穷大，即反比例函数在 $x=0$ 处没有定义。
4. 主要性质- 反比例函数的图像总经过第一象限和第三象限的第一、第三象限。
- 反比例函数的图像是关于原点对称的。
- 反比例函数的图像位于横轴上方和下方的同侧。
- 反比例函数在直线 $x=0$ 上有一个垂直渐近线。
5. 例题例题1已知反比例函数 $\displaystyle y = \frac{8}{x}$，求当 $x =2$ 时的对应值 $y$。
解：将 $x = 2$ 代入反比例函数的表达式，得到 $y = \frac{8}{2} = 4$。
因此，当 $x = 2$ 时，$y = 4$。
例题2若反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的自变量 $x$ 增加 $2$，对应的因变量 $y$ 变化多少？解：由反比例函数的表达式可知，当自变量 $x$ 增加 $2$ 时，对应的因变量 $y$ 变化为 $\frac{5}{x+2} = \frac{5}{x} \times\frac{1}{1+\frac{2}{x}}$。
因此，对应的因变量 $y$ 变化的比例为$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}$。
《反比例函数的图象和性质》说课稿.doc
《反比例函数的图象和性质》说课稿以下是"反比例函数的图象和性质"(第一课时)说课稿，希望大家喜欢!一、教材分析：主要从地位与作用，教学目标，重点难点三方面进行阐述。
(一)地位与作用：本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的，是本章学习的重点，为后面学习实际问题与反比例函数及画二次函数图象奠定基础。
(二)教学目标：根据课改"以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程"的精神。
在教学设计上，我设想通过使用多媒体课件创设情境，在掌握反比例函数相关知识的同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，引导学生积极参与和主动探索。
因此把教学目标确定为：知识目标：学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索 . 理解并掌握反比例函数的性质。
能力目标：培养学生的作图能力，观察 . 分析 . 归纳能力，渗透数形结合的数学思想方法，逐步形成解决问题的一些基本策略。
情感目标：在动手实践 . 合作交流中，培养学生的团结协作精神，通过利用函数图象探索反比例函数的性质，让学生体验到数学活动中充满了探索与创造，培养了学生的创新意识。
(三)教学重点，难点：因为通过本节学习使学生会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质，所以确定本节的重点为：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质;因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难。
据此确定本节课的难点为：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.华罗庚教授曾深刻指出："数无形，少直观;形无数，难入微 . "为了突出重点、突破难点。
我让学生动手操作，积极参与并主动探索函数性质，利用多媒体教学帮助学生直观地理解反比例函数的性质二、教法学法分析( 一 ) 教法分析鉴于教材特点及八年级学生的年龄特点、心理特征和认知水平，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式.在课堂教学过程中努力贯彻"教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心"的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程.( 二 ) 学法分析在教学过程中，学生掌握一种方法远比学会一个知识点重要的多。
九年级 反比例函数与二次函数
第一章 反比例函数一、反比例函数的定义：若两个变量x ，y 可以表示成为x k y =（k ≠0）的形式，则我们称y 是x 的反比例函数。
二、反比例函数的判定方法：1、函数解析式满足形如xk y =（k ≠0）的形式； 2、如果两个变量的积为常数，则两个变量建立的是反比例函数；3、如果函数的图像是双曲线或双曲线的某一支，则这两个变量建立的是反比例函数。
三、反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，并且位于坐标系的一三象限或二四象限；当k ＞0时，在一三象限；k ＜0，则在二四象限四、反比例函数的性质：当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
五、函数表达式的确定：反比例函数的解析式的确定，只需确定k 值即可，所以一般只需在图像找任意一点带进去求k 值即可。
第二章 二次函数一、二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a 、b 、c 为常数）的函数叫做x 的二次函数。
二次函数的另一种形式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=二、二次函数的特殊形式：1、当b ＝c ＝0时，函数解析式形如2ax y =；2、当b ＝0时，函数解析式形如c ax y +=23、当c ＝0时，函数解析式形如bx ax y +=2三、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数是轴对称图形。
四、二次函数的开口问题：二次函数的开口方向和开口大小只与a 值有关。
a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下。
五、二次函数的对称轴问题：二次函数的对称轴为ab x 2-= 六、二次函数的交点问题：二次函数的交点与判别式ac b 42-=∆有关。
当△＞0时，有两个交点；当△＝0时，有一个交点；△＜0时，没有交点。
七、二次函数的最值问题：当a ＜0时有最大值，当a ＞0时有最小值。
八、顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a ac b a b 4422，；当x ＝0时的坐标为（0，c ） 九、韦达定理：044)2(0222=-++⇒=++a b ac a b x a c bx ax aac b b x a ac b b x 24242221---=-+-=， ac x x a b x x =-=+2121，十、二次函数的三种表达式：1、一般式：c bx ax y ++=22、顶点式：()k m x a y ++=23、交点式：()()21x x x x a y --=十一、二次函数与二次不等式：（难点，根据图像去理解）。
第十三讲：反比例函数(1)
第十三讲：一元二次方程与反比例函数应用【例1】（1）如图，一次函数y 1=ax +b （a ≠0）与反比例函数2k y =x的图象交于A （1，4）、 B （m ，1）两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是 ．（2）如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，是等腰直角三角形，点P 1，P 2，P 3，在反比列函数4y x=的图象上，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ．（3）如图，M 为双曲线上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD•BC 的值为 ．第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图【例2】已知反比例函数k y x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求△AO B 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值不大于一次函数的值的x 的取值范围．【例3】某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）【例4】随着人们环保意识不断增强，我市家庭电动自行车拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．【例5】今年3月，位于虎溪大学城的龙湖“千万间”公租房项目开始动工．这是一个让人心动的“民生住房账本”未来10年，重庆市将建设4000万平方米的公共租赁房，今年开建500万平方米，3年（2010年～2012年）时间内完成2000万平方米的建设任务．某建筑公司积极响应，计划在今年12个月完成一定的建房任务．已知每平米的成本为1200元，按每平方米1600元的价格卖给政府．该公司平时每月能建2000平方米，为了加快进度，公司采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到提高．这样，第一月建了2200平方米，以后每月建房都比前一月多200平方米．由于机器损耗等原因，每增加100平方米，当月的所有建筑面积，平均每1平方米的成本就增加2元．（1）若全市公共租赁房今年（2010年）到明年的建筑面积增长率就是以后每年的增长率，求此增长率．（2）今年4月份玉树发生了7.1级地震，该公司决定把最近某个月144万元的利润捐给灾区、请问是第几的个月？【例6】2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥--杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？【例7】如图，一条直线与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．①试说明△CDE∽△EAF；②当△ECF为等腰三角形时，求出F点坐标．。
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿一. 教材分析《反比例函数》是人教版九年级数学下册第26章第一节的内容，本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
这部分内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的知识基础上进行学习的，为后续学习二次函数打下基础。
反比例函数是实际应用中经常遇到的一种函数形式，对于学生来说，理解和掌握反比例函数的知识，能够提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和图象已经有了一定的了解。
但是，反比例函数的概念和性质相对复杂，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生理解和掌握反比例函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，能够绘制反比例函数的图象。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生学会如何从实际问题中抽象出反比例函数模型。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义，反比例函数的性质，反比例函数图象的特点。
2.教学难点：反比例函数概念的理解，反比例函数性质的证明，反比例函数图象的绘制。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、反比例函数图象软件等，帮助学生直观地理解反比例函数的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题，从而引出反比例函数的概念。
2.新课讲解：讲解反比例函数的定义，通过示例让学生理解反比例函数的概念。
然后，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，总结出反比例函数的性质。
3.实践操作：让学生利用反比例函数图象软件，绘制反比例函数的图象，观察图象的特点，进一步理解反比例函数的性质。
反比例函数的图像和性质(1).doc
（2）在第二象限内，y随x的增大而增大
2．函数y＝－ax＋a与 （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）
3．在平面直角坐标系内，过反比例函数 （k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
学生试做后，小组内交流。
教师行间巡视
3．难点的突破方法：
在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数 （k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
七、课后作业
1．若函数 与 的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是
2．反比例函数 ，当x＝－2时，y＝；当x＜－2时；y的取值范围是；
当x＞－2时；y的取值范围是
3．已知反比例函数 ，当 时，y随x的增大而增大，
求函数关系式
板书设计：17．1．2反比例函数的图象和性质（1）
一图像与性质二例题三练习
教师可结合实例说明：
学生试做后，小组内交流。
教师强调：
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值
九年级数学第三十章 第1-2节 反比例函数及其性质冀教版知识精讲
九年级数学第三十章 第1－2节 反比例函数及其性质冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：反比例函数及其性质 1. 反比例函数的定义.2. 反比例函数的图像和性质.二、知识要点： 1. 反比例函数（1）一般地，如果变量y 和x 之间的函数关系可以表示成y ＝k x（k 是常数，且k ≠0）的形式，则称y 是x 的反比例函数.（2）一般地，反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线. 双曲线是由两个分支组成的. 它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴.（3）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝k x中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式.注：如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2x 2中，y与x 2成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝k x（k ≠0）中的两个变量必成反比例关系.2. 反比例函数的性质和图象反比例函数y ＝k x，当k ＞0时，图像的两个分支位于一、三象限. 在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大.3. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义过双曲线y ＝kx上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S ＝PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝kx，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱. 即①过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱. ②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是12︱k ︱.三、重点难点：本节的重点是反比例函数的图象和性质，难点是在学习过程中要全面理解其性质及图象的特征，结合图象来理解，采用数形结合的思想方法.【典型例题】例1. 判断下列函数式，y 与x 是反比例函数关系的有哪些？①y ＝2x ＋1；②y ＝πx ；③y ＝a x ；④y ＝4x 2＋x －x 2；⑤xy ＝3；⑥y ＝13x ；⑦x （y ＋1）＝3；⑧2x ·3y ＝7.分析：按照反比例函数关系式的特征判断. ①中，y 与x ＋1成反比例，不是y 与x 成反比例. ③中没有说明a 的条件. ⑦化简后为y ＝3x－1，不符合反比例函数的形式，所以①③⑦不是反比例函数. 对于②中，π为常数. ④中化简得y ＝4x . ⑤可变形为y ＝3x. ⑥可变形为y ＝13x . ⑧可变形为y ＝76x. 都符合反比例函数的一般形式，所以②④⑤⑥⑧是反比例函数.解：②④⑤⑥⑧是反比例函数. 评析：（1）判断两种量是否成反比例关系时，通常写出这两种量的关系式. 然后化简，再对照反比例函数式的特征进行解答. （2）反比例函数式y ＝k x（k 为常数，k ≠0）还可以写成y ＝kx －1或xy ＝k （k 为常数，k ≠0）.例2. 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y 的值是－5. （1）求y 与x 的关系式.（2）求当x ＝－5时，y 的值.分析：y 是x 的反比例函数，即x 与y 满足y ＝k x这个关系式，且当x ＝3时，y 的值是－5，将这两个数值代入即可求出k 的值.解：（1）设y ＝k x （k ≠0），把x ＝3，y ＝－5代入得，－5＝k3.解之得，k ＝－15，所以，解析式为y ＝－15x.（2）把x ＝－5代入，得y ＝－15－5＝3.所以，当x ＝－5时，y 的值是3.评析：待定系数法求反比例函数解析式的步骤是：（1）设出函数解析式的一般形式为y＝k x（k ≠0）. （2）把对应的x 与y 的值代入，得到一个关于k 的方程. （3）解方程，求出待定系数k 的值. （4）代入解析式即可得到要求的解析式.例3. （1）已知反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数关系式是__________.（2）已知反比例函数y ＝1－3mx的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值X 围是__________.分析：（1）因为反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a 2－5＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a 2＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＝±2 . 所以a ＝－2，当a ＝－2时，函数关系式为y ＝－4x .（2）反比例函数的图象有两种情况：当1－3m ＞0时，如图（1）所示，此时y 1＜y 2；当1－3m ＜0时，如图（2）所示，此时y 1＞y 2；故可得1－3m ＞0，即m ＜13.(2)解：（1）y ＝－4x （2）m ＜13评析：（1）对于y ＝k x（k 为常数，k ≠0）来说，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限. 在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大. 所以在此题中，应该有a －2＜0. （2）反比例函数y ＝kx，当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，但并不是说反比例函数的整个图象是从左往右上升的，因此一定注意“在每个象限内”这个条件.例4. （1）若反比例函数y ＝k x（k <0）的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m __________n （选择填“>”、“＝”、“<”）.（2）函数y ＝－ax ＋a 与y ＝－ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）分析：（1）由k ＜0知函数图象在二、四象限，且y 随x 的增大而增大，又图象过点P（2，m ）、Q （1，n ），2＞1，则m ＞n . （2）由函数图象判断－a 的正负，看是否一致，可以发现函数y ＝－ax ＋a 中，当x ＝1时，y ＝0，即直线过定点（1，0），所以可排除B 和D. 在A 中，根据直线的图象可知－a ＜0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是一致的. 在C 中，根据直线的图象可知－a ＞0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是不一致的，应排除.解：（1）＞（2）A例5. 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y ＝1x于点A ，连接OA.（1）如图（1）所示，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出R t △AOP 的面积；若改变，试说明理由.（2）如图（2）所示，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线DB 交双曲线y ＝1x于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1__________S 2. （选填“＞”“＜”或“＝”）解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），则x ＞0，y ＞0.S △AOP ＝12·OP ·AP ＝12·x ·y ＝12×1＝12.所以当点P 在x 轴的正方向移动时，R t △AOP 的面积不发生变化.（2）由（1）的结果可知S △AOP ＝S △BOD ，而梯形BCPD 的面积小于S △BOD ，所以有S △AOP ＞S 梯形BCPD ，即S 1＞S 2.评析：从双曲线y ＝k x（k ≠0）上任一点向x 轴作垂线. 则该点垂足及坐标原点构成的三角形面积都相等，其值为12︱k ︱.【方法总结】1. 反比例函数的图象是双曲线，双曲线所在的象限由比例系数k 来决定，当k ＞0时，双曲线在第一、三象限；当k ＜0时，双曲线在第二、四象限. 在记忆反比例函数图象的性质时，要与正比例函数的性质相对照，不要混淆.2. 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象上任取一点向x 轴作垂线，则由垂足、原点及该点构成的三角形面积不变，其值为12︱k ︱.【预习导学案】（反比例函数的应用）一、预习前知1. 反比例函数的性质有哪些？2. 说一说下列常用公式：三角形面积公式，电阻公式，压强公式，功率公式等. 二、预习导学1. 三角形面积一定时，一边长和这边上的高是什么函数关系？2. 水池内装有12m 3的水，如果从排水管中每小时流出的水是xm 3，则经过yh 就可以把水放完. 求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围. 反思：如何从函数的角度解决实际问题？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 点P （1，3）在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象上，则k 的值是（ ） A. 13B. 3C. －13D. －32. 下列函数表达式中，是反比例函数的是（ ）A. y ＝x －1B. y ＝1x －1C. y ＝x2D. xy ＝－23. 在反比例函数y ＝1－kx的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 24. 一个长方形的面积为10，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 不能确定5. 如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数y ＝1x的图象上，那么（ ）A. y 2＜y 1＜0B. y 1＜y 2＜0C. y 2＞y 1＞0D. y 1＞y 2＞06. 若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高. 当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间的函数关系的图象大致是（ ）ABC D*7. 反比例函数y ＝kx（k ＞0）的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为（ ）A. S 1＞S 2B. S 1＝S 2C. S 1＜S 2D. 无法确定**8. 如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y ＝3x（x＞0）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ ）A. 逐渐增大B. 不变C. 逐渐减小D. 先增大后减小二、填空题1. 反比例函数y ＝k x的图像经过点（2，－1），则k 的值为__________. 2. 反比例函数y ＝15x 中，k ＝__________.3. 如果y ＝1x2n －5是反比例函数，则n ＝__________.4. 反比例函数y ＝2x图像的两支分别在第__________象限.5. 若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是双曲线y ＝3x上的两点，且x 1＞x 2＞0，则y 1__________y 2.（填“＜”、“＝”、“＞”）*6. 点A （2，1）在反比例函数y ＝kx的图像上，当1＜x ＜4时，y 的取值X 围是__________. 7. 如图，双曲线y ＝k x与直线y ＝mx 相交于A 、B 两点，B 点坐标为（－2，－3），则A 点坐标为__________.**8. 如图所示，函数y ＝x 与y ＝4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积为__________.三、解答题1. 已知反比例函数y ＝（m －12）x 22-m 的图像的两个分支分布在第二、四象限，求m 的值.2. 反比例函数y ＝2m －1x的图象如图所示，A （－1，b 1），B （－2，b 2）是该图象上的两点.（1）比较b 1与b 2的大小； （2）求m 的取值X 围.*3. 已知图中的曲线是反比例函数y ＝m －5x（m 为常数）图象的一支. （Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值X 围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式.试题答案一、选择题1. B2. D3. D4. B5. D6. B7. B8. C二、填空题1.－22. 153. 34. 一、三5. ＜6. 12＜y ＜2 7.（2，3） 8. 4三、解答题1. 根据题意m 2－2＝－1，则m ＝±1，又因为m －12＜0，所以m ＜12. 所以m ＝－1.2. （1）由图知，当0x <时，y 随x 增大而减小. 又－1＞－2，∴b 1＜b 2.（2）由2m －1＞0，得m ＞12.3. （Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第三象限. 因为这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以m －5＞0，解得m ＞5.（Ⅱ）反比例函数的解析式为y ＝8x . 交点A 的坐标同时满足y ＝2x 和y ＝8x，即2x 2＝8，解得x ＝±2. 因为点A 在第一象限内，所以A （2，4）.。
第1节 反比例函数的图像和性质
第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22(21)m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.6. 反比例函数2k y x-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2；④在函数图像的某一分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形. ⑥一元二次方程x 2—（2k —1）x +k 2—1=0无实数根. 其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y =y 1+y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2. 求y 与x 的函数关系式.3y图26-1-18.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）BACD11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（ ）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .（a ）（b ）图26-1-5A14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k= .16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S=m （m 为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y 轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（ ， ）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（ ， ）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。
第2课时 反比例函数的图象及性质(1)
大良总校：0757-2222 2203 大良北区：0757-2809 9568 大良新桂：0757-2226 7223 大良嘉信：0757-2232 3900 容桂分校：0757-2327 9177 容桂体育：0757-2361 0393 容桂文华：0757-2692 8831 龙江分校：0757-2338 6968 北滘分校：0757-2239 5188 乐从分校：0757-2886 6441 勒流分校：0757-2566 8686 伦教分校：0757-2879 9900 均安分校：0757-2550 6122 南海桂城：0757-8633 8928 南海黄岐：0757-8599 0018 金色家园：0757-8630 6193 禅城玫瑰：0757-8290 0090 南海大沥：0757-8118 0218 南海丽雅：0757-8626 3368 佛山高明：0757-8828 2262 中山小榄：0760-2225 9911 石岐北区：0760-8885 2255 石岐东区：0760-8888 02775.2 反比例函数的图象与性质（1）课程引入我们学习一次函数的时候研究了它的图象与性质，那么对于反比例函数，其图象又是怎样的线条呢？还是一条直线吗？课前预习※自主阅读1、直线y=-x+3经过第___________象限.2、反比例函数 xy 8=， 经过点（1，_ _)，（ ，-3） 3、作函数图象的一般步骤是： 。
※质疑问难____________________________________________________________________________________________________________________________________课堂研习※ 知识理解1、图象x y 4=和xy 4-=的图象由两支构成，叫作双曲线。
其中双曲线x y 4=分布在 ，双曲线xy 4-=分布在 。
新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介
新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数。
反比例函数的图象和性质(1) (1)
反比例函数的图象和性质教学设想：本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上实行教学的,是本章学习内容的重点，为后面学习实际问题与反比例函数以及画二次函数的图象奠定基础。
本节课教师首先引导学生回顾用描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数的图象，并让学生通过观察图象、探究分析，得出反比例函数的基本性质，让学生自我构建新知识。
在整个活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑了来的，而是让学生自己去观察、感受、讨论、发现、探究、总结得到的，实现了学生向自己动手、主动探索合作交流等学习方式的转变。
教学过程：一、引言上节课我们理解了反比例函数，今天就接着研究它的图象和性质。
首先我们先回顾一下画函数图象的三个步骤？（学生回答）列表、描点、连线二、师生互动活动16的图象。
让我们先画出函数y=x问题：列表时自变量的取值有什么限制？强调：自变量取值须具有代表性，一次函数取两个点画函数图象，而在反比例函数图象的研究过程中我们一般取10个点或12个点，这样图象会比较精细而且操作简便。
活动2要求：1、按照所列表格，建立直角坐标系，描点。
2、师生共同实行，一个学生板演，其他人在下面描点，画图。
活动3要求：按照连线的要求，用平滑的曲线连接。
注意问题：点（-1，6）和（6，1）之间是否连接？为什么？讨论：因为自变量取值不为0，所以它的图象是分开的两支，于是我们称之为双曲线。
观察总结：双曲线是关于原点对称的。
活动4按照上述方法画出y=x6-的图象 活动5在同一直角坐标系中画出y=x 3和y=x 3-的图象，应该是什么关系？（关于x 轴对称也关于y 轴对称）活动6在同一坐标系中画出y=x 5和y=x 5-的图象。
活动7讨论：通过观察上述四个图象，回答四个问题，同时结合函数解析式说明你总结规律的准确性。
问题1：它们的共同特征是什么？问题2：它们的不同点是什么？问题3：图象所分布的象限有什么规律？由谁决定的？它可能与x 轴或y 轴相交吗？问题4：在每一个象限内，y 随x 的增大而如何变化？活动8：师生用自己的语言共同总结其规律。
13、反比例型函数
第十讲反比例型函数cx dy ax b+=+【自主学习】反比例函数的定义1．形如 的函数叫反比例函数．2．在反比例函数y ＝kx 为什么要求k ≠0？ 3．在反比例函数y ＝kx中自变量x 的取值范围是 .4．要确定反比例函数的图象需要 个独立的条件。
5.已知，反比例函数的图象过（2,3），求解析式。
6.分别作出x y 1=，x y 1-=，x y 2=，xy 2-=的图象7.__________ky x=的图像是一条它有支3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何 意义，即过双曲线y ＝kx(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 .例、一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于 (21)(1)A B n -，，，两点．（1（2）求AOB △的面积．例、分别作出12y x =+，12y x =-+，12y x =+，12y x =-+的图象例、分别作出12x y x +=+，12x y x +=-+，4322x y x +=+，324x y x +=+的图象归纳： 形如cx dy ax b+=+的函数称为反比例型函数，它有如下特征： （1） 定义域 （2） 值域 （3） 单调性（4） 函数的图象x例、求函数12xyx+=+，12xyx+=-+，4322xyx+=+，324xyx+=+的值域。
例、求函数1,(24)2xy xx+=<<+，2212xyx+=-+，y=，的值域。
例、若函数12axyx+=+当x>-2时单调减，求实数a的取值范围。
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6400 20 5000 200 , y ,t ,m 函数关系式a b x v n
具有什么共同特点?你还能举出类似的实例吗?
一般地,形如
称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比 例系数.
反比例函数的自变量x的取值范围是不等 于0的一切实数。
k y x
(k为常数,k≠0)的函数
新知运用
例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如 果是，比例系数k是多少
4 1 1 y ; 2 y ; x 2x 3 y 1 x; 4 xy 1; x 5 y . 2
例2.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ 如果是，比例系数是多少？
小结
什么是反比例函数？
书 64页 1，2
1，你能用含v的代数式表示t吗？ 2，利用（1）的关系式完成下表：随着速度 的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？
V/km/h
60
80
90
100
120
t/h
3，时间t是速度v的下列问题中两个变量之间 的关系： （1）一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随 宽b(m)的变化而变化； （2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万 元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随 还款年限x（年）的变化而变化； （3）游泳池的容积为5000m3,向池内注水，注满 水所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化； （4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.
2 2 1 y x; 2 y ; 3 3x 3 xy 2 0; 4 xy 0; 2 5 x . 3y
做一做：写出下列问题中两个变量之间的函数关系式， 并判断其是否为反比例函数，如果是，指出比例系数 k的值.
(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底 边上的高x(cm)的变化而变化; （2）某村有耕地面积200ha,人均占有耕 地面积y(ha)随人口数量x(人)的变化而变 化； (3)一个物体重120N,物体对地面的压强 p(N/m2)随该物体与地面的接触面积S(m2)的 变化而变化。
在小学里,我们已经知道,如果两个 量x、y满足xy=k(k为常数,k≠0),那么x、 y就成 ＿＿＿＿＿＿． 例如，速度ｖ、时间ｔ与路程ｓ 之间满足vt=s,如果路程s一定,那么速 度v与时间t就成＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
交流：汽车从南京出发开往上海，（全程约300km）全程
所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。